close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О спектрах дискретных симплектических краевых задач с разделенными граничными условиями.

код для вставкиСкачать
Известия вузов. Математика
2011, № 11, c. 84–88
http://www.ksu.ru/journals/izv_vuz/
Гос. номер статьи по НТЦ "Информрегистр" 0421100123 \0121
Ю.В. ЕЛИСЕЕВА
О СПЕКТРАХ ДИСКРЕТНЫХ СИМПЛЕКТИЧЕСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
С РАЗДЕЛЕННЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ
Аннотация. Доказываются формулы для числа собственных значений на заданном интервале
изменения спектрального параметра для дискретной симплектической краевой задачи с разделенными граничными условиями, а также сравниваются спектры двух симплектических
краевых задач с различными разделенными граничными условиями.
Ключевые слова: дискретные симплектические краевые задачи, относительная осцилляционная теория, сравнительный индекс.
УДК: 517.929 : 517.925
Abstract. In this paper we consider a discrete symplectic eigenvalue problem with separated
boundary conditions and obtain formulas for the number of eigenvalues on a given interval of
the variation of the spectral parameter. In addition, we compare the spectra of two symplectic
eigenvalue problems with different separated boundary conditions.
Keywords: discrete symplectic eigenvalue problems, relative oscillation theory, comparative index.
1. Введение. Рассматривается проблема собственных значений для дискретной симплектической системы
yi+1 (λ) = Wi (λ)yi , i = 0, . . . , N, yi (λ) = [xi (λ)ui (λ)] ∈ R2n
(1)
с разделенными граничными условиями
∗
R0∗ x0 (λ) − R0 u0 (λ) = 0, RN
+1 xN +1 (λ) + RN +1 uN +1 (λ) = 0,
(2)
∗
∗
∗
∗
где R0∗ R0 = R0 R0∗ , RN
+1 RN +1 = RN +1 RN +1 , rang[R0 − R0 ] = rang[RN +1 RN +1 ] = n. В
частности, при R1 = I, R2 = 0 данные условия являются граничными условиями Дирихле
(3)
x0 (λ) = xN +1 (λ) = 0.
Матрица системы (1) удовлетворяет условиям
I
0
0 I
S , Si JSi = J, J =
,
Wi (λ) =
−λWi I i
−I 0
Wi = Wi ,
Wi ≥ 0,
(4)
где I, 0 — тождественная и нулевая матрицы размерности n×n, и является симплектической
для всех i = 0, . . . , N , λ ∈ R. Частным случаем систем (1), (4) являются гамильтоновы
системы разностных уравнений, являющиеся дискретным аналогом канонической системы
Поступила 24.05.2011
84
О СПЕКТРАХ ДИСКРЕТНЫХ СИМПЛЕКТИЧЕСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
дифференциальных уравнений:
λW(t) − C(t) A(t)
Y (t),
J Y (t) =
A(t)
B(t)
W(t) = W(t) ,
W(t) ≥ 0,
85
(5)
где B(t) = B(t) , C(t) = C(t) . Отметим, что спектральная теория для системы (5) с общими самосопряженными граничными условиями достаточно глубоко изучена в работах ([1],
гл. VI, [2], [3]). Соответствующая теория для дискретных симплектических краевых задач
активно развивается в последние годы (см. [4]–[6]), при этом основным инструментом исследования является дискретная осцилляционная теория для (1) (см. [7], [8]). Как частный
случай данная теория включает классическую осцилляционную теорию для разностных
скалярных и векторных уравнений Штурма–Лиувилля. Так, для дискретной краевой задачи Штурма–Лиувилля
(1)
(0)
−∆(ri ∆xi ) + ri xi+1 = λxi+1 , x0 = xN +1 = 0
(6)
осцилляционная теорема Штурма устанавливает равенство между числом собственных значений указанной краевой задачи, не превосходящих λ и числом обобщенных нулей на
(0, N + 1] векторного решения симплектической системы yi+1 =
1
(0)
ri −λ
(1)
1/ri
(0)
(1)
1+(ri −λ)/ri
yi ,
y0 = [0 1] , вычисленного для данного λ. Одним из последних достижений в дискретной
спектральной теории является доказательство в 2007 г. обобщения осцилляционной теоремы
Штурма для систем (1) (см. [5], теорема 2).
В данной работе развиваем подход, предложенный в серии публикаций Д. Тешла [9]–[11],
посвященных относительной осцилляционной теории для дифференциальных и разностных задач Штурма–Лиувилля второго порядка. В дискретной относительной осцилляционной теории, предложенной в [11], для двух решений x(λ), x
(λ) уравнения (6) вводится
вронскиан
(1)
(1)
) = −ri (xi x
i+1 − xi+1 x
i ) = −ri (xi ∆
xi − x
i ∆xi ).
wi (x, x
) = wi имеет обобщенный нуль на [i, i + 1), если
Согласно определению вронскиан wi (x, x
(L)
(R)
wi wi+1 < 0 или wi = 0, wi+1 = 0. Тогда (см. [11], теорема 4.3) для решений xi (λ), xi (λ),
(L)
(R)
определяемых начальными условиями x0 (a) = xN +1 (b) = 0, выполнено
#{λ ∈ σ | a < λ < b} = #(x(L) (a), x(R) (b)),
(7)
) на (0, N +1) и #{λ ∈ σ | a < λ < b}
где #(x, x
) обозначает число обобщенных нулей wi (x, x
— число собственных значений задачи (6) между a и b. В [12], [13] мы обобщаем (7) и некоторые другие результаты из [11], [9] для краевых задач (1) с граничными условиями Дирихле
(3). В данной работе, опираясь на доказанную в [6] эквивалентность краевой задачи (1),
(4), (2) некоторой “расширенной” краевой задаче с граничными условиями Дирихле (3),
представляем аналог (7) для задачи с разделенными граничными условиями (2). Также
анонсируем новые результаты о сравнении спектров двух задач: задачи (1), (2) и задачи (1)
c другими разделенными граничными условиями
0 u0 (λ) = 0, R
∗ xN +1 (λ) + R
N +1 uN +1 (λ) = 0,
∗ x0 (λ) − R
R
0
N +1
(8)
0 R
∗ R
N +1 R
∗ − R
0 ] = rang[R
∗
= R
∗ , R
= R
∗ , rang[R
N +1 ] = n.
∗ R
R
R
0 0
0
0
N +1 N +1
N +1
N +1
2. Основные результаты. Сформулируем их в терминах сравнительного индекса для
пары матриц Y , Y размерности 2n × n, удовлетворяющих условиям
(9)
rang Y = rang Y = n, Y JY = Y J Y = 0.
86
Ю.В. ЕЛИСЕЕВА
Общая теория сравнительного индекса, представленная в [14], [12], позволяет с единой точки зрения рассматривать проблемы сравнения матричных решений (1), удовлетворяющих
(9), называемых сопряженными базисами [7], и формулировать основные концепции дискретной осцилляционной теории, в частности, определение числа фокальных точек [8] на
интервале (i, i + 1], а также сравнивать матрицы коэффициентов различных симплектических систем [12]. Наиболее краткое определение сравнительного индекса µ(Y, Y ) для матриц
с условиями (9) может быть сформулировано следующим образом:
X
X
0
(I − XX † )X
, Y =
, Y = ,
µ(Y, Y ) = ind †
U
U
X (I − XX ) X (Q − Q)X
= Q
соответственно удовлетворяют матричным уравнениям X QX =
где Q = Q , Q
Q
X
=X
U
, ind A — число отрицательных собственных значений симметрической
X U , X
†
матрицы A, A — псевдообратная для A ([15], c. 32). Согласно определению [14] двойственный сравнительный индекс µ∗ (Y, Y ) определяется соотношением µ∗ (Y, Y ) = µ(DY, DY ), где
D = diag (I, −I).
Если Yi — сопряженный базис системы (1), то число m(Yi ) фокальных точек Yi на (i, i+1]
(см. [8], определение 1) представляется формулой m(Yi ) = µ(Yi+1 , Wi (λ)[0 I] ) (см. [14],
лемма 3.1).
В терминах введенных концепций сформулируем основные результаты. Пусть σ — множество всех конечных собственных значений (см. [6], определение 1) задачи (1), (2), (4) и
пусть #{λ ∈ σ|a < λ ≤ b} — число собственных значений на полуинтервале (a, b]. Рассмотрим две симплектические матрицы, удовлетворяющие условиям
∗
Z (L) [0 I] = [R0 R0∗ ] , Z (R) [0 I] = [−RN +1 RN
+1 ] .
(R)
(10)
(L)
Теорема 1. Пусть Zi (λ), Zi (λ) — симплектические фундаментальные матрицы ре(R)
(L)
шений (1) и ZN +1 (b) = Z (R) , Z0 (a) = Z (L) , a, b ∈ R, , a < b. Тогда
#{λ ∈ σ|a < λ ≤ b} =
N
µ(Gi [0 I] , Gi+1 [0 I] ), Gi = Zi
(R)
−1
(b)
(L)
Zi (a).
i=0
Доказательство данной теоремы использует ([6], предложение 1), согласно которому
задача (1), (2) равносильна “расширенной” граничной задаче на отрезке [−1, N + 2]:
W−1
yi+1 = Wi (λ)yi , i = −1, 0, . . . , N + 1, x−1 = xN +2 = 0,
∗
∗
Q RN
Q RN +1
R0 K0 R0
+1
=
, WN +1 =
,
∗
−R0 K0 R0∗ T
−KN +1 Q RN +1 KN +1 Q RN
+1
(11)
где матрицы K0 , KN +1 , Q определены в работе [6].
Рассмотрим теперь систему (1) с другими разделенными граничными условиями (8).
Пусть σ
— множество всех конечных собственных значений задачи (1), (4), (8). Предположим, что собственные значения задач (1), (2) и (1), (8) упорядочены по неубыванию
= ∅).
с учетом кратностей, и положим λ1 = +∞, если σ = ∅ (аналогично для случая σ
Введем пару симплектических матриц, определенных аналогично (10):
∗
0 R
(R) [0 I] = [−R
N +1 R
0∗ ] , Z
N
(L) [0 I] = [R
Z
+1 ] .
(λ) систеТеорема 2. Пусть симплектические фундаментальные матрицы Zi (λ), Z
i
(R)
(L)
(R)
(L)
мы (1) удовлетворяют условиям ZN +1 (b) = Z , Z0 (a) = Z . Тогда при a < b, a, b ∈ R
(L)
(R)
О СПЕКТРАХ ДИСКРЕТНЫХ СИМПЛЕКТИЧЕСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
87
справедливо равенство
#{λ ∈ σ
| a < λ ≤ b} − #{λ ∈ σ | a < λ ≤ b} =
= µ∗ (Z(L) −1 Z0 (λ)[0 I] , Z(L) −1 Z (L) [0 I] )|ba +µ(Z(R) −1 ZN +1 (λ)[0 I] , Z(R) −1 Z (R) [0 I] )|ba ,
(R)
(L)
где f (λ)|ba = f (b) − f (a). Если λ0 удовлетворяет условию
1 ), λ1 = min σ, λ
1 = min σ
,
λ0 < min(λ1 , λ
то справедливо тождество
µ∗ (Z(L) −1 Z0 (λ0 )[0 I] , Z(L) −1 Z (L) [0 I] ) + µ(Z(R) −1 ZN +1 (λ0 )[0 I] , Z(R) −1 Z (R) [0 I] ) =
(R)
(L)
0 R
N +1 R
∗ ] , [R0 R∗ ] ) + µ∗ ([−R
∗ ] , [−RN +1 R∗ ] ),
= p − p + µ([R
0
0
N +1
N +1
где постоянная p =
N
+1
m(Yi (λ0 )) определена как число фокальных точек на (−1, N + 2]
i=−1
сопряженного базиса расширенной системы (11) с начальным условием Y−1 (λ0 ) = [0 I] , а
p определена аналогично для расширенной системы, соответствующей условиям (8).
Перечислим простейшие следствия из теоремы 2. Напомним, что любая из рассматриваемых краевых задач имеет лишь конечное число собственных значений [5], при этом не
исключена возможность σ = ∅, или σ
= ∅.
Следствие 1. Определим число 0 ≤ k ≤ 2n условием k = rang wL + rang wR , wL =
i+k ∈ σ
N +1 R
∗ ]J[R0 R∗ ] , wR = [−R
∗ ]J[−RN +1 R∗ ] . Тогда если существует λ
0 R
,
[R
0
0
N +1
N +1
i ≥ 1, то существует λi ∈ σ, при этом λi ≤ λi+k . Аналогично, если существует λi+k ∈ σ, i ≥ 1,
i ≤ λi+k .
i ∈ σ
, при этом λ
то существует λ
Следствие 2. В обозначениях теоремы 2 при выполнении условий
∗
∗
N +1 R
0∗ ] , [R0 R0∗ ] ) = µ∗ ([−R
N
0 R
p = 0, µ([R
+1 ] , [−RN +1 RN +1 ] ) = 0
i ∈ σ
i ≤ λi .
, i ≥ 1, при этом λ
следует, что если существует λi ∈ σ, i ≥ 1, то существует и λ
3. Заключение. 1. Отметим, что результаты работы могут быть перенесены на случай общих самосопряженных граничных условий [4], так как согласно ([4], c. 1258) краевая
задача (1) c общими самосопряженными граничными условиями равносильна некоторой
задаче с разделенными граничными условиями для симплектической системы размерности
4n × 4n.
2. Теорема 2, анонсированная в данной работе, представляет формулы связи между числом собственных значений двух задач, различающихся только граничными условиями. Отметим, что доказанные в [12] теоремы сравнения, в частности, формулы связи между числом фокальных точек сопряженных базисов двух симплектических систем с различными
матрицами коэффициентов, дают возможность сформулировать подобные результаты для
симплектических граничных задач с различными матрицами коэффициентов и различными граничными условиями.
3. Хорошо известно (см. [16], с. 393), что метод бисекций для расчета собственных значений симметричной трехдиагональной матрицы основан на осцилляционной теореме Штурма для скалярного уравнения Штурма–Лиувилля. Обобщение результатов осцилляционной
теории на случай системы (1) дает возможность более общих приложений в численных алгоритмах расчета собственных значений дискретных краевых задач, основанных на методе
88
Ю.В. ЕЛИСЕЕВА
бисекции. С данной точки зрения результаты работы могут быть полезны как для практической реализации подобных алгоритмов, так и для их теоретического обоснования.
Литература
[1] Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Теория вольтерровых операторов в гильбертовом пространстве (Наука, М.,
1967).
[2] Аткинсон Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи (Мир, М., 1968).
[3] Kratz W. Quadratic functionals in variational analysis and control theory (Akademie Verlag, Berlin, 1995).
[4] Bohner M., Došlý O., Kratz W. An oscillation theorem for discrete eigenvalue problems, Rocky Mountain J.
Math. 33 (4), 1233–1260 (2003).
[5] Došlý O., Kratz W. Oscillation theorems for symplectic difference systems, J. Difference Equ. Appl. 13 (7),
585–605 (2007).
[6] Došlý O., Kratz W. Oscillation and spectral theory for symplectic difference systems with separated boundary
conditions, J. Difference Equ. Appl. 16 (7), 831–846 (2010).
[7] Bohner M., Došlý O. Disconjugacy and transformations for symplectic systems, Rocky Mountain J. Math.
27 (3), 707–743 (1997).
[8] Kratz W. Discrete oscillation, J. Difference Equ. Appl. 9 (1), 135–147 (2003).
[9] Ammann K., Teschl G. Relative oscillation theory for Jacobi matrices, In: Proc. 14th Intern. Conf. on
Difference Equations and Applications, M. Bohner (ed.) et al. (Uğur–Bahçeşehir University Publishing Co,
Istanbul, 2009), pp. 105–115.
[10] Krüger H., Teschl G. Relative oscillation theory, weighted zeros of the wronskian, and spectral shift function,
Commun. Math. Phys. 287 (2), 613–640 (2009).
[11] Teschl G. Oscillation theory and renormalized oscillation theory for Jacobi operators, J. Diff. Equ. 129 (2),
532–558 (1996).
[12] Елисеева Ю.В. Теоремы сравнения для симплектических систем разностных уравнений, Дифференц.
уравнения 46 (9), 1329–1342 (2010).
[13] Elyseeva J. On relative oscillation theory for symplectic eigenvalue problems, Appl. Math. Lett. 23 (10),
1231–1237 (2010).
[14] Елисеева Ю.В. Сравнительный индекс для решений симплектических систем разностных уравнений,
Дифференц. уравнения 45 (3), 431–444 (2009).
[15] Гантмахер Ф.Р. Теория матриц (Физматлит, М., 2004).
[16] Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления (Мир, М., 1999).
Ю.В. Елисеева
доцент, кафедра прикладной математики,
Московский государственный технологический университет “Станкин”,
Вадковский пер., д. 3а, г. Москва, 101472,
e-mail: elyseeva@mtu-net.ru
Yu.V. Eliseeva
Associate Professor, Chair of Applied Mathematics,
Moscow State University of Technology “Stankin”,
3a Vadkovskii Lane, Moscow, 101472 Russia,
e-mail: elyseeva@mtu-net.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
158 Кб
Теги
симплектических, дискретное, разделенными, граничных, спектрах, условиями, задачи, краевых
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа