close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О сходимости итерационного метода решения вариационного неравенства второго рода с обратно сильно монотонным оператором.

код для вставкиСкачать
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОО ОСУДАСТВЕННОО УНИВЕСИТЕТА
Физико-математические науки
2007
Том 149, кн. 4
УДК 517.934
О СХОДИМОСТИ ИТЕАЦИОННОО
МЕТОДА ЕШЕНИЯ ВАИАЦИОННОО
НЕАВЕНСТВА ВТООО ОДА С ОБАТНО
СИЛЬНО МОНОТОННЫМ ОПЕАТООМ
И.Н. Исмагилов, И.Б. Бадриев
Аннотация
В работе проведено исследование сходимости итерационного метода решения вариационного неравенства второго рода с обратно сильно монотонным оператором в гильбертовом пространстве. Функционал, входящий в это вариационное неравенство, является суммой нескольких ункционалов, каждый из которых представляется в виде суперпозиции
полунепрерывного снизу выпуклого собственного ункционала и линейного непрерывного оператора. Подобные неравенства возникают, в частности, при математическом моделировании стационарных задач ильтрации несжимаемой жидкости, следующей нелинейному анизотропному многозначному закону ильтрации с предельным градиентом.
Введение
В работе проведено исследование сходимости итерационного метода решения
вариационного неравенства второго рода с обратно сильно монотонным оператором [1? в гильбертовом пространстве. Функционал, входящий в это вариационное неравенство, является суммой нескольких ункционалов, каждый из которых
представляется в виде суперпозиции полунепрерывного снизу выпуклого собственного ункционала и линейного непрерывного оператора. Подобные неравенства
возникают, в частности, при математическом моделировании стационарных задач
ильтрации несжимаемой жидкости, следующей нелинейному анизотропному многозначному закону ильтрации с предельным градиентом (см., например, [2, 3?).
Для решения подобных вариационных неравенств в работах [46? предложены итерационные методы расщепления. Основную трудность при этом представляет решение возникающих на каждой итерации задач минимизации. В случае
задач ильтрации с изотропным законом эту задачу удалось решить в явном
виде (см. [7?) благодаря тому, что можно эективно вычислить субдиеренциал ункционала, сопряженного к минимизируемому. В случае же анизотропного закона ильтрации, когда минимизируемый ункционал является суммой
нескольких ункционалов, вычисление сопряженного ункционала представляет
из себя сложную задачу. В настоящей работе предложен алгоритм расщепления,
позволяющий обойти указанную выше трудность. Исследована сходимость метода.
Доказательство сходимости итерационного метода удалось провести благодаря записи его в виде метода последовательных приближений для отыскания неподвижной точки оператора перехода итерационного процесса. Получены соотношения,
связывающие решение исходной задачи с неподвижной точки оператора перехода,
получены условия непустоты множества неподвижных точек. Для оператора перехода доказано неравенство более сильное, чем неравенство нерастягиваемости, что
и позволило получить результат о слабой сходимости итерационной последовательности. Использовались также результаты о сходимости метода последовательных
О СХОДИМОСТИ ИТЕАЦИОННОО МЕТОДА
91
приближений для определения неподвижных точек асимптотически регулярных
операторов (см. [8?).
1.
Постановка задачи
Пусть V, H гильбертовы пространства со скалярными произведениями (·, ·)V
и (·, ·)H соответственно, A0 : V ? V обратно сильно монотонный оператор с
постоянной ?0 > 0 (см. [1?):
2
(A0 u ? A0 ?, u ? ?)V ? ?0 kA0 u ? A0 ?kV ,
?0 > 0 ? u, ? ? V,
(1)
Bi : V ? H , i = 1, 2, . . . , m, линейные, непрерывные операторы, Gi : H ? R 1 ,
i = 1, 2, . . . , m, полунепрерывные снизу, выпуклые, собственные ункционалы,
f ? V заданный элемент.
ассматривается задача поиска вектора u ? V , являющегося решением следующего вариационного неравенства второго рода
(A0 u ? f, ? ? u)V +
m
X
i=1
m
X
Gi Bi ? ?
Gi Bi u ? 0
? ? ? V.
(2)
i=1
Оператор A0 , очевидно, является монотонным, а также липшиц-непрерывным константой 1/?0 , ункционалы Fi = Gi ?Bi : V ? R 1 , i = 1, 2, . . . , m, полунепреm
X
Fi также являетрывными снизу, выпуклыми, собственными. Функционал F =
i=1
ся полунепрерывным снизу, выпуклым и собственным. Поэтому при дополнительном предположении о коэрцитивности оператора A0 вариационное неравенство (2)
имеет непустое, выпуклое, замкнутое множество решений (см., например, [9, 10?).
2.
Итерационный метод
В дальнейшем будем рассматривать абстрактное вариационное неравенство (2),
считая, что Bi : V ? H линейные, непрерывные операторы, Gi : H ? R1 выпуклые, липшиц-непрерывные ункционалы, i = 1, 2, . . . , m . Кроме того, будем
предполагать, что выполняется равенство
m
1 X
(Bi u, Bi ?)H = (u, ?)V
m i=1
(3)
? u, ? ? V.
Для решения вариационного неравенства (2) по аналогии с [5? рассмотрим следующий итерационный процесс.
(0)
(0)
Пусть u(0) ? V, yi ? H, ?i ? H, i = 0, 1, . . . , m, произвольные элементы.
(k)
(k)
Для k = 0, 1, 2, . . . , зная yi , µi , определим u(k+1) как
m
m
h
i
X
X
(k)
(k)
u(k+1) = u(k) ? ? A0 u(k) ? f + r
Bi? Bi u(k) +
Bi? ?i ? r yi
.
i=1
(k+1)
Затем находим yi
(k+1)
r yi
(k+1)
, zi ? yi
?
, решая задачи минимизации
(k+1) + Gi (zi ) ? Gi yi
?
H
(k)
(k+1)
r Bi u(k+1) + ?i , zi ? yi
H
(4)
i=1
? zi ? H,
i = 1, 2, . . . , m. (5)
92
И.Н. ИСМАИЛОВ, И.Б. БАДИЕВ
(k+1)
Наконец, вычисляем ?i
(k+1)
?i
по ормуле
h
i
(k)
(k+1)
= ?i + r Bi u(k+1) ? yi
,
i = 1, 2, . . . , m.
(6)
Здесь ? > 0 и r > 0 итерационные параметры, Bi? : H ? V сопряженные к Bi
операторы:
(Bi? yi , ?)V = (yi , Bi ?) H ? ? ? V, yi ? H.
(7)
Для исследования сходимости описанного итерационного процесса выпишем явный вид оператора перехода этого процесса.
Обозначим через H m прямое произведение m пространств H и введем в
рассмотрение оператор T : V Ч H m Ч H m ? V Ч H m Ч H m , ставящий в соответствие
вектору q = (q0 , q1 , q2 , . . . , q2m ) = (u, y1 , . . . , ym , ?1 , . . . , ?m ), элементы
T q = T0 q, T1 q, . . . , T2m q следующим образом:
m
m
h
X
X
i
T0 q = q0 ? ? A0 q0 ? f + r
Bi? Bi q0 +
Bi? qm+i ? r qi ,
i=1
(8)
i=1
1 Ti q = Prox Gi /r Bi T0 q + qi , i = 1, 2, . . . , m,
r
Tm+i q = qm+i + r Bi T0 q ? Ti q , i = 1, 2, . . . , m.
(9)
(10)
Здесь Prox G : Z ? Z проксимальное отображение, сопоставляющее каждому
элементу p из гильбертова пространства Z элемент v = Prox G (p) , являющийся
решением задачи минимизации
n o
1
v ? p 2 + G(v) = min 1 z ? p 2 + G(z) ,
Z
Z
z?Z
2
2
которая эквивалентна в случае, когда G выпуклый, собственный, полунепрерывный снизу ункционал, вариационному неравенству
(v ? p, z ? v)Z + G(z) ? G(v) ? 0
(11)
? z ? Z.
Нетрудно проверить, что проксимальное отображение является жестко нерастягивающим, то есть
2 ? p, z ? Z.
Prox G (p) ? Prox G (z) ? Prox G (p) ? Prox G (z), p ? z
Z
Z
Используя определение проксимального отображения в виде вариационного
неравенства (11), легко установить, что итерационный процесс (4)(6) может быть
записан в следующем виде:
?
q0 ? произвольный элемент,
?
?
?
?
?
q (k+1) = T q (k) ,
(12)
?
?
?
?
?q (k) = u(k) , y (k) , y (k) , . . . , y (k) , ?(k) , ?(k) , . . . , ?(k) , k = 0, 1, 2, . . . ,
m
m
1
2
1
2
то есть T оператор перехода этого итерационного процесса.
93
О СХОДИМОСТИ ИТЕАЦИОННОО МЕТОДА
Справедливы
Теорема 1. Точка q = (u, B1 u, B2 u, . . . , Bm u, ?1 , ?2 , . . . , ?m ) является неподвижной точкой оператора T в том и только в том случае, когда выполнены
условия
yi = Bi u,
(13)
(14)
?i ? ?Gi (Bi u),
?
m
X
Bi? ?i = A0 u ? f,
(15)
i = 1, 2 . . . , m.
i=1
При этом первая компонента u любой неподвижной точки оператора T является решением задачи (2).
Доказательство. Пусть q = (u, B1 u, B2 u, . . . , Bm u, ?1 , ?2 , . . . , ?m ) является
неподвижной точкой оператора T :
m
m
h
X
X
i
u = u ? ? A0 u ? f + r
Bi? Bi u ?
Bi? ?i ? r yi ,
i=1
(16)
i=1
?i
yi = Prox Gi /r Bi u +
,
r
?i = ?i + r (Bi u ? yi ) ,
(17)
i = 1, 2 . . . , m,
(18)
i = 1, 2 . . . , m.
авенства (18) эквивалентны (13), ибо r > 0 . авенства (17) эквивалентны с
учетом (13) неравенствам
?
i
1h
i
? , zi ? Bi u
+
Gi (zi ) ? Gi (Bi u) ? 0 ? zi ? H, i = 1, 2 . . . , m, (19)
r
r
H
которые эквивалентны соотношениям ?i ? ?Gi Bi u , то есть включениям (14).
Также в силу (13) равенство (16) эквивалентно равенству (15)
A0 u ? f +
m
X
Bi? ?i = 0,
i=1
или
?
m
X
Bi? ?i = A0 u ? f,
(20)
i = 1, 2, . . . , m .
i=1
Таким образом, установлена эквивалентность равенства T q = q соотношениям
(13)(15).
Проверим, что u решение задачи (2). C этой целью, в неравенствах (19) положим zi = Bi ? , где ? произвольный элемент из V . Тогда, с учетом (7), сложив
эти неравенства по i = 1, 2, . . . , m , получим
?
m
X
i=1
Bi? µi , ? ? u
V
+
m h
X
i=1
i
Gi (Bi ?) ? Gi (Bi u) ? 0
? ? ? V.
(21)
Складывая (20) и (21), получим, что u решение задачи (2).
Теорема 2. Пусть существует по крайней мере одно решение задачи (2).
Тогда множество неподвижных точек оператора T не пусто.
94
И.Н. ИСМАИЛОВ, И.Б. БАДИЕВ
Доказательство. Пусть u решение задачи (2), yi = Bi u,
i = 1, 2 . . . , m .
Вариационное неравенство (2) эквивалентно следующему включению:
f ? A0 u ? ?
m
X
i=1
Gi ? Bi (u).
(22)
Из предложений 5.6, 5.7 [10? следует, что
?
m
X
i=1
m
m
X
X
Gi ? Bi (u) =
? Gi ? Bi (u) =
Bi? ?Gi Bi u .
i=1
(23)
i=1
Из равенства (23) и соотношения (22) следует, что существуют такие элементы
zi ? ?Gi Bi u , для которых справедливо равенство
?
m
X
Bi? zi = A0 u ? f.
i=1
Поэтому для точки q = ( u, y1 , . . . , ym , ?1 , . . . , ?m ) имеют место соотношения
(13)(15), а значит, в силу теоремы 1 q неподвижная точка оператора T .
3.
Сходимость итерационного метода
Из теоремы 1 следует, что исследование сходимости итерационного процесса
(4)(6) сводится к исследованию сходимости метода последовательных приближений отыскания неподвижной точки оператора T .
Введем в рассмотрение гильбертово пространство Q = V Ч H m Ч H m со скалярным произведением
(·, ·)Q =
m
m
X
(1 ? m? r)
1 X
(·, ·)V + r
(·, ·)H +
(·, ·)H .
?
? i=1
i=1
Для исследования сходимости итерационного процесса (12) нам потребуется
следующая
Теорема 3. Пусть A0 : V ? V обратно сильно монотонный оператор с
константой ?0 > 0 и выполнено условие:
0<? <
2 ?0
.
2 m ?0 r + 1
(24)
Тогда оператор T , определяемый соотношениями (8)(10), является нерастягивающим.
Более того, для любых p, q ? Q справедливо неравенство
k T q ? T p k2Q + ? (A0 q0 ? A0 p0 , q0 ? p0 )V +
1
+
k(1 ? ? r) q0 ? T0 q ? (p0 ? T0 p) ? ? (A0 q0 ? A0 p0 )k2V +
? (1 ? m ? r)
m X
2
+r
qi ? Bi T0 q ? pi ? Bi T0 p ? k q ? p k2Q , (25)
i=1
где ? = 2 ? ? / ?0 (1 ? m ? r) .
H
95
О СХОДИМОСТИ ИТЕАЦИОННОО МЕТОДА
Доказательство. По условию теоремы A0 обратно сильно монотонный
оператор с константой ?0 > 0 , то есть выполнено (1).
В силу условия (24) выполнены неравенства ? r < 1/m и ? > 0 , а значит, из
(25) и (1) будет следовать нерастягиваемость оператора T .
Докажем неравенство (25). C учетом (3) перепишем равенство (8) в виде
T0 q = (1 ? m ? r) q0 ? ? A0 q0 + ? f ? ?
m
X
Bi? (qm+i ? rqi ) = Sq0 ? ?
i=1
m
X
Bi? (qm+i ? rqi ),
i=1
где оператор S : V ? V определяется соотношением
Sq0 = (1 ? m ? r)q0 ? ? A0 q0 + ? f.
Используя (1), получаем
Sq0 ? Sp0 2 = (1 ? m ? r)2 q0 ? p0 2 ? 2? (1 ? m ? r) A0 q0 ? A0 p0 , q0 ? p0 +
V
V
V
2
2
2
2
+ ? A0 q0 ? A0 p0 V ? (1 ? m ? r) q0 ? p0 V ?
h
? i
? ? 2 (1 ? m ? r) ?
A0 q0 ? A0 p0 , q0 ? p0 V . (26)
?0
Далее,
m
X
?
T0 q ? T0 p 2 = T0 q ? T0 p, Sq0 ? Sp0 ? ?
B
q
?
p
?
r(q
?
p
)
=
m+i
m+i
i
i
i
V
= T0 q ? T0 p, Sq0 ? Sp0
V
? ? T0 q ? T0 p,
i=1
m
X
i=1
V
Bi? qm+i ? pm+i ? r(qi ? pi )
.
V
(27)
Для произвольного числа ? имеем равенство
h
1 a ? ?b k2V = 1 k a k2V ? 2 ? ( a, b )V + ?2 b 2 =
V
2?
2?
1 a 2 ? ( a, b )V + ? b 2 ,
=
V
V
2?
2
откуда получаем
( a, b )V =
1 a 2 ? 1 a ? ? b k2V + ? b 2 .
V
V
2?
2?
2
(28)
Используя равенство (28) с a = Sq0 ? Sp0 , b = T0 q ? T0 p , преобразуем (27):
T0 q ? T0 p 2 = 1 Sq0 ? Sp0 2 + ? T0 q ? T0 p 2 ?
V
V
V
2?
2
m
X 2
1 ? Sq0 ?Sp0 ?? T0 q?T0 p V ?? T0 q?T0 p,
Bi? qm+i ?pm+i ?r(qi ?pi )
.
2?
V
i=1
96
И.Н. ИСМАИЛОВ, И.Б. БАДИЕВ
Отсюда с учетом (26) вытекает, что
T0 q ? T0 p 2 ? 1 (1 ? m ? r)2 q0 ? p0 2 ?
V
V
2?
?
?
2 (1 ? m ? r) ?
A0 q0 ? A0 p0 , q0 ? p0 V +
?
2?
?0
2
?
1
Sq0 ? Sp0 ? ? T0 q ? T0 p 2 ?
+ T0 q ? T0 p V ?
V
2
2?
m
X
? ? T0 q ? T0 p,
Bi? qm+i ? pm+i ? r (qi ? pi )
.
V
i=1
После умножения получившегося неравенства на 2/? имеем
2?? T0 q ? T0 p 2 + 1 Sq0 ? Sp0 ? ? T0 q ? T0 p 2 ?
V
V
?
??
2 1
(1 ? m ? r) ?
2
q0 ? p0 V ?
2 (1 ? m ? r) ?
A0 q0 ? A0 p0 , q0 ? p0 V ?
?
??
?
?0
m
X
? 2 T0 q ? T0 p,
Bi? qm+i ? pm+i ? r(qi ? pi )
.
V
i=1
Выбирая в этом неравенстве ? = 1 ? m ? r , на основании определения оператора S
получаем
1
(1 ? m ? r) (q0 ? T0 q ) ? ( p0 ? T0 p ) ? ? A0 q0 ? A0 p0 2 +
V
? (1 ? m ? r)
(1 + m ? r) T0 q ? T0 p 2 ? (1 ? m ? r) q0 ? p0 2 ? ? A0 q0 ? A0 p0 , q0 ? p0 ?
+
V
V
V
?
?
m
X
?2
T0 q ? T0 p, Bi? qm+i ? pm+i ? r (qi ? pi )
=
V
i=1
(1 ? m ? r) q0 ? p0 2 ? ? A0 q0 ? A0 p0 , q0 ? p0 ?
V
V
?
m
m
X
X
?2
Bi (T0 q ? T0 p ), qm+i ? pm+i
+ 2r
Bi (T0 q ? T0 p), qi ? pi . (29)
=
H
i=1
H
i=1
Применяя равенство (28) с ? = 1 , a = qi ? pi , b = Bi (T0 q ? T0 p) , i = 1, 2, . . . , m ,
преобразуем (29) к следующему виду:
1
(1 ? m ? r) (q0 ? T0 q ) ? (p0 ? T0 p ) ? ? (A0 q0 ? A0 p0 ) 2 +
V
? (1 ? m ? r)
m X
2
+r
qi ? Bi T0 q ? pi ? Bi T0 p + ? A0 q0 ? A0 p0 , q0 ? p0 V +
H
i=1
+
m
X
(1 + m ? r) T0 q ? T0 p 2 ? ; (1 ? m ? r) q0 ? p0 2 + r
qi ? pi 2 ?
V
V
H
?
?
i=1
m m X
X
2
?2
Bi (T0 q ? T0 p), qm+i ? pm+i
+r
Bi T0 q ? T0 p . (30)
i=1
H
i=1
H
Далее, из (9) с учетом жесткой нерастягиваемости проксимального отображения для i = 1, 2, . . . , m имеем, что
Ti q ? Ti p 2 ? Bi T0 q + 1 qm+i ? Bi T0 p ? 1 pm+i , Ti q ? Ti p ,
H
r
r
H
97
О СХОДИМОСТИ ИТЕАЦИОННОО МЕТОДА
откуда после умножения на 2 r получаем
2
2 r Ti q ? Ti p H ? 2 r Bi ( T0 q ? T0 p ), Ti q ? Ti p H +
+ 2 qm+i ? pm+i , Ti q ? Ti p
Из (10) для i = 1, 2, . . . , m следуют соотношения
H
. (31)
1 Tm+i q ? Tm+i p 2 = 1 qm+i ? pm+i 2 + r Bi (T0 q ? T0 p) 2 +
H
H
H
r
r
2
+ r Ti q ? Ti p H + 2 Bi ( T0 q ? T0 p ), qm+i ? pm+i H ?
? 2 qm+i ? pm+i , Ti q ? Ti p H ? 2 r Bi ( T0 q ? T0 p ), Ti q ? Ti p H . (32)
Просуммируем соотношения (31) и (32) по i = 1, 2, . . . , m , а затем эти результаты сложим с (30):
m
m
X
X
(1 + m ? r) T0 q ? T0 p 2 + 2 r
Ti q ? Ti p 2 + 1
Tm+i q ? Tm+i p 2 +
V
H
H
?
r i=1
i=1
1
(1 ? m ? r) (q0 ? T0 q) ? (p0 ? T0 p) ? ? (A0 q0 ? A0 p0 ) 2 +
+
V
? (1 ? m ? r)
m
X
2
+r
qi ? Bi T0 q ? pi ? Bi T0 p + ? A0 q0 ? A0 p0 , q0 ? p0 V ?
H
i=1
m
X
m
2
2
(1 ? m ? r) 1 X
qm+i ? pm+i 2 +
?
q0 ? p0 V + r
qi ? pi H +
H
?
r i=1
i=1
m m m 2
X
X
X
2
2
+r
Bi T0 q ? T0 p + r
Bi T0 q ? T0 p + r
Ti q ? Ti p ?
?2
H
i=1
m X
Bi ( T0 q ? T0 p ), qm+i ? pm+i
i=1
H
i=1
H
+2
H
i=1
m X
Bi ( T0 q ? T0 p ), qm+i ? pm+i
i=1
H
.
(33)
Учитывая при этом, что в силу условия (3)
m
X
Bi T0 q ? T0 p 2 = m T0 q ? T0 p 2 ,
H
V
i=1
после несложных преобразований неравенство (33) преобразуем к виду
m
m
X
X
(1 ? m ? r) T0 q ? T0 p 2 + r
Ti q ? Ti p 2 + 1
Tm+i q ? Tm+i p 2 +
V
H
H
?
r i=1
i=1
1
(1 ? m ? r) (q0 ? T0 q ) ? (p0 ? T0 p ) ? ? (A0 q0 ? A0 p0 ) 2 +
+
V
(1 ? m ? r)
m
X
2
+r
qi ? Bi T0 q ? pi ? Bi T0 p + ? A0 q0 ? A0 p0 , q0 ? p0 V ?
H
i=1
?
(1 ? m ? r) q0 ? p0 2 + r
V
?
m
X
m
X
qi ? pi 2 + 1
qm+i ? pm+i 2 ,
H
H
r i=1
i=1
то есть неравенство (25) справедливо. Теорема доказана.
98
И.Н. ИСМАИЛОВ, И.Б. БАДИЕВ
Напомним (см. [8?), что оператор T : Q ? Q называется асимптотически регулярным, если T k+1 q ? T k q ? 0 при k ? +? для любого q ? Q .
Справедлива
Теорема 4. Пусть A0 : V ? V обратно сильно монотонный оператор с
константой ?0 > 0 , выполнены условия (1), (24), задача (2) имеет по крайней
+?
мере одно решение, итерационная последовательность q (k) k=0 , построенная
по ормуле q (k+1) = T q (k) , q (0) ? Q произвольно заданный элемент. Тогда эта
последовательность сходится слабо в Q при k ? +? , ее предел q ? является
неподвижной точкой оператора T и справедливы равенства
(k)
lim yi ? Bi u(k) = 0, i = 1, 2, . . . , m,
(34)
k?+?
H
lim q (k+1) ? q (k) = 0.
k?+?
(35)
Q
Воспользуемся неравенством (25), положив в нем q = q (k)
и считая p неподвижной точкой оператора T (в силу теоремы 2 существует хотя
бы одна такая точка). Учитывая, что по определению итерационной последовательности T q (k) = q (k+1) , а для неподвижной точки согласно теореме 1 выполнены
равенства pi ? Bi T0 p = pi ? Bi p0 = 0, i = 1, 2, . . . , m , p0 ? T0 p = 0 , получаем
(k+1)
2
q
? p Q + ? A0 u(k) ? A0 p0 , u(k) ? p0
+
Доказательство.
V
1
(1 ? m ? r) u(k) ? u(k+1) ? ? A0 u(k) ? A0 p0 2 +
+
V
? (1 ? m? r)
m
X
(k)
y ? Bi u(k+1) 2 ? q (k) ? p 2 . (36)
+r
i
H
Q
i=1
Из неравенства (36) следует, что ограниченная снизу (нулем) числовая послеn
o+?
довательность k q (k) ? p kQ
не возрастает, и следовательно, имеет конечный
k=0
предел:
lim q (k) ? p Q = ?p ,
k?+?
и значит, выполнены соотношения:
lim
A0 u(k) ? A0 p0 , u(k) ? p0
= 0,
k?+?
(37)
V
2
lim (1 ? m ? r) u(k) ? u(k+1) ? ? A0 u(k) ? A0 p0 V = 0,
k?+?
(k)
lim yi ? Bi u(k+1) H = 0,
k?+?
i = 1, 2, . . . , m.
Используя (37) и (1), получаем
lim A0 u(k) ? A0 p0 V = 0.
k?+?
(38)
(39)
(40)
Из (38) и (40) следует, что
lim u(k) ? u(k+1) kV = 0.
k?+?
Далее, используя (39), (41), (3) и неравенства
(k)
y ? Bi u(k) ? y (k) ? Bi u(k+1) + Bi u(k) ? u(k+1) ,
i
i
H
H
H
(41)
i = 1, 2, . . . , m,
99
О СХОДИМОСТИ ИТЕАЦИОННОО МЕТОДА
получаем соотношения (34), из которых с учетом условия (41) и равенств
(k)
yi
(k+1)
? yi
(k)
= yi
? Bi u(k) + Bi u(k) ? Bi u(k+1) +
(k+1)
+ Bi u(k+1) ? yi
следует, что
(k)
(k+1) = 0,
lim yi ? yi
H
k?+?
k?+?
i = 1, 2, . . . , m,
i = 1, 2, . . . , m.
Наконец, используя (10) и (34), имеем
(k+1)
(k) (k) lim ?i
? ?i H = r lim Bi u(k) ? yi H = 0,
k?+?
,
i = 1, 2, . . . , m.
(42)
(43)
авенства (41)(43) означают, что условие (35) выполнено, и, поскольку q (0) ?
? Q произвольный заданный элемент, то оператор T является асимптотически
регулярным. Кроме того, оператор T является нерастягивающим, и поэтому ите
+?
рационная последовательность q (k) k=0 сходится слабо в Q при k ? +? и ее
предел q ? является неподвижной точкой оператора T . Теорема доказана.
Отметим, что если выполнены условия теоремы 1, то из теорем 2, 4 вытекает,
+? (k) +?
что последовательности u(k) k=0 , yi k=0 , построенные согласно (4)(6), при
k ? +? сходятся слабо к u в V и к Bi u в H , i = 1, 2, . . . , m , соответственно, где
u решение вариационного неравенства (2).
абота выполнена при инансовой поддержке оссийского онда ундаментальных исследований (проект ќ 06-01-00633-а).
Summary
I.N. Ismagilov, I.B. Badriev. On the onvergene of iterative method for solving a
variational inequality of the seond kind with inversely strongly monotone operator.
In the paper the onvergene of the iterative method for solving a variational inequality of
the seond kind with inversely strongly monotone operator in Hilbert spae is investigated. The
funtional ourring in this variational inequality is a sum of several funtionals. Eah of these
funtionals is a superposition of lower semi-ontinuous onvex proper funtional and a linear
ontinuous operator. Suh variational inequalities arise, in partiular, during mathematial
modeling of stationary problems of ltration of a non-ompressible uid follows the nonlinear
multi-valued anisotropi ltration law with limiting gradient.
Литература
1.
ольштейн Е.., Третьяков Н.В.
Модиицированные ункции Лагранжа. М.: На-
ука, 1989. 400 с.
2.
Исследование некоторых нелинейных краевых задач
с вырождением по градиенту // Сеточные методы для краевых задач и приложения.
Материалы 6-го Всерос. семинара. Казань: Казан. гос. ун-т, 2005. С. 5053.
Бадриев И.Б., Исмагилов И.Н.
3.
Бадриев И.Б., Исмагилов И.Н. Математическое моделирование стационарных анизотропных задач теории ильтрации с многозначным законом // Вестн. Удмурт.
ун-та. Математика. 2007. ќ 1. С. 38.
4.
Итерационные методы решения вариационных неравенств второго рода с обратно сильно монотонными операторами// Изв. вузов. Математика. 2003. ќ 1. С. 2028.
Бадриев И.Б., Задворнов О.А.
100
5.
6.
И.Н. ИСМАИЛОВ, И.Б. БАДИЕВ
Бадриев И.Б., Задворнов О.А. Методы декомпозиции для решения вариационных
неравенств второго рода с обратно сильно монотонными операторами // Диеренц.
уравнения. 2003. Т. 39, ќ 7. C. 888895.
О сходимости итерационного метода двойственного
типа решения смешанных вариационных неравенств // Диеренц. уравнения. 2006. Т. 42, ќ 8. С. 11151122.
Бадриев И.Б., Задворнов О.А.
7.
Бадриев И.Б., Задворнов О.А., Исмагилов Л.Н. Применение метода декомпозиции
для численного решения некоторых нелинейных стационарных задач теории ильтрации // Исслед. по прикл. матем. и инорм. Казань: Казан. гос. ун-т, 2003. Вып. 24. С. 1224.
8.
Browder F.E., Petrushin W.V. The solution by iteration of nonlinear funtional equations
in Banah spaes // Bull. Amerian. Math. So. 1996. V. 72. P. 571575.
9.
Лионс Ж.-Л.
Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир,
1972. 588 с.
10.
Экланд И., Темам .
Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир, 1979. 400 .
Поступила в редакцию
01.10.07
Бадриев Ильдар Бурханович доктор изико-математических наук, проессор
каедры вычислительной математики Казанского государственного университета.
E-mail: Ildar.Badrievksu.ru
Исмагилов Ирек Наилевич аспирант каедры вычислительной математики Казанского государственного университета.
E-mail: Irek.Ismagilovmail.ru
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа