close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О соотношении коммутативности в полугруппах инъекций.

код для вставкиСкачать
2006
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 11 (534)
УДК 512.534:510.227
В.А. КОЛМЫКОВ
О СООТНОШЕНИИ КОММУТАТИВНОСТИ
В ПОЛУГРУППАХ ИНЪЕКЦИЙ
Введение. Со всяким множеством M связана полугруппа I (M ), состоящая из всевозможных частичных инъективных преобразований множества M . Она называется симметрической
инверсной полугруппой. В ней имеется важная подполугруппа I (M ), состоящая из всевозможных инъекций M ! M .
Полугруппа I (M ) в теории инверсных полугрупп играет роль, аналогичную роли симметрической группы S (M ) в теории групп, т. е. является универсальной представляющей (теорема
Вагнера | аналог теоремы Кэли).
Несмотря на достаточное исследование инверсных полугрупп (см. [1]{[3]; [4], гл. 4; [5] и [6]),
некоторые свойства полугруппы I (M ) и ее подполугрупп еще не выявлены. Например, автором
обнаружено, что в случае несчетности множества M полугруппы I (M ) и I (M ) обладают свойством, которое коротко можно охарактеризовать как сбалансированность коммутативности.
1. Формулировка результата. Частичным преобразованием множества M называется
всякое отображение f : L ! M , где L | подмножество в M , называемое областью определения D(f ) частичного преобразования f .
Если A M , то через eA обозначается частичное преобразование множества M , определенное следующим образом: D(eA ) = A и eA (x) = x для любого x 2 A. Частичное преобразование
eM nA обозначается через 0A.
Частичное преобразование f множества M называется частичным инъективным преобразованием множества M , если соответствующее отображение D(f ) ! M инъективно.
Частичные инъективные преобразования множества M образуют (относительно операции
суперпозиции) полугруппу I (M ). Элемент eM (соответственно 0M ) этой полугруппы является
единичным (соответственно нулевым) элементом.
Полугруппу назовем сбалансированной, если для любого ее неединичного и ненулевого элемента a множество элементов, коммутирующих с a, равномощно множеству элементов, не коммутирующих с a.
Теорема. Пусть множество M бесконечно. Полугруппы I (M ) и I (M ) не сбалансированы
тогда и только тогда, когда множество M счетно.
2. Доказательство теоремы. Так как множество M бесконечно, то jI (M )j = jI (M )j =
jM jjM j = 2jM j. Если F | полугруппа и f 2 F , то через CF (f ) обозначается централизатор
элемента f в полугруппе F .
Полугруппы I (Z) и I (Z) континуальны. Предъявим элемент со счетным централизатором.
Пусть : Z ! Z таково, что (n) n +1. Опишем централизатор элемента в более широкой
полугруппе PT (Z) всех частичных преобразований множества Z. Покажем, что CPT (Z) () =
fk gk2Z [ f0Z g. Пусть f 2 CPT (Z)(). Если n0 2 D(f ), то 1(f (n0)) = f (1(n0)) = f (n0 1),
поэтому n0 1 2 D(f ), т. е. D(f ) = Z. Далее имеем f (n) = f (n (0)) = n (f (0)) = f (0) (n).
Обратное следует из лемм 4 и 5 ниже, для обоснования которых введем некоторые понятия
и докажем три леммы.
26
Областью значений частичного преобразования f множества M называется множество
E (f ) = f (D(f )). Положим DE (f ) = D(f ) [ E (f ), f (x) = x для любого x 2 d(f ).
На множестве DE (f ) введем отношение эквивалентности следующим образом: x x тогда
и только тогда, когда существуют неотрицательные целые числа k и k такие, что f k1 (x ) =
f k2 (x ). Это отношение эквивалентности, для которого x f (x) для любого x 2 DE (f ).
Если f 2 I (M ), то описание введенного отношения эквивалентности можно переформулировать иначе: x x тогда и только тогда, когда существует неотрицательное целое число k
такое, что f k (x ) = x или x = f k (x ).
Если f 2 I (M ) и n 2 N, то выражение (f n ); (x) либо не определено, либо определено од0
1
1
2
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1
нозначно (т. е. является некоторым однозначно определенным элементом). В последнем случае
этот элемент обозначается f ;n(x). Кроме того, для любого x 2 D(f ) имеем f 0(x) = x. Таким
образом, если f 2 I (M ), x 2 M и n 2 Z, то выражение f n(x) либо не определено, либо определено однозначно.
Теперь еще более упростим описание введенного отношения эквивалентности в случае, если
f 2 I (M ). Имеем x0 x тогда и только тогда, когда x0 = f k (x) для некоторого k 2 Z.
Множество всех классов эквивалентности рассматриваемого отношения обозначим через
U (f ).
Лемма 1. Если f 2 I (M ) и множество DE (f ) несчетно, то jU (f )j = jDE (f )j.
Доказательство. Так как f 2 I (M ), то каждый класс эквивалентности не более чем
счетен. Поэтому jDE (f )j @0 jU (f )j. Отсюда следует jU (f )j > @0 (в противном случае было бы
jDE (f )j @0jU (f )j @0 | противоречие). Поэтому jU (f )j jDE (f )j @0jU (f )j = jU (f )j.
Если W U (f ), то положим W = A2[W A.
Лемма 2.
Если f 2 I (M ), то jCI (M ) (f )j 2jU (f )j .
Доказательство. Пусть X U (f ). Легко проверить, что eX 2 CI M (f ). Кроме того, если
Y U (f ) и Y 6= X , то eY 6= eX . Поэтому jCI M (f )j 2jU f j.
jU f j .
Лемма 3. Если f 2 I (M ) и множество U (f ) бесконечно, то jCI M (f )j 2
Доказательство. Через U обозначим множество одноэлементных классов эквивалентности и положим U = U (f ) n U . Пусть jU j = jU (f )j. Для всякой биекции : U ! U
определим отображение f : M ! M следующим образом:
(
x2U ;
f(x) = f ((xx));; если
если x 2= U :
Очевидно, f | инъекция. Легко проверяется, что f коммутирует с f . Кроме того, если
:U ! U и =
6 , то f =
6 f. Значит, мощность централизатора CI M (f ) не меньше
мощности множества всевозможных биекций U ! U . Поэтому jCI M (f )j 2jU 1 j = 2jU f j .
Пусть jU j = jU (f )j. Для всякого подмножества X U определим отображение fX : M ! M
следующим образом:
(
x 2 X;
fX (x) = fx;(x); если
если x 2= X:
(
(
( )
)
(
)
( )
)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
(
1
1
(
)
( )
)
Очевидно, fX | инъекция. Легко проверяется, что fX коммутирует с f . Кроме того, если
Y U и Y 6= X , то fY 6= fX . Поэтому jCI M (f )j 2jUj = 2jU f j.
Лемма 4. Если множество M несчетно, f 2 I (M ), g 2 I (M ), то jCI M (f )j = jCI M (g )j =
(
( )
)
(
2jM j .
27
)
(
)
Доказательство. Пусть jDE (f )j = jM j. Тогда утверждение следует из лемм 1 и 2. Пусть
jDE (f )j < jM j. Тогда jM n DE (f )j = jM j. Если X M n DE (f ), то eX 2 CI M (f ). Поэтому
jCI M (f )j 2jM j.
Утверждение о централизаторе CI M (g) следует из лемм 1 и 3.
jM j .
Лемма 5. Если множество M бесконечно и f 2 I (M )nfeM ; 0M g, то jI (M )nCI M (f )j = 2
Доказательство. Пусть f = eA для некоторого одноэлементного множества A = fag и
b=
6 a. Если g 2 I (M ) и g(a) = b, то g 2= CI M (f ). Поэтому jI (M ) n CI M (f )j 2jM j. Пусть f =6 eA
для любого одноэлементного множества A. Тогда в множестве M существуют b и c такие, что
b 2 D(f ), f (b) =
6 b, c =
6 b, c =
6 f (b) и c =
6 f (b) (если f (b) не определено, то утверждение c =
6 f (b)
является верным, т. к. выражение c определено). Пусть g 2 I (M ), fb; f (b)g D(g), g(b) = f (b) и
g(f (b)) = c. Тогда g 2= CI M (f ). Поэтому jI (M ) n CI M (f )j 2jM j.
Замечание 1. В [7] рассматривалась полугруппа T (M ) всех преобразований множества M .
На несчетное множество M было наложено дополнительное ограничение, связанное с его мощностью. При этом условии было доказано, что для любой инъекции g : M ! M централизатор
CT M (g) имеет мощность 2jM j . Таким образом, утверждение о сбалансированности полугруппы
I (M ) является существенным усилением теоремы 2 из [7].
(
(
)
)
(
)
(
(
)
(
2
(
(
2
)
(
)
)
2
)
)
Замечание 2. В связи с леммой 5 возникает естественный вопрос: верно ли, что в случае
несчетного множества M любая полугруппа S такая, что I (M ) S I (M ), является сбалансированной?
Автор благодарит рецензента за ценные советы и предложения.
Литература
1.
2.
3.
4.
5.
Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. Т. 1. { М.: Мир, 1972. { 288 с.
Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. Т. 2. { М.: Мир, 1972. { 424 с.
Petrich M. Inverse semigroups. { New York: John Wiley & Sons, 1984. { 674 p.
Jurgensen H., Migliorini F., Szep J. Semigroups. { Budapest: Akademiai Kiado, 1991. { 121 p.
Ганюшкин А.Г., Кормышева Т.В. О нильпотентных подполугруппах конечной симметрической инверсной полугруппы // Матем. заметки. { 1994. { Т. 56. { Є 3. { С. 29{35.
6. Немировская Н.А. Теорема Фрухта для инверсных полугрупп // Матем. заметки. { 1997. {
Т. 61. { Є 2. { С. 246{251.
7. Колмыков В.А. О соотношении коммутативности в симметрической полугруппе // Сиб.
матем. журн. { 2004. { Т. 45. { Є 5. { С. 1130{1135.
Воронежский государственный
университет
Поступили
первый вариант 20:09:2004
окончательный вариант 14:06:2005
28
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
126 Кб
Теги
инъекций, соотношения, коммутативной, полугруппы
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа