close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О стохастических нелинейных моделях динамики процентных ставок.

код для вставкиСкачать
Вычислительные технологии
Том 13, Специальный выпуск 5, 2008
О стохастических нелинейных моделях
динамики процентных ставок
. А. Медведев
Белорусский государственный университет, Минск, Беларусь
e-mail:
MedvedevGAbsu.by
For proesses of the interest rates both marginal and joint probability distributions
are found. It appears that these distributions belong to a lass of the mixed distributions.
And at the xed values of a mixing random variable, the sample values of proesses are
independently distributed. Some results on these problems are formulated.
Будем рассматривать такие случайные процессы процентных ставок
r(t),
которые
допускают существование стационарного режима со стационарным математическим
ожиданием
E[r(t)] = E
и стационарной дисперсией
Var[r(t)] = V .
В классическом ана-
лизе обычно предполагается, что процентная ставка доходности инансовых активов
имеет нормальное или логаримически нормальное распределение с однородными по
времени независимыми приращениями и стационарными параметрами.
Наиболее известной моделью динамики такой процентной ставки
r(t)
дель Васичека [1? (модель с нормальным распределением), когда процесс
является мо-
r(t) порожда-
ется стохастическим диеренциальным уравнением
dr(t) = k(E ? r(t))dt +
Смысл параметра
k
разъясняется ниже, а
dW (t)
?
2kV dW (t).
стандартный винеровский процесс.
Однако выборочные характеристики соответствующих временных рядов оказываются часто несовместимыми с характеристиками процесса
r(t)
такой модели. Одно из
важных отличий то, что эмпирические распределения изменения процентной ставки
часто в большей степени островершинные, асимметричные и имеют тяжелые правые хвосты, что несовместимо с нормальным распределением. Кроме того, рыночная
процентная ставка положительная, а нормальное распределение определено на всей
числовой оси. Устранить эти несоответствия пытались двумя различными способами.
Первый хотя и предполагал независимые приращения и предположения стационарности, но заменял предположение о нормальности более общим предположением о распределениях, устойчивых в смысле Парето Леви. Хотя негауссовы члены устойчивого
семейства распределений аппроксимируют хвосты эмпирических распределений лучше,
чем нормальное, эмпирическое подтверждение пока еще слабое, чтобы обосновать принятие устойчивости Парето относительно какого-либо островершинного распределения.
Помимо этого, свойство бесконечности дисперсии негауссовых устойчивых распределений подразумевает, что большинство наших статистических методов, которые основаны
на конечности моментов (например, метод наименьших квадратов), бесполезно. ипотеза устойчивости Парето также подразумевает, что даже первый момент изменения
Институт вычислительных технологий Сибирского отделения оссийской академии наук, 2008.
77
78
. А. Медведев
цен не существует. Отсутствие теории делает разработку требований к рассматриваемой модели при гипотезе устойчивости по Парето довольно сложной. Значительные
теоретические и эмпирические трудности, связанные с гипотезой устойчивости Парето,
побуждают рассматривать другие процессы с конечными моментами, чьи распределения не являются гауссовыми. Кроме того, обширная математическая литература по
распределениям этих процессов и свойствам конечности моментов делает реализацию
проверки гипотез значительно проще для таких процессов, чем для устойчивых процессов Парето Леви.
Особенность стохастических моделей динамики процентных ставок состоит в том,
что кроме прочего они должны порождать неотрицательные процессы. Модель Блэка Карасинского [2? (логаримически нормальная модель), когда процентная ставка
порождается диузионным процессом
"
E
dr(t) = kr(t) ln
r(t)
r
#
V
1 + 2 dt + r(t)
E
s
2k ln 1 +
V
E2
dW (t),
генерирует неотрицательный процесс с несколько более островершинной плотностью вероятностей, чем нормальная. Однако правый хвост логаримически нормальной плотности недостаточно тяжелый для описания реальных рыночных ставок (она чаще используется для описания процессов цен акций).
К настоящему времени наиболее известными моделями процессов процентных ставок являются модели, построенные на основе случайных процессов Бесселя. Приведем
две из них:
модель Кокса Ингерсолла осса (модель CIR) [3?
dr(t) = k(E ? r(t))dt +
модель Ана ао (модель AG ) [4?
r
2kV
r(t)
dW (t);
E
(1)
p
2kV r(t)3
V
dr(t) = k E + ? r(t) r(t)dt +
dW (t).
E
E
Здесь процесс
r(t)
моделирует динамику процентной ставки;
dW (t)
стандартный ви-
неровский процесс, а параметры уравнений (1) и (2) имеют следующий смысл:
E
r(t), а положительный
r(t) в обоих случаях таким образом, что коэициент корреляции ? случайных величин r(t) и r(t + ? ) равен
? = exp(?k|? |) для процесса, определяемого уравнением (1), и ? = exp(?k(E + V /E)|? |)
для процесса, определяемого уравнением (2). Введем обозначения: g(x|q, c)
?
cq xq?1 ?cx
e
плотность вероятностей гамма-распределения с параметром ормы q и
?(q)
2
параметром масштаба c, x ? 0; если X ? g(x|q, c), то E[X] = q/c, Var[X] = q/c ;
j ??
p(j|?) ? ? e /j! пуассоновское распределение вероятностей с параметром ? > 0,
?(q + j) j
j = 0, 1, 2, . . . ; если J ? p(j|?), то E[J] = Var[J] = ?; b(j|q, b) ?
b (1 ? b)q отj!?(q)
рицательное биномиальное распределение вероятностей с параметрами q > 0, b ? (0, 1),
j = 0, 1, 2, . . . ; если J ? b(j|q, b), то E[J] = qb/(1 ? b), Var[J] = qb/(1 ? b)2 ; h(x|q, c) ?
стационарное среднее и
параметр
k
V
(2)
стационарная дисперсия процесса
определяет корреляционные свойства процесса
О стохастических нелинейных моделях динамики процентных ставок
79
cq+1
e?c/x плотность вероятностей для x ? 0 с параметрами q и c, такими, что
?(q + 1)xq+2
2
2
при X ? h(x|q, c), E[X] = c/q , Var[X] = c /(q ? 1)q . Ниже для краткости случайные
величины и их возможные значения обозначаются одинаковыми символами.
У т в е р ж д е н и е 1. Маргинальные плотности вероятностей процессов (1) и (2) опре-
g(x|q, c) и h(x|q, c), причем параметры этих плот2
ностей вычисляются по ормулам c = E/V , q = E /V для плотности g и c = E(1 +
2
2
E /V ), q = 1 + E /V для плотности h.
деляются соответственно ункциями
Уравнения (1) и (2) порождают процессы с неотрицательными значениями, причем,
как мы увидим ниже, распределение процесса (2) обладает более тяжелым правым
хвостом, чем распределение процесса (1). С практической точки зрения это более привлекательно, поскольку большинство стохастических моделей динамики показателей
инансового рынка обычно критикуют за то, что они имеют правые хвосты распределений, спадающие быстрее, чем хвосты оценок плотностей по реальным инансовым
показателям. Сравнительный анализ плотностей
g(r) и h(r) можно провести с помощью
отношения этих плотностей для одинаковых стационарных математического ожидания
E
и дисперсии
V:
1+E 2 /V
h(r)
V + E2
Er E
E2
=
exp
?
1+
.
g(r)
r2
V
r
V
Это отношение является ункцией со следующими особенностями:
h(r)
h(r)
= 0, lim
= ?.
r?0 g(r)
r?? g(r)
lim
Имеется два экстремума: максимум в точке
мум в точке
rmin =
E
p
<E
1 + 1/ 1 + E 2 /V
Это означает, что на интервалах
и мини-
(0, rmax )
отношение возрастает, а на интервале (rmax , rmin ) оно убывает. Так что у
g(r) тяжелее левый хвост, а правый хвост тяжелее у плотности h(r). Кроме
2 (1+E 2 /V )
того, при r = E имеем h(E)/g(E) = (1 + V /E )
/e. Поэтому h(E)/g(E) ? 1 при
2
E /V ? 1, что обычно выполняется на практике. Например, для типичных рыночных
и
(rmin , ?)
E
p
> E.
1 ? 1/ 1 + E 2 /V
rmax =
плотности
значений средней годовой процентной ставки доходности и ее дисперсии для кратко-
срочных (один месяц) ценных бумаг Казначейства США в 19911998 гг. было E = 0.08,
V = 0.0016, E 2 /V = 4. Так что ункции g(r) и h(r) пересекаются в окрестности точки
r = E.
Следствие
1. Начальные моменты стационарных распределений процессов (1)
и (2) вычисляются по ормулам:
для процесса (1)
k
V
?(k + E 2 /V )
E[r ] =
;
E
?(E 2 /V )
k
для процесса (2)
k
E2
?(2 ? k + E 2 /V )
E[r ] = E 1 +
.
V
?(2 + E 2 /V )
k
k
80
. А. Медведев
Таким образом, для процесса (1) существуют моменты любого порядка. Однако для
k существует только для k < 2 + E 2 /V . Этого
процесса (2) это не так: момент порядка
можно было ожидать, поскольку плотность вероятностей процесса (2) имеет тяжелый
правый хвост. Заметим, что математическое ожидание и дисперсия процесса (2) су2
ществуют гарантированно. На практике обычно отношение E /V достаточно велико,
так что, как правило, существуют как третьи, так и четвертые моменты распределения
h(r). Представляет интерес провести сравнительный анализ асимметрии и эксцесса процессов, моделирующих динамику процентной ставки. Обозначим для краткости записи:
a = E 2 /V , ? = 1+1/a. Тогда асимметрия и эксцесс для рассмотренных процессов выра-
?
жаются следующим образом: нормальный 0 и 3; гамма-процесс 2/ a и 3/(1 + 2/a);
?
?
2
2
модель AG 4 a/(a ? 1) и 3(a + 7a)/(a ? 3a + 2); логнормальный (3 + 1/a)/ a и
? 4 + 2? 3 + 3? 2 ? 3. Из вычислений становится ясным, что плотность вероятностей для
модели AG при одинаковых среднем и дисперсии обладает наибольшей асимметрией и
наибольшим эксцессом. Таким образом, эта модель оказывается наиболее подходящей
для моделирования процессов изменения инансовых рыночных показателей. Инте2
ресно заметить, что с увеличением отношения a = E /V плотности вероятностей всех
моделей приближаются к нормальной. Вместе с тем сама нормальная плотность при
этом приближается к дельта-ункции.
Утверждение
2. Условные плотности вероятностей
r = r(t), R = r(s), s < t,
f (r, t|R, s),
где обозначено
определяются в виде смеси распределений:
для процесса (1)
f (r, t|R, s) =
? j
X
u
j!
j=0
где
u=
?u c
q+j q+j?1
?
X
r
e?cr =
p(j|u)g(r|q + j, c),
?(q + j)
j=0
e
r ? 0,
(3)
?ER
E
E2
, c =
, q =
, ? = exp [?k(t ? s)];
V (1 ? ?)
V (1 ? ?)
V
для процесса (2)
f (r, t|R, s) =
? j
X
u
j=0
где
j!
?u c
e
q+j+1 ?q?j?2
?
X
r
e?c/r =
p(j|u)h(r|q + j, c),
?(q + j + 1)
j=0
r ? 0,
(4)
?E(1 + E 2 /V )
E(1 + E 2 /V )
E2
V
u=
, c =
, q = 1+
, ? = exp ?k E +
(t ? s) .
R(1 ? ?)
(1 ? ?)
V
E
Доказательство утверждений 1 и 2 основывается на результатах Феллера [5?, который рассмотрел проблему решения уравнений Колмогорова для плотности вероятностей диузионного процесса (1), а также получил и исследовал характеристическую
ункцию этого процесса. В частности, он показал, что достаточным условием строгой
положительности процесса (1) (другими словами, что нулевой уровень процесса r(t)
2
недостижим сверху с вероятностью единица) является неравенство E /V > 1. Очевидно, что это тем более справедливо для процесса (2). Вид плотностей (3) и (4) можно
прокомментировать следующим образом. Получается, что случайная величина
иксированном
r(s) = R
r(t) при
с пуассоновскими вероятностями р(j|u) имеет соответствую-
q + j . Причем пуассоновский параметр u
r(s) = R. Иначе говоря, плотности f (r, t|R, s) щую плотность вероятностей с параметром
зависит от иксированного значения
это смеси, в которых смешивающая случайная величина пуассоновская.
81
О стохастических нелинейных моделях динамики процентных ставок
Утверждение
R = r(s), s < t,
3. Совместные плотности вероятностей
f (r, t; R, s)
для
r = r(t),
определяются в виде смеси распределений:
для процесса (1)
f (r, t; R, s) =
?
X
b(j|q, ?)g(r|q + j, c)g(R|q + j, c);
(5)
b(j|q, ?)h(r|q + j, c)h(R|q + j, c).
(6)
j=0
для процесса (2)
f (r, t; R, s) =
?
X
j=0
Значения параметров
q , c, ?
в ормулах (5) и (6) определены так же, как в утвержде-
нии 2.
Таким образом, совместные плотности смешанные, как и условные плотности,
только смешивающая случайная величина здесь имеет отрицательное биномиальное
распределение. Кроме того, особенностью плотностей (5) и (6) является то, что при
иксированном значении смешивающей случайной величины
процесса
r(t)
и
r(s)
J
выборочные значения
в различные моменты времени оказываются независимыми, по-
скольку для всякого иксированного значения
J = j
совместная плотность выра-
жается в виде произведения плотностей. Так что в некотором смысле смешивающая
случайная величина регулирует зависимость между выборочными значениями процесса. Такая структура плотностей вероятностей удобна при аналитических расчетах,
касающихся вычисления математических ожиданий от различных ункций случайных
процессов (1) и (2). Поскольку процессы (1) и (2) являются марковскими, с использованием утверждений 13 для обоих процессов можно последовательно получить совместные плотности большей размерности так, как это сделано ранее для модели CIR [6?.
t1< t2 < t3 < t4 обозначим r(ti ) ? ri , i = 1, 2, 3, 4, а так V
c0
c0 ?i+1,i ri
же ?il = exp ?k E +
(t ? s) , cil ?
, i > l, i, l = 1, 2, 3, 4, ui ?
,
E
1 ? ?il
1 ? ?i+1,i
i = 1, 2, 3. Заметим, что при этих обозначениях для всяких j > i > l имеет место
равенство ?ji ?il = ?jl .
У т в е р ж д е н и е 4. Трехмерная совместная плотность вероятностей f (r1 , r2 , r3 ) значений процесса (2) имеет представление для ri ? 0, i = 1, 2, 3:
Для моментов времени
f (r1 , r2 , r3 ) =
? X
?
X
b(j, k|q, ?, ?)Ч
j=0 k=0
где
b(j, k|q, ?, ?) =
ное распределение,
0<?=
Ч h(r1 |q + j, c21 )h(r2 |q + j + k, c32 + c21 ? c0 )h(r3 |q + k, c32 ),
?(j + k + q) j k
? ? (1 ? ? ? ?)q
j!k!?(q)
?21 (1 ? ?32 )
?21 ? ?31
=
< 1,
1 ? ?32 ?21
1 ? ?31
(7)
двумерное отрицательное биномиаль-
0<?=
?32 (1 ? ?21 )
?32 ? ?31
=
< 1.
1 ? ?32 ?21
1 ? ?31
Таким образом, из представления (7) видно, что совместная плотность трех значений
r(t1 ), r(t2 ), r(t3 )
случайного процесса (2) является смесью плотностей, причем
82
. А. Медведев
смешивающих случайных величин здесь уже две J
и
K
и они подчиняются двух-
мерному отрицательному биномиальному распределению вероятностей с параметрами,
зависящими только от коэициентов корреляции
?il .
Таким образом, по существу нами доказано
Следствие
2. Смешивающими случайными величинами трехмерной совместной
плотности вероятностей значений процесса (2) являются случайные величины
J
и
K,
имеющие двухмерное отрицательное биномиальное распределение вероятностей
?(j + k + q) j k
? ? (1 ? ? ? ?)q ,
j!k!?(q)
0 ? j ? ?,
0 ? k ? ?,
(8)
с параметрами
0<?=
?21 ? ?31
?21 (1 ? ?32 )
=
< 1,
1 ? ?32 ?21
1 ? ?31
0<?=
?32 (1 ? ?21 )
?32 ? ?31
=
< 1,
1 ? ?32 ?21
1 ? ?31
которые зависят только от корреляционных свойств случайного процесса (2). Непосредственные вычисления показывают, что смешивающие случайные величины
J
и
K
имеют следующие первые и вторые моменты:
E[J] =
Здесь через
q?21
,
1 ? ?21
q?32
q?21
q?32
, Var[J] =
, Var[K] =
,
2
1 ? ?32
(1 ? ?21 )
(1 ? ?32 )2
q?32 ?21
?
?
Cov[J, K] =
, Corr[J, K] = ?32 ?21 = ?31 .
(1 ? ?21 )(1 ? ?32 )
Corr[J, K]
E[K] =
обозначен коэициент корреляции случайных величин
J
и
K.
Список литературы
[1?
[2?
[3?
[4?
[5?
[6?
An equilibrium haraterization of the term struture // J. of Finanial Eonomis.
1977. Vоl. 5. P. 177188.
Vasiek O.
Blak F., Karasinski P. Bond and options priing when short rates are lognormal //
Finanial Analysts J. 1991. Vоl. 47. P. 5259.
Cox J.C., Ingersoll J.E., Ross S.A.
Eonometria. 1985. Vоl. 53. P. 385467.
A theory of the term struture of interest rate //
A parametri nonlinear model of term struture dynamis // The Review
of Finanial Studies. 1999. Vol. 12, N 4. P. 721762.
Ahn D.H., Gao B.
Feller W.
P. 173182.
Two singular diusion problems // Annals of Mathematis. 1951. Vоl. 54, N 1.
О вероятностных свойствах случайных процессов Кокса Ингерсолла осса // Вест. Том. гос. ун-та. 2006. Приложение ќ 16. С. 125129.
Медведев .А.
Поступила в редакцию 28 марта 2008 г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
8
Размер файла
177 Кб
Теги
динамика, нелинейные, процентные, моделях, ставок, стохастических
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа