close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О существовании решений первой краевой задачи для уравнений третьего порядка составного типа в неограниченной области.

код для вставкиСкачать
ВЕСТН. САМАР. ГОС. ТЕХН. УН-ТА. СЕР. ФИЗИКО – МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ. 2003. №19
Дифференциальные уравнения
УДК 517.956
Т.Д. Джураев, А.Р. Хашимов
О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЙ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ
ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА СОСТАВНОГО ТИПА В НЕОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ
Доказаны теоремы существования первой краевой задачи для уравнения третьего порядка
составного типа в классах функций, растущих на бесконечности.
Интенсивное развитие теории обобщенных функций позволило установить теоремы единственности и существования в соответствующих классах растущих функций для линейных
уравнений эллиптического и параболического типов в областях с некомпактной границей в зависимости от геометрических характеристик области (см. [1, 2]). Для уравнений нечетного порядка, занимающих важное место в прикладных вопросах, аналогичные исследования до
настоящего времени почти не проводились.
Поэтому целью данной работы является исследование в неограниченной области
Ω ⊂ R n+ = {x : x1 > 0} вопроса о существовании обобщенного решения задачи
lAu + Bu = f ( x),
(1)
uσ
где
0 ∪σ 1 ∪σ 2
= 0, l0 u σ = 0,
(2)
1
Au = a ij ( x )u xi x j + a i ( x )u xi + a ( x )u;
Bu = bij ( x)u xi x j + bi ( x )u xi + a( x )u;
lu = l0 u + α ( x)u, l0 u = α k ( x )uxk , Γ = ∂Ω;
σ 0 = {x ∈ Γ : α k ( x)vk ( x ) = 0},
σ 1 = {x ∈Γ : α k ( x)vk ( x) > 0};
σ 2 = {x ∈Γ : α k ( x )vk ( x) < 0}, v( x) = (v1 ,K, vn ) —
единичный вектор внутренней нормали к Γ в точке x .
Здесь и в дальнейшем предполагается, что по повторяющимся индексам ведется суммирования от 1 до n .
Отметим, что вопрос существования обобщенного решения задачи (1), (2) в ограниченной
области исследован в работе [3].
Будем считать, что в некоторой окрестности любой своей точки гиперповерхность Γ представима в виде x j = χ ( x1 ,K, x j −1 ,K , x j +1 ,K, xn ) при каком-либо j , где χ принадлежит классу C 2 .
Предположим, что все коэффициенты в (1), а также функции α ( x) , α k ( x) ( k = 1, n ) и их
производные, встречающиеся в дальнейшем, ограничены и измеримы в любой конечной подобласти Ω .
Далее всюду подразумеваем, что
aij = a ji , a0 | ξ |2 ≤ a ij ξi ξ j ≤ a1 | ξ |2 , d ij = d ji ;
d0 | ξ |2 ≤ d ij ξi ξ j ≤ d1 | ξ |2 , c1ij = c1ji , c10 | ξ |2 ≤ c1ijξiξ j ≤ c11 | ξ |2 ;
n
∑ α
k =1
k
2
( x )  ≠ 0, c1ij − α i a − c11 < 0;
1
1
1
qij = c1 − c1i xi + c1ijxi x j + (α i a ) ≤ −c0 < 0
2
2
2
n
при x ∈Ω ∪ Γ , ξ ∈ R ; a0 , a1 , d0 , d1 , c10 , c11 , c0 — положительные постоянные,
5
1
d ij = c1ij − (α i a kj ) xk + α i a j + (α k a ij ) xk ;
2
ij
ij
ij
i
i
i
k
i
c1 = b + α a , c1 = b + α a − α xk a , c1 = b + α a − α xkk a .
где
Пусть {Ωτ } — семейство конечных подобластей области Ω , зависящее от параметра
τ ∈Π = {τ : 0 ≤ τ ≤ τ 0 } , τ 0 ≤ ∞ . Будем предполагать, что Ωτ ⊂ Ωτ ' , если τ < τ ' . Обозначим
Sτ = ∂Ωτ \ ∂Ωτ ' . Будем предполагать, что Sτ — связная (n − 1) –мерная поверхность, обладающая той же гладкостью, что и ∂Ω , а её граница ∂Sτ ⊂ ∂Ω .
Положим Γτ = Γ ∩ ∂Ωτ , σ 0,τ = {x ∈Γτ : α k vk = 0}, σ 1,τ = {x ∈Γτ : α k vk > 0} , σ 2,τ = {x ∈ Γτ :
α k vk < 0} . Для h > 0 определим σ 1,h ,τ = {x ∈ σ 1,τ : ρ ( x, ∂σ 1,τ ) > h}, σ 1,hτ = σ 1,τ \ σ 1,h,τ .
Пусть E (Ωτ ) есть множество функций ϑ из класса C 2 (Ωτ ) таких, что ϑ = 0 на Γτ и для
некоторого h > 0 будут l0ϑ = 0 на σ 0,τ ∪ σ 2,τ ∪ σ 1,hτ .
Через H (Ωτ ) обозначим замыкание E (Ωτ ) по норме
1

 2
ij
2
k k ij
ω H ( Ω ) =  ∫ ( d ω xi ω x j + ω ) dx + ∫ α v a ω xi ω x j ds  .
τ
Ωτ

σ1,τ
Рассмотрим билинейную форму
a1 (u,ϑ ) = ∫ α k a ij u xi ϑxi x j + (α k aij ) x j u xi ϑxk − α k ai u xi ϑxk −
Ωτ
−c u ϑ x j + (c
ij
1 xi
ij
1x j
− α a − c )uϑxi + (c1 − c + c
i
i
1
i
1xi
ij
1 xi x j
(3)
)uϑ  dx.
О п р е д е л е н и е. Назовём обобщенным решением задачи (1), (2) в области Ω функцию
u ( x ) , такую, что для любой конечной подобласти Ωτ области Ω , u ( x ) ∈ H (Ωτ ) и выполняется
соотношение
a1 (u,ϑ ) = ∫ f ⋅ ϑ dx
(4)
Ωτ
для произвольной функции ϑ ( x ) ∈ E (Ωτ ) , ϑ = 0 на Sτ .
I. Пусть сначала α k = const , k = 1, n , α1 > 0 . В данном случае в работе [3] доказано принятие обобщенным решением второго из условий (2) в среднем.
Для простоты изложения предположим сначала, что Sτ = Ω ∩ {x : x1 = τ + γ } для любого
τ ∈ [0,τ 0 ] , γ = const .
Введем обозначения:
−1
Q (u ) = d ij u xi u x j − q ij u 2 , g = a1d 0 2 ⋅ (α 1 ) 2 , P (τ ) = sup B( x) ,
{
(
B( x ) = max 2−1 α 1a1 + c1i1 − (α 1a ij )
)
xj
}
,0 .
(5)
Sτ
(6)
Положим
−1

  2  

0 < λ (τ ) ≤ inf   ∫ Q (v) ds  ⋅  ∫ v ds   ,
(7)
v∈N
  Sτ
  Sτ
 
где N — множество функций v , непрерывно дифференцируемых в окрестности Sτ при x ∈ Ω
и равных нулю на Sτ ∩Γ .
Пусть функция Φ(τ ) положительная при τ ∈Π такая, что
−1
Φ (τ ) ≥ λ 2 (τ ) + P (τ )λ −1 (τ ) .
(8)
В дальнейшем на протяжении всей работы изложение будет вестись в зависимости от типа
области. Исходя из этого, рассмотрим два класса областей Ω , для которых выполнено одно из
условий:
А) ∂Φ∂τ(τ ) ≥ ε ∀τ ∈Π , ε = const, 0 < ε < 1 ;
В)
6
∂Φ (τ )
∂τ
<ε
∀τ ∈Π .
Пусть τ ( β ) является решением уравнения
dτ
Φ
=
в случае А)
(9)
d β ετ + Φτ
или уравнения
dτ
Φ
=
в случае В),
(10)
d β ετ + ε
удовлетворяющим условию τ (0) = 0 , где функция Φ такова, что правые части (9) и (10) будут
абсолютно непрерывны.
Для задачи (1), (2) будут справедливы следующие теоремы (см. [4]).
Т е о р е м а 1 (аналог принципа Сен–Венана). Пусть u ( x ) является обобщенным решением задачи (1), (2) в области Ω из класса А), причем
(α 1a i ) xi − (α 1aij ) xi x j + 3c1ijxi x j − 2α i a − 2c11 ≥ 0 и f ( x) = 0 в Ωτ 0 .
(11)
Тогда при любых R0 и R , таких, что 0 ≤ R0 ≤ R , имеет место оценка
 τ ( R ) ε s ds 
Q
(
u
)
dx
≤
exp
(12)
− ∫
 ∫ Q(u )dx .
∫
Ωτ ( R )
τ ( R0 ) Φ ( s ) 
Ωτ ( R )



0
Т е о р е м а 2 (аналог принципа Сен–Венана). Пусть u ( x ) является обобщенным решением задачи (1), (2) в области Ω из класса В), причем выполнены условия (9). Тогда при любых
R0 и R , таких, что 0 ≤ R ≤ R0 , имеет место оценка
τ ( R) + 1
Q(u ) dx ≤
exp {−( R − R0 )} ∫ Q(u ) dx .
(13)
∫
τ ( R0 ) − 1
Ωτ ( R )
Ωτ ( R )
0
Т е о р е м а 3 Пусть для каждой из областей Ωτ ( R ) имеем Λ (Ωτ ( k ) ) > 0 , а функция f ( x )
определена в Ω и удовлетворяет соотношениям
τ (k )

ε s ds 
Λ −1 (Ωτ ( k ) ) ∫ f 2 dx ≤ C5 exp (1 − δ ) ∫
 , k = 1, 2,K ,
Φ( s ) 
Ωτ ( k )
0

где δ = const , 0 < δ < 1 , постоянная C5 не зависит от k , τ ( k ) — функция, определенная в (12).
Тогда существует единственное обобщенное решение u ( x ) задачи (1), (2), для которого справедливы неравенства
τ (k )
ε s ds 

Q(u )dx ≤ C6 exp (1 − δ ) ∫
 , k = 1, 2,K .
∫
Φ( s) 

Ωτ ( k )
0
Для областей из класса В) справедлива следующая теорема.
Т е о р е м а 4. Пусть для каждой из областей Ωτ ( R ) имеем Λ (Ωτ ( k ) ) и пусть функция f ( x )
определена в Ω , удовлетворяет соотношениям
Λ −1 (Ωτ ( k ) ) ∫ f 2 dx ≤ C7 exp {(1 − δ ) k} , k = 1, 2,K ,
Ωτ ( k )
где δ = const , 0 < δ < 1 , ε = const , 0 < ε < 1 , постоянная C7 не зависит от k , τ ( k ) — функция,
определенная в (13). Тогда существует единственное обобщенное решение u ( x ) задачи (1), (2),
для которого справедливы неравенства
∫ Q(u)dx ≤ C7 exp{(1 − δ )k} , k = 1,2,K.
Ωτ ( k )
З а м е ч а н и е. Аналогичные результаты могут быть получены, когда Sτ = Ω ∩ {| x |= τ + γ } .
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.
2.
3.
4.
Олейник О.А., Иосифьян Г.А. // УМН. 1976. Т.XXXI. Вып. 6(113). С. 142–166.
Олейник О.А., Иосифьян Г.А. // Математический сборник. 1980. № 4. С. 588–610.
Кожанов А.И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка. Новосибирск: НГУ,
1990. 131 с.
Хашимов А.Р. // Узбекский математический журнал. 2001. № 5–6. С. 64–71.
Поступила 25.05.2003 г.
7
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа