close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О существовании решений в связанной задаче термоупругости для трехслойных оболочек.

код для вставкиСкачать
Известия вузов. Математика
2012, № 9, c. 66–71
http://old.kpfu.ru/journals/izv_vuz/
Гос. номер статьи по НТЦ "Информрегистр" 0421200123 \0084
В.Ф. КИРИЧЕНКО
О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЙ В СВЯЗАННОЙ ЗАДАЧЕ
ТЕРМОУПРУГОСТИ ДЛЯ ТРЕХСЛОЙНЫХ ОБОЛОЧЕК
Аннотация. В статье с помощью нового метода получения априорных оценок доказана разрешимость связанной задачи термоупругости “в перемещениях” для пологих трехслойных
оболочек в рамках гипотез Григолюка–Чулкова с учетом геометрической нелинейности.
Ключевые слова: трехслойные оболочки, дифференциальные уравнения с частными производными, обобщенные решения нелинейных краевых задач.
УДК: 539.3
Одной из нерешенных, вплоть до настоящего времени, проблем математической теории
пластин и оболочек является проблема доказательства корректности нелинейных краевых
задач, определяющих неклассические модели пологих оболочек. Именно к такому классу моделей относится рассмотренная в данной статье модель термоупругой трехслойной
оболочки, построенная на базе гипотез Григолюка–Чулкова [1]. Разрешимость нелинейных
краевых задач, определяющих условия равновесия и эволюции трехслойных оболочек, исследовалась, например, в работах [2], [3], при этом уравнения движения рассматривались
в “смешанной” форме. Однако использованную в этих работах классическую методику получения априорных оценок не удается распространить на новые классы краевых задач,
определяющих неклассические модели пологих оболочек. В данной работе используется
новый “трехмерный” способ получения априорных оценок.
Объектом исследования является следующая связанная задача термоупругости для трехслойных оболочек, определяемая неклассической системой дифференциальных уравнений
различного типа и размерности в “перемещениях”:
hk
hk
3
hk
∂
∂
∂ 2 ui0
ρk
dx3 −
σ k dx3 −
σ k dx3 = 0,
(1)
∂t2
∂xi hk−1 ii
∂x3−i hk−1 12
hk−1
k=1
3 k=1
hk
∂
∂u30
fk (x3 )σiik dx3 −
fk (x3 )ui1 − x3
dx3 −
∂xi
∂xi hk−1
h2
hk
∂
k
2 dfk (x3 )
fk (x3 )σ12 dx3 +
σi3
dx3 = 0, i = 1, 2 , (2)
−
∂x3−i hk −1
dx3
h1
∂2
ρk fk (x3 ) 2
∂t
hk−1
3 k=1
hk
∂ 2 u30
ρk
dx
+
3
∂t2
hk−1
hk
2
i=1
∂ ∂2
∂u30
ρk x3
fk (x3 )ui1 − x3
dx3 −
∂xi ∂t2
∂xi
hk−1
hk
Поступила 21.10.2011
66
О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЙ В СВЯЗАННОЙ ЗАДАЧЕ ТЕРМОУПРУГОСТИ
∂2
− 2
∂xi
c(x3 ) ∂θ ∂
−
T0 ∂t
∂xj
3
j=1
67
hk
hk
∂2
k
−
x3 σ12 dx3 −ki
σiik dx3 −
∂x
∂x
i
3−i hk−1
hk−1
hk−1
hk
hk
∂u30
∂ ∂u30
k
k
σ dx3 +
σ dx3
= g1 (x1 , x2 , t), (3)
−
∂xi ∂xi hk −1 ii
∂x3−i hk−1 12
hk
x3 σiik dx3
λ(x3 ) ∂θ
T0 ∂xj
u30 |Γ = 0,
1
E(x3 )α(x3 ) ∂ εii (x3 ) + g2 (x1 , x2 , x3 , t);
1 − ν(x3 ) ∂t
T0
2
=−
(4)
i=1
∂u30 = 0,
∂n Γ
uij |Γ = 0,
θ|S = 0;
(5)
∂uij (x1 , x2 , t0 )
= ψij (x1 x2 ), i = 1, 2, j = 0, 1,
∂t
∂u30 (x1 , x2 , t0 )
= ψ30 (x1 x2 ), θ(x1 , x2 , x3 , t0 ) = ϕ4 (x1 , x2 , x3 );
u30 (x1 , x2 , t0 ) = ϕ30 (x1 x2 ),
∂t
(6)
uij (x1 , x2 , t0 ) = ϕij (x1 x2 ),
где
h0 = −c − h/2, h1 = −c, h2 = c, h3 = c + h/2,
h = const > 0, c = const > 0, E1 = E3 = E, ν1 = ν3 = ν,
α1 = α3 = α, ρ1 = ρ3 = ρ, 0 < νk < 1/2, Γ = ∂Ω × [t0 , t1 ],
S = ∂D × [t0 , t1 ], D =
3
Ω × (hk−1 , hk ),
k=1
E2 2
ε ,
1 + ν2 i3
α E θ
Ek k
Ek k
1 df2 (x3 )
k k
k
k
+
ν
ε
, σ12
=
ε12 , ε2i3 = ui1
,
ε
σiik =
k 3−i,3−i −
ii
2
1 − νk
1 + νk
2
dx3
1 − νk
∂ui1
1
∂u11 ∂u21
∂ 2 u30
∂ 2 u30
k
k
f
− x3
,
ε
=
e
+
(x
)
+
,
−
x
εii = eii + fk (x3 )
12
3
k 3
12
∂xi
2
∂x2
∂x1
∂x1 ∂x2
∂x2i
∂u30 (x1 , x2 , t)
, i = 1, 2,
uki (x1 , x2 , x3 , t) = ui0 (x1 , x2 , t) + fk (x3 )ui1 (x1 , x2 , t) − x3
∂xi
uk3 (x1 , x2 , x3 , t) = u30 (x1 , x2 , t), (x1 , x2 ) ∈ Ω, x3 ∈ (hk−1 , hk ), k = 1, 2, 3;
∂ui0
1 ∂u30 2
1 ∂u10 ∂u20
1 ∂u30 ∂u30
− ki u30 +
, e12 =
+
;
+
eii =
∂xi
2 ∂xi
2 ∂x2
∂x1
2 ∂x1 ∂x2
E(x3 )α2 (x3 )T0 (1 + ν(x3 ))
; E(x3 ) = {Ek , x3 ∈ (hk−1 , hk )},
c(x3 ) = cε (x3 ) +
(1 − ν(x3 ))(1 − 2ν(x3 ))
(E(x3 ) → ν(x3 ) → α(x3 ) → cε (x3 ) → c(x3 ) → λ(x3 ) → ε11 (x3 ) → ε22 (x3 )),
2
D = D ∪ ∂D, Ω = Ω ∪ ∂Ω, Ω1 = Ω × (t0 , t1 ), Ω2 = D × (t0 , t1 ), σi3
=
стрелки указывают на взаимозаменяемость соответствующих функций;
f1 (x3 ) = −f (c), x3 ∈ [h0 , h1 ]; f2 (x3 ) = f (x3 ), x3 ∈ [h1 , h2 ]; f3 (x3 ) = f (c), x3 ∈ [h2 , h3 ];
Ω ⊂ R2 — ограниченная контуром ∂Ω измеримая односвязная область (план оболочки); h
– общая постоянная толщина несущих слоев; 2c – постоянная толщина заполнителя; область D, занимаемая трехслойной оболочкой, параметризована декартовой прямоугольной
68
В.Ф. КИРИЧЕНКО
системой координат так, что оси Ox1 , Ox2 совпадают с линиями кривизны срединной поверхности заполнителя, а ось Ox3 направлена по нормали к этой поверхности, при этом
срединная поверхность заполнителя определяется уравнением x3 = 0; индексам k = 1, 3
соответствуют несущие слои, а индексу k = 2 — заполнитель; k1 , k2 — постоянные главные кривизны срединной поверхности заполнителя в недеформированном состоянии; [t0 , t1 ]
— отрезок времени наблюдения за эволюцией оболочки; νk , Ek , αk , λk , cεk , ρk — положительные постоянные, соответственно, коэффициент Пуассона, модуль Юнга, коэффициенты
линейного температурного расширения, теплопроводности, удельной теплоемкости при постоянной деформации и плотность материала оболочки в k-м слое; θ = θ(x1 , x2 , x3 , t) —
функция изменения температурного поля в оболочке; u30 = u30 (x1 , x2 , t) — функция прогиба; ui0 = ui0 (x1 , x2 , t) — функции продольных перемещений точек срединной поверхности
заполнителя; ui1 = ui1 (x1 , x2 , t) (i = 1, 2) — функции дополнительных углов поворота нормали к срединной поверхности заполнителя, соответствующие учету сдвиговых напряжений
2 (i = 1, 2) в слое заполнителя; g = g (x , x , t) — интенсивность поперечной нагрузки;
σi3
1
1 1 2
g2 = g2 (x1 , x2 , x3 , t) — интенсивность источника тепла; ϕ30 , ψ30 , ϕ4 , ϕij , ψij — известные
функции, определяющие начальные условия (6); n — вектор внешней нормали к контуру
k , εk (i = 1, 2,
∂Ω; T0 — температура оболочки в исходном состоянии, T0 = const > 0; σip
ip
p = 1, 2, 3) — компоненты тензоров напряжений и деформаций в k-м слое.
Замечание 1. Система уравнений и условий (1)–(6) определяет первую краевую задачу
для трехслойной оболочки симметричной структуры, относительно срединной поверхности
заполнителя, состоящей из однородных изотропных слоев (двух несущих слоев и одного
заполнителя).
Замечание 2. Краевая задача (1)–(6) получена по методике работ [1], [4].
Замечание 3. Функция f (x3 ) определяет закон распределения поперечных сдвигов по
толщине заполнителя. Следуя ([1], с. 66), принимаем, что f (x3 ) = x3 − x33 (3c2 )−1 (можно,
используя предлагаемую методику доказательства, рассмотреть вариант с f (x3 ) = x3 ).
Всюду далее используем обозначения из монографии [5], в частности, символы | · |A ,
(·, ·)A обозначают соответственно норму и скалярное произведение в пространстве L2 (A).
Кроме того, Dk = Ω × (hk−1 , hk ), k = 1, 2, 3.
Теорема. Пусть ∂Ω имеет гладкость, достаточную для используемых теорем вложения, и выполняются условия
gi ∈ L2 (Ωi ), ϕ30 ∈ H02 (Ω), ψ30 ∈ H01 (Ω), ϕij ∈ H01 (Ω),
ψij ∈ L2 (Ω), ϕ4 ∈ L2 (D), i = 1, 2, j = 0, 1. (7)
Тогда
задачи (1)–(6) в обобщенном смысле,
30 , θ}
1) существует хотя бы одно решение {
uij , u
т. е.
∂
u30
∈ L∞ (t0 , t; H01 (Ω)); θ ∈ L∞ (t0 , t1 ; L2 (Ω));
∂t
∂
uij
∈ L∞ (t0 , t1 , L2 (Ω)), i = 1, 2, j = 0, 1; (8)
θ ∈ L2 (t0 , t; H01 (D));
∂t
2) приближенное решение задачи (1)–(6) может быть найдено методом Бубнова–Галёркина, при этом все множество приближенных решений слабо компактно в пространствах из (8), и его предельные точки являются обобщенным решением задачи (1)–(6).
ij ,
u
30 ∈ L∞ (t0 , t; H02 (Ω)); u
О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЙ В СВЯЗАННОЙ ЗАДАЧЕ ТЕРМОУПРУГОСТИ
69
Доказательство теоремы проводится с помощью метода компактности [5], следуя работам [6], [7]. В частности, приближенное решение {unij , un30 , θ n } задачи (1)–(6) определяем с
помощью метода Бубнова–Галёркина в виде
un30
=
n3
k3 =1
g3k3 (t)χ3k3 (x1 , x2 ),
unij
=
nij
gijkij (t)χijkij (x1 , x2 ),
kij =1
θn =
n4
g4k4 (t)χ4k4 (x1 , x2 , x3 ) (i = 1, 2, j = 0, 1),
k4 =1
где {χ3k3 } — базис в H02 (Ω), ортонормированный в L2 (Ω), {χ4k4 } — базис в H01 (D), ортонормированный в L2 (D), {χijkij } — базисные системы в H01 (Ω), ортонормированные в L2 (Ω).
Для приближенных решений, следуя [7], получаем неравенство
3 ∂un30 2
2EK fk (x3 ) ∂un11 ∂un21
ck n 2
∂ 2 un30 2
+
+
+
+
ρk − x3
θ
∂t Dk 1 + νk 2
∂x2
∂x1
∂x1 ∂x2 Dk T0 Dk
k=1
n 2
2 ∂ui0 ∂
∂uni1
∂ 2 un30 2
∂un30 2
Ek n
f
(x
)
−
x
+
ρ
+
ρ
(x
)u
−
x
+
f
+
3
3
k
k
k 3 i1
2 k 3 ∂x
2 ∂t Dk
∂t
∂xi Dk
1
−
ν
∂x
i
D
i
k
k
i=1
2 2 n
2E2 c
4E2 c 2 2
2Eh
Eh
e11 + en22 +
+
+
+
e
+
1+ν
1 + ν2 Ω Ω
1+ν
1 + ν 2 12 Ω
2
t
2 3
df2 (x3 ) 2
λ
E2
k
n
ui1
grad θ dt +
+
2(1 + ν2 )
dx3 D2
T0 t0
Dk
i=1
k=1
2
3 n
2Ek νk
∂ϕn11
∂ϕn21
∂ 2 ϕn30
∂ 2 ϕn30
1
− x3
− x3
+
ρk ψ30 +
fk (x3 )
, fk (x3 )
2
∂x1
∂x2
1 − νk2
∂x21
∂x22
Dk
Dk
k=1
∂ϕn21
ck n 2
∂ 2 ϕn30 2
2Ek fk (x3 ) ∂ϕn11
+
+
+
− x3
ϕ
+
1 + νk 2
∂x2
∂x1
∂x1 ∂x2 Dk T0 4 Dk
2
2 n 2
n
∂ϕni1
∂ 2 ϕn30 2
∂ψ30
Ek n
+ ρk ψi0 + ρk fk (x3 )ψi1 − x3
+
+
2 fk (x3 ) ∂x − x3 ∂x2 ∂x
1
−
ν
i
i
Dk
Dk
i Dk
k
i=1
2 2 n
n
2E2 c
2ν2 E2 c
νEh
Eh
n
n
+
+
e (t0 ) + e22 (t0 )
+2
e11 (t0 ), e22 (t0 ) +
+
1 − ν 2 1 − ν22 11
1 − ν2
1 − ν22
Ω
Ω
Ω
2
2 2 n df (x3 ) 4E2 c n
E2
2Eh
ϕi1
+
e12 (t0 ) +
+
+
1+ν
1 + ν2
2(1
+
ν
)
dx
2
3
Ω
D2
i=1
t
t
∂un30
−1
n
dt + T0
dt, (9)
g1 ,
g2 , θ
+
∂t Ω
t0
t0
D
где
∂uni0
1 ∂uni0 2
1 ∂un10 ∂un20
1 ∂uni0 ∂un30
n
n
− ki u30 +
,
e12 =
+
,
+
eii =
∂xi
2 ∂xi
2 ∂x2
∂x1
2 ∂x1 ∂x2
∂ϕni0
1 ∂ϕn30 2
1 ∂ϕn10 ∂ϕn20
1 ∂ϕn30 ∂ϕn30
n
n
− ki ϕ30 +
, e12 (t0 ) =
+
.
+
eii (t0 ) =
∂xi
2 ∂xi
2 ∂x2
∂x1
2 ∂x1 ∂x2
1
2
70
В.Ф. КИРИЧЕНКО
Учитывая ограниченность сходящихся в соответствующих нормах последовательностей
n }, {ψ n } (i = 1, 2, j = 0, 1) и условия (7), на основании леммы
{ϕnij }, {ϕn30 }, {ϕn4 }, {ψij
30
Гронуолла ([8], с. 152) заключаем, что левая часть неравенства (9) ограничена некоторой
положительной постоянной, не зависящей от n3 , n4 , nij . Таким образом, каждое слагаемое
в левой части (9) ограничено некоторой постоянной γ > 0. Методику получения итоговых
априорных оценок рассмотрим на примере одного из слагаемых:
n 2
c x33 ∂uni1
x33 2
∂ 2 un30 2
∂ui1
− x3
=
dx3
−
x3 −
γ x3 − 2
2
3c
∂xi
3c2
∂xi
∂xi D2
−c
Ω
n 2 n
2 n 2 c
c ∂ui1 ∂ u30
∂ u30
x33
2
x3 −
x3 dx3
dx1 dx2 =
+
x3 dx3
−2
2
3c2
∂xi ∂xi
∂x2i
−c
−c
2 n 2 4 ∂uni1 ∂ 2 un30
∂ u30
68 ∂uni1 2
(2c)3
−2·
+
dx1 dx2 =
2
12
105
∂x
5
∂x
∂x
∂x2i
i
i
Ω
i
n 2 4
∂ui1
4ε ∂ 2 un30 2
68
(2c)3
−
+ 1−
dx1 dx2 , ε > 0, (10)
12
105 5ε
∂xi
5
∂x2i
Ω
где использовано неравенство Коши с “ε” ([8], с. 33).
Пусть 21/17 < ε < 5/4. Тогда из (10) получаем
2 n 2
n 2
∂ui1 c1 , ∂ u30 c1 ,
∂x2 ∂xi Ω
i Ω
где c1 > 0 — некоторая постоянная, зависящая от t1 .
По аналогии с (10), (11) находим
2 n 2
n 2
n
∂ u30 ∂ui1 ∂u11 ∂un21 2
∂x2 + ∂x1 c1 , ∂x1 ∂x2 c1 , ∂t c1 ,
Ω
Ω
Ω
n 2
n 2
∂
∂
∂u
∂u
30 30 c1 , c1 ,
∂x1
∂t ∂x2
∂t Ω
где i = 1, 2. Кроме того, из
n 2
∂ul0 c1 , θ n 2 c1 ,
∂t D
Ω
(11)
(12)
Ω
(9) следуют оценки
n 2
eii c1 , en12 2 c1 ,
Ω
Ω
t
t0
grad θ n 2 dt c1 (l = 1, 2, 3). (13)
D
Здесь c1 > 0 — различные постоянные, зависящие от t1 .
Наличие итоговых априорных оценок (11)–(13) позволяет сделать вывод о том, что множество приближенных решений задачи (1)–(6) слабо компактно в пространствах из (8).
Завершается доказательство теоремы подобно работам [6], [7].
Заметим, что предложенный метод получения априорных оценок может использоваться
при исследовании различных краевых задач, например, для шарнирно опертых трехслойных пологих оболочек и в задачах статики для таких оболочек.
Литература
[1] Григолюк Э.И., Чулков П.П. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек (Машиностроение, М.,
1973).
[2] Григолюк Э.И., Власов В.Ф., Юркевич А.А. Разрешимость граничных задач равновесного состояния
трехслойных оболочек с жестким заполнителем, передающим поперечный сдвиг, ДАН СССР 306 (2),
817–821 (1989).
О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЙ В СВЯЗАННОЙ ЗАДАЧЕ ТЕРМОУПРУГОСТИ
71
[3] Голованов А.И. Динамическая устойчивость трехслойных оболочек, Дисс. . . . канд. физ.-матем. наук
(Казань, 1982).
[4] Кириченко В.Ф. “Проекционные” условия движения термоупругого деформируемого твердого тела и их
применение в теории многослойных ортотропных оболочек, Тр. 18 междунар. конф. по теории оболочек
и пластин, Саратов, изд-во Саратовск. гос. техн. ун-та, Т. 1, 144–155 (1997).
[5] Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач (Мир, М., 1972).
[6] Ворович И.И. О некоторых прямых методах в нелинейной теории колебаний пологих оболочек, Изв.
АН СССР. Сер. матем. 21 (6), 747–784 (1957).
[7] Кириченко В.Ф., Крысько В.А. О существовании решения одной нелинейной связанной задачи термоупругости, Дифференц. уравнения 20 (6), 1583–1588 (1984).
[8] Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики (Наука, M., 1973).
В.Ф. Кириченко
профессор, кафедра математики и моделирования,
Саратовский государственный технический университет,
ул. Политехническая, д. 77, г. Саратов, 410054, Россия,
e-mail: saratuni@list.ru
V.F. Kirichenko
Solvability of a connected thermoelasticity problem for three-layer shells
Abstract. Using a new method for obtaining a priori bounds, we prove the solvability of a connected
thermoelasticity problem “with displacements” for shallow three-layer shells within the Grigolyuk
and Chulkov conjectures, taking into account the geometric nonlinearity.
Keywords: three-layer shell, partial differential equation, generalized solution of nonlinear boundary value problem.
V.F. Kirichenko
Professor, Chair of Mathematics and Modeling,
Saratov State Technical University,
77 Politekhnicheskaya str., Saratov, 410054 Russia,
e-mail: saratuni@list.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
169 Кб
Теги
решение, термоупругость, существования, трехслойная, оболочек, задачи, связанной
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа