close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О спектре одного класса операторов Шредингера с конечным числом обобщенных функций.

код для вставкиСкачать
1998
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 7 (434)
УДК 517.43
Р.И. КАДИЕВ
(МЛАДШИЙ)
О СПЕКТРЕ ОДНОГО КЛАССА ОПЕРАТОРОВ
ШРЕДИНГЕРА С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
Пусть C k (a; b) | линейное пространство скалярных комплекснозначных функций на (a; b),
k раз непрерывно дифференцируемых, L2(a; b) | линейное пространство скалярных комплекснозначных функций на (a; b), модули которых суммируемы с квадратом, n; m 2 N и фиксированы, x0 = ;1, xm+n+1 = +1.
Рассмотрим формальное дифференциальное выражение
m
mX
+n
k=1
k=m+1
X
(Am;n f )(x) = ;f 00 (x)+ q(x)f (x)+ k (x ; xk )f (x)+
k;m 0 (x ; xk )f (x); ;1 < x < +1:
В этой формуле k (k = 1; 2; : : : ; m = 1; m), k (k = 1; n), xk (k = 1; m + n) | вещественные
числа, q(x) | скалярная вещественнозначная неотрицательная функция на (;1; +1) такая,
что
Z +1
(1 + x2 )q(x)dx < 1:
;1
Кроме того, x1 < x2 < x3 < < xm+n+1 < xm+n .
Рассмотрим уравнение
(Am;n y)(x) = y(x); x 2 (;1; +1);
(1)
где | комплексное число.
Условимся считать решением этого уравнения всякую функцию y(x; ) на (;1; +1), для
которой выполнены условия
1) y 2 C 2 (xk ; xk+1 ) для x 2 (xk ; xk+1 ) при k = 0; m + n,
2) ;y00 (x) + q(x)y(x) = y(x) для x 2 (xk ; xk+1 ) при k = 0; m + n,
3) y(xk + 0) = y(xk ; 0) = y(xk ), y0 (xk + 0) ; y0 (xk ; 0) = k y(xk ) при k = 1; m,
4) y0 (xk + 0) = y0 (xk ; 0) y0 (xk ), y(xk + 0) ; y(xk ; 0) = k;m y0 (xk ) при k = m + 1; m + n.
В связи с важными приложениями к задачам квантовой механики [1] представляет интерес
исследование спектральных характеристик оператора Am;n .
Известно [2], что уравнение
;y00(x) + q(x)y(x) = y(x); x 2 (;1; +1)
(2)
имеет два линейно независимых решения '1 (x; ), '2 (x; ), и любое решение этого уравнения
y(x; ) имеет представление
y(x; ) = C1 '1 (x; ) + C2 '2 (x; );
где C1 , C2 | некоторые числа, причем при Im 6= 0 или < 0
Z 0
Z 0
;1
;1
j' (x; )j dx =
2
1
Z +
j' (x; )j dx < 1;
2
2
0
1
j' (x; )j dx = 1;
2
2
Z +
0
26
1
j' (x; )j dx < 1:
1
2
Тогда любое решение (1) можно записать в виде
8
>
C (x)'1 (x; ) + C1'2 (x; );
если x 2 (;1; x1 );
>
< 0
y(x; ) = >C2k (x)'1 (x; ) + C2k+1 (x)'2 (x; );
если x 2 (xk ; xk+1 ) (k = 1; m + n ; 1);
>
:
C2(m+n) (x)'1 (x; ) + C2(m+n)+1 (x)'2 (x; ); если x 2 (xm+n ; +1);
где Ck (k = 0; 2(n + n) + 1) | некоторые постоянные числа такие, что для y(x; ) выполнены
условия 3) и 4).
Определим оператор Hb (m; n; q), порожденный в гильбертовом пространстве L2 (;1; +1)
дифференциальным выражением (Am;n f ). Областью определения оператора Hb (m; n; q) является множество всех функций, принадлежащих L2 (;1; +1) и удовлетворяющих условиям 1){4).
Это множество обозначим через D(Hb (m; n; q)). Будем считать, что спектральные характеристики оператора Hb (m; n; ) и уравнения (1) совпадают.
Обозначим через Hb (0; 0; q) оператор Hb (m; n; q) в случае, когда
1 = 2 = = m = 1 = 2 = = n = 0:
b (m; n; q ) симметричен.
Лемма. Оператор H
b (m; n; q )). Интегрируя по частям, получим
Доказательство. Пусть f; g 2 D (H
(Hb (m; n; q)f; g) = (f; Hb (m; n; q)g) +
;
;
;
m
X
k=1
m
X
m
X
k=1
g(xk )(f 0 (xk + 0) ; f 0(xk ; 0)) ;
f (xk )(g0 (xk + 0) ; g0 (xk ; 0)) +
k=1
mX
+n
k=m+1
mX
+n
k=m+1
f 0(xk )(g(xk + 0) ; g(xk ; 0)) ;
g0 (xk )(f (xk + 0) ; f (xk ; 0)) = (f; Hb (m; n; q)g) +
k g(xk )f (xk ) +
mX
+n
k=m+1
k g0 (xk )f 0 (xk ) ;
mX
+n
k=m+1
m
X
k=1
k g(xk )f (xk ) ;
k;m g0 (xk )f 0 (xk ) = (f; Hb (m; n; q)g): Пусть Rhm;ni | резольвента оператора Hb (m; n; q), а R | резольвента оператора Hb (0; 0; q).
Теорема 1. Справедливы следующие утверждения:
1: оператор Hb (m; n; q) в существенном самосопряжен;
2: пусть Im 6= 0, тогда Rhm;ni ; R есть конечномерный оператор, ранг которого не
превосходит m + n.
hm;ni оператора H
b (m; n; q ) существует при Im 6= 0,
Доказательство. Если резольвента R
то, принимая во внимание симметричность оператора Hb (m; n; q), убеждаемся в справедливости
утверждения 1 теоремы.
Для доказательства утверждения 2 построим резольвенту оператора Hb (m; n; q) при Im 6= 0.
Для этого решаем в L2 (;1; +1) задачу
8
>
>
>
>
>
>
>
<
;y00(x) + q(x)y(x) = y(x) + f (x); x 6= xi (i = 1; m + n);
y(xi + 0) = y(xi ; 0) = y(xi );
y0(xi + 0) ; y0(xi ; 0) = i y(xi ) (i = 1; m);
y0 (xi + 0) = y0 (xi ; 0);
y(xi + 0) ; y(xi ; 0) = i;m y0 (xi ) (i = m + 1; m + n);
где f (x) | произвольная функция, принадлежащая L (;1; +1).
>
>
>
>
>
>
>
:
2
27
(3)
Будем искать решение уравнения
;y00(x) + q(x)y(x) = y(x) + f (x); x 6= xj (j = 1; m + n)
(4)
в виде
8
>
C (x)'1 (x; ) + C1'2 (x; );
если x 2 (;1; x1 );
>
< 0
y(x; ) = >C2k (x)'1 (x; ) + C2k+1 (x)'2 (x; );
если x 2 (xk ; xk+1 ) (k = 1; m + n ; 1);
>
:
C2(m+n) (x)'1 (x; ) + C2(m+n)+1 (x)'2 (x; ); если x 2 (xm+n ; +1);
где '1 (x; ) и '2 (x; ) | линейно независимые решения уравнения (2), а Cj (x) (j =
0; 2(m + n) + 1) | неизвестные функции. Функции Cj (x), j = 0; 2(m + n) + 1, можно найти методом Лагранжа. Для нахождения функций C2k (x), C2k+1 (x), x 2 (xk ; xk+1 ) (k = 1; m + n),
составим систему уравнений
(
C20 k (x)'1 (x; ) + C20 k+1 (x)'2 (x; ) = 0;
C20 k (x)'01 (x; ) + C20 k+1 (x)'02 (x; ) = ;f (x)
для k = 0; m + n. Отсюда получим
C20 k (x) = '2W(x;[')'f (]x) ; C20 k+1 = ; '1W(x;[')'f (]x)
1 2
1 2
для k = 0; m + n, где
W ['1 '2 ] = '1 (x; )'02 (x; ) ; '01 (x; )'2 (x; ) 6= 0;
т. к. '1 (x; ) и '2 (x; ) | линейно независимые решения. Следовательно,
Z x
1
'2 (t; )f (t)dt + b2k ;
C2k (x) = W [' ' ]
xk
1 2
Z x
k+1
1
C2k+1 (x) = ; W [' ' ]
'1 (t; )f (t)dt + b2k+1 ;
x
1 2
x 2 (xk ; xk+1 ), где b2k , b2k+1 | произвольные числа при k = 0; m + n. Заметим, что x0 = ;1,
xm+n+1 = +1. Следовательно, решение уравнения (4) имеет вид
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
<
Z
x
Z
x1
' (x; )
' (t; )f (t)dt + ' (x; ) ' (t; )f (t)dt+
;1
x
+b Z' (x; ) + b ' (x; ); ;1 <Z x < x ;
x
xk+1
' (x; ) ' (t; )f (t)dt + ' (x; )
'(t; )f (t)dt+
1
y(x; ) = ; W [' ' ] >
xk
x
>
+b kZ' (x; ) + b k ' (x; ); xk <Z x < xk (k = 1; m + n + 1);
>
>
>
1
x
>
>
>
>
' (t; )f (t)dt+
'
(
t;
)
f
(
t
)
dt
+
'
(
x;
)
'
(
x;
)
>
>
>
x
xm+n
>
>
:
+b m n ' (x; ) + b m n ' (x; ); xm n < x < +1:
В силу условия y(; ) 2 L (;1; +1), ' (x; ) 2 L (;1; 0) и ' (x; ) 2 L (0; +1) получим
b = b m n = 0. Тогда решение уравнения (4) принимает вид
1
1
2
0
1
1
1
2
2
1
2 +1
2(
+ )+1
y(x; ) = ; W ['1 ' ]
1
2
Z
1
;1
2
+1
1
+ )
1
2
1
2(
2
2(
1
1
2
0
2
1
2
2
+ )+1
2
+
2
2
2
1
J (x; t; )f (t)dt ;
8
>
>
< 1
b ' (x; );
;1 < x < x ;
; W [' ' ] >b k ' (x; ) + b k ' (x; ); xk < x < xk (k = 1; m + n ; 1);
>
:
b m n ' (x; );
xm n < x < +1;
1
1
2
2
1
2
1
2(
+ )
2 +1
1
2
+1
+
28
(
где J (t; x; ) = '1 (x; )'2 (t; ); t x; а bj (j = 1; 2(m + n)) | произвольные числа.
'1(t; )'2 (x; ); x t;
Обозначим через 'j;k = 'j (xk ; ), '0j;k = '0j;k (xk ; )
8Z
>
>
>
<
1
Qk (f ) = >Z;1
1
>
>
:
;1
J (xk ; t; )f (t)dt (k = 1; m);
J 0 (xk ; t; )f (t)dt
(5)
(k = m + 1; m + n);
(
(k = 1; m);
Z k = k
k;m (k = m + 1; m + n);
D() = det(Mm n ()), где
Mmn () =
2
3
;
';
';
';
6
7
0
'0 ;
'0 ;
6;' ; ; z ' ;
7
6
7
6: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :7
6
6
;' ;m
;' ;m
' ;m ' ;m 777
6
6
;'0 ;m ; zm' ;m
;'0 ;m ; zm ' ;m
'0 ;m '0 ;m 77 :
= 66
0
0
;' ;m
;' ;m
'0 ;m '0 ;m 77
6
6
7
;' ;m ; zm '0 ;m ;' ;m ; zm '0 ;m ' ;m ' ;m
6
7
6
7
6: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :7
6
7
0
0
0
;' ;m n
;' ;m n
' ;m n
4
5
0
0
;' ;m n ; zm n' ;m n
;' ;m n ; zm n ' ;m n
' ;m n
Тогда в силу условий задачи (3) получим для определения числа bj систему Mm n ()B = ZQ,
где B = col(b ; b ; : : : ; b m n , ZQ = col(0; Z Q ; 0; Z Q ; : : : ; 0; Zm n Qm n ).
Определим множество ; = f : Im 6= 0; D() = 0g. При 2= ; имеем
+
21
21
1
21
11
21
11
21
1
2
1
1
1
1
+1
1
+
1
2
+1
+1
2
1
+1
1
+
2
+1
+1
+
+
1
2
2
2
2
+
1
+1
+1
1
+1
2
+
+
+
2
2
2
1
+1
1
+
1
+
2
+1
+1
+
1
2
2(
+ )
1
bj = D1()
1
2
mX
+n
k=1
2
+
+
Zk Mmk;jn Qk ;
2
+
где Mmi;j+n | алгебраическое дополнение элемента mij матрицы Mm+n () = (mij )2(m+n)2(m+n) .
Если ввести
обозначение
8
>
Z Mm2k;+1n ()'2 (x; );
x 2 (;1; x1 );
>
< 1
Yk (x; ) = >Zj [Mm2k;+2nj;2 ()'1 (x; ) + Mm2k;+2nj;1 ()'2 (x; )]; x 2 (xj ; xj+1 ) (j = 1; m + n ; 1);
>
:
Zm+nMm2k;+2(n m+n) ()'1 (x; );
x 2 (xm+n ; +1)
для k = 1; m + n, то решение задачи (3) принимает вид
Z 1
mX
+n
1
1
h
m;n
i
(R f )(x) y(x; ) = ; W [' ' ]
J (x; t; )f (t)dt + D() Yk (x; )Qk (f ) ; (6)
;1
1 2
k=1
2
где Yk (; ) 2 L (;1; 1) (k = 1; m + n), Im 6= 0, 2= ; и Qk (f ) определено формулой (5).
Из выражения (6) следует конечномерность оператора Rhm;ni ; R , причем его ранг не превосходит m + n.
Поскольку оператор Hb (m; n; q) самосопряжен, следовательно, его спектр вещественный.
b (m; n; q ) состоит из абсолютно непрерывной части S =
Теорема 2. Спектр оператора H
[0; +1) и не более чем m + n отрицательных собственных чисел j (j = 1; m + n), которые
определяются как отрицательные корни уравнения D () = 0.
29
Доказательство.
В силу условий
Z
1
;1
(1 + x2 )q(x)dx < 1 и q(x) 0
спектр оператора Hb (0; 0; q) абсолютно непрерывен и совпадает с множеством S = [0; +1). Так
как оператор Rhm;ni ; R конечномерный, то согласно известным результатам [3], [4] абсолютно
непрерывная часть спектра оператора Hb (m; n; q) совпадает с абсолютно непрерывной частью
спектра оператора Hb (0; 0; q), т. е. c S = [0; +1). Согласно [5] спектр оператора Hb (m; n; q) может
отличаться от спектра оператора Hb (0; 0; q) разве что на конечное число отрицательных собственных
значений.
Кроме того, число этих собственных значений не превосходит ранга оператора
h
m;n
i
R ; R , т. е. числа m + n.
Пусть 0 < 0 | нуль функции D(). Тогда легко убедиться, что 0 | собственное значение
оператора Hb (m; n; q), и функция
8
>
C1'2 (x; 0 );
x 2 (;1; x1 );
>
>
>
<
x 2 (x1 ; x2 );
y(x; 0 ) = >C2'1 (x; 0 ) + C3'2 (x; 0 );
C2k;2 '1(x; 0 ) + C2k;1 '2 (x; 0 ); x 2 (xk ; xk+1 ) (k = 1; m + n ; 1);
>
>
>
:
C2(m+n) '1(x; 0 );
x 2 (xm+n; +1);
где C = col(C1 ; C2 ; : : : ; C2(m+n) | ненулевое решение системы Mm+n (0 )C = 0 с точностью до
числового множителя, отличного от нуля, является собственной функцией оператора Hb (m; n; q),
соответствующей собственному значению 0 .
Теорема 3. Пусть q (x) 0, m = 1, n = 1. Тогда справедливы следующие утверждения:
a) если > 0, > 0, то у оператора Hb (1; 1; 0) нет собственных значений,
б) если < 0, то оператор Hb (1; 1; 0) имеет ровно одно собственное значение,
в) если < 0, < 0, то оператор Hb (1; 1; 0) имеет ровно два собственных значения.
Доказательство. При q (x) 0 и m = 1, n = 1 уравнение D () = 0 имеет вид
;ex1
e;x1
ex1
0
;
x
x
1
1
(; ; )ex1
;e
e
0
= 0;
;
x
x
;
x
2
2
2
0
e
;e
;e
x
x
;
x
0
;e 2 ;e 2 (1 + )e 2 p
где = jj ( < 0).
Раскладывая определитель D() по первым двум строкам, получим
; ex1 [2(1 + )e;x1 + 2e;(2x2 ;x1) ; 2(1 + )e;(2x2 ;x1) + 2e;x1 ] +
+ (; ; )ex1 [;(1 + )e;x2 + e;(2x1 ;x1 ) ; (1 + )e;(2x2 ;x1 ) ; e;x1 ] = 0:
Отсюда следует,
что < 0 | собственное значение оператора Hb (1; 1; q) тогда и только тогда,
p
когда = jj | решение уравнения
(;2 ; )(2 + ) = e;2(x2 ;x1 ) при > 0:
(7)
Число решений уравнения (7) удобно определять графически, т. е. исследуя абсциссы точек
пересечения графиков функций
r = r1 () = (;2 ; )(2 + );
r = r2 () = e;2(x2 ;x1 ) при > 0:
Несложный подсчет убеждает нас в справедливости теоремы 3.
30
Литература
1. Альбеверио С., Гестези Ф., Хеэг-Крон Р., Хольден Х. Решаемые модели в квантовой механике. { М.: Мир, 1991. { 566 с.
2. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. { 2-е изд. { М.: Наука, 1969. { 526 с.
3. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. { Л.: ЛГУ, 1980. { 536 с.
4. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. { М.: Мир, 1972. { 740 с.
5. Князев П.Н. Об использовании свойств минимакса в теории возмущений // Изв. вузов.
Математика. { 1959. { Є 2. { С. 94{100.
Дагестанский государственный
Поступили
университет
первый вариант
27.03.1995
12.02.1996
окончательный вариант
31
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
141 Кб
Теги
число, спектр, конечный, шредингер, обобщенные, одного, оператора, функции, класс
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа