close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О существовании экстремальных квазиконформных в среднем отображений.

код для вставкиСкачать
Математические
структуры и моделирование
УДК 517.53:517.947.42
2001, вып. 8, с. 2227
О СУЩЕСТВОВАНИИ ЭКСТЕМАЛЬНЫХ
КВАЗИКОНФОМНЫХ В СЕДНЕМ ОТОБАЖЕНИЙ
Ю.Ф. Стругов
In this artile proof existene of extremal mappings of irular domain that
are quasi-onformal in the mean with free values on another omponent is
presented.
Введение
Введем основные термины и определения. D; D ограниченные области в Rn ;
x = (x1 ; : : : ; xn )произвольная точка в Rn ; dist(A; B ) евклидово расстояние
между множествами A и B ; diamA диаметр множества A; mn (A) = jAj n-мерная мера Лебега множества A; (A; B ; D) семейство кривых, соединяющих множества A и B в области D ; M ( (A; B ; D )) n-мерный модуль семейства
кривых [1, гл.2?; f (x) = (f1 (x); f2 (x); : : : ; fn (x)) гомеоморное отображение
области D на область D ; f 1 (y ) обратное отображение области D на область
D:
В точках диеренцируемости отображения f (x) определены величины:
rf (x) = f 0(x) матрица Якоби отображения f (x) в точке x; J (x; f ) = det f 0(x)
якобиан отображения f (x);
jrf (x)j
2
=
n X
fi 2
i;j =1
Величина
HI (x; f ) =
xj
:
jJ (x; f )j
l(x; f )n
называется локальной внутренней характеристикой квазиконормности отображения y = f (x) в точке x, где J (x; f ) 6= 0; здесь обозначено
l(x; f ) = min jf 0(x)hj:
jhj=1
Обозначим Jji (x; f ) алгебраическое дополнение элемента
J (x; f ): Определим ункционалы
1
H (f ) = jD j
2001
Z
HI (x; f )dx +
D
Ю.Ф. Стругов
E-mail: strugovuniver.omsk.su
Омский государственный университет
1
jD j
Z
D
HI (y; f
1
fi
xj
)dy;
определителя
23
Математические структуры и моделирование. 2001. Вып. 8.
Z
F (rf ; D; D) = a jrf (x)jpdx + b
D
где p > n, q
Z
2
n i
X
Jj (x; f )
D
i;j =1
!2
J (x; f )
q
dx;
> n, и коэициенты
jD j ; b = jD j :
a=
+
2n j D j
2n j D j
Обозначим Mp;q (D; D ) класс всех гомеоморизмов f : D ! D , таких, что
f 2 Wn1 (D), f 1 2 Wn1 (D), на которых ункционал F (rf ) < 1. Класс всех
гомеоморных отображений, на которых HI (f ) < 1, обозначим M0 (D; D ):
p
n
n
p
n
q
n
p
n
q
n
q
n
n
Отображения этого класса диеренцируемы почти всюду, прямые и обратные отображения обладают N -свойством, для них справедливы классические
ормулы замены переменных и правило диеренцирования сложных ункций.
1.
Теоремы существования
Пусть класс отображений Mp;q (D; D ), p1 + 1q Тогда в нем существует отображение f0 : D ! D такое, что
Теорема 1.
1
n 1,
не пуст.
F (rf0) F (rf )
для всех f
2 Mp;q(D; D).
Пусть fk ; k = 1; 2; : : : ; произвольная последовательность,
минимизирующая ункционал F (rf ) в классе Mp;q (D; D ): Тогда последовательность F (rfk ) ограничена сверху некоторой константой M1 : В силу теоремы
2 [2, с.167? для всех номеров m справедливы неравенства
Доказательство.
HI (fm ) (a F (rf
1
jD j
jD j
p
m
))
n
p
n
n
+ jD j 1 a
q
p
+q b p+q
p
F (rfm) M < 1;
где M = M (n; p; q; jD j; jD j; M1 ) некоторая постоянная величина. Известно,
что из всякой бесконечной последовательности отображений fm : D ! D с
равномерно ограниченным ункционалом HI (fm ) можно извлечь равномерно
внутри D сходящуюся подпоследовательность. При этом предельное отображение либо постоянно, либо является гомеоморизмом области D на область
D ( [3, следствие 2.3.9, с.71?), принадлежащим классу M0 (D; D ): Выберем
из минимизирующей последовательности сходящуюся подпоследовательность.
Если эта минимизирующая подпоследовательность равномерно в D сходится к
гомеоморизму f0 2 M0 (D; D ), то по теореме 3 [2, с.174?
F (rf0) mlim
F (rfm);
!1
и теорема в этом случае доказана.
Осталось показать, что минимизирующая последовательность не может сходиться к постоянному отображению. Действительно, пусть fm ! при m ! 1:
24
Ю.Ф. Стругов.
Подготовка научных публикаций в LaTeX2e
Так как последовательность отображений ограничена в пространстве Wn1 (D ); то
( [4, с.94?) для любой непрерывной ункции ' инитной в области D
Z
'(x)J (x; fm )dx ! 0
D
при m ! 1: Пусть B n (a; r ) шар, замыкание которого содержится в D . Выберем инитную ункцию ' такой, что 0 ' 1; '(x) = 1 для всех x 2 B n (a; r ):
Тогда, применяя неравенство ельдера, получим
0 < jB n (f; r)j <
Z
0Z
'(x)dx D
D
Из этого неравенства и равенства
lim
m!1
Z
D
'(x)dx
q
J (x; fm ) n
1
A
n
n q
+
0Z
1
'(x)J (x; fm )dxA
R
n
q
+q
:
D
limm!1 '(x)J (x; fm )dx = 0 следует, что
D
'(x)dx
q = +1:
J (x; fm ) n
Далее, применяя неравенство (5) из теоремы 2 ( [2, с.167?), найдем
Z
D
'(x)dx
q <
J (x; fm ) n
Z
D
q
dx n
J (x; fm )
Z
D
HI (x; fm ) n
q
J (x; fm ) n
q
b 1 F (rfm ):
Таким образом, F (rfm ) ! 1; а это противоречит тому, что fm минимизирующая последовательность. Следовательно, предельное отображение не может
быть постоянным, и тем самым теорема доказана.
Пусть некоторый континуум из области D , а континуум из области
D : Ниже будем предполагать, что в области D найдется континуум ; для
которого класс отображений Mp;q (D n; D n ) 6= ;: Заиксируем области D ,
D и континуум : Докажем, что существует континуум и гомеоморное
отображение f0 : D ! D такое, что
F (rf0; Dn; Dn ) = inf
F (rf ; Dn; Dn ):
Пусть fm : D n ! D nm минимизирующая последовательность. Тогда из нее можно извлечь подпоследовательность, которая сходится
равномерно в области D к некоторому непрерывному отображению
Лемма 1.
f : Dn
Доказательство.
! Rn; f 2 Wp1(Dn ):
[5, лемма 1, с.69?
Математические структуры и моделирование. 2001. Вып. 8.
25
Отображение f непостоянно.
Доказательство.
Допустим, что f = . Пусть U и V окрестности континуума такие, что U D; V U: Тогда U nV компактное множество в
области D n , и на нем fm ! при m ! 1. Следовательно, diamm ! 0 при
m ! 1, и поэтому меры Лебега jD nm j Ж > 0 для всех номеров m. Отсюда
следует, что коэициенты a; b (стоящие перед интегралами в ункционалах
F (rfm; Dn; Dnm) и зависящие от номеров m ) равномерно ограничены сверху и отделены от нуля. Поэтому из равенства
Лемма 2.
lim
m!1
Z
Dn
dx
q = 1;
J (x; fm ) n
также как и в доказательстве теоремы 1, вытекает неограниченность последовательности ункционалов F (fm ; D n; D nm ): Полученное противоречие доказывает лемму.
Лемма 3.
lim infm!1 jDnmj = d > 0.
Так как отображение f непостоянно, поэтому из полунепрерывности интегралов Дирихле будем иметь
Доказательство.
lim
inf
m!1
Z
Dn
jrfm j dx p
Z
Dn
jrf jpdx > 0:
Отсюда и из ограниченности последовательности ункционалов следует ограниченность сверху последовательности коэициентов a = a(m) перед интегралами Дирихле. Из ограниченности последовательности коэициентов следует
утверждение леммы.
Из топологии известно, что из ограниченной последовательности континуумов m можно выбрать подпоследовательность, которая в метрике Хаусдора
сходится к некоторому континууму .
Если x 2 D n; то f (x) 2 D n ; причем D и diam > 0:
Доказательство.
Если f (x) 2 D ; то по лемме 2.3.2 [3, с.64? отображение
f
T
постоянно, что противоречит лемме 2. Поэтому f (x) 2 D : Если D ast 6= ;;
то найдется x 2 D n такое, что f (x) 2 D ; и поэтому отображение постоянно. Полученное противоречие доказывает, что D : Если f (x) 2 и
diam > 0; то опять по лемме 2.3.2 из [3? получим, что отображение f постоянно. Если есть точка, то выберем две точки a; b 2 D n такие, что f (a) 6= f (b):
Обозначим через E континуум, соединяющий в D n точку a и ; F континуум,
соединяющий точку b и ; причем континуумы выбираем непересекающимися. Обозначим (E; F ; D n ) семейство всевозможных кривых, соединяющих в
области D n континуумы E и F . Пусть m образ семейства при отображении
fm . Тогда для модулей M ( m ) справедливы оценки
Лемма 4.
M ( m ) Z
D n
(x)HI (x; fm )dx d(E; F )
n
n
Z
Dn
HI (x; fm )dx M < 1;
26
Ю.Ф. Стругов.
Подготовка научных публикаций в LaTeX2e
где (x) = d(E; F ) 1 допустимая метрика для семейства кривых ( [6?). С
другой стороны, limm!1 M ( m ) = 1 [1?, так как d(fm (E ); fm (F )) ! 0 при m !
1: Полученное противоречие доказывает невырожденность континуума :
Если x1 ; x2 2 D n; x1 6= x2 ; то f (x1 ) 6= f (x2 ):
Доказательство.
[5, лемма 4, с.70?.
Лемма 5.
Пусть U ; U D произвольная открытая окрестность
континуума : Тогда из последовательности обратных отображений fm 1
можно выбрать подпоследовательность, которая равномерно в D nU сходится к некоторому непрерывному отображению h : D nU ! Rn ; h 2 Wn1 (D nU );
при этом а) отображение h непостоянно; б) если y 2 D nU; то h(y ) внутренняя точка множества h(D nU ); с) Если y1 ; y2 2 D nU ; y1 6= y2 ; то h(y1 ) 6=
h(y2 ):
Лемма 6.
Семейство обратных отображений, также как и в лемме 1,
равномерно ограниченно и локально равностепенно непрерывно. Поэтому из нее
можно извлечь сходящуюся подпоследовательность к непрерывному отображению h 2 Wn1 : Так как h(f (x)) = x для любого x такого, что f (x) 2 D nU ; то
отображение h непостоянно. Действительно, выражение h(f (x)) x = (h(f (x))
fm 1 (f (x))) + (fm 1 (f (x)) fm 1 (fm (x))); начиная с некоторого номера, определено
и стремится к нулю. Утверждения б), с) доказываются аналогично леммам 4-5.
Доказательство.
Лемма 7.
Предельное отображение f есть отображение области D n на
область D n :
Доказательство.
[5, лемма 6?.
Отображение f является гомеоморизмом области D n на
2 Wp1(Dn ); f 1 2 Wn1(Dn ):
Доказательство.
[5, лемма 7?.
Лемма
8.
область D n . Причем f
Пусть fm : D n
ность из леммы 8. Тогда
Лемма 9.
! Dnm минимизирующая подпоследователь-
F (rf ; Dn; Dn ) lim
inf F (rfm ; Dn; Dnm ):
m!1
Доказательство.
Теорема 2.
[7, теорема, с.34?, [2, теорема 3, с.174?.
Существуют континуум D n такие, что
D и гомеоморизм f0 : Dn !
F (rf0; Dn; Dn ) = inf
F (rf ; Dn; Dn ):
Из лемм 8,9, повторяя рассуждения доказательства теоремы [7?, мы получим утверждение теоремы 2.
Доказательство.
Математические структуры и моделирование. 2001. Вып. 8.
27
Литература
1. Сычев А.В. Модули и пространственные квазиконормные отображения. Новосибирск: Наука, 1983. С.152.
2. Стругов Ю.Ф. О существовании гомеоморных решений систем уравнений эллиптического типа // рупповые и метрические свойства отображений. Межвузовский сборник научных трудов.Новосибирск, 1995. С.164180.
3. Стругов Ю.Ф. Квазиконормные в среднем отображения и экстремальные задачи.Ч.1. М.,1994.153 с. Деп. в ВИНИТИ 05.12.94. N.2786 В 94.
4. ешетняк Ю.. Пространственные отображения с ограниченным искажением.
Новосибирск: Наука, 1982. .279.
5. Стругов Ю.Ф., ариуллина Е.В. О компактности семейств квазиконормных в
среднем отображений со свободными значениями на границе // Омский научный
вестник. 1999. N.8. С.68-71.
6. Стругов Ю.Ф., Сычев А.В. азличные классы пространственных отображений,
квазиконормных в среднем // Алгебра и математический анализ. Новосибирск,
1990. С.104-125.
7. Стругов Ю.Ф., ариуллина Е.В. О существовании экстремального отображения кольцевой области со свободными значениями на одной граничной компоненте
// Омский научный вестник. 1999. N.9. С.34-37.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
191 Кб
Теги
средней, существования, экстремальных, квазиконформные, отображений
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа