close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О существовании полуоси положительных собственных значений для уравнений с разрывными операторами.

код для вставкиСкачать
О СУЩЕСТВОВАНИИ ПОЛУОСИ
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С РАЗРЫВНЫМИ
ОПЕРАТОРАМИ
В.Н. Павленко, Д.К. По▓апов
Чел┐бин▒кий го▒│да░▒▓венн╗й │ниве░▒и▓е▓
Ра▒▒ма▓░ивае▓▒┐ п░облема ▒│╣е▒▓вовани┐ ▒об▒▓венн╗╡ зна╖ений │ нелинейного │░авнени┐ ▒ ░аз░╗вн╗м опе░а▓о░ом вида Au = Tu в ░е┤лек▒ивном бана╡овом
п░о▒▓░ан▒▓ве E , где A | линейн╗й ▒амо▒оп░┐женн╗й опе░а▓о░ из E в E , о▓об░ажение T : E ! E компак▓ное (вооб╣е гово░┐, ░аз░╗вное), | па░аме▓░. Ва░иа╢ионн╗м ме▓одом │▒▓анавливае▓▒┐ п░едложение о ▒│╣е▒▓вовании пол│о▒и ▒об▒▓венн╗╡
зна╖ений дл┐ │░авнени┐ Au = Tu. П░и ╜▓ом ко╜░╢и▓ивно▒▓╝ опе░а▓о░а A ; T не
п░едполагае▓▒┐.
Кл╛╖ев╗е ▒лова: ▒об▒▓венн╗е зна╖ени┐, ░аз░╗вн╗й опе░а▓о░, ва░иа╢ионн╗й
ме▓од, квазипо▓ен╢иал╝н╗й опе░а▓о░.
Введение
Бол╝╕ое ╖и▒ло зада╖ гид░одинамики, ▓епло┤изики, ╜лек▓░о┤изики,
▒в┐занн╗╡ ▒ из│╖ением п░о╢е▒▒ов, мен┐╛╣и╡▒┐ ▒ка╖кооб░азно п░и неко▓о░╗╡ зна╖ени┐╡ ┤азов╗╡ пе░еменн╗╡, п░иводи▓ к ин▓ег░ал╝н╗м и ди┤┤е░ен╢иал╝н╗м │░авнени┐м ▒ ░аз░╗вн╗ми нелинейно▒▓┐ми. Как п░авило, ╜▓о
▓ак наз╗ваем╗е зада╖и ▒о ▒вободн╗ми г░ани╢ами, и▒▒ледование ко▓о░╗╡
неп░о▒▓о и в каждом конк░е▓ном ▒л│╖ае ▓░еб│е▓ п░именени┐ ▒пе╢иал╝н╗╡
анали▓и╖е▒ки╡ ▒░ед▒▓в. По╜▓ом│ ░аз░або▓ка ма▓ема▓и╖е▒кого аппа░а▓а,
об▒л│жива╛╣его до▒▓а▓о╖но ╕и░окий кла▒▒ ░а▒п░еделенн╗╡ ▒и▒▓ем ▒ ░аз░╗вн╗ми нелинейно▒▓┐ми, ┐вл┐е▓▒┐ ак▓│ал╝ной зада╖ей. О▒нов╗ ма▓ема▓и╖е▒кой ▓ео░ии дл┐ ▓аки╡ ▒и▒▓ем б╗ли заложен╗ в док▓о░▒кой ди▒▒е░▓а╢ии В. Н. Павленко [1]. Цел╝ данного и▒▒ледовани┐ | дал╝ней╕ее ░азви▓ие
▓ео░ии ░а▒п░еделенн╗╡ ▒и▒▓ем ▒ ░аз░╗вн╗ми нелинейно▒▓┐ми. А именно,
░а▒▒ма▓░ивае▓▒┐ │░авнение
Au = Tu
(1)
▒ па░аме▓░ом > 0, где A | линейн╗й ▒амо▒оп░┐женн╗й опе░а▓о░ из
E в E (E | ве╣е▒▓венное ░е┤лек▒ивное бана╡ово п░о▒▓░ан▒▓во) и T :
E ! E | компак▓ное о▓об░ажение, ог░ани╖енное на E , T (0) = 0. О╖евидно нали╖ие н│левого ░е╕ени┐ │░авнени┐ (1) п░и л╛бом . И╣│▓▒┐ > 0,
дл┐ ко▓о░╗╡ │░авнение (1) имее▓ нен│лев╗е ░е╕ени┐ (▓акие наз╗ва╛▓
▒об▒▓венн╗ми зна╖ени┐ми │░авнени┐ (1)).
О СУЩЕСТВОВАНИИ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
115
В ▒л│╖ае, когда о▓об░ажение T неп░е░╗вно, ▒▓░│к▓│░а множе▒▓ва
▒об▒▓венн╗╡ зна╖ений │░авнени┐ (1) из│╖ала▒╝ ▓опологи╖е▒кими ме▓одами в [2; 3], в пол││по░┐до╖енн╗╡ п░о▒▓░ан▒▓ва╡ | в [4; 5] и ва░иа╢ионн╗м
ме▓одом в [6; 7]. На╕а ╢ел╝ | пол│╖и▓╝ ░ез│л╝▓а▓╗, под▓ве░жда╛╣ие
▒│╣е▒▓вование пол│о▒и положи▓ел╝н╗╡ ▒об▒▓венн╗╡ зна╖ений без п░едположени┐ о неп░е░╗вно▒▓и T .
Ва░иа╢ионн╗м ме▓одом [8 { 12] доказ╗вае▓▒┐ ▓ео░ема о ▒│╣е▒▓вовании нен│лев╗╡ ░е╕ений │░авнени┐ (1) п░и до▒▓а▓о╖но бол╝╕и╡ , п░и╖ем
опе░а▓о░ T на ╜▓и╡ ░е╕ени┐╡ ░адиал╝но неп░е░╗вен.
Об╣ие ░ез│л╝▓а▓╗
П│▒▓╝ E | ве╣е▒▓венное ░е┤лек▒ивное бана╡ово п░о▒▓░ан▒▓во, E |
▒оп░┐женное ▒ E п░о▒▓░ан▒▓во. Че░ез (z; x) б│дем обозна╖а▓╝ зна╖ение
┤│нк╢ионала z 2 E на ╜лемен▓е x 2 E .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1 [13]. О▓об░ажение T : E ! E наз╗вае▓▒┐ квазипо▓ен╢иал╝н╗м, е▒ли ▒│╣е▒▓в│е▓ ┤│нк╢ионал f : E ! R, дл┐ ко▓о░ого
R1
ве░но ░авен▒▓во f (x + h) ; f (x) = (T (x + th); h) dt 8 x; h 2 E (ин▓ег░ал
0
понимае▓▒┐ в ▒м╗▒ле Лебега). П░и ╜▓ом f наз╗ва╛▓ квазипо▓ен╢иалом
опе░а▓о░а T .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 [14]. О▓об░ажение T : E ! E наз╗вае▓▒┐ ░адиал╝но неп░е░╗вн╗м в ▓о╖ке x 2 E , е▒ли дл┐ л╛бого h 2 E
lim (T (x + th); h) = (Tx; h):
t!0
Элемен▓ x 2 E б│дем наз╗ва▓╝ ▓о╖кой ░аз░╗ва опе░а▓о░а T , е▒ли найде▓▒┐ h 2 E , дл┐ ко▓о░ого либо tlim
(T (x + th); h) не ▒│╣е▒▓в│е▓, либо
!0
lim (T (x + th); h) 6= (Tx; h).
t!0
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3 [15]. Элемен▓ x 2 E наз╗ва╛▓ ░ег│л┐░ной ▓о╖кой
дл┐ опе░а▓о░а T : E ! E , е▒ли дл┐ неко▓о░ого h 2 E
lim (T (x + th); h) < 0:
t!+0
[10]. Е▒ли опе░а▓о░ T : E ! E │довле▓во░┐е▓ │▒лови╛
lim (T (x + th) ; Tx; h) 0 8 x; h 2 E , ▓о в▒е ▓о╖ки ░аз░╗ва опе░а▓о░а T
t!+0
░ег│л┐░н╗.
В дал╝ней╕ем по▓░еб│е▓▒┐ ▒лед│╛╣ий ░ез│л╝▓а▓.
Заме╖ание
116
В.Н. Павленко, Д.К. По▓апов
ТЕОРЕМА 1.
x2E
П│▒▓╝
| ▓о╖ка миним│ма квазипо▓ен╢иала
, п░и╖ем ▓о╖ки ░аз░╗локал╝но ог░ани╖енного опе░а▓о░а
ва опе░а▓о░а
░ег│л┐░н╗. Тогда
| ▓о╖ка ░адиал╝ной неп░е░╗вно▒▓и
опе░а▓о░а
и
.
f
T
T Tx = 0
x
T :E!E
Доказа▓ел╝▒▓во ▓ео░ем╗ 1.
Доп│▒▓им, ╖▓о x | ▓о╖ка ░аз░╗ва опе░а▓о░а T . Тогда найде▓▒┐
h 2 E ▓акое, ╖▓о
lim (T (x + th); h) < 0:
(2)
t!+0
Так как x | ▓о╖ка миним│ма ┤│нк╢ионала f , ▓о
9 1 > 0 : f (x + th) ; f (x) 0 8 0 < t < 1 :
(3)
R1
С д░│гой ▒▓о░он╗, f (x + th) ; f (x) = (T (x + th); th)d 8 t > 0. Из (2) ▒ле0
д│е▓ ▒│╣е▒▓вование " > 0 и 2 > 0 ▓аки╡, ╖▓о п░и 0 < s < 2 (T (x + sh); h) <
;". Следова▓ел╝но, е▒ли 0 < t < min f1; 2g, ▓о f (x + th) ; f (x) < ;t",
╖▓о п░о▓иво░е╖и▓ (3). Радиал╝на┐ неп░е░╗вно▒▓╝ T в ▓о╖ке x │▒▓ановлена.
Z1
f
(
x
+
th
)
;
f
(
x
)
Дл┐ л╛бого h 2 E и t > 0
= (T (x + th); h)d .
t
0
О▓▒╛да и из локал╝ной ог░ани╖енно▒▓и T по ▓ео░еме Лебега о п░едел╝ном
пе░е╡оде под знак ин▓ег░ала пол│╖им, ╖▓о ▒│╣е▒▓в│е▓
Z1
f
(
x
+
th
)
;
f
(
x
)
= t!
lim+0(T (x + th); h)d = (Tx; h) 8 h 2 E:
lim
t!+0
t
0
По▒кол╝к│ x | ▓о╖ка миним│ма ┤│нк╢ионала f , ▓о (Tx; h) 0 8 h 2 E .
По▒леднее возможно ▓ол╝ко ▓огда, когда Tx = 0. Тео░ема 1 доказана.
О▒новн╗м ░ез│л╝▓а▓ом ┐вл┐е▓▒┐ ▒лед│╛╣а┐ ▓ео░ема.
ТЕОРЕМА 2. П░едположим:
E
E E E = Ker A
>0
(Au; u) kuk 8 u 2 E
T
E
9 M > 0 : kTxk M 8 x 2 E
u 2E
E 6= f0g
lim
f (u) = ;1
u2E1 ;kuk!+1
3) lim (T (u + th) ; Tu; h) 0 8 u; h 2 E .
t!+0
1) п░о▒▓░ан▒▓во
п░ед▒▓авл┐е▓▒┐ в виде п░┐мой ▒│мм╗ замкн│▓╗╡ подп░о▒▓░ан▒▓в 1 и 2, 1
, п░и╖ем ▒│╣е▒▓в│е▓ по▒▓о┐н2
на┐
▓ака┐, ╖▓о
2;
2) о▓об░ажение
компак▓ное, квазипо▓ен╢иал╝ное и ог░ани╖енное
на
(▓о е▒▓╝
), а его квазипо▓ен╢иал
░авен н│л╛ в н│ле и дл┐ неко▓о░ого 0
зна╖ение
; е▒ли
0
, ▓о дополни▓ел╝но
;
1
f (u ) > 0
f
О СУЩЕСТВОВАНИИ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
117
0 > 0 ▓акое, ╖▓о дл┐ л╛бого > 0 ▒│╣е▒▓в│е▓
(v ), f (u) = 1 (Au; u) ; f (u), и л╛бое
u 2 E , u 6= 0, f u) = vinf
f
2E
2
▓акое u ┐вл┐е▓▒┐ ░е╕ением │░авнени┐ (1) и ▓о╖кой ░адиал╝ной неп░е░╗вно▒▓и опе░а▓о░а T .
Заме╖ание. Е▒ли E | гил╝бе░▓ово п░о▒▓░ан▒▓во и 0 | изоли░ованна┐ ▓о╖ка ▒пек▓░а нео▓░и╢а▓ел╝ного опе░а▓о░а A, ▓о │▒ловие 1 ▓ео░ем╗ 2
Тогда найде▓▒┐
(
в╗полн┐е▓▒┐.
Доказа▓ел╝▒▓во ▓ео░ем╗ 2.
Из моно▓онно▒▓и A и компак▓но▒▓и T ▒лед│е▓ ▒лаба┐ пол│неп░е░╗вно▒▓╝ ▒низ│ на E ┤│нк╢ионала f дл┐ л╛бого > 0 [8].
Докажем, ╖▓о
lim f (v ) = +1 8 > 0:
(4)
kvk!+1
П│▒▓╝ v 2 E . Тогда v = v1 + v2 , где vi 2 Ei , i = 1; 2. Имеем
f (v) = f (v1 + v2) = 21 (Av2; v2) ; f (v1 + v2) =
= 12 (Av2 ; v2) ; (f (v1 + v2 ) ; f (v1 )) ; f (v1) Z1
2
2 kv2k ; (T (v1 + tv2 ); v2)dt ; f (v1) 0
kv k2 ; M kv k ; f (v );
2
1
2 2
где M | по▒▓о┐нна┐ в не░авен▒▓ве kTz k M 8 z 2 E (▓ака┐ кон▒▓ан▓а
▒│╣е▒▓в│е▓, ▓ак как по │▒лови╛ опе░а▓о░ T ог░ани╖ен на E ). Заме▓им,
╖▓о
t2 ; Mt ; 2M 2 8 t 2 R :
2
2
Фик▒и░│ем " > 0. По▒кол╝к│
lim
f (z) = ;1, ▓о ▒│╣е▒▓в│е▓ d1 > 0
z2E1 ;kzk!+1
▓акое, ╖▓о
2 2
;f (z) > " + 2M
;
е▒ли z 2 E1 и kz k > d1. Далее, найде▓▒┐ d2 > 0, дл┐ ко▓о░ого
t2 ; Mt > " + sup f (z)
2
z2E1 ;kzkd1
дл┐ л╛бого t > d2 . С│п░ем│м в п░авой ╖а▒▓и по▒леднего не░авен▒▓ва
коне╖ен, по▒кол╝к│ f (z ) jf (z ) ; f (0)j M kz k. Таким об░азом, е▒ли
118
В.Н. Павленко, Д.К. По▓апов
kvk = kv1 + v2k > 2max fd1; d2g, ▓о либо kv1k, либо kv2k бол╝╕е max fd1; d2g
и, зна╖и▓, f (v ) > ". О▓▒╛да, в ▒ил│ п░оизвол╝но▒▓и в╗бо░а " > 0, ▒лед│е▓
(4).
Так как f ( > 0) | ▒лабо пол│неп░е░╗вн╗й ▒низ│ ┤│нк╢ионал в
░е┤лек▒ивном бана╡овом п░о▒▓░ан▒▓ве, │довле▓во░┐╛╣ий │▒лови╛ (4), ▓о
из обоб╣енной ▓ео░ем╗ Вейе░╕▓░а▒▒а [13] ▒лед│е▓ ▒│╣е▒▓вование u 2 E ,
дл┐ ко▓о░ого
f (u) = vinf
f (v):
(5)
2E
В ▒ил│ заме╖ани┐ 1 │▒ловие 3 ▓ео░ем╗ 2 вле╖е▓ ░ег│л┐░но▒▓╝ ▓о╖ек ░аз░╗ва опе░а▓о░а A ; T ( > 0). О▓▒╛да и из ▓ео░ем╗ 1 ▒лед│е▓, ╖▓о u ,
│довле▓во░┐╛╣ее (5), ┐вл┐е▓▒┐ ░е╕ением │░авнени┐ (1) и ▓о╖кой ░адиал╝ной неп░е░╗вно▒▓и опе░а▓о░а T .
По │▒лови╛ найде▓▒┐ u0 2 E , дл┐ ко▓о░ого f (u0) > 0. Тогда
1
(u ) = lim
lim
f
(
Au
;
u
)
;
f
(
u
)
0 !+1 2
0 0
0 = ;1:
!+1
О▓▒╛да ▒лед│е▓ ▒│╣е▒▓вование 0 > 0 ▓акого, ╖▓о дл┐ л╛бого > 0
f (u0) < 0. Следова▓ел╝но, u, │довле▓во░┐╛╣ее (5), о▓ли╖но о▓ н│л┐ п░и
> 0, ▓ак как f (0) = 0. Тео░ема 2 доказана полно▒▓╝╛.
Спи▒ок ли▓е░а▓│░╗
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Павленко В.Н. У░авнени┐ и ва░иа╢ионн╗е не░авен▒▓ва ▒ ░аз░╗вн╗ми нелинейно▒▓┐ми : Ав▓о░е┤. ди▒. : : : д{░а ┤из.{ма▓. на│к. Ека▓е░инб│░г, 1995.
К░а▒но▒ел╝▒кий М.А. Топологи╖е▒кие ме▓од╗ в ▓ео░ии нелинейн╗╡ ин▓ег░ал╝н╗╡
│░авнений. М.: Го▒▓е╡изда▓, 1956.
Rabinowitz P.H. Some global results for nonlinear eigenvalue problems // J. Funct.
Anal. 1971. Vol. 7. P. 487 { 513.
К░а▒но▒ел╝▒кий М.А. Положи▓ел╝н╗е ░е╕ени┐ опе░а▓о░н╗╡ │░авнений. М.: Физма▓гиз, 1962.
Amann H. Fixed point equations and nonlinear eigenvalue problems in ordered Banach
spases // SIAM Review. 1976. Vol. 18, ┬ 4. P. 620 { 709.
Rabinowitz P.H. Variational methods for nonlinear elliptic eigenvalue problems //
Indiana Univ. Math. J. 1974. Vol. 23, ┬ 8. P. 729 { 754.
Rabinowitz P.H. A bifurcation theorem for potentional operators // J. Funct. Anal.
1977. Vol. 25. P. 412 { 424.
Павленко В.Н. Тео░ем╗ ▒│╣е▒▓вовани┐ дл┐ ╜ллип▓и╖е▒ки╡ ва░иа╢ионн╗╡ не░авен▒▓в ▒ квазипо▓ен╢иал╝н╗ми опе░а▓о░ами // Ди┤┤е░ен╢. │░авнени┐. 1988. Т.
24, ┬ 8. C. 1397 { 1402.
9. Павленко В.Н. Пол│п░авил╝н╗е ░е╕ени┐ ╜ллип▓и╖е▒ки╡ ва░иа╢ионн╗╡ не░авен▒▓в ▒ ░аз░╗вн╗ми нелинейно▒▓┐ми // Ук░. ма▓. ж│░н. 1991. Т. 43, ┬ 2.
С. 230 { 235.
10. Павленко В.Н. Ва░иа╢ионн╗й ме▓од дл┐ │░авнений ▒ ░аз░╗вн╗ми опе░а▓о░ами // Ве▒▓н. Чел┐б. │н{▓а. Се░. 3. Ма▓ема▓ика. Ме╡аника. 1994. ┬ 1(2). C. 87 {
95.
О СУЩЕСТВОВАНИИ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
119
11. Павленко В.Н., И▒каков Р.С. Неп░е░╗вн╗е апп░ок▒има╢ии ░аз░╗вн╗╡ нелинейно▒▓ей пол│линейн╗╡ │░авнений ╜ллип▓и╖е▒кого ▓ипа // Ук░. ма▓. ж│░н. 1999.
Т. 51, ┬ 2. С. 224 { 233.
12. Павленко В.Н. Уп░авление ░а▒п░еделенн╗ми ▒и▒▓емами ╜ллип▓и╖е▒кого ▓ипа ▒
░аз░╗вн╗ми нелинейно▒▓┐ми // Ве▒▓н. Чел┐б. │н-▓а. Се░. 3. Ма▓ема▓ика. Ме╡аника. 1999. ┬ 2(5). С. 56 { 67.
13. Вайнбе░г М.М. Ва░иа╢ионн╗й ме▓од и ме▓од моно▓онн╗╡ опе░а▓о░ов. М.: На│ка,
1972.
14. Гаев▒кий Х., Г░еге░ К., За╡а░иа▒ К. Нелинейн╗е опе░а▓о░н╗е │░авнени┐ и опе░а▓о░н╗е ди┤┤е░ен╢иал╝н╗е │░авнени┐. М.: Ми░, 1978.
15. Павленко В.Н. С│╣е▒▓вование ░е╕ений │ нелинейн╗╡ │░авнений ▒ ░аз░╗вн╗ми
моно▓онн╗ми опе░а▓о░ами // Ве▒▓н. Мо▒к. │н{▓а. Се░. 1. Ма▓ема▓ика. Ме╡аника.
1973. ┬ 6. С. 21 { 29.
SUMMARY
The problem for existence of eigenvalues in the nonlinear equation with
a discontinuous operator of the form Au = Tu in reexive Banach space E ,
where A is a linear self-adjoint operator from E into E , mapping T : E ! E is compact (generally speaking, discontinuous), is a parameter, is considered.
The proposition of eigenvalue semiaxis existence for the equation Au = Tu
is established by a variational method. Moreover, coerciveness of the operator
A ; T is not presupposed.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
167 Кб
Теги
уравнения, существования, оператора, положительная, разрывных, значение, собственных, полуоси
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа