close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О спектральной задаче и положительных решениях функционально-дифференциального уравнения.

код для вставкиСкачать
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 18, вып. 5, 2013
Kunakovskaya O.V. EXISTENCE THEOREMS IN THE PROBLEM OF GENERALIZED EIGENVECTOR OF A PAIR OF NONLINEAR OPERATORS
The construction of topological indices of a pair (F1 , F2 ) of nonlinear operators in a Banach space is
proposed. Properties of the indices are described. Variants of existence theorems for the problem F2 (x) =
= λF1 (x) of generalized eigenvectors of pair of operators are given.
Key words: nonlinear operators; topological indices.
УДК 517.929
ON SPECTRAL PROBLEM AND POSITIVE SOLUTIONS
OF A FUNCTIONAL DIFFERENTIAL EQUATION
c
⃝
S.M. Labovskiy
Key words: spectral problem; functional differential equation; quadratic functional.
For the singular functional differential operator
∫
∫
′ ′
−(pu ) + p1 u − (u(s) − u(x))ds r(x, s) − u(s)ds q(x, s)
I
I
spectral properties, positive definiteness of corresponding quadratic functional and
positiveness of a Green function are considered.
Consider the forms
∫
[u, v] = ku(l)v(l) +
(pu′ v ′ + p1 uv) dx +
I
1
2
∫
(u(s) − u(x))(v(s) − v(x)) dξ,
I×I
∫
and
⟨u, v⟩ = [u, v] −
u(s)v(x) dψ,
I×I
x ∈ I = (0, l] , functional differential equation
∫
∫
′ ′
ρLu = −(pu ) + p1 u − (u(s) − u(x))ds r(x, s) − u(s)ds q(x, s) = ρf,
I
(1)
I
and the Sturm-Liouville boundary conditions
pu′ v x=0 = 0 (∀v ∈ W ),
ku(l) + pu′ x=l = 0
(2)
( W is a set, see below). It is assumed that k > 0 , the function p is a positive almost everywhere
on [0, l] , and 1/p is locally on (0, l] integrable, p1 is nonnegative and locally on (0, l] integrable,
and
∫l
∫s
ds
ρ(x) dx < ∞.
p(s)
0
0
2567
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 18, вып. 5, 2013
The functions ξ(x, y) =
∫l
r(s, y)ds are assumed to be symmetrical, ξ(x, y) = ξ(y, x) , ψ(x, y) =
x
= ψ(y, x) . The function r(x, y) is locally on (0, l] integrable for any y ∈ (0, l] , and for almost all
x does not decrease in y . Assume that r(x, l) − r(x, 0) is finite for almost all x . The function
q(x, y) is measurable in x for any y ∈ (0, l] , for almost all x has bounded variation in y , and
this variation is locally on (0, l] integrable.
Let L2 (I, ρ) be the space of square integrable on I with weight ρ functions.
D e f i n i t i o n. W is the space of all locally on (0, l] absolutely continuous functions
u , satisfying [u, u] < ∞ ; if k = 0 , the function u is assumed to satisfy the boundary condition
u(l) = 0 .
W is Hilbert space with the inner product [u, v] .
Suppose
∫l
∫l
q(x, s)2
dx
ds < ∞
ρ(x)
p(s)
0
0
and
∫l
q(x, l)2
dx < ∞.
ρ(x)
0
T h e o r e m 1. The problem (1), (2) is Fredholm one.
T h e o r e m 2. The spectral problem Lu = λu with conditions (2) has a complete in W
system of orthogonal eigenfunctions, associated with eigenvalues λ0 < λ1 6 . . .
Suppose that ψ is positive measure ( q(x, s) is non-decreasing in s ). Then
T h e o r e m 3. The following assertions are equivalent:
1. the quadratic functional ⟨u, u⟩ is positive definite,
2. the problem (1) is uniquely resolvable, and its Green function is positive in the square
(0, l) × (0, l) ,
3. the inequality Lv = ψ > 0 , ψ ̸≡ 0 , has positive in (0, l) solution,
4. the smallest eigenvalue of the problem Lu = λu is positive.
In the case of boundary condition u(l) = 0 we have one more variant:
5. the problem
′ ′
∫
∫
−(pu ) + p1 u −
(u(s) − u(x))ds r(x, s) −
u(s)ds q(x, s) = 0,
(0,ν]
(0,ν]
pu′ v x=0 = 0 (∀v ∈ Wν ),
u(ν) = 0
for any ν ∈ (0, l] does not have nonzero solutions.
R e m a r k. The equivalence of the first, forth and fifth assertions is valid without condition
of positivity of ψ .
Лабовский С.М. О СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ И ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЕШЕНИЯХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
2568
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 18, вып. 5, 2013
Для функционально-дифференциального оператора
∫
∫
−(pu′ )′ + p1 u − (u(s) − u(x))ds r(x, s) − u(s)ds q(x, s)
I
I
рассмотрены вопросы спектральных свойств, положительной определенности соответствующего
квадратичного функционала, положительности функции Грина.
Ключевые слова: спектральная задача; функционально-дифференциальное уравнение; квадратичный функционал.
УДК 517.929, 517.93.935
ОБ ОДНОЙ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ МОДЕЛИ
С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ
c
⃝
А.С. Ларионов, И.А. Никишина
Ключевые слова: функционально-дифференциальное уравнение; краевая задача; разрешимость; математическая модель.
Рассматриваются
краевые
задачи
для
нелинейного
функциональнодифференциального уравнения первого порядка. Получены достаточные условия
разрешимости этих задач. Результаты применяются для исследования задач экономической динамики.
Пусть D = D[a, b] — банахово пространство абсолютно непрерывных функций
x : [a, b] → R; Lp = Lp [a, b] — банахово пространство суммируемых со степенью p, 1 6 p < ∞
функций z : [a, b] → R; L∞ = L∞ [a, b] — банахово пространство измеримых и ограниченных в существенном функций z : [a, b] → R. Предполагается, что во всех пространствах
естественным образом введена полуупорядоченность.
Рассмотрим функционально-дифференциальное уравнение
(
)
(Lx)(t) ≡ ẋ(t) + a(t)xh (t) = f t, xg (t) , t ∈ [a, b],
(1)
где
{
y[r(t)], если r(t) ∈ [a, b],
yr (t) =
0 , если r(t) ̸∈ [a, b]
в следующих предположениях: a ∈ Lp ; h, g — измеримые функции, h(t) 6 t, g(t) 6 t при
почти всех t ∈ [a, b]; функция f удовлетворяет условиям Каратеодори и, кроме того, для
любого γ > 0 существует функция bγ ∈ Lp такая, что
sup |f (t, u)| 6 bγ (t).
|u|6γ
Пусть [v̄, z̄] — некоторый конусный отрезок в пространстве L∞ .
Будем
(см., например, [1]), что функция f удовлетворяет условию
( 2 говорить
)
(
)
1
L [v̄, z̄] L [v̄, z̄] , где v̄(t) = vg (t), z̄(t) = zg (t), если существует такая функция r1 (t) r2 (t) ,
2569
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
188 Кб
Теги
функциональная, уравнения, дифференциальной, спектральная, положительная, задачи, решения
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа