close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О считающих функциях нулей аналитических функций из пространств со смешанной нормой.

код для вставкиСкачать
Известия вузов. Математика
2012, № 10, c. 20–31
http://www.ksu.ru/journals/izv_vuz/
e-mail: izvuz.matem@ksu.ru
А.А. ДОЛГОБОРОДОВ
О СЧИТАЮЩИХ ФУНКЦИЯХ НУЛЕЙ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
ИЗ ПРОСТРАНСТВ СО СМЕШАННОЙ НОРМОЙ
Аннотация. Изучается поведение считающих функций нулей аналитических в круге функций
из пространств со смешанной нормой, в частности, пространств Бергмана–Джрбашяна со
стандартным весом. Приводятся следствия, усиливающие известные результаты о нулевых
множествах пространств со смешанной нормой.
Ключевые слова: нули аналитических функций, пространства Бергмана, пространства со смешанной нормой.
УДК: 517.538
Введение
Пусть A — пространство аналитических в круге |z| < 1 функций f (z), Apq,α — пространство функций f ∈ A, для которых
1/q
1
q
2 α
Mp (f ; r) (1 − r ) r dr
< ∞,
0
где 0 ≤ p ≤ ∞, 0 < q < ∞, −1 < α < ∞,
2π
1/p
1
|f (reiθ )|p dθ
(0 < p < ∞),
Mp (f ; r) =
2π 0
2π
1
log |f (reiθ )|dθ ,
M0 (f ; r) = exp
2π 0
M∞ (f ; r) = max{|f (z)| : |z| = r}.
В литературе Apq,α (0 < p < ∞) называют иногда пространством со смешанной нормой.
При q = p получим пространство Бергмана–Джрбашяна Apα со стандартным весом.
Пусть n(r; f ) — считающая функция нулей функции f ∈ A, т. е. n(r; f ) — это число нулей
zk (f ) функции f в круге |z| < r (0 < r ≤ 1) с учетом кратности нулей.
Г. Шапиро и А. Шилдс [1] доказали, что если f ∈ Ap0 , то
1
1
log
, r → 1 − 0.
n(r; f ) = O
1−r
1−r
Поступила 19.08.2011
20
О СЧИТАЮЩИХ ФУНКЦИЯХ НУЛЕЙ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
21
А.М. Седлецким ([2], [3]) для f ∈ Apα было получено неравенство
lim
r→1−0
α+1
n(r; f )
≤
(1/(1 − r)) log(1/(1 − r))
p
и доказано, что для любого ε > 0 найдется такая функция fε ∈ Apα , что для некоторой
последовательности rk → 1 − 0
α+1
n(rk ; fε )
≥
.
1/(1 − rk ) log(1/(1 − rk ))
p+ε
В работе [4] установлено, что если f ∈ A0q,α (в частности, если f ∈ Aqα ), то при всех
достаточно малых значениях 1 − r выполняется неравенство
εf (r)
εf (r)
α+1 1
log
+ log log
,
(1)
n(r; f ) <
q 1−r
1−r
1−r
где εf (r) → 0 при r → 1 − 0. При этом для любой неубывающей непрерывной на (0, +∞)
функции ε(t) такой, что a) 0 < ε(t) ≤ 1, ε(t) → 0 при t → +0, b) ε(t)/tβ ↑ +∞ при t → +0
∀β > 0, c) log(1/ε(t)) = o(log 1/t) при t → +0, существует функция fε ∈ A∞
q,α такая, что для
некоторой подпоследовательности rk → 1 − 0 имеем
α+1 1
ε(1 − rk )
ε(1 − rk )
+ log log
log
.
(2)
n(rk ; fε ) >
q 1 − rk
1 − rk
1 − rk
Таким образом, оценка типа
n(r; f ) ≤ ϕ(r) ≡ ϕ(r; p, q, α) ∀f ∈ Apq,α
позволяет по наименьшей для всего класса Apq,α мажоранте ϕ(r) различить последовательности нулей функций из различных пространств Apq,α (в частности, пространств Бергмана–
Джрбашяна Aqα ) лишь в случае, когда различны значения (α + 1)/q.
Ниже найдены необходимые и достаточные условия на последовательности {rk }, rk →
1 − 0, на которых “достигается” оценка n(r; f ) ≤ ϕ(r), рассматриваемая на подпространстве
f ∈ Apq,α : n(r; f ) ≤ ϕ(r) ,
где ϕ(r) — некоторая наперед заданная функция (мажоранта). Это позволяет установить
различие нулевых множеств подпространств
f ∈ Apq11,α1 : n(r; f ) ≤ ϕ(r) и f ∈ Apq22,α2 : n(r; f ) ≤ ϕ(r)
при (α1 + 1)/q1 = (α2 + 1)/q2 и q1 = q2 (независимо от значений p1 и p2 ). На мажоранту
ϕ(r) накладываются условия, связанные с “правильностью” ее изменения и порядком роста. Верхнюю границу роста мажоранты ϕ(r) определяют, очевидно, оценки (1) и (2). В
качестве ее нижней границы роста, при котором проявляется различие нулевых множеств,
указывается функция вида ϕ(r) = (c/(1 − r)) log log(1/(1 − r)), где c > 0 не зависит от r.
Уточним, что выражение “неравенство n(r; f ) ≤ ϕ(r), r ∈ (0, 1), достигается в точке
r0 ∈ (0, 1)” понимается как то, что n(r0 + 0; f ) = ϕ(r0 ) (функция n(r; f ) не убывает и
непрерывна слева; функция ϕ(r) непрерывна и строго возрастает). Как обычно, нулевое
множество Z(H) класса H ⊂ A — это множество всех последовательностей нулей Z(f ) (с
учетом кратности) функций f ∈ H : Z(H) = {Z(f ) : f ∈ H}.
22
А.А. ДОЛГОБОРОДОВ
p,ν(t)
p
1. Пространство Hq,γ
и его подпространства Hq,γ
В работе [4] было замечено, что в обозначенном выше круге вопросов целесообразно
ввести независимый параметр γ > 0, заменив пространство Apq,α пространством
p
:= Apq,γq−1 (p ∈ [0, ∞], q > 0, γ > 0).
Hq,γ
Это находит подтверждение и в основном результате данной работы (теорема 2), который
p
формулируется более естественным образом именно для пространства Hq,γ
. Определим теp
перь подмножество пространства Hq,γ посредством ограничения n(r; f ) ≤ ϕ(r), rf < r < 1,
в котором функцию ϕ(r) зададим надлежащим образом.
Пусть функция ε(τ ) непрерывна и возрастает на (0, 1], ε(+0) = 0, ε(τ )/τ убывает на (0, 1]
и ε(τ )/τ ↑ +∞ при τ → +0. Множество таких функций обозначим через E. Если ε(τ ) ∈ E
и τ0 ∈ (0, 1] такое, что ε(τ0 )/τ0 ≥ e, то на (0, τ0 ] у функции
ε(τ )
τ
существует обратная функция τ = τ (t) = τ (t; ε), t ∈ (0, t0 ] (t0 ≥ τ0 ). Положим
t = τ log
(3)
1
, t ∈ (0, γt0 ],
τ (t/γ)
ϕ(r) = ν(1 − r), r ∈ [γt0 , 1).
ν(t) ≡ ν(t; ε, γ) :=
Функцию ν(t) (ϕ(r)) назовем допустимой мажорантой для считающей функции нулей
p
(f ∈ Apq,α , α = γq − 1, p ∈ [0, +∞]).
n(1 − t; f ) (n(r; f )) функции f ∈ Hq,γ
Введем обозначения:
p,ν(t)
p
= {f ∈ Hq,γ
: n(1 − t; f ) ≤ ν(t; ε, γ)},
Hq,γ
p,ν(t)
= {f ∈ Apq,α : n(1 − t; f ) ≤ ν(t; ε, (α + 1)/q)},
Aq,α
p,ν(t)
,
Aαp,ν(t) := Ap,α
где неравенство n(1 − t; f ) ≤ ν(t) выполняется для всех достаточно малых t : t ∈ (0, tf ), tf
зависит от f .
Теорема 1. При любом p ∈ [0, ∞] имеют место равенства
p
p,ν(t)
p,ν(t)
=
Hq,γ
, Apq,α =
Aq,α
,
Hq,γ
ν(t)
ν(t)
где объединения берутся по всем допустимым мажорантам ν(t) = ν(t; ε, γ) и ν(t) =
ν(t; ε, (α + 1)/q) соответственно.
Доказательство. В силу (1) достаточно показать, что для любой функции ε(t) ↓ 0 при
t → +0 найдется функция ε(t) ∈ E такая, что
ε(t)
ε(t)
γ
log
log
≤ ν(t; ε, γ)
(4)
t
t
t
для всех достаточно малых t, или, что то же,
t
; ε ≤ τ1 (t),
τ
γ
(5)
О СЧИТАЮЩИХ ФУНКЦИЯХ НУЛЕЙ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
где
t
τ1 (t) =
γ
log
ε(t)
ε(t)
log
t
t
23
−1
.
(6)
Неравенство (5) в силу определения τ (·; ε) как обратной к функции (3) и в силу возрастания
последней эквивалентно неравенству
−1
ε(τ1 (t))
ε(τ1 (t))
t
ε(t)
ε(t)
t
log
≤ τ1 (t) log
≡
log
log
,
γ
τ1 (t)
γ
t
t
τ1 (t)
которое в свою очередь эквивалентно неравенству
ε(t)
ε(τ1 (t))
ε(t)
log
≤
.
t
t
τ1 (t)
Отсюда в силу (6) получим
ε(t) log ε(t)
1
t
≤ ε(τ1 (t)).
γ log ε(t) log ε(t)
t
t
(7)
Левая часть неравенства (7) при t → +0 эквивалентна ε(t)/γ, тогда как его правая часть —
функции ε(t), если только ε(t) убывает достаточно медленно (например, ε(t) = 1/ log(e/t)).
Поэтому при ε(t) > 2γ −1 ε(t) (и при условии ε(τ1 (t)) ∼ ε(t), t → 0) выполняется (4) для всех
достаточно малых t.
Доказательству следующей теоремы — основному результату работы — предпошлем ряд
лемм.
2. Вспомогательные утверждения
Лемма 1 ([4], лемма 1). Пусть даны возрастающие последовательности положительных
∞
чисел {nk }∞
k=1 и {rk }k=1 , rk → 1 − 0. Определим на [0, 1) функцию n(r), положив n(r) = 0
при 0 ≤ r ≤ r1 , n(r) = nk при rk < r ≤ rk+1 (k = 1, 2, . . . ). Положим
r
n(t)
dt, 0 ≤ r < 1.
N (r) =
t
0
Тогда при каждом k = 1, 2, . . . и любом r ∈ (rk , rk+1 ] имеем
n k
r
,
exp N (r) = Ak
rk
где
Ak =
k rk nj −nj−1
j=1
rj
(8)
(n0 = 0).
Лемма 2 ([5], лемма 3). Если функция ϕ(t) неотрицательна, интегрируема на (0, 1] и
удовлетворяет условию ϕ(2t) ≤ cϕ(t), t ∈ (0, 1/2], где c не зависит от t, то при любом
δ ∈ (0, 1] имеем
δ
1
1/δ
(1 − t) ϕ(t)dt ≤ cϕ
ϕ(t)dt,
0
где cϕ зависит лишь от ϕ.
0
24
А.А. ДОЛГОБОРОДОВ
Лемма 3. Пусть ε(t) ∈ E, 1 > τ1 > · · · > τk → 0 (k → ∞), γ > 0,
tk = γτk log
ε(τk )
, k = 1, 2, . . . ,
τk
(9)
где t1 < 1 (если τ1 достаточно мало),
0,
0 < r ≤ 1 − t1 ;
n(r) =
1/τk , 1 − tk < r ≤ 1 − tk+1 (k = 1, 2, . . . ),
r
n(t)
dt, r ∈ (0, 1),
N (r) =
t
0
k−1
ε(τj ) γ
(k = 2, 3, . . . ).
δk = ε(τk )
τj
j=1
Тогда при условии
∞
ε(τk )
τk
log
<∞
τk−1
τk
(10)
k=2
выполняются неравенства
c1 δkq
≤
tk
(exp N (1 − τ )τ γ )q
tk+1
dτ
≤ c2 δkq ,
τ
(11)
в которых q > 0, а положительные постоянные c1 и c2 не зависят от k.
Доказательство. Положим nk = 1/τk , rk = 1 − tk и воспользуемся леммой 1. Согласно
равенству (8) получим
exp N (1 − τ ) = (1 − τ )nk
k
(1 − tj )−(nj −nj−1 ) (n0 = 0),
(12)
j=1
τ ∈ (tk+1 , tk ]. Неравенства (11) в силу (12) можно переписать в виде
tk
k
q
nk q γq−1
(1 − τ ) τ
dτ
(1 − tj )−(nj −nj−1 )q ≤ c2 δkq .
c1 δk ≤
tk+1
Покажем теперь, что при условии (10) выполняются неравенства
k
k k ε(τj ) γ ε(τj ) γ
−(nj −nj−1 )
≤
(1 − tj )
≤ c4
,
c3
τj
τj
j=1
(13)
j=1
j=1
(14)
j=1
где положительные постоянные c3 и c4 не зависят от k.
Действительно, так как
ε(τj )
1
2
2 ε(τj )
= tj + O(tj ) = γτj log
+ O τj log
, j → ∞,
log
1 − tj
τj
τj
то
τj
ε(τj )
1
2 ε(τj )
=γ 1−
+ O τj log
log
=
(nj − nj−1 ) log
1 − tj
τj−1
τj
τj
τj
ε(τj )
ε(τj )
2 ε(τj )
−γ
log
+ O τj log
, j → ∞. (15)
= γ log
τj
τj−1
τj
τj
О СЧИТАЮЩИХ ФУНКЦИЯХ НУЛЕЙ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
25
Теперь из условия (10) следует, что последовательность τk убывает быстрее геометрической
прогрессии, так что имеет место сходимость ряда
ε(τj )
.
τj log2
τj
Поэтому из (10) и (15) при любом k ∈ N получим двойное неравенство
k
j=1
ε(τj )
1
ε(τj )
γ log
+ log c3 ≤
(nj − nj−1 ) log
≤
γ log
+ log c4 ,
τj
1 − tj
τj
k
k
j=1
j=1
из которого следует (14).
Далее, положив δ = 1/(nk q), ϕ(t) = τ γq−1 и воспользовавшись леммой 2, получим
1
δ
tk
nk q γq−1
1/δ
(1 − τ ) τ
dτ ≤
(1 − τ ) ϕ(t) dt ≤ cϕ
ϕ(t) dt = c1 (γ, q)τkγq ,
0
tk+1
(16)
0
где c1 (γ, q) зависит лишь от γ и q.
С другой стороны, при k достаточно больших τk < tk (см. (9)), tk+1 < τk /2 (см. (10)), так
что
τk
tk
nk q γq−1
−q
(1 − τ ) τ
dτ ≥ 3
τ γq−1 dτ = c2 (γ, q)τkγq .
(17)
tk+1
τk /2
Из (14), (16) и (17) следуют неравенства (13) (эквивалентные неравенствам (11)).
Лемма 4. Пусть ε(t) ∈ E, 1 > τ1 > · · · > τk → 0, τk = o(τk−1 ) при k → ∞, λ > 0,
1 λ
ε(t)
≥ log
t
t
для достаточно малых t ∈ (0, 1]. Тогда
∞ 1
ε(τk ) −γ
< ∞ ∀γ > .
τk
λ
(18)
(19)
k=1
Кроме того, если λ > 1 и
то
ε(τk ) = O(τk−1 ) (k → ∞),
(20)
∞
ε(τk )
τk
log
< ∞.
τk−1
τk
(21)
k=2
Доказательство. Из условия (18) для любого γ > 1/λ следует
∞
(ε(2−k ) · 2k )−γ < ∞,
k=1
откуда согласно условию τk = o(τk−1 ) получим (19).
Из (20) и (18) следует
1 −λ
τk
τk
=O
log
=O
,
τk−1
ε(τk )
τk
−(1−ε) ε(τk )
ε(τk )
τk
τk
1 −λ(1−ε)
τk
log
log
=O
=O
=O
log
,
τk−1
τk
ε(τk )
τk
ε(τk )
τk
26
А.А. ДОЛГОБОРОДОВ
где ε ∈ (0, 1), k → ∞. Отсюда при λ > 1, ε = (λ − 1)/2λ и при условии τk = o(τk−1 ) получим
(21).
Лемма 5 ([4], лемма 9). Пусть
nk −nk−1 ∞ z
1−
,
f (z) =
rk
k=1
где rk = 1 − tk , 1/2 > t1 > t2 > · · · > tk → 0, n0 = 0, nk ∈ N (k = 1, 2, . . . ), nk − nk−1 ↑ ∞
(k → ∞). Тогда если nk tk+1 ≤ a = const (k = 1, 2, . . . ), а
σ :=
∞
exp{−nk tk } < ∞,
k=1
то для любых q > 0 и α > −1 существует такая величина c = c(q, α, σ, a), зависящая
лишь от указанных в скобках параметров, что при некотором m ∈ N и любом k > m
выполняется неравенство
α
1−2tk
q
2
M∞ (f ; r) 1 − r
r dr ≤
1−2tm
1−2tk
≤c
exp
1−2tm
1
2π
2π
log |f (re )| dθ
iθ q
α
1−r
2
r dr. (22)
0
3. Основной результат. Следствия
Теорема 2. Пусть ε(τ ) ∈ E, γ > 0,
ε(τ )
≥
τ
1
log
τ
λ
(23)
при λ > max{1, 1/γ} и достаточно малых τ ∈ (0, 1); ν(t) = ν(t; ε, γ) — допустимая мажоp
(0 ≤ p ≤ ∞, q > 0); пусть также
ранта для считающих функций нулей функций из Hq,γ
1 > τ1 > · · · > τk → 0 (k → ∞), 1/τk ∈ N (k = 1, 2, . . . );
ε(τk ) = O(τk−1 ) (k → ∞);
tk = γτk log
δk =
ε(τk )
k−1
j=1
Тогда если
ε(τj )
τj
∞
ε(τk )
,
τk
(24)
(25)
γ
(k = 2, 3, . . . ).
δkq < ∞,
(26)
(27)
k=2
∞,ν(t)
то в Hq,γ
есть функция f такая, что
n((1 − tk ) + 0; f ) = ν(tk )
для всех достаточно больших k. Если же
∞
k=2
δkq = ∞,
(28)
О СЧИТАЮЩИХ ФУНКЦИЯХ НУЛЕЙ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
27
0 нет функций f , для которых неравенство
то в Hq,γ
n((1 − tk ) + 0; f ) ≥ ν(tk )
выполнялось бы при всех достаточно больших k.
Доказательство. Положим n0 = 0, nk = 1/τk (k = 1, 2, . . . ; nk ∈ N). Не ограничивая общности, считаем t1 < 1/2. Проверим, что последовательность {nk } удовлетворяет условиям
nk − nk−1 ↑ ∞ (k → ∞),
nk tk+1
∞
(29)
≤ a = const,
(30)
exp{−nk tk } < ∞.
(31)
k=1
Действительно, из (24) и того, что ε(τ )/τ = A(τ ) → ∞ при τ → +0, следует ε(τk ) =
τk A(τk ) = O(τk−1 ), так что τk = o(τk−1 ), k → ∞, откуда получим (29). Для доказательства
(30) и (31) воспользуемся леммой 4. Поскольку τk = o(τk−1 ), а в неравенстве (18) леммы 4
по условию теоремы λ > 1, то имеет место (21) и тем самым
τk
ε(τk )
1
nk−1 tk =
log
= o(1) (k → ∞)
γ
τk−1
τk
(ср. с (30)). Так как λ > 1/γ, то справедливо также условие (31), которое в силу (25)
является иной формой записи условия (19) леммы 4.
Итак, выполняются все условия, наложенные на параметры функции
nk −nk−1 ∞ z
1−
f (z) =
rk
k=1
(rk = 1−tk ) из леммы 5. Поэтому при некотором m и любых k > m имеет место неравенство
2tm
2tm
q dt
q dt
≤c
(32)
M∞ (f ; 1 − t)tγ
exp N (1 − t)tγ
t
t
2tk
2tk
(см. (22)). Как уже было отмечено, из условий теоремы следует условие (10) леммы 3.
Поэтому согласно этой лемме (см. правое из неравенств (11)) и из неравенства (32) получим
2tm
2tm
∞
q dt
q dτ
≤c
≤c
δkq .
M∞ (f ; 1 − t)tγ
exp N (1 − t)tγ
t
τ
0
0
k=m−1
∞.
Hq,γ
При этом из определения функции f (z) и опреОтсюда при условии (27) имеем f ∈
деления допустимой мажоранты ν(t; ε, γ) следует
ε(τk )
,
τk
n(1 − t; f ) = nk = ν(tk ) < ν(t) при t ∈ [tk+1 , tk ),
1 − |znk (f )| = tk = γτk log
n((1 − tk ) + 0; f ) = ν(tk )
при всех достаточно больших k.
С другой стороны, пусть для функции f (z) = a0 z l g(z) ∈ A, g(0) = 1, при всех достаточно
больших k, k > k∗ , выполняется неравенство
n((1 − tk ) + 0; f ) ≥ ν(tk ) = nk .
28
А.А. ДОЛГОБОРОДОВ
Тогда n(1 − t; g) ≥ nk − l, t ∈ [tk+1 , tk ) (k > k∗ ), так что n(r; g) ≥ n(r) − l, r ∈ (r ∗ , 1), где
0,
0 < r ≤ 1 − t1 ;
n(r) =
nk , 1 − tk < r ≤ 1 − tk+1 (k = 1, 2, . . . ),
а r ∗ достаточно близко к 1. Поэтому при r ∈ (r ∗ , 1)
r
r∗
r
1
1
n(t; g)
n(t)
n(t)
dt ≥
dt − l log ∗ = N (r) −
dt − l log ∗ ,
N (r; g) =
t
t
r
t
r
∗
r1
r
r1
где
r
n(t)
dt.
N (r) =
t
r1
(33)
Выше уже было отмечено, что условия (23) и (24) теоремы влекут условие (10) леммы 3, а
следовательно, и левое из неравенств (11) (k > k∗ ). Из условия (28) следует расходимость
интеграла
t1
q dτ
.
exp N (1 − τ )τ γ
τ
0
В силу (33) расходится и интеграл
t1
q dτ
.
exp N (1 − τ ; g)τ γ
τ
0
0 , а следовательно, и
В силу формулы Иенсена эта расходимость означает, что g ∈ Hq,γ
0
f∈
/ Hq,γ .
Замечание. Поскольку
δk 1/γ
ε(τk )
=
,
τk−1
δk−1
то условие (24) не влечет, вообще говоря, (27) (не противоречит (28)). Отметим также, что
это условие в лемме 4 и соответственно в теореме 2 можно расширить до условия
ε(τk )
, k → ∞,
ε(τk ) = O τk−1 L
τk
где L(t) — любая медленно растущая в бесконечности функция.
p,ν(t)
Рассмотрим элементы f пространства Hq,γ , для которых равенство n(1 − tk ; f ) = ν(tk )
имеет место для последовательностей {tk } (tk ↓ 0), частота которых уже не может быть
в определенном смысле увеличена (скорость стремления к нулю уменьшена). Под этим
согласно теореме 2 естественно понимать тот случай, когда условие (27) перестает выполняться при замене параметра q на любое q < q.
p,ν(t)
Такие элементы f определим как экстремальные (крайние) элементы пространства Hq,γ .
В связи с этим заметим, что если выбор τ1 , . . . , τk−1 уже произведен, то в силу (26) действительное τk всегда можно выбрать так, чтобы δkq приняло наперед заданное значение ηk < 1.
При этом ограничение 1/τk ∈ N не мешает тому, чтобы вместо равенства δkq = ηk иметь соотношение δkq ∼ ηk при k → ∞ (это следует из того, что ε(τk ) ∼ ε(τk +O(τk2 )), k → ∞). Поэтому,
выбирая τk (1/τk ∈ N) так, чтобы, например, было δkq ∼ 1/(k log2 k) (k → ∞), получим экс∞,ν(t)
/ Hq0 ,γ ∀q < q.
тремальный элемент пространства Hq,γ . Согласно теореме 2 функция f ∈
О СЧИТАЮЩИХ ФУНКЦИЯХ НУЛЕЙ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
29
При этом нулевое множество Z(f ) такой функции f не может содержаться в нулевом множестве Z(g) ни одной из функций g ∈ Hq0 ,γ , поскольку в противном случае n(r; g) ≥ n(r; f )
и n(1 − tk ; g) ≥ ν(tk ), что по теореме 2 невозможно. Поэтому справедливо
Следствие 1. Пусть ν(t) = ν(t; ε, γ) — допустимая мажоранта, удовлетворяющая условию
(23),
p
Hqp− ,γ :=
Hq ,γ .
q <q
Тогда
∞,ν(t) Z Hq0− ,γ .
Z Hq,γ
В частности, если (α1 + 1)/q1 = (α2 + 1)/q2 = γ, q1 > q2 , то
Z A0q2 ,α2 ,
Z A∞,ν(t)
q1 ,α1
и если (α1 + 1)/p1 = (α2 + 1)/p2 = γ, p1 > p2 , то
Z Aαp11,ν(t) Z Apα22 .
Чтобы привести еще одно следствие из теоремы 2, понадобится
Лемма 6. Условие (23) теоремы 2
1 λ
ε(τ )
≥ log
, λ > max{1, 1/γ},
τ
τ
эквивалентно условию
1
c
ν(t) ≥ log log , c > max{γ, 1},
t
t
где ν(t) = ν(t; ε, γ) — допустимая мажоранта.
Доказательство. Пусть τ = τλ (t) — функция, обратная к функции
1
(λ > 0, τ ∈ (0, e−e )).
t = λτ log log
τ
Тогда при достаточно малых t получим
t
∼ τλ (t), t → 0.
τλ (t) <
λ log log(λ/t)
Поэтому функция τ = τ (t; ε), обратная к функции t = t log(ε(τ )/τ ), в силу условия (23)
удовлетворяет при достаточно малых t неравенствам
t
(λ > max{1, 1/γ}),
τ (t; ε) ≤ τλ (t) <
λ log log(λ/t)
а допустимая мажоранта ν(t; ε, γ) (при условии (23)) — неравенству
1
c
ν(t; ε, γ) ≥ log log , c = λγ > max{γ, 1}.
t
t
С другой стороны, пусть
c
c
ν(t; ε, γ) ≥ log log , c > max{γ, 1},
t
t
так что
c
t
, где λ = .
τ (t; ε) ≤
λ log log(λ/t)
γ
30
А.А. ДОЛГОБОРОДОВ
Тогда для всех достаточно малых τ
1 λ
c
1
ε(τ )
≥ log
,
.
∀λ ∈ max 1,
τ
τ
γ γ
Действительно, если
ε(τk )
<
τk
1
log
τk
λ
, τk → 0,
а τλ (t) — функция, обратная к функции t = λ τ log log(1/τ ), то
τλ (tk ) < τ (tk ; ε) <
tk
(λ < λ),
λ log log(λ/tk )
что противоречит
τλ (t) ∼
t
λ log log(λ /t)
, t → 0.
0 и
Из второй части теоремы 2 и леммы 6 следует, что для любой функции f ∈ Hq,γ
функции ν(t) = (c/t) log log t, где c > max{γ, 1}, найдется такая последовательность {tk },
tk → 0, что n(1 − tk ; f ) < ν(tk ). С учетом первой части теоремы 2 и леммы 6 получим
Следствие 2. Какой бы ни была допустимая мажоранта ν(t), удовлетворяющая условию
ν(t) > ν0 (t) := ct1 log log 1t (c1 > max{γ, 1}, 0 < t < t0 ) (в частности, условию ν(t) =
p
(0 ≤ p ≤ ∞) такой, что
(c2 /t) log(1/t), 0 < c2 < γ), для любой функции f ∈ Hq,γ
lim
t→+0
имеем
n(1 − t; f )
> 0,
ν(t)
n(1 − t; f )
< ∞.
ν0 (t)
t→+0
lim
Это следствие показывает, что достаточно высокий рост по некоторой подпоследовательp
, с необходимостью
ности аргумента r = rk → 1 считающей функции n(r; f ), f ∈ Hq,γ
сопровождается иррегулярностью ее поведения. Здесь может представить интерес вопрос о
функциях n(r) с “регулярным” изменением и возможно бóльшим ростом при r → 1 − 0, для
p
.
которых соотношение n(r; f ) ∼ n(r), r → 1 − 0, возможно для каких-то функций f ∈ Hq,γ
К нему примыкает и вопрос об ослаблении условия (23) в теореме 2.
Работа выполнена под руководством Е.А. Севастьянова.
Литература
[1] Shapiro H.S., Shields A.L. On the zeros of functions with finite Dirichlet integral and some related function
spaces, Math. Z. 80, 217–229 (1962).
[2] Седлецкий А.М. О нулях аналитических функций классов Apα , Актуальные вопросы теории функций
(РГУ, 1987), с. 24–29.
[3] Седлецкий А.М. Аналитические преобразования Фурье и экспоненциальные аппроксимации. II, Современная математика. Фундаментальные направления 6 (МАИ, 2003), с. 3–162.
[4] Долгобородов А.А. О нулях аналитических функций из пространств Бергмана и некотоых близких
к ним пространств, Матем. заметки 88 (2), 201–216 (2010).
[5] Севастьянов Е.А., Долгобородов А.А. О распределении нулей функций из пространств Бергмана с
весом, Матем. заметки 86, 95–109 (2009).
О СЧИТАЮЩИХ ФУНКЦИЯХ НУЛЕЙ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
А.А. Долгобородов
аспирант, кафедра № 30 высшей математики,
Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ),
Каширское ш., д. 31, г. Москва, 115409, Россия,
e-mail: kzander@mail.ru
A.A. Dolgoborodov
Counting functions of zeros of analytic functions in spaces with mixed norm
Abstract. We study the behavior of counting functions of zeros of analytic in a disk functions in
spaces with mixed norm, in particular, the Bergman–Dzhrbashyan spaces with standard weights.
We obtain corollaries that strengthen the known results on zero sets of spaces with mixed norm.
Keywords: zeros of analytic functions, Bergman space, a space with mixed norm.
A.A. Dolgoborodov
Postgraduate, Chair № 30 of Higher Mathematics,
National Nuclear Research University,
31 Kashirskoe Highway, Moscow, 115409 Russia,
e-mail: kzander@mail.ru
31
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
203 Кб
Теги
аналитическая, пространство, функция, смешанной, нормой, считающих, функции, нулей
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа