close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О спектре задачи Дирихле для двух эллиптических систем.

код для вставкиСкачать
5
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2010. №17(88). Выпуск 20
УДК 517.95
О СПЕКТРЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ
ДЛЯ ДВУХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
О.В. Алексеева
Елецкий государственный университет им.И.А.Бунина,
ул. Коммунаров, 28, Елец, 399770, Россия, e-mail: o.v.alexeeva@gmail.com
Аннотация. Для замкнутых дифференциальных операторов, порождённых задачей Дирихле для эллиптических систем первого и второго типа, изучены спектры. В случае эллиптической
системы первого типа спектр располагается в левой полуплоскости (Re z 6 0), а в случае эллиптической системы второго типа – на вещественной прямой (Im z = 0) комплексной плоскости C.
Спектр является дискретным.
Ключевые слова: Спектр, замкнутый дифференциальный оператор, эллиптические системы, тензорные произведения гильбертовых пространств, базис
Работа посвящена описанию спектра дифференциальных операторов, порождённых
задачей Дирихле для двух эллиптических систем
∂ 2 u1 ∂ 2 u2
∂ 2 u2 ∂ 2 u1
1
1
−
=
λu
+
f
,
+
= λu2 + f 2 , λ ∈ C;
2
2
2
2
∂t
∂x
∂t
∂x
(1)
∂ 2 u1 ∂ 2 u2
∂ 2 u2 ∂ 2 u1
1
1
+
=
λu
+
f
,
+
= λu2 + f 2 , λ ∈ C;
(2)
∂t2
∂x2
∂t2
∂x2
рассматриваемых в области Ω = (0, π)2 евклидова пространства R2t,x . Системы (1) и (2)
для удобства будем называть эллиптическими системами первого и второго типа соответственно. Присоединив к уравнениям (1) и (2) условие Дирихле
−
u
∂Ω
=0
(3)
получим граничные задачи (1), (3) и (2), (3).
Отметим, что система (2) равносильна системе (1) в следующем смысле: после умножения первого уравнения системы (1) на −1 и формальной замены −f 1 на f 1 (в силу
произвольности правой части), получаем систему (2). Эти рассуждения наводят на мысль
о совпадении свойств разрешимости граничных задач для данных систем безотносительно к условиям, определяющим граничную задачу. Однако, исследования показывают, что
спектральные свойства рассматриваемых дифференциальных операторов различны; они в
некотором смысле аналогичны тем отличиям, которые проявились при сопоставлении слабой иррегулярности сильной в работе [1], а также при изучении гиперболических систем
в [7].
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2010. №17(88). Выпуск 20
6
Для систем Коши-Римана имеется ряд глубоких результатов, относящихся к описанию правильных граничных условий [2] в областях специального вида. Описанию регулярных граничных задач для более общих систем уравнений при числе переменных более
двух посвящены работы [3], [4]. Сильно и усиленно эллиптическим системам посвящены
работы [5], [6] соответственно. Однако спектральные свойства этих граничных задач и
граничных задач иного типа почти не изучены.
Обозначим через e1 = (1, 0)т , e2 = (0, 1)т ортонормированный базис евклидова пространства E2 вектор-столбцов, а через U – унитарное пространство элементов u = u1 e1 +
u2 e2 ; uk ∈ C; k = 1, 2; со скалярным произведением (u, v; U) = u1 v 1 + u2 v 2 . Пусть
2
Ht,x
= L22 (Ω) – гильбертово пространство комплекснозначных вектор-функций u : Ω → C2
2
с нормой |u; Ht,x
|, задаваемой формулой
2 2
|u; Ht,x
|
=
ZZ
|u(τ, ξ); U|2 dτ dξ .
Ω
Пусть также
D – линейное многообразие гладких комплекснозначных вектор-функций
u ∈ C Ω ∩ C(2) (Ω), удовлетворяющих условиям (3).
e оператор, областью
1. Эллиптическая система первого типа. Обозначая через L
определения которого является D, а множество значений определяется правой частью (1),
получаем эллиптический дифференциальный оператор; этот оператор не замкнут. При2
меняя в Ht,x
стандартную процедуру замыкания, получаем замкнутое расширение L опеe В этом случае говорят, что (замкнутый) оператор L : H2 → H2 порождён
ратора L.
t,x
t,x
задачей (1), (3). Изучим его спектр. Говоря о спектре замкнутого оператора, мы следуем
терминологии, принятой в монографии [8, с. 620]. Резольвентное множество, спектр, точечный спектр, непрерывный спектр и остаточный спектр оператора L обозначим через
ρL, σL, P σL, CσL и RσL соответственно.
Теорема 1. Спектр σL оператора L, порождённого задачей (1), (3), состоит из замыкания P σL на комплексной плоскости его точечного спектра P σL. Множество CσL =
σL\P σL образует непрерывный спектр оператора L. Точечный спектр оператора L даётся
формулой
λm,k,s = −k 2 + i(−1)m s2 ; m = 1, 2; k ∈ N; s ∈ N .
(4)
Собственная вектор-функция оператора L, принадлежащая его собственному значению
(4), представима в виде
√
2
um,k,s(t, x) =
ie1 + (−1)m+1 e2 sin(kt) sin(sx)
π
Последовательность {um,k,s (t, x) : m = 1, 2; k ∈ N; s ∈ N} собственных вектор-функции
2
оператора L образует ортонормированный базис в пространстве Ht,x
.
Достаточно заметить, что последовательность {um,k,s(t) : m = 1, 2; k ∈ N}, um,k,s(t) =
√1 (ie1 + (−1)m+1 e2 ) sin(kt), является полной и ортонормированной в H2 = Ht ⊕ Ht , Ht =
t
π
2
L2 [0, π], и воспользоваться, доказанным в [7], представлением Ht,x
в виде тензорного про2
изведения гильбертовых пространств Ht2 и Hx , то есть формулой Ht,x
= Ht2 ⊗ Hx , где
Hx = L2 [0, π]. 7
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2010. №17(88). Выпуск 20
e оператор, областью
2. Эллиптическая система второго типа. Обозначая через L
определения которого является D, а множество значений определяется правой частью (2),
получаем эллиптический дифференциальный оператор; этот оператор не замкнут. При2
меняя в Ht,x
стандартную процедуру замыкания, получаем замкнутое расширение L опе2
2
e
ратора L. В этом случае говорят, что (замкнутый) оператор L : Ht,x
→ Ht,x
порождён
задачей (2), (3). Изучим его спектральные свойства.
Теорема 2. Спектр σL оператора L, порождённого задачей (2), (3), состоит из замыкания P σL на комплексной плоскости его точечного спектра P σL. Множество CσL =
σL\P σL образует непрерывный спектр оператора L. Точечный спектр оператора L даётся
формулой
√
λm,k,s = (−1)m+1 k 4 + s4 ; m = 1, 2; k ∈ N; s ∈ N.
(5)
Собственная вектор-функция оператора L, принадлежащая его собственному значению
(5), представима в виде
um,k,s (t, x) = Cm,k,s (λm,k,s + (−1)m+1 k 2 )em − s2 e3−m sin(kt) sin(sx),
√
2
Cm,k,s = p
.
√
π k 4 + s4 + k 2 k 4 + s4
Последовательность
{um,k,s(t, x) : m = 1, 2; k ∈ N; s ∈ N}
(6)
собственных вектор-функции оператора L образует ортонормированный базис в простран2
стве Ht,x
.
Пусть S – некоторое счётное множество индексов s и последовательность {ϕs (x) : s ∈
S} является базисом в Hx . Нижеследующие леммы 1, 2 показывают, что последователь2
ность (6) является базисом в Ht,x
.
Лемма 1. Если для каждого s ∈ S множество {vk,s (t) : k ∈ Ks } вектор-функций vk,s :
2
[0; π] → C2 полно в Ht2 , то множество {vk,s (t)ϕs (x) : s ∈ S, k ∈ Ks } полно в Ht,x
.
2
2
Пусть f – произвольный элемент пространства Ht,x
. Известно [7], что Ht,x
= Ht ⊗Hx2 .
Поэтому для любого ε > 0 найдется такой конечный набор {ϕsm : m = 1, 2, . . . , N} , что
N
ε
X
sm
2 C = f −
fsm ϕ ; Ht,x < ,
2
m=1
где fsm ∈ Ht2 . Пусть M = max |ϕsm ; Hx | . Множество {vk,s (t) : k ∈ Ks } полно в Ht2 .
16m6N
Подберем для каждого m = 1, 2, . . . , N линейную комбинацию
его элементов так, чтобы
Nm
X
n=1
Nm
X
ε
Cm = fsm −
fkn ,sm vkn ,sm ; Ht2 <
.
2MN
n=1
fkn ,sm vkn ,sm , fkn ,sm ∈ C,
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2010. №17(88). Выпуск 20
8
Теперь, на основании свойств нормы и ранее полученных оценок, получаем неравенство
N X
Nm
N
X
X
ε
ε
2 N = ε,
fkn ,sm ϕsm vkn ,sm ; Ht,x 6 C + M
Cm < + M
f −
2
2MN
m=1 n=1
m=1
которое дает утверждаемую полноту. Лемма 2. Если для каждого индекса s ∈ S последовательность {vk,s (t) : k ∈ Ks } век2
тор-функций vk,s : [0; π] → C2 образует базис в Ht2 , то базис в Ht,x
образует последоваs
тельность {vk,s (t)ϕ (x) : k ∈ Ks , s ∈ S} .
2
2
2
Так как Ht,x
= H2 ⊗ Hx , то для любого элемента f ∈ Ht,x
справедливо в Ht,x
X t
представление f =
fs ϕs , в котором элементы fs ∈ Ht2 определены однозначно. Поs∈S
2
следовательность {vk,s : k ∈ Ks } является базисом
Xв Ht ; поэтому для каждого элемента
fs ∈ Ht2 справедливо в Ht2 представление fs =
fk,s vk,s , где коэффициенты fk,s ∈ C
k∈Ks
также
однозначно. В силу леммы 1 получаем единственное представление
Xопределены
X
s
f=
fk,s ϕ vk,s . s∈S k∈Ks
Доказательство Теоремы 1. Утверждение теоремы следует из того, что базис (6) в
2
пространстве Ht,x
ортонормированный. Литература
1. Дезин А.А. О слабой и сильной иррегулярности // Дифференц. уравнения. – 1981. –
17,10. – С.1851-1858.
2. Дезин А.А. Теоремы существования и единственности решений граничных задач для
уравнений с частными производными в функциональных пространствах // Успехи
матем. наук. – 1959. – XIV(87). – С.21-73.
3. Романко В.А. Смешанные краевые задачи для одной системы уравнений // Докл.
АН СССР. – 1986. – 286(1). – C.47-50.
4. Романко В.А. О системах операторных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. – 1987. – 23,9. – C.1574-1585.
5. Вишик М.И. О сильно эллиптических системах дифференциальных уравнений //
Матем. сб. – 1951. – 29(71). – C.615-676.
6. Солдатов А.П. О первой и второй краевой задачах для эллиптических систем на
плоскости // Дифференц. уравнения. – 2003. – 39,5. – C.674-686.(2003).
7. Корниенко Д.В. Об одной спектральной задаче для двух гиперболических систем
уравнений // Дифференц. уравнения. – 2006. – 42,1. – C.91-100.
9
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2010. №17(88). Выпуск 20
8. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы т.1 / Н. Данфорд, Дж.Т. Шварц. –
М.: Иностр. лит., 1962. – Т.1.
ABOUT THE SPECTRUM OF THE DIRICHLET PROBLEM
OF TWO ELLIPTIC SYSTEMS
O.V. Alexeeva
Bunin Yelets state university,
Kommunarov St., 28, Yelets, 399770, Russia, e-mail: o.v.alexeeva@gmail.com
Abstract. It is studied spectra of closed differential operators generated by the Dirichlet problem
of elliptic systems of the first- and second type. In the case of the first type elliptic system, the spectrum
is located in the left half-plane (Re z 6 0), and in the case of the second type elliptic system, it is
located on the real line (Im z = 0) of the complex plane C. The spectrum is discrete.
Key words: spectrum, closed differential operator, elliptic systems, tensor product of Hilbert
spaces, basis.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
183 Кб
Теги
спектр, эллиптическая, система, дирихле, задачи, двух
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа