close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О существовании слабых стационарных решений краевой задачи в модели Джеффриса движения вязкоупругой среды.

код для вставкиСкачать
2004
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 9 (508)
УДК 517.958
Д.А. ВОРОТНИКОВ
О СУЩЕСТВОВАНИИ СЛАБЫХ СТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИЙ
КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ В МОДЕЛИ ДЖЕФФРИСА ДВИЖЕНИЯ
ВЯЗКОУПРУГОЙ СРЕДЫ
Введение.
Известно [1], [2], что движение несжимаемой среды с постоянной плотностью
= const определяется системой дифференциальных уравнений в форме Коши
n
X
@u
@u
(0.1)
@t + ui @x + grad p = Div + f; (t; x) 2 (0; T ) ;
i
i=1
div u = 0; (t; x) 2 (0; T ) ;
(0.2)
где u | вектор скорости точек среды, p | функция давления, f | поле внешних сил, | тензор
касательных напряжений (все они зависят от точки x произвольной области пространства
Rn , n = 2; 3, и момента времени t). Градиент grad и дивергенция div берутся по переменной x.
n
P
Дивергенция Div от тензора | вектор с координатами (Div )j = @@xiji . Без ограничения
i=1
общности будем считать в дальнейшем плотность равной единице.
Тип рассматриваeмой среды определяется выбором соотношения между и тензором ско@ui + @uj ). Так, один класс сред связан с
ростей деформации E (u), E (u) = (Eij (u)), Eij (u) = 21 ( @x
@xi
j
постулатом Стокса о том, что тензор напряжения в точке в данный момент времени полностью
определяется тензором скоростей деформации в этой же точке в этот момент времени. Этот
подход приводит к концепциям линейно- и нелинейно-вязкой жидкости [2].
Однако эти концепции не являются удовлетворительными для всех несжимаемых сред. В
частности, они не подходит для сред \с памятью": бетонов, разнообразных полимеров, земной
коры и др. Один из способов учесть эффекты памяти | ввести в определяющее соотношение
производные по времени. На этом пути возникли модели Максвелла, Джеффриса, Олдройта и
целый ряд других моделей [3]{[5].
В данной статье исследуется разрешимость в слабом смысле краевой задачи, описывающей
стационарные (не зависящие от времени) течения в модели Джеффриса [4] движения вязкоупругой среды в произвольной области Rn , n = 2; 3, возможно и неограниченной. Соответствующее определяющее соотношение имеет вид
+ 1 ddt = 2 E + 2 ddt E :
(0.3)
Здесь | вязкость среды, 1 | время релаксации, 2 | время запаздывания, 0 < 2 < 1 .
Основной результат данной работы | теорема существования слабых стационарных решений
краевой задачи для системы (0.1){(0.3) в произвольной области Rn , n = 2; 3.
Отметим, что в ряде работ (напр., [6]{[8]) начально-краевая задача изучалась при условии
n
P
замены полной производной ddt = @t@ + ui @x@ i на частную производную @t@ , что существенно
i=1
сужает класс сред, удовлетворяющих этой модели (см. по этому поводу [3]). В [9] рассматривалось соотношение Джеффриса (0.3) без такой линеаризации, но при выражении тензора напряжений через тензор скоростей деформации использовалась регуляризация поля скоростей с
13
помощью усреднения по пространственной переменной. Отличие этой работы состоит в том, что
здесь такой регуляризации не делается. Отметим также, что при малых внешних силах есть
теоремы существования сильного стационарного решения для широкого класса моделей типа
Джеффриса и Максвелла ([10], см. также [5]).
n
1. Постановка задачи. Пусть | область в пространстве R , n = 2; 3, возможно неограниченная.
Рассмотрим краевую задачу, описывающую стационарное движение несжимаемой вязкоупругой среды, соответствующей модели Джеффриса
n
X
@u + grad p = Div + f;
ui @x
i
i=1
n
X
@
+ 1 ui @x
i
i=1
(1.1)
n
@
E
= 2 E + 2 ui @x ;
(1.2)
i
i=1
div u = 0;
(1.3)
u@ = 0:
(1.4)
Обозначим через Rnn пространство матриц порядка n n со скалярным произведением для
A = (Aij ), B = (Bij )
n
X
(A; B )Rnn =
Aij Bij ;
X
i;j =1
через RnSn
| его подпространство симметричных матриц, через Rnnn | пространство упорядоченных наборов из n матриц порядка n n со скалярным произведением для A = (A1 ; : : : ; An ),
B = (B1 ; : : : ; Bn )
n
X
(A; B )Rnnn = (Ai ; Bi )Rnn:
i=1
Символом rv обозначим матрицу Якоби от вектор-функции v : ! Rn , символом re | упорядоченный набор матриц Якоби столбцов матрицы-функции : ! Rnn .
Пусть E | одно из пространств Rn , Rnn , RnSn , Rnnn . Используем стандартные обозначе
ния Lp (
; E ), H m (
; E ) = W2m (
; E ), H0m (
; E ) = W m2 (
; E ) для пространств Лебега и Соболева
для функций со значениями в E . Иногда для краткости будем писать просто Lp вместо Lp (
; E )
и т. п. Скалярное произведение и норму в L2 обозначим соответственно (; ) и k k. Обозначим также через C01 (
; E ) пространство гладких функций с компактным носителем в и со
значениями в E .
Пусть V = V (
) = fu 2 C01 (
; Rn ), div u = 0g.
Для краткости обозначим символом C01 пространство C01 (
; RnSn ), а символом Y = Y (
)
| пополнение V по норме, соответствующей скалярному произведению (u; v)Y = (ru; rv), а
сопряженное ему пространство | через Y . Действие функционала из Y на элемент из Y
будем обозначать скобками h; i.
Пусть f 2 Y .
Определение. Слабым решением задачи (1.1){(1.4) называется пара функций u 2 Y , 2
L2 (
; RnSn ); удовлетворяющая тождествам
(; r') ;
(; ) ; 1
для всех ' 2 V и 2 C01 .
n
X
i=1
n
X
i=1
@'
ui u; @x = hf; 'i;
i
(1.5)
n @ @ = ;2(u; Div ) ; 2 X
u
E
(
u
)
;
ui ; @x
2
i
@x
i
i=1
14
i
(1.6)
Замечание. Если (u; ; p) | классическое решение задачи (1.1){(1.4), то, умножив скалярно
в L2 равенства (1.1) и (1.2) соответственно на ' 2 V и 2 C01 и проинтегрировав эти равенства
по частям, получим тождества (1.5) и (1.6).
2. Вспомогательная задача и основной результат.
;1 ,
1
= ; 21E . Тогда (1.6) и (1.5) перепишутся в виде
Введем обозначения 1 = 12 , 2 =
n 1 (; ) ; X
@
ui ; @x + 22 (u; Div ) = 0;
;
1
n
X
i
i=1
@'
ui u; @x + 1(ru; r') + (; r') = hf; 'i:
i
i=1
(2.1)
(2.2)
Рассмотрим следующую вспомогательную задачу:
n 1 (; ) ; X
@
u ;
+ 2 (u; Div ) + "(re ; re ) = 0;
1
;
n
X
i=1
i=1
i
2
@xi
@' + (ru; r') + (; r') = hf; 'i
ui u; @x
1
i
(2.3)
(2.4)
для всех ' 2 Y , 2 H01 (здесь " > 0 и 0 1 | параметры).
nn )) является решением
1
Лемма. Пусть область ограничена и пара (u 2 Y , 2 H0 (
; R S
(2:3), (2:4). Тогда имеет место следующая априорная оценка :
1kuk2Y + 21 k k2 + 2" k k2Y 1 kf k2Y :
(2.5)
1 2
2
1
Доказательство. Интегрированием по частям легко получаются тождества
n
X
@u = 0;
ui u; @x
i
i=1
n X
@
ui ; @x = 0;
i
i=1
(; ru) + (u; Div ) = 0:
Положим в (2.4) ' = u, а в (2.3) =
получим
22 .
(2.6)
(2.7)
(2.8)
Cложим полученные равенства. С учетом (2.6){(2.8)
1(ru; ru) + 21 (; ) + 2" (re ; re ) = hf; ui:
1 2
2
(2.9)
Отсюда следует
1 kuk2Y kf kY kukY ;
kukY 1 kf kY ;
1
(2.10)
а (2.9) и (2.10) влекут (2.5).
Теорема 1. Пусть ограничена и f 2 Y : Тогда существует решение (u 2 Y , 2
n
n
1
H0 (
; RS )) задачи (2:3), (2:4).
15
Доказательство. Введем вспомогательные операторы по следующим формулам (в этих
формулах ' и суть произвольные элементы соответственно Y и H01 (
; R nSn )):
n
@'
K:Y
ui u; @x ; A : Y ! Y ; hA(u); 'i = 1 (ru; r');
i
i=1
A" : H01 ! H ;1; hA" ( ); i = "(re ; re ) + 1 (; );
1
Ae : Y H01 ! Y H ;1 : Ae(u; ) = (A(u); A" ( ));
N1 : H01 ! Y ; hN1( ); 'i = (; r');
N2 : Y ! H ;1 ; hN2 (u); i = 22 (u; Div );
n X
@ ;
f : Y H 1 ! H ;1 ;
f(u; ); i = ;
K
h
K
u
;
i @x
0
i
i=1
1
;
1
f
Q : Y H0 ! Y H ; Q(u; ) = (K (u) + N1 ( ) ; f; K (u; ) + N2 (u)):
X
! Y ; hK (u); 'i = ;
Тогда система (2.3), (2.4) эквивалентна операторному уравнению
Ae(u; ) + Q(u; ) = 0:
(2.11)
Заметим, что линейный оператор N1 ограничен как отображение из L2 в Y . Так как H01
вложено в L2 вполне непрерывно (напр., [11], гл. II, теорема 1.1), то оператор N1 вполне непрерывен (как отображение из H01 в Y ). Аналогично, т. к. Y вложено в L2 вполне непрерывно (по
той же теореме вложения), то оператор N2 вполне непрерывен.
Из неравенства Гельдера получаем, что оператор K непрерывен как отображение из L4 в Y .
Поскольку Y вложено в L4 вполне непрерывно (по той же теореме вложения из [11]), то оператор
f непрерывен как
K вполне непрерывен (как отображение из Y в Y ). Аналогично, оператор K
;
1
отображение из L4 L4 в H и вполне непрерывен как отображение Y H01 ! H ;1 .
Таким образом, оператор Q вполне непрерывен.
Из проекционной теоремы ([11], гл. I, теорема 2.2) следует, что оператор Ae обратим. Перепишем уравнение (2.11) в виде
(u; ) ; Ae;1 Q(u; ) = 0:
(2.12)
Из-за априорной оценки (2.5) уравнение (2.12) не имеет решений на границе достаточно
e
большого шара B в Y H01 ; не зависящего от . Тогда определена degLS (I ; AQ;
B; 0) | степень
e
Лере{Шаудера отображения I ; AQ на шаре B относительно точки 0, где I | тождественный
оператор. По свойству гомотопической инвариантности степени
e
degLS (I ; AQ;
B; 0) = degLS (I; B; 0) = 1:
Следовательно, уравнение (2.12), а значит, и система (2.3), (2.4) имеет решение в B при
каждом 2 [0; 1].
Основным результатом данной работы является
Теорема 2. Пусть f 2 Y : Тогда существует слабое решение задачи (1:1){(1:4).
Доказательство. Обозначим через m пересечение с шаром Bm с центром в нуле радиуса
m, m = 1; 2; : : : , в пространстве Rn . Следуя ([12], с. 117), можно рассмотреть сужение f на m:
f j
m 2 Y (
m), которое задается формулой hf j
m ; 'i = hf; 'ei, где ' | произвольная функция
из Y (
m ), а 'e | ее продолжение нулем на все . Очевидно, kf j
m kY (
m ) kf kY (
) .
На каждой области m рассмотрим задачу (2.3), (2.4) с заменой f на f j
m , " = m1 , =1. По
теореме 1 эти задачи имеют хотя бы одно решение (um ; m ). Обозначим через (uem ; em ) продолжение (um ; m ) нулем на все : По лемме нормы kuem kY (
) = kum kY (
m ) и kem kL2 (
) = km kL2 (
m )
16
равномерно ограничены. Поэтому при m ! 1 без ограничения общности можно считать, что
uem ! ue0 слабо в Y , em ! e0 слабо в L2 : Покажем, что (ue0 , e0 ) есть решение задачи (2.1), (2.2).
Возьмем произвольные ' 2 V , 2 C01 . При некотором k носители ' и лежат в k .
Обозначим через um продолжение uem нулем за пределы , суженное на Bk : Ясно, что um ! u0
слабо в W21 (Bk ) и, значит, сильно в L4 (Bk ).
Поэтому все слагаемые (2.3), (2.4) с " = m1 , = 1, u = um , = m сходятся к соответствующим
слагаемым (2.1), (2.2), причем
1
e
e
j"(r ; r)j = (e ; ) 1 ke k kk ! 0;
m
m
m
m
m
где | оператор Лапласа.
Итак, пара (ue0 , e0 ) удовлетворяет тождествам (2.1), (2.2) при всех ' 2 V , 2 C01 . Обозначим
e0 = e0 + 21 E (ue0 ). Ясно, что e0 2 L2. Тогда (ue0 ; e0 ) является решением задачи (1.5), (1.6), или
слабым решением задачи (1.1){(1.4).
Литература
1. Дьярмати И. Неравновесная термодинамика. { М.: Мир, 1974. { 304 с.
2. Литвинов В.Г. Движение нелинейно-вязкой жидкости. { М.: Наука, 1982. { 376 с.
3. Олдройт Дж. Г. Неньютоновское течение жидкостей и твердых тел / В кн. Реология:
теория и приложения. { М.: Ин. лит., 1962. { С. 757{793.
4. Рейнер М. Реология. { М.: Физматгиз, 1965. { 224 с.
5. Guillope C., Saut J.C. Mathematical problems arising in dierential models for viscoelastic uids
/ In: Mathematical Topics in Fluid Mechanics. J.F. Rodrigues, A. Sequeira (Eds). { Longman:
Harlow, 1993. { P. 64{93.
6. Агранович Ю.Я., Соболевский П.Е. Движение нелинейной вязкоупругой жидкости // ДАН
CССР. { 1990. { T. 314. { Є 3. { С. 521{525.
7. Котсиолис А.А., Осколков А.П. О разрешимости основной начально-краевой задачи для
уравнений движения жидкости Олдройта на (0; 1) и поведении ее решений при t ! +1
// Зап. научн. семин. ЛОМИ АН СССР. { 1986. { T. 150. { C. 48{52.
8. Dmitrienko V.T., Zvyagin V.G. The topological degree method for equations of the Navier{Stokes
type // Abstract and Appl. Anal. { 1997. { V. 1, 2. { P. 1{45.
9. Звягин В.Г., Дмитриенко В.Т. О слабых решениях регуляризованной модели вязкоупругой
жидкости // Дифференц. уравнения. { 2002. { T. 38. { Є 12. { C. 1633{1645.
10. Renardy M. Existence of slow steady ows of viscoelastic uids with dierential constitutive
equations // Z. angew. Math. und Mech. { 1985. { Bd. 65. { Є 9. { P. 449{451.
11. Темам Р. Уравнения Навье{Стокса. Теория и численный анализ. { М.: Мир, 1981. { 408 с.
12. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости.
{ М.: ГИФМЛ, 1961. { 204 с.
Воронежский государственный
университет
Поступила
16.01.2004
17
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
7
Размер файла
166 Кб
Теги
среды, решение, движение, существования, слабых, стационарный, джеффриса, краевой, задачи, модель, вязкоупругих
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа