close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О существовании положительного решения краевой задачи для одного нелинейного функционально-дифференциального уравнения второго порядка.

код для вставкиСкачать
2004
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 6 (505)
УДК 517.927
Г.Э. АБДУРАГИМОВ
О СУЩЕСТВОВАНИИ ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОГО НЕЛИНЕЙНОГО
ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
В настоящее время развито немало методов исследования вопросов, связанных с положительными решениями различных нелинейных уравнений. Естественным орудием исследования положительных решений являются методы функционального анализа, основанные на использовании полуупорядоченных пространств, теория которых связана с именами Ф. Рисса,
М.Г. Крейна, Л.В. Канторовича, Г. Фрейденталя, Г. Биркгофа и др. Методы полуупорядоченных пространств к задачам о положительных решениях в различных аспектах применялись
многими авторами. В связи с этим общие результаты, полученные в терминах функционального анализа, нашли приложения к первой краевой задаче для квазилинейных эллиптических
уравнений, к нелинейным интегральным уравнениям, к нелинейным колебаниям, к задаче о
точках бифуркации, к теории уравнений Монжа{Ампера и др. Приложения основаны на специальных построениях и используют свойства функции Грина различных дифференциальных
операторов. Кроме того, методы полуупорядоченных пространств нашли широкое применение
в задачах теории волн, в теории упругости и др.
Методы исследования положительных решений нелинейных операторных уравнений были
развиты М.А. Красносельским и его учениками Л.А. Ладыженским, И.А. Бахтиным, В.Я. Стеценко, Ю.В. Покорным и др.
В данной работе на основе теории полуупорядоченных пространств автором получены
условия существования положительного решения для одного нелинейного функциональнодифференциального уравнения второго порядка.
Введем следующие обозначения: C | пространство C [0; 1], Lp (1 < p < 1) | пространство Lp (0; 1) и W 2 | пространство функций, определенных на [0; 1], с абсолютно непрерывной
производной.
Рассмотрим краевую задачу
x00 (t) + p(t)x(t) + f (t; (Tx)(t)) = 0; 0 < t < 1;
(1)
x(0) + x(1) + x0 (0) + x0 (1) = 0;
(2)
x(0) + x(1) + x0 (0) + x0 (1) = 0;
где ij , ij (i; j = 1; 2) | действительные числа, p(t) | неотрицательная суммируемая со степенью q 2 (1; 1) функция, T : C ! Lp (1 < p < 1) | линейный непрерывный оператор, функция
f (t; u) удовлетворяет условию Каратеодори и f (; 0) 0.
Под положительным решением задачи (1){(2) будем понимать функцию x 2 W , положительную в интервале (0; 1), удовлетворяющую почти всюду уравнению (1) и краевым условиям
11
12
11
12
21
22
21
22
2
(2).
В работе доказана теорема существования по крайней мере одного положительного решения
задачи (1){(2) при некоторых ограничениях на функции f (t; u), p(t) и числа ij , ij (i; j = 1; 2).
3
Рассмотрим эквивалентное задаче (1){(2) интегральное уравнение
x(t) =
Z
1
0
G(t; s)p(s)x(s)ds +
Z
1
0
G(t; s)f (s; (Tx)(s))ds; 0 t 1;
(3)
где G(t; s) | функция Грина оператора ; dtd22 с краевыми условиями (2).
Введем некоторые обозначения: 12+11+11+1212 , 22+21+21+2222 . При выполнении условий
A) 6= , 11 + 12 6= 0, 21 + 22 6= 0;
B) ;1 21+2122 (1 ; ) ; 11+1112 (1 ; ) < 0;
C) ;1 2121+;2122 (1 ; ) ; 1111+;1112 (1 ; ) > 0;
D) ;1 21+2122 ; 11+1112 > 0;
E) ;1 21+2122 ; 11+1112 + 1 < 0
функция Грина существует, положительна и имеет вид [1]
(
G(t; s) = a (s)(t ; ) + a (s)(t ; ); 0 t s;
b (s)(t ; ) + b (s)(t ; ); s t 1;
1
2
1
где
2
1
1
22 s + 21
12 s + 11
a1(s) = ; ; + ; a2 (s) = ; + ; ;
21
22
11
12
s
;
s
;
b1(s) = ( ; 21)( +21 ) ;
b2 (s) = ( ; 11)( +11 ) ; s 2 [0; 1]:
21
22
11
12
Предположим, что функция f (t; u) неотрицательна на [0; 1] (0; 1), монотонна по второму аргументу и f (t; u) bup=q (b > 0) при u > 0.
В операторной форме уравнение (3) можно переписать в виде
x = GPx + GNTx;
где P : C ! Lq | оператор, определяемый равенством (Px)(t) = p(t)x(t), N : Lp ! Lq |
оператор Немыцкого, G : Lq ! C | оператор Грина.
При перечисленных ограничениях оператор A, определяемый равенством
(Ax)(t) =
Z
0
1
G(t; s)p(s)x(s)ds +
Z
1
0
G(t; s)f (s; (Tx)(s))ds; 0 < t < 1;
(4)
f неотридействует в пространстве C , вполне непрерывен [2] и оставляет инвариантным конус K
цательных функций x(t) пространства C , удовлетворяющих условию
m max x(t) = m kxk ;
min x(t) M
t2[0;1]
M C
t2[0;1]
где m и M | соответственно нижняя и верхняя оценки функции Грина.
f
Теорема. Предположим, что T : C ! Lp | положительный (монотонный) на конусе K
оператор. Пусть выполнены условия A){E), а также
1) p 6= q;
2) kpkLq < Mm2 ;
3) a(t)up=q f (t; u) bup=q , t 2 [0; 1], u 0,
где a(t) | положительная суммируемая функция, b | некоторое положительное число.
Тогда краевая задача (1){(2) имеет по крайней мере одно положительное решение.
4
f проВ дальнейшем под полуупорядочиванием u v и uv в конусе K
странства C соответственно будем понимать u(x) v(x) и u(x) > v(x) для любого x 2 [0; 1].
f и
Рассмотрим случай pq > 1. Покажем, что найдется такое число R > 0, что при x 2 K
Доказательство.
kxkC R
Axx:
(5)
Действительно, в силу монотонности оператора T : C ! Lp и условия 3) теоремы имеем
Z
Z
p=q
(Ax)(t) m a(s)(Tx)p=q (s)ds mM p=q kxkp=q
a(s)(T 1)p=q (s)ds C
Z
p=q
m
p=q
;
a(s)(T 1)p=q (s)ds x(t); 0 < t < 1:
M p=q R
1
+1
1
0
0
+1
1
1
0
.
p=(p;q)
R1
Отсюда при R > M p=q mp=q+1 a(s)(T 1)p=q (s)ds
следует (5).
0
f, kxk r , x 6= 0
Найдем теперь r > 0 такое, что для всех " > 0 при x 2 K
C
Ax(1 + ")x:
В силу условия 3) теоремы имеем
(Ax)(t) M
Z
Z
1
(6)
1
p(s)x(s)ds + Mb (Tx)p=q (s)ds p=q
p=q
M kpkLq kxkC + MbkTxkp=q
Lp M kpkLq kxkC + Mb kxkC M (kpkLq + b p=q rp=q; )kxkC Mm (kpkLq + b p=q rp=q; )x(t);
где | норма оператора T : C ! Lp .
2
pkLq q= p;q
следует (6).
Отсюда при r < m=Mb;k
p=q
Легко проверить, что r R. Из (5) и (6) следует, что положительный оператор (4) является
f. Тогда согласно теореме о растяжении конуса [3] оператор (4) имеет в
растяжением конуса K
f пространства C по крайней мере одну ненулевую неподвижную точку, что равносильно
конусе K
0
0
2
1
(
1
)
существованию по крайней мере одного положительного решения краевой задачи (1){(2).
В случае p=q < 1, применяя теорему о сжатии конуса [3], аналогично можно установить
существование по крайней мере одного положительного решения краевой задачи (1){(2).
Литература
1. Абдурагимов Г.Э.
О
положительных
решениях
функционально-дифференциального уравнения
краевой
2-го
задачи
порядка
для
одного
нелинейного
// Вестн. Дагест. ун-та. Сер.
Естеств. науки. { 1997. { Вып. 4. { С. 121{123.
2. Крейн С.Г. Функциональный анализ. { М.: Наука, 1972. { 544 с.
3. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. { М.: Физматгиз,
1962. { 394 с.
Дагестанский государственный
Поступили
университет
первый вариант
04:06:2001
27:02:2003
окончательный вариант
5
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа