close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О случаях разрешимости гиперболических уравнений в квадратурах.

код для вставкиСкачать
И З В Е С Т И Я
В Ы С Ш И Х
2004
У Ч Е Б Н Ы Х
З А В Е Д Е Н И Й
МАТЕМАТИКА
Є 7 (506)
УДК 517.956
В.И. ЖЕГАЛОВ
О СЛУЧАЯХ РАЗРЕШИМОСТИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
В КВАДРАТУРАХ
Речь идет об уравнении
uxy + aux + buy + cu = f
(1)
и его пространственных аналогах, встречающихся при исследовании процессов вибрации и играющих существенную роль в теориях аппроксимации и отображений ([1], сс. 63, 109). Результаты,
изложенные ниже, основаны на более тщательном, чем ранее, изучении возможностей метода
каскадного интегрирования. Выделяемые случаи связаны со структурными представлениями
(1;:::;1)
коэффициентов рассматриваемых уравнений. Решения уравнений отыскиваются в
, где
@ r1 ++rm
(k1 ;:::;km )
| класс функций, имеющих непрерывные производные @xr1 @xrm для всех s
s
( =1
).
C
C
s
;:::;m
1.
r 6k
f (x) 0 изложен в ([2], с. 177{181).
f 6 0, только несколько усложняются формулы. Приведем
Процесс построения каскада для уравнения (1) при
Рассуждения из [2] проходят и для
здесь эти формулы (они нужны в дальнейшем), а также укажем некоторые новые условия
разрешимости (1) в явном виде.
Если
h = ax + ab ; c 0, то общее представление решений (1) задается формулой
u(x; y) = P (x) exp
Z y0
y
a(x; )d +
Z
y
y0
Q() exp
Z
+
Аналогично при
x0
k = by + ab ; c 0
u(x; y) = M (y) exp
Z x0
x
b(; y)d +
Z
x
x0
xZ y
y0
Z
x
x0
f (; ) exp
Z
N ( ) exp
Z
+
xZ y
x0
y0
b(; )d +
y
y0
Z
Z
1
1
y
1
Z
1
Z
b( ; )d
x
Z
a(x; )d d +
y
a(; )d +
f (; ) exp
+
a(x; )d d d:
1
y
1
(2)
b( ; y)d d +
1
x
a(; )d
1
1
Z
1
+
x
b( ; y)d d d:
1
1
(3)
u 2 C ; обеспечивается условиями a 2 C ; , b 2 C ; ; c; f 2 C ; . При этом
P; M 2 C ; Q; N 2 C | произвольные функции. В качестве (x ; y ) можно взять любую точку
рассматриваемой области. Если h 6= 0, то, записывая (1) в виде системы
u = uy + au; u x + bu ; f = hu;
(4)
а затем исключая из нее u, опять придем к уравнению вида (1):
u xy + a u x + b u y + c u = f ;
(5)
где a = a ; (ln h)y , b = b, c = c ; ax + by ; b(ln h)y , f = [a ; (ln h)y ]f ; fy . Роль h, k для (5)
Включение
(1 1)
(1 0)
(0 1)
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
(0 0)
0
1
1
1
1
1
1
играют
h
1
h ; k ; (ln h)xy ; k
=2
1
47
=
h:
(6)
abcf
Очевидно, при этом от коэффициентов , , ,
требуется дополнительная гладкость:
(1;1)
(0;1)
;
. В случае = 0 вместо (4) следует взять систему
b; c 2 C
а для
f 2C
u;
1
u;
k6
1
=
ux + bu; u; y + au; ; f = ku;
1
a2C
(2;1)
;
(7)
1
получится уравнение
u; xy + a; u; x + b; u; y + c; u; = f; ;
(8)
a; = a, b; = b ; (ln k)x , c; = c ; by + ax ; a(ln k)x, f; = [b ; (ln k)x ]f ; fx. В роли h, k для (8)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
будут
h; = k; k;
; f 2C ; .
1
При этом
b2C
(1;2)
;
a; c 2 C
(1;1)
1
=2
k ; h ; (ln k)xy :
(9)
(1 0)
Соотношения (6) и (9) позволяют вывести условия структурного характера на коэффициенты уравнения (1), обеспечивающие разрешимость этого уравнения в квадратурах. Эти условия
удобно формулировать в терминах обозначений
(x; y) =
(x; y) =
Z
xZ y
x
y
Z x0 Z 0y
x0
y0
a ; b + ab ; c)d dt;
(2 t
(10)
b ; at + ab ; c)d dt
(2 и тождеств
max ; by + (m ; 1)(ab ; c) = 0;
(11)
mby ; ax + (m ; 1)(ab ; c) = 0:
(12)
В (10) a, b, c зависят от t, , а в (11), (12) | от x, y ; в качестве m может служить любая функция
из C , зависящая либо лишь от x, либо лишь от y . Кроме того, предполагается, что m 6= 2.
1
Теорема. Общее представление решений уравнения
(1) может быть записано в квадрату-
рах, если выполняется любой из следующих четырех вариантов условий :
a)
h имеет структуру
h = '(x) (y) exp (x; y); ' 6= 0; '; 2 C ;
k имеет тот же вид, что и h в предыдущей формуле, но с заменой (x; y) на (x; y) из
1
b)
(10);
c)
h записывается в форме
0
0
h = (2 ; m2')['(x()x) +(y) (y)] ; ' 2 C ;
2
2
и выполняется тождество
2 C ; '0 0 =6 0; ' + 6= 0;
1
(13)
(11);
k также записывается в виде (13), но вместо (11) выполняется тождество (12), при
этом ' 2 C ,
2 C , и, как в (13), '0 0 6= 0, ' + 6= 0.
Здесь ',
| любые функции из указанного класса.
d)
1
2
Для подтверждения первого варианта этой теоремы достаточно заметить, что из структу-
h в условии a) и первой формулы из (10) следует (ln h)xy = xy = 2ax ; by + ab ; c. Последнее
h ; k (проверяется непосредственно). Поэтому (см. (6)) h 0, что обеспечивает разрешимость (5) в квадратурах по формуле (2), где нужно только заменить a; f соответственно на a , f . Подставляя затем u во вторую формулу (4), найдем (h 6= 0) представление
ры
же выражение равно 2
1
1
1
1
всех решений уравнения (1). Подобным же образом устанавливается достаточность условия b)
для разрешимости (1) в квадратурах, при этом роль (4){(6) играют (7){(9). В условиях варианта c) из (13) следует ([3], с. 321{322, формулы (159), (164)), что
48
h
0
= (2
; m)h удовлетворяет
уравнению (ln
h
h
h
h
;m h
h
(ln )xy , то имеем (ln )xy
(2
) . Поскольку
0 )xy =
0 . Так как (ln 0 )xy
(11) эквивалентно тождеству
(вновь непосредственная проверка), то (ln )xy
2
.
Следовательно (см. (6)), 1
0. Таким образом, и в этом случае уравнение (5), а значит, и (1),
h mh k
h
h;k
решается в квадратурах. Аналогичное рассуждение имеет место и для варианта d). Гладкость
',
, указанная в a){d), следует из условий, наложенных ранее на коэффициенты уравнения (1)
для обеспечения принадлежности решения классу (1;1) .
C
Пусть теперь , , | произвольные функции, каждая из которых зависит либо лишь от
x, либо лишь от y. Непосредственной подстановкой в варианты a){d) с учетом формул (10){(12)
нетрудно убедиться, что условия теоремы будут выполнены, если коэффициенты уравнения
имеют один из следующих восьми наборов структурных представлений:
a = (y); b = (x) (y); c = (y)(x) (y) ; (x) 0 (y);
0 6= 0; 2 C; 2 C ; 2 C ;
(14)
a = (x) (y); b = (x); c = 20 (x) (y) + (x)(x) (y);
0 6= 0; 2 C; 2 C ; 2 C ;
(15)
a = (x)(y); b = (x); c = (x)(y) (x) ; (y)0 (x);
0 6= 0; 2 C ; 2 C ; 2 C ;
(16)
a = (y); b = (y) (x); c = 20 (y) (x) + (y)(y) (x);
0 6= 0; 2 C; 2 C ; 2 C ;
(17)
a = (y); b = x x y ; c = xy xy ; xx yy 2 ;
0 0 6= 0; + 6= 0; 2 C; 2 C ; 2 C ;
(18)
a = x y y ; b = (x); c = xx xy ; x x yy 2 ;
0 0 6= 0; + 6= 0; 2 C; 2 C ; 2 C ;
(19)
a = x y y ; b = xx xy ; c = [2(x) ; 4] xx yy 2 ;
6= 3; 0 0 6= 0; + 6= 0; ; 2 C ; 2 C ;
(20)
a = xy yy ; b = x x y ; c = [2(y) ; 4] xx yy 2 ;
6= 3; 0 0 6= 0; + 6= 0; ; 2 C ; 2 C :
(21)
1
2
2
2
1
1
2
0
( )
( )+ ( )
1
( ) 0( )
( )+ ( )
0
( ) 0( )
[ ( )+ ( )]
2
0
( )
( )+ ( )
1
( ) 0( )
( )+ ( )
0
( ) 0( )
[ ( )+ ( )]
1
0
( )
( )+ ( )
2
( ) 0( )
( )+ ( )
0
( ) 0( )
[ ( )+ ( )]
1
( ) 0( )
( )+ ( )
0
( )
( )+ ( )
2
0
( ) 0( )
[ ( )+ ( )]
1
2
При этом для (14){(17) следует проверять варианты a) и b), а для (18){(21) | c) и d). В случаях
4;2
(18), (19)
0, а в (20) и (21)
= 3; с
= ( ) и
= ( ) соответственно.
m
Следствие.
m
x
y
Для разрешимости уравнений (1) в квадратурах достаточно выполнения любого
набора из представлений (14){(21).
2.
a2C
Обратимся к уравнению
(1;1;0)
,
b2C
(0;1;1)
uxyz + auxy + buyz + cuxz + dux + euy + fuz + gu = F;
, c 2 C ; ; , d 2 C ; ; , e 2 C ; ; , f 2 C ; ; , g, F 2 C
(1 0 1)
(1 0 0)
(0 1 0)
исследовалось, в основном, методом Римана [4]{[7].
49
(0 0 1)
(22)
(0;0;0)
, которое ранее
h, k здесь являются ([8], с. 35)
h = ax + ab ; e; h = ay + ac ; d; h
h = bz + ab ; e; h = cx + bc ; f; h
h = dx + bd ; g; h = ey + ce ; g; h
Аналогами конструкций
1
2
3
4
5
6
7
8
9
b bc ; f;
= cz + ac ; d;
= fz + af ; g:
= y+
Введем функции
v
1
=
uyz + auy + cuz + du; v = uxz + aux + buz + eu;
v = uxy + cux + buy + fu:
2
(23)
3
С их помощью уравнение (22) можно записать следующим образом:
v x + bv
v y + cv
v z + av
1
1
2
2
3
3
h uy + h uz + h u + F;
= h ux + h uz + h u + F;
= h uy + h ux + h u + F:
=
1
5
7
2
3
8
4
6
9
(24)
Эти формулы можно проверить непосредственным вычислением. Например, для получения первой из них достаточно записать левую часть уравнения (22) в виде
@ (u + au + cu + du) + (e ; a )u + (f ; c )u + (g ; d )u + bu ;
y
z
x y
x z
x
yz
@x yz
учесть, что первое слагаемое здесь есть @v =@x, и заменить в последнем слагаемом производную
uyz ее значением из первого равенства (23). Аналогично получаются оставшиеся две формулы
1
(24).
Заметим, что соотношения (23), (24) были анонсированы в [9].
Из (23), (24) непосредственно усматривается, что если выполнена хотя бы одна из трех групп
тождеств
h h h 0; h h h 0; h h h 0;
1
5
7
2
3
8
4
6
9
(25)
то порядок уравнения (22) может быть понижен на единицу. Действительно, в этих случаях
v k = 1; 2; 3. Например, при
уравнения (24) решаются относительно хотя бы одной из функций k ,
первой группе тождеств (25) имеем
v
1
где
=
!(y; z ) exp
Z x0
x
b(; y; z )d +
x
Z
x0
Z
exp
x
b( ; y; z )d F (; y; z )d;
1
1
!(y; z) | произвольная функция из C ; .
Уравнения (23) с искомой функцией u относятся к виду (1). Поэтому, комбинируя предста(1 1)
вления типа (14){(21) с (25), можем определить условия, обеспечивающие разрешимость (22)
в квадратурах. Произвольные функции, играющие роль
, , ,
будут зависеть уже от двух
переменных. Если сохранить для их обозначения те же буквы, то, рассматривая, например,
комбинацию из (14) и первых тождеств (25), придем к следующему результату. Пусть
имеют вид
a = (x; z); c = (x; y) (x; z); d = (x; z)(x; y) (x; z) ; (x; y)z (x; z ):
Если при этом z 6= 0, а e, f , g записываются через , , и b(x; y; z ) по формулам
e = x + b; f = ( )x + b; g = ( )x ; (z )x + b( ; z );
a, c, d
(26)
(27)
то уравнение (22) решается в квадратурах. Понятно, что указанным способом можно получить
еще 23 набора соотношений, играющих роль (26), (27). В связи с условиями гладкости из (14){
(21) в каждом из 24-х указанных случаев появятся соответствующие требования гладкости на
50
, , . Не вдаваясь в детали, отметим: для реализации всех комбинаций достаточно считать,
что каждая из , , принадлежит по своим аргументам классу C ; .
(2 2)
3.
Наконец, остановимся еще на четырехмерном уравнении ([8], с. 46; [10], [11])
uxyzt + auxyz + buxyt + cuxzt + duyzt + euxy + fuxz + guxt +
+ huyz + kuyt + suzt + mux + nuy + puz + qut + ru = G;
a 2 C ;;; ,b 2 C ;;; ,c 2 C ;;; ,d 2 C ;;; ,e 2 C ;;; ,f 2 C ;;; ,g 2 C
h2C ;;; ,k 2C ;;; ,s2C ;;; ,m2C ;;; ,n2C ;;; ,p2C ;;; ,q 2C
r; G 2 C ; ; ; . Роль h ; : : : , h здесь играют
(1 1 1 0)
(1 1 0 1)
(1 0 1 1)
(0 1 1 0)
(0 1 0 1)
(0 0 1 1)
(0 0 0 0)
1
1
4
7
10
13
16
19
22
25
(0 1 1 1)
(1 0 1 0)
(1;0;0;1)
(0 0 1 0)
(0;0;0;1)
(0 1 0 0)
,
,
9
az + ab ; e;
= ct + ac ; f;
= by + bc ; g;
= dz + bd ; k;
= ex + de ; n;
= ey + ce ; m;
= fx + df ; p;
= gx + dg ; q;
= ny + cn ; r;
=
2
5
8
11
14
17
20
23
26
28
Если обозначить
(1 1 0 0)
(1 0 0 0)
(28)
w
w
w
w
1
2
3
4
b ab ; e;
= ax + ad ; h;
= cz + bc ; g;
= cx + cd ; s;
= hz + bh ; n;
= gt + ag ; m;
= hy + ch ; p;
= ky + ck ; q;
= mx + dm ; r;
= qt + aq ; r:
ay + ac ; f;
= dt + ad ; h;
= bx + bd ; k;
= dy + cd ; s;
= kt + ak ; n;
= fz + bf ; m;
= st + as ; p;
= sz + bs ; q;
= pz + bp ; r;
= t+
=
3
6
9
12
15
18
21
24
27
uyzt + auyz + buyt + cuzt + gut + euy + fuz + mu;
= uxzt + auxz + buxt + duzt + kut + eux + huz + nu;
= uxyt + auxy + cuxt + duyt + fux + huy + sut + pu;
= uxyz + buxy + cuxz + duyz + gux + kuy + suz + qu;
=
(29)
то уравнение (28) можно представить в формах
w x + dw
w y + cw
w z + bw
w t + aw
1
1
2
2
3
3
4
4
uyz + uyt + uzt + = uxz + uxt + uzt + = uxy + uxt + uyt + = uxy + uxz + uyz + =
uy + ux + uy + uy + uz + uz + ux + ux + ut + ut + ut + uz + 26
u + G;
u + G;
u + G;
u + G:
5
9
11
13
19
22
3
7
12
16
20
23
25
1
8
10
14
18
24
27
2
4
6
15
17
21
28
(30)
Подобно (24), формулы (30) можно подтвердить непосредственным вычислением. Очевидно, (29)
при известных
w
k суть уравнения вида (22). Поэтому из (30) непосредственно следует, что если
выполнена хотя бы одна из четырех групп тождеств
5
9
11
3
7
12
1
8
10
2
4
6
13
16
14
15
19
20
18
17
22
23
24
21
26
25
27
28
0;
0;
0;
0;
(31)
то уравнение (28) редуцируется к виду (22).
Комбинируя каждый из 24-х наборов формул, упомянутых в п. 2, с каждой группой тождеств (31), можем получить 96 вариантов условий разрешимости уравнения (28) в квадратурах. Произвольные функции
, , здесь будут зависеть от трех аргументов. Для реализации
51
всех комбинаций достаточно потребовать, чтобы каждая из этих функций по своим аргументам
принадлежала классу (2;2;2) .
C
Запишем для примера вариант, связанный с соотношениями типа (26), (27) и последней
b, c, g имеют вид
b = (x; z; t); c = (x; y; t) (x; z; t);
g = (x; z; t)(x; y; t) (x; z; t) ; (x; y; t)z (x; z; t):
Если при этом (x; y; t)z (x; z; t) 6= 0, а
e = t + a; f = ( )t + a; h = dt + ad;
k = x + d; m = ( )t ; (z )t + a( ; z );
n = xt + (d)t + a(x + d); s = ( )x + d;
p = ( )xt + (d )t + a[( )x + d ]; q = ( ; z )x + d( ; z );
r = [( )t ; (z )t + a( ; z )]x + d[( )t ; (z )t + a( ; z )];
строкой в (31). Пусть
то уравнение (28) разрешимо в квадратурах.
Литература
1. Бондаренко Б.А. Базисные системы полиномиальных и квазиполиномиальных решений
уравнений в частных производных.
{ Ташкент: Фан, 1987. { 146 с.
2. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. { М.: Ин. лит., 1957. { 443 с.
3. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. { М.: Наука, 1982. { 336 с.
4. Фаге М.К. Задача Коши для уравнения Бианки // Матем. сб. { 1958. { Т. 451. { Є 3. { С. 281{
322.
5. Жегалов В.И. Трехмерный аналог задачи Гурса // Неклассич. уравнения и уравнения смешанного типа. { Новосибирск: Ин-т матем. СО АН СССР, 1990. { С. 94{98.
6. Жегалов В.И. О трехмерной функции Римана // Сиб. матем. журн. { 1997. { Т. 38. { Є 5. {
С. 1074{1079.
7. Севастьянов В.А. Метод Римана для трехмерного гиперболического уравнения третьего
порядка
// Изв. вузов. Математика. { 1997. { Є 5. { С. 69{73.
8. Жегалов В.И., Миронов А.Н. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными.
{ Казанск. матем. о-во, 2001. { 226 c.
9. Жегалов В.И., Баринова Н.В. Каскадное интегрирование в трехмерном пространстве //
Тр. Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. { Казань, 2001. { T. 11. { C. 90{92.
10. Жегалов В.И., Севастьянов В.А. Задача Гурса в четырехмерном пространстве // Дифференц. уравнения. { 1996. { Т. 32. { Є 10. { С. 1429{1430.
11. Миронов А.Н. О построении функции Римана для одного уравнения четвертого порядка //
Дифференц. уравнения. { 2001. { Т. 37. { Є 12. { С. 1698{1701.
Казанский государственный
Поступила
университет
25.06.2002
52
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
138 Кб
Теги
квадратуру, уравнения, разрешимости, случаях, гиперболическое
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа