close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О существовании семейств rm2n-1 допускающих проективное изгибание второго порядка.

код для вставкиСкачать
2002
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 1 (476)
УДК 514.755
Т.Б. ЖОГОВА
О СУЩЕСТВОВАНИИ СЕМЕЙСТВ
R2mn;1 ,
ДОПУСКАЮЩИХ
ПРОЕКТИВНОЕ ИЗГИБАНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
В данной работе, являющейся продолжением [1], изучаем проективное изгибание семейств
В первой части работы исследуется особое решение системы, определяющей проективное изгибание 2-гоm порядка семейств Lm2n;1. Доказано существование классов проективно изгибаемых
семейств L2n;1 в особом случае. Вторая часть посвящена изучениюmгеометрического смысла
особого решения. Оказалось, что в особом случае только семейства R2n;1 допускают непрерывное проективное изгибание 2-го порядка с одним произвольным
параметром. В заключительной
части доказано, что при n 5 любое семейство R2mn;1 также допускает в особом случае непрерывное проективное изгибание 2-го порядка с одним произвольным параметром.
Условимся, что по индексам i, j , k, l суммирования нет и если они находятся в одном и
том же математическом выражении, то не принимают равные значения (т. е., напр., i 6= j ). По
индексам p, q, r всегда проводится суммирование. Все индексы принимают значения от 1 до n
включительно.
Lm2n;1 в смысле Фубини{Картана ([2], гл. 5, п.55, с. 102).
1. Особое решение задачи изгибания семейств
Lm2n;1
В проективном пространстве P2n;1 введем проективный репер fAi ; An+i g с инфинитезимальными перемещениями
dAi = !ipAp + !in+pAn+p ; dAn+i = !np +i Ap + !nn++ip An+p :
Как и в [1], рассмотрим семейство Lm2n;1 , которое описывается (n ; 1)-плоскостью
Ln;1 = (A1 : : : An);
где Ai | фокусы (n ; 1)-плоскости Ln;1. Обозначим !in+i = !i, и фокальное
направление фокуса
Ai определим уравнением !i = 0. За независимые формы семейства Lm2n;1 примем формы !k ,
k = 1; m, 2 m n. Отнеся семейство Lm2n;1 к реперу 1-го порядка, получим
!in+j = 0:
(1)
Отсюда внешним дифференцированием находим
!ij ^ !j ; !nn++ij ^ !i = 0:
(2)
Аналогично,
семейство
Lm2n;1, которое изгибанием 2-го порядка наложимо на семейство
Lm2n;1 , отнесем к реперу 1-го порядка fBi ; Bn+i g с инфинитезимальными перемещениями
dBi = piBp + ni +pBn+p ; dBn+i = pn+i Bp + nn++pi Bn+p :
Тогда будут иметь место уравнения
ni +j = 0:
(3)
31
Для дальнейшего исследования необходимо иметь замкнутую систему уравнений, определяющую семейство Lm2n;1 вместе с семейством Lm2n;1 ([1], с.14). Запишем эту
,
обозначив ее через I. Она содержит, кроме уравнений (1){(3), уравнения
!ei = 0; !eii ; !e nn++ii = 0; !e ij = 0; !e nn++ij = 0;
(4)
i
!e n+i ^ !i = 0;
(5)
(!eii ; !ejj ) ^ !ij ; !enj +i ^ !i = 0; (!eii ; !ejj ) ^ !nn++ij + !e nj +i ^ !j = 0;
(6)
где введены обозначения
ni +i = i ; ; ! = !e ; ; = 1; 2n:
При m = 2 эта система находится в инволюции. На втором интегральном элементе значения
форм !e ii ; !e11, !k , k = 3; n, можно считать произвольными, а значения форм !ij , !nn++ij , !enj +i
определяются полярной системой системы уравнений (2), (6). Если зафиксировать i, j , то ранг
sij этой системы равен трем при условии, что
!i!j (!e ii ; !ejj ) 6= 0
на первом интегральном элементе. Но ранг этой системы падает, если
!e ii ; !e jj = 0;
(7)
что соответствует особому интегральному элементу. Если уравнения (7) имеют место для всех
интегральных элементов, то получим особое интегральное многообразие.
Заметим, что обращение в нуль одной из форм !i приводит к вырождению семейства L22n;1.
Если m = n и n > 2, то система I не в инволюции. Как известно ([1], с.15), в этом случае замкнутая система уравнений состоит из уравнений системы I, к которой добавляются уравнения
!eii ; !e 11 = ai !i ; a1 !1 ; aj ^ !j = 0;
где
aj = daj + aj (!jj ; !nn++jj ):
Теперь ранг sij1 полярной системы уравнений (2), (6) при фиксированных i, j равен трем не
только при m = n, но и при m 6= n, если
!i !j (ai !i ; aj !j ) 6= 0:
Ранг этой полярной системы понижается когда ai = 0, и приходим к уравнениям (7).
Таким образом, присоединяя к системе I уравнения (7), будем исследовать особое решение
системы I.
Из уравнений (6) в силу (7) получим
!e nj +i = 0:
(8)
Внешнее дифференцирование уравнений (7) приводит к тождествам, а уравнений (8) | к уравнениям
!e ni +i ^ !ij ; !e nj +j ^ !nn++ij = 0:
(9)
Таким образом, в особом случае имеем замкнутую систему уравнений (1), (3), (4), (7), (8);
(2), (5), (9) (
II). В следующих теоремах под проективным изгибанием понимается проективное изгибание 2-го порядка.
Если m = 2, n > 2, то система II будет содержать q = 2(n2 ; 1) искомых форм: !ij , !nn++ij , !eni +i,
!k , k = 3; n. Применяя к уравнениям (2) лемму Картана, получим
!ij = aji !j + cji !i ; !nn++ij = bji !i ; cji !j :
(10)
систему уравнений
система
32
Из уравнений (5) следует, что
e
!ni +i = i !i :
(11)
i aji + j bji = 0:
(12)
В силу (10), (11) из уравнений (9) получим
Полагая
!k = rk !r ;
(13)
где r = 1; 2, получим N = 2n2 + n ; 4, а т. к. s1 = 2n2 ; n, s2 = n ; 2, N = Q, то система II | в
инволюции и справедлива
Теорема 1. В особом случае при
n > 2 класс проективно изгибаемых семейств L22n;1 зави-
n ; 2 произвольных функций двух аргументов.
Если m = n, то q = n(2n ; 1), N = s1 = n(2n ; 1) и, следовательно, система II | в инволюции,
сит от
т. е. имеет место
Теорема 2. В особом случае класс проективно изгибаемых семейств
Ln2n;1
зависит от
n(2n ; 1) произвольных функций одного аргумента.
Если m отлично от 2 и n, то система II не в инволюции и ее нужно продолжать. Сделаем
частичное продолжение этой системы, присоединяя к ней уравнения (13), в которых r = 1; m.
Дифференцируя эти уравнения внешним образом, получим
rk ^ !r = 0; r = 1; m; k = m + 1; n;
(14)
где
jk = djk + jk (!jj ; !kk ; !nn++jj + !nn++kk ); j = 1; m:
Сделанное частичное продолжение системы II корректно, что следует из теоремы 2.2 [3]. Вновь
полученная замкнутая система находится в инволюции с характерами
s1 = 2n2 ; m; s2 = = sm = n ; m:
(15)
Таким образом, доказана
Теорема 3. В особом случае класс проективно изгибаемых семейств
Lm2n;1
существует с
(15)
Отметим, что эта теорема справедлива при любых допустимых значениях m и n: m > 1,
n > 2, m n.
При m = n = 2 имеем утверждение о проективном изгибании гиперболической конгруэнции
в P3 в особом случае ([4], гл. 13, п.272, с. 495).
произволом, определяемом характерами
.
2. Геометрический смысл особого решения
Известно [5], что семейство Lm2n;1 существует с произволом, определяемым характерами
s1 = s2 = n(n ; 1) + n ; m; s3 = = sm = n ; m:
Отсюда следует, что произвол существования семейств L22n;1 и Ln2n;1 больше
произвола решений,
указанных в теоремах 1 и 2. Таким образом, изгибаемое семейство Lm2n;1 в особом случаеm не
может быть произвольным и, следовательно, нужно найти те ограничения на семейство L2n;1,
при которых оно допускало бы проективное изгибание 2-го порядка.
Для этого рассмотрим систему II и продолжим ее. Изгибаемое семейство Lm2n;1 определяется замкнутой системой уравнений (1), (2), из которых следуют уравнения (10). Из уравнений
33
(5) следуют уравнения (11). В силу (10) и (11) уравнения (9) приводят к конечным соотношениям (12), которые связывают компоненты 2-го фундаментального
объекта семейства Lm2n;1 с
m
компонентами 3-го фундаментального объекта семейства L2n;1 .
Делая в уравнении (12) замену индексов i $ j , считая их фиксированными, получим однородную систему двух линейных уравнений. Определитель этой системы
aji aij ; bji bij = 0:
(16)
Действительно, в противном случае k = 0, и все формы !e обращаются в нуль, т. к. без ограничения общности можно считать, что
Xn (!err + !enn++rr) = 0:
r=1
Делая в уравнении (12) циклическую замену индексов i ! j ! k ! i, получим систему трех
линейных однородных уравнений относительно функций i , j , k . Отбрасывая тривиальное
решение, получим
aji akj aik + bji bkj bik = 0:
(17)
Уравнения (16), (17) дают ограничение на второй фундаментальный объект семейства Lm2n;1
и, следовательно, система уравнений (1), (2) не в инволюции и ее необходимо продолжать. Продифференцировав внешним образом уравнения (10), получим
aji aji ^ !j + cji ^ !i = 0; bji bji ^ !i ; cji ^ !j = 0;
где
aji = d ln aji + 2!jj ; !ii ; !nn++jj ; (ajp=aji )!ip;
bji = d ln bji + !ii ; 2!nn++ii + !nn++jj + (bpi =bji )!nn++pj ;
cji = dcji + cji (!jj ; !nn++ii ) + cpi cjp !p + !nj +i; p 6= i; j:
Отсюда следует, что функции cji приводятся к нулю за счет вторичных форм !nj +i . Тогда уравнения (10) принимают вид
!ij = aji !j ; !nn++ij = bji !i :
(18)
m
Репер с компонентами (1), (18) | репер 2-го порядка семейства L2n;1 .
Уравнения (16), (17) можно разрешить, полагая
bji = tji aji :
(18 )
Тогда
tji tij = 1; tji tkj tik = ;1;
(19)
и уравнения (18) принимают вид
!ij = aji !j ; !nn++ij = tji aji !i :
(20)
Продолжая эту систему уравнений, получим
aji = ajij !j + ajii !i; !nj +i = aji ajii !j + tji aji bjij !i ;
(21)
tji = bjii !i ; (ajij + bjij )!j ;
где
tji = d ln tji + 2(!ii ; !jj ; !nn++ii + !nn++jj ):
Продифференцировав обычным образом уравнения (19), в силу (21) получим bjii = aiji + biji ,
bjii = biki + aiki . Последняя серия уравнений справедлива при любых значениях индексов j и k,
34
отличных от i, и, следовательно, можно ввести новые функции, полагая bjii = biki + aiki = bi . Тогда
уравнения (21) примут вид
aji = ajij !j + ajii !i; !nj +i = aji (ajii !j + tji (bj ; ajij )!i );
(22)
tji = bi!i ; bj !j :
Продифференцировав внешним образом последнюю серию уравнений (22), получим
bi ^ !i ; bj ^ !j = 0:
Наиболее общее алгебраическое решение этой системы имеет вид bk = ck !k и, следовательно,
bi ^ !i = 0;
(23)
где
bi = dbi + bi (!ii ; !nn++ii) + 4(!ni +i ; aip!ip); p 6= i:
Внешним дифференцированием первых двух серий уравнений (22) находим
ajij ^ !j + ajii ^ !i = 0; ajii ^ !j ; tji ajij ^ !i = 0;
(24)
где
ajij = dajij + ajij (!jj ; !nn++jj ) + 3!nj +j ; 3ajq !jq ; tqj aqj !nn++qj +
+ (ajp =aji )(ajij ; ajpj )!ip + (bj ; ajij )2 !j ; bj ;
ajii = dajii + ajii (!ii ; !nn++ii + ajii !i) ; !ni +i +
+ (ajp =aji )(ajii !ip ; ajpp !nn++ip ; !np+i ); q 6= j; p 6= i; j:
Заметим, что уравнения (12) не дают больше никаких ограничений на фундаментальный
объект 2-го порядка семейства Lm2n;1. Действительно, из уравнений (19) следует, что
ti1 = 1=t1i ; tji = ;t1i =t1j ;
(25)
т. е. среди функций tji независимыми являются только n ; 1 функций t1i , и если, например, n > 3,
то из уравнений (12) следуют уравнения
aji akj alk ail ; bji bkj blk bil = 0;
которые в силу уравнений (18 ), (25) обращаются в тождества.j
В силу уравнений (18 ) из уравнений (12) следует i = ;j ti , т. е. i = ;1t1i , и система (11)
принимает вид
!en1 +1 = 1 !1 ; !e ni +i = ;1 t1i !i :
(26)
Отсюда внешним дифференцированием находим
1 ^ !1 = 0; 1 ^ !i = 0;
где
+1 ) ; b ! ;
1 = d ln 1 + 2(!11 ; !nn+1
1 1
и, следовательно, в силу !1 ^ !i 6= 0 получим
+1 ):
d ln 1 = b1 !1 ; 2(!11 ; !nn+1
(27)
Внешнее дифференцирование этого уравнения приводит к тождеству. Таким образом, имеем
замкнутую систему уравнений (1), (3), (4), (7), (8), (13), (19), (20), (22), (26), (27); (14), (23),
(24), назовем ее m
, которая является продолженной системой системы II.
В [6] семейство L2n;1 при n > 2 названо семейством R2mn;1 , если
Jij = aji aij =bji bij = 1; Jijk = aji akj aik =bji bkj bik = ;1:
большой системой
35
Эти уравнения тождественно совпадают
с уравнениями (16), (17). Таким образом, в особом
случае изгибаемое семейство Lm2n;1 является семейством R2mn;1.
Далее, из уравнений (4) следует, что фундаментальный объект 2-го
порядка
семейства
Lm2n;1
совпадает с фундаментальным
объектом 2-го порядка семейства Lm2n;1, т. е. в особом случае на
m
изгибаемое семейство
R2n;1 может налагаться проективным изгибанием 2-го порядка только
m
семейство R2n;1.
Рассмотрим большую систему. Эта система находится в инволюции
mкак продолженная сиm
стема инволютивной системы II, и она определяет семейства R2n;1 и R2n;1. Заметим, что при
m = n уравнения (13), (14) аннулируются.
Подсистему большой системы (1), (13), (19), (20), (22); (14), (23), (24) будем называть
. Легко проверить, что малая система является замкнутой, она находится в инволюции с характерами (15) при любых допустимых m и n. Отметим, что малую
систему можно
рассматривать как самостоятельную, определяющую некоторое семейство R2mn;1 , независимо от
большой системы.
Действительно, ее можно получить, если на 2-й фундаментальный объект
семейства Lm2n;1 наложить условия (16), (17), характеризующиеmсемейства R2mn;1.
Зададим решение малой системы, т. е. зададим семейство R2n;1, определяемоe малой системой, и подставим это решение в большую систему. Тогда уравнения малой системы обратятся
в тождества, а оставшаяся замкнутая система уравнений
(3), (4), (7), (8), (26), (27), являясь
вполне интегрируемой, будет определять семейство Rm2n;1 с произволом в 4n2 постоянных. Заметим, что при интегрировании этой системы существенной постоянной является только одна
постоянная, а именно, та, которая получается при интегрировании уравнения (27).
Действительно, если 1 = 0, то все формы !e приводятся
к нулю и изгибание семейства R2mn;1
m
становится тривиальным | семейства R2mn;1 иm R2n;1 проективно эквивалентны. Таким образом,
доказано, что в особом случае семейство R2n;1 допускает изгибание с одним произвольным
параметром, т. е. справедлива
n2
Lm2n;1
2
m
малой
системой
Теорема 4. При
ективное изгибание
семейство
R2n;1.
семейством
, допускающим в особом случае непрерывное про-
-го порядка с одним произвольным параметром, может быть только
Заметим, что при n = 2 геометрический смысл особого решения указан в ([4], гл. 13, п.273,
с. 496).
3. Проективное изгибание семейств
R2mn;1
Выше было доказано, что вm особом случае изгибаются только семейства R2mn;1. Для произвольно заданного семейства R2n;1 поставим теперь вопрос о возможности проективного изгибания 2-го порядка, зависящего
от одного произвольного параметра.
Отнесем семейство R2mn;1 к реперу fAi ; An+mi g и в репере 2-го порядка определим семейство
R2mn;1 малой системой уравнений. Семейство L2n;1 , которое изгибанием 2-го порядка наложимо
на семействоm R2mn;1, отнесем к реперу 1-го порядка fBi ; Bn+i g. Тогда условия наложимости
семейства L2n;1 на семейство R2mn;1 определятся
замкнутой системой уравнений
(3){(6). Из
m
m
уравнений
(4) следует, что семейство L2n;1 будет являться семейством R2n;1, т. е. на семейство
R2mn;1 проективным изгибанием 2-го порядка может налагаться только семейство класса R2mn;1 .
Замкнутая система уравнений: малая система, уравнения (3){(6) (
III) определяет
семейства R2mn;1 и Rmm2n;1, находящиеся в соответствии проективного изгибания 2-го порядка.
Зададим семейство R2n;1, определяемоe малой системой уравнений, т. е. зададим решение малой
системы и подставим это решение в систему III. Тогда уравнения малой системы обратятся в
тождества, останутся уравнения (3){(5), а уравнения (6) в силу (20) примут вид
aji (!ejj ; !e ii ) ^ !j + !e nj +i ^ !i = 0;
tji aji (!eii ; !e jj ) ^ !i + !e nj +i ^ !j = 0;
система
36
и их наиболее общее алгебраическое решение имеет вид
!e jj ; !e11 = xj !j ; x1 !1; !e nj +i = ;aji (tji xj !i + xi !j ):
(28)
Отсюда внешним дифференцированием находим
xj ^ !j ; x1 ^ !1 = 0;
j
j
i
(!ei ; !ej ; ai ) ^ !enj +i + tji aji (xj + xj tji ; !enj +j ) ^ !i +
(29)
+(!eii ; !ejj ) ^ !nj +i + aji (xi + !eni +i) ^ !j ; 2tpi apiajp xp!i ^ !j = 0; p 6= i; j;
где
xi = dxi + xi (!ii ; !nn++ii):
Наиболее общее алгебраическое решение первой серии уравнений (29) имеет вид
xi = yi!i ;
а из уравнений (5) следуют
уравнения (11). Тогда вторая серия уравнений (29) с учетом (22)
после сокращения на aji 6= 0 приводит к уравнениям
2ajii xi + 2tji (bj ; ajij )xj ; 2tpi api ajpxp=aji + yi ; tji yj + i + tji j ; x2i ; tji x2j = 0; p 6= i; j: (30)
Эти уравнения
связывают
третьи
фундаментальные
объекты
семейств
R2mn;1 и Rm2n;1 . Так как
семейство R2mn;1 задано, то уравнения (30) не должны давать ограничений на семейство R2mn;1.
Симметрируем уравнения (30). Считая индексы i иj j фиксированными, сделаем замену индексов i $ j и полученное уравнение умножим на ti . Подсчитывая полуразность исходного и
найденного уравнений и учитывая (19), получим
yi ; tji yj = (bi ; aiji ; ajii )xi ; tji (bj ; ajij ; aijj )xj + tpi(api ajp =aji + apj aip =aij )xp ; p 6= i; j: (31)
Обозначая через Aij правую часть уравнения (31) и делая циклическую замену индексов i !
j ! k ! i, получим
yi ; tji yj = Aij ; yj ; tkj yk = Ajk ; yk ; tik yi = Aki :
Отсюда, учитывая (19), находим
2yi = Aij + tji Ajk ; tki Aki ; 2yj = Ajk + tkj Aki ; tij Aij ; 2yk = Aki + tik Aij ; tjk Ajk :
Полагая i = 1, j = 2, k = 3, а затем в последней серии уравнений i = 1, j = 2, получим
2y1 = A12 + t21A23 ; t31A31 ; 2y2 = A23 + t32A31 ; t12A12;
(32)
2y3 = A31 + t13A12 ; t23A23 ; 2yk = Ak1 + t1k A12 ; t2k A2k ; k = 6; n:
Обозначим уравнение (31) символом [i; j ]. Тогда из уравнений [4; 1], [5; 2], учитывая (32), находим
2y4 = 2A41 + t14A12 ; t24A23 + t34A31;
(33)
2y5 = 2A52 + t25A23 ; t35A31 + t15A12:
Уравнения (32), (33) определяют функции yi через переменные xi , причем линейно.
Исключив в уравнениях (31) функции yi при помощи уравнений (32), (33) и перенеся все
слагаемые влево, получим однородную линейную систему уравнений на переменные xi , которую обозначим через (). Члены каждого уравнения системы () расположим по убывающим
номерам переменных xi.
Важно заметить, что в уравнении [i; j ] системы () в коэффициенте при переменной xi имеется функция ajii , которой нет ни в каком другом из уравнений системы (), и нет в уравнениях
(32), (33). Покажем, что система () имеет только тривиальное решение при n 5.
Действительно, имеем n(n ; 1)=2 независимых уравнений (31), из которых нужно взять n
уравнений для определения функций (32), (33). После этого в системе () должно остаться
37
n(n ; 1)=2 ; n n уравнений. Отсюда следует, что n 5. Будем считать, что это требование
выполнено. Из системы () возьмем следующие n уравнений, записав их в порядке
[n; n ; 1]; : : : ; [i; i ; 1]; : : : ; [4; 3]; [5; 3]; [4; 2]; [5; 1]:
(34)
Эта система является линейной однородной системой, которая содержит n уравнений на n переменных xi. Рассмотрим матрицу n этой системы и ее элементы, расположенные по главной
диагонали.
Учитывая специфическую запись системы (34), нумерацию строк и столбцов n удобно считать снизу вверх и справа
налево. Тогда на пересечении i-й строки и i-го столбца n будет
находиться функция aiii;1 при i > 3.5 В первой,
второй и третьей строках главной диагонали находятся соответственно функции a11 , a422, a533 . Таким образом, определитель матрицы n имеет
с точностью до знака единственный член
a511 a422 a533
Yn aiii;1;
i=4
не имеющий себе подобных членов и, следовательно, n 6= 0. Отсюда следует, что система ()
имеет только тривиальное
решение xi = 0. Если потребовать n = 0, то получим ограничение
на семейство R2mn;1.
Итак, теперь из уравнений (28) следуют уравнения (7) и (8), т. е. приходим к особому решению и, следовательно, справедлива
n5
R2mn;1
2
Вопрос о справедливости утверждения теоремы 5 при n 4 остается открытым. Тем не
менее, из теорем m4 и 5 следует новое определение семейств R2mn;1: при n 5 семейства R2mn;1
суть семейства L2n;1, которые изгибаются в особом случае.
Теорема 5. При
ективное изгибание
1.
2.
3.
4.
5.
6.
любое семейство
допускает в особом случае непрерывное про-
-го порядка, зависящее от одного произвольного параметра.
Литература
Жогова Т.Б.
Lm2n;1 // Изв. вузов. Математика. { 1997. { Є9. { С.13{16.
Фиников С.П.
. { М.: Гостехиздат, 1956. { 443 с.
Макеев Г.Н.
// Изв. вузов. Математика. { 1980. { Є1. { С.39{44.
Фиников С.П.
. { М.{Л.: ГИТТЛ, 1950. { 528 с.
Макеев Г.Н.
// Изв. вузов. Математика. {
1975. { Є 2. { С. 123{125. m
Макеев Г.Н.
R2n;1 n2n;1 // Изв. вузов. Математика. { 1990. { Є1. { С.84-86.
Проективное изгибание второго порядка семейств
Теория пар конгруэнций
К вопросу об инволютивности систем уравнений Пфаффа
Теория конгруэнций
О некотором обобщении преобразований Лапласа
Семейства
и
Нижегородский государственный
Поступили
педагогический университет
первый вариант
10:12:1999
09:08:2001
окончательный вариант
38
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
145 Кб
Теги
существования, проективные, допускающих, rm2n, изгибаний, порядке, семейство, второго
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа