close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О существовании сильных решений для дифференциальных включений типа Ланжевена на римановых многообразиях.

код для вставкиСкачать
УДК 514.8; 519.248.2
О СУЩЕСТВОВАНИИ СИЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ ТИПА ЛАНЖЕВЕНА
НА РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ
© 2006 Ю. Е. Гликлих, А. В. Обуховский
Ю. Е. Гликлих – профессор, доктор физико-математических наук, профессор,
yeg@math.vsu.ru
Курский государственный университет,
А. В. Обуховский – ассистент, кандидат физико-математических наук,
avo-ob@mail.ru
Воронежская государственная лесотехническая академия
Доказана
новая
теорема
существования
сильных
решений
дифференциальных включений типа Ланжевена на римановых многообразиях,
описывающих механические системы на сложных конфигурационных
пространствах с разрывными силами, которые содержат случайную
составляющую.
Стохастические дифференциальные включения типа Ланжевена на
римановых многообразиях возникают при описании механических систем на
искривленных конфигурационных пространствах, у которых силовое поле
содержит случайную составляющую и при этом может быть разрывно или
иметь управляющий параметр. Математически корректное описание этих
включений было осуществлено в [Gliklikh 2001: 173–190]. Там же и в
[Обуховский 2001: 102–106] были получены некоторые общие теоремы
существования слабых решений, а также одно утверждение о существовании
сильных решений в случае, когда случайное возмущение силы порождено
одномерным винеровским процессом.
В настоящей работе доказывается теорема существования сильных
решений для включений типа Ланжевена на n-мерном многообразии в
случае, когда случайная составляющая силы имеет вид σw(t), где σ>0 –
вещественная константа, w(t) – n-мерный винеровский процесс, и
детерминированная составляющая силы удовлетворяет некоторым
естественным условиям.
Исследование частично поддержано грантами РФФИ N 03-01-00112 и
N 04-01-00081, а также грантом VZ-010-0 Министерства образования РФ и
CRDF.
Рассмотрим
n-мерное
риманово
многообразие
M
как
конфигурационное пространство механической системы. В случае
детерминированных внешних сил траектории движения этой механической
системы описываются вторым законом Ньютона, выраженным в терминах
ковариантной производной связности Леви-Чивита римановой метрики (см.
[Гликлих 1989: 1-189], [Гликлих 2005: 1-416]). Будем предполагать, что
риманово многообразие M полно. Механический смысл этого
предположения заключается в том, что без действия внешних сил частица не
уходит в бесконечность за конечное время.
Пусть F(t,m,X) – многозначное силовое векторное поле и A(t,m,X) многозначное (1,1)-тензорное поле на M. Другими словами, для каждого
t∈[0,l], m∈M, и X∈ TmM, мы имеем многозначный вектор F(t,m,X)∈TmM и
многозначный линейный оператор A(t,m,X):TmM→ TmM.
Будем использовать конструкцию, рассмотренную, например, в
[Гликлих 1989: 22-24], [Гликлих 2005: 248-250]. Зафиксируем винеровский
процесс w(t) в Rn и реализуем его в касательных пространствах к M.
Обозначим через w’(t) соответствующий белый шум в касательных
пространствах. Тогда включение типа Ланжевена описывает поведение
системы под действием силового поля F(t,m,X)+A(t,m,X)w’(t).
Пусть m0∈M. Обозначим через S оператор, который переводит
непрерывную кривую v(t) в Tm0M в C1-кривую Sv(t) в M такую, что
v(0)=m0 и при любом t вектор (d/dt)Sv(t) ∈ Tm(t)M параллелен относительно
связности Леви-Чивита вдоль самой кривой S v(•) вектору v(t) ∈ Tm0M.
Через Γ обозначим оператор, который для любой C1-кривой u(t) в M при
любом t осуществляет параллельный перенос относительно связности ЛевиЧивита вдоль кривой u(•) из точки u(t) в точку u(0). Конструкция и
свойства этих операторов подробно изложены в [Гликлих 2005: 100-111].
Пусть f(t,m,X) - однозначное силовое векторное поле и a(t,m,X) –
однозначное (1,1)-тензорное поле на M. В [Гликлих 1989: 93-97] (см. также
[Гликлих 2005: 312-319]) показано, что движение механической системы под
действием силы вида f(t,m,X)+a(t,m,X)w’(t) с начальными условиями
ξ(0)=m0, ξ’(0)= C ∈ Tm0M описывается уравнением
t
ξ(t)= S ( ∫ Γf (τ,ξ(τ),ξ’(τ))dτ +
0
t
∫
Γ a (τ,ξ(τ),ξ’(τ))dw(τ)+ C).
(1)
0
(специальная форма уравнения Ланжевена). Заметим, что по
построению процесс ξ(t) имеет п.н. C1-гладкие траектории, и поэтому
производные ξ‘(t) корректно определены.
Уравнение
t
v(t)=
∫
0
t
Γf (τ,S v(τ),(d/dτ) S v(τ))dτ + ∫ Γ a(τ,S v(τ),(d/dτ) S v(τ))dw(τ)+C
0
(2)
в Tm0M называется уравнением годографа скорости для (1). Показано
(см., например, [Гликлих 1989: 93–97] и [Гликлих 2005: 312–319]), что если
v(t) удовлетворяет (2), то Sv(t) удовлетворяет (1). Уравнение (2) является
уравнением диффузионного типа в касательном (т.е., линейном)
пространстве и поэтому более удобно для исследования.
Для многозначных F и A (см. выше) мы определяем включение
Ланжевена, как формальное выражение вида
t
t
ξ (t)∈ S ( ∫ ΓF (τ,ξ(τ),ξ’(τ))dτ+ ∫ ΓA (τ,ξ(τ),ξ’(τ))dw(τ)+C).
0
(3)
0
Его точный математический смысл состоит в том, что случайный
процесс ξ (t) является сильным решением (3) в смысле следующего
определения.
Определение 1. Будем говорить, что (3) имеет сильное решение ξ (t)
на [0,T]⊂ R с начальными условиями ξ(0)=m0, ξ(0)=C, если на любом
вероятностном пространстве (Ω , F , P), допускающем винеровский
процесс, и для любого винеровского процесса w(t) в Rn, определенного на (Ω ,
F , P), существуют: п.н. C1 стохастический процесс ξ(t) со значениями в M,
определенный на(Ω , F , P), неупреждающий относительно w(t) и имеющий
начальные условия ξ (0)=m0 и ξ'(0)=C, а также однозначное векторное поле
f(t,m,X) на M и однозначное (1,1)-тензорное поле a(t,m,X) такие, что
(i) для всех t случайный вектор f(t, ξ(t), ξ’(t)) принадлежит F (t, ξ(t),
ξ’(t)) P -п.н.;
(ii) для всех t случайный тензор a(t, ξ(t), ξ’(t)) принадлежит A(t, ξ(t),
ξ’(t)) P -п.н.;
t
(iii) интегралы
∫
0
Γf(τ, ξ(τ), ξ’(τ))dτ,
t
∫
Γa(τ, ξ(τ), ξ’(τ))dw(τ) корректно
0
определены для ξ(t), w(t), f и a и P-п.н. для всех t ∈[0,T] выполнено (1).
Далее, мы будем искать f и a из Определения 1 и процесс v(t) в
Tm0M такие, что v(t) являющееся сильным решением уравнения (2) с этими a
и f, и затем получим ξ(t)= Sv(t), удовлетворяющее (1), т.е. являющееся
сильным решением (3).
Зафиксируем T > 0. Обозначим через B Борелевскую σ-алгебру на
отрезке [0,T] и через λ меру Лебега на [0,T]. Рассмотрим в качестве Ω
банахово пространство Ω = C0([0,l], Tm0M) непрерывных кривых x: [0,T] →
Tm0M
и в качестве F
- σ-алгебру, порожденную цилиндрическими
множествами на Ω.
Мы будем использовать несколько мер на (Ω , F) для каждой из
которых введем на [0,T]×Ω соответствующую меру.
Рассмотрим отображение f: [0,T]×Ω → TM, где f(t,x(•)) = f(t, Sx(t),
(d/dt) S x(t)). Введем также a(t,x(•))=a(t, Sx(t), (d/dt) S x(t)). Тогда отображения
Γf, Γa действуют из [0,T]×Ω в Tm0M.
Далее мы будем рассматривать случай, когда a(t,m,X) имеет вид
a(t,m,X)=σI, где σ>0 - вещественная константа, а
I – тождественное
отображение. Тогда включение (3) приобретает вид
t
ξ (t)∈ S ( ∫ ΓF (τ,ξ(τ),ξ’(τ))dτ + σw(τ) + C).
(4)
0
Определение 2. Мы будем говорить, что многозначное векторное поле
B:[0,l]× TM → comp TM
(i) диссипативно если для всех t∈ [0,T], m ∈ M, X,Y∈ TmM и U∈
B(t,m,X), V∈ B(t,m,Y) выполнено неравенство <X-Y,U-V>≤ 0 .
(ii) максимально если для t, m, X, Y и V из (i) неравенство <X-Y,U-V>≤ 0
эквивалентно предположению, что U∈ B(t,m,X).
Теорема 1. Пусть для любых t∈ [0,T], (m.X) ∈ TM многозначное
силовое поле F(t,m,X) максимально, диссипативно и существует такая
положительная константа K, что в любом TmM Dist(0,F(t,m,X))<K, где
Dist(0,F(t,m,X))=inf{|y|: y∈ F(t,m,X)}. Тогда для любого m0∈ M и X0∈ Tm0M
существует сильное решение ξ(t) включения типа Ланжевена (4) с
начальными условиями ξ(0)=m0, (d/dt) ξ(t)|t=0=X0, которое существует при
t∈ [0,T].
Доказательство. Пусть на вероятностном пространстве (Ω, F, P)
задан винеровский процесс w(t) со значениями в Tm0M, подчиненный
полной фильтрации F t . Рассмотрим в Tm0M включение
t
v(t) ∈ ∫ ΓF(τ,Sv(τ), (d/dτ)Sv(τ))dτ + σw(τ) + C,
(5)
0
являющееся многозначным аналогом уравнения годографа скорости (2)
для включения (4). В условиях теоремы для этого включения выполняются
условия теоремы 4.1 из [Perttersson 1997: 29–45] и, таким образом,
существует сильное решение v(t) включения (5) с начальными условиями
v(0)=X0. Это означает, что v(t) задан на (Ω, F , P) при t ∈ [0,T], не
упреждает относительно F t и P-п.н. имеет непрерывные траектории. Кроме
того, существует однозначное векторное поле f* (t,x) на Tm0M такое, что f*
(t,v(t)) P-п.н. принадлежит
Γ F (τ,S v(τ),(d/ dτ) S v(τ)) и v(t) =
t
∫
f(τ,v(τ))dτσw(τ) + C.
0
Рассмотрим на M процесс Sv(t) и обозначим через Γt f*(t,x(•)) вектор в
TSx(t) M параллельный вектору f* (t,x(•)) вдоль S x(•). Таким образом, Γt
f*(t,v(t)) является случайным векторным полем на M, т.е. отображением из
[0,T]×Ω в TM. Обозначим через Nt σ-подалгебру в F, порожденную
прообразами борелевских множеств из TM при отображении (S v(t),{d/dt) S
v(t)) из [0,T]×Ω в TM. Рассмотрим условное математическое ожидание E(Γt
f*(t,v(t))| Nt ). Напомним (см., например, [Партасарати 1988: 1-343]), что
существует измеримое по Борелю векторное поле f(t,m,X) такое, что E(Γt
f*(t,v(t))| Nt) = f(t, Sv(t), (d/dt) Sv(t)). По построению
выполняется равенство
для
ξ(t)= Sv(t)
t
ξ(t)= S ( ∫ Γf (τ,ξ(τ),ξ’(τ))dτ + σw(τ) + C),
0
(равенство (1) для (4)) и .f(t, Sv(t), (d/dt) Sv(t)) ∈ F (τ,S v(τ),(d/ dτ) S
v(τ))dτ P-п.н.
Таким образом, ξ(t)= Sv(t) является искомым сильным решением
включения (4). Ч.Т.Д.
Библиографический список
Гликлих Ю. Е. Анализ на римановых многообразиях и задачи математической
физики / Ю. Е. Гликлих. – Воронеж: Изд-во ВГУ, 1989. – 189 с.
Гликлих Ю. Е. Глобальный и стохастический анализ в задачах математической
физики / Ю. Е. Гликлих. – М.: КомКнига, 2005. – 416 с.
Обуховский А. В. О теоремах существования решений для включений типа
Ланжевена на римановых многообразиях / А. В. Обуховский // Труды математического
факультета ВГУ. – 2001. – № 6. – С. 102–106.
Партасарати К. Введение в теорию вероятностей и теорию меры / К. Партасарати. –
М.: Мир, 1988. – 343 с.
Gliklikh Yu. E. Stochastic Differential Inclusions of Langevin Type on Riemannian
Manifolds / Yu. E. Gliklikh, A. V. Obukhovskii // Discussiones Mathematicae. Differential
Inclusions, Control and Optimization. – 2001. – Vol. 21. – No. 2. – P. 173–190.
Pettersson R. Existence theorem and Wong-Zakai approximations for multivalued stochastic
differential equations // Probability and Mathematical Statistics. – 1997. – Vol. 17. No. 1. – P.
29–45.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
128 Кб
Теги
типа, решение, существования, дифференциальной, сильных, включение, ланжевена, многообразие, римановы
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа