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О температуре нагрева поверхности движущимся лучом лазера.

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?????. ???. ???. ????. ??-??. ???. ???.-???. ?????. ? 2008. ? ? 2 (17). ? ?. 224?230
??? 536.2
? ??????????? ??????? ??????????? ??????????
????? ??????
?. ?. ??????, ?. ?. ???????
????????? ??????????????? ??????????? ???????????,
443100, ??????, ??. ?????????????????, 244.
E-mail: physics@samgtu.ru
??????????? ??????? ?????? ??????? ??????????? ???????????????? ??????? ?????????? ????? ??????. ???????????? ????????????? ????? ??????? ????? ?????????? ??????????????????? ???????. ? ?????? ????? ????????????? ?????????? ??????????? ? ?????? ??????????? ????.
???????? ?????: ?????? ??????????? ???????, ??????? ??????? ?????? ????????????????, ?????????? ??????????????????? ???????.
????????? ??????????? ?????????? ????? ?????? ????? ????????????
??? ???????? ????? ??????????????? ?????????? [1]. ????????????? ?????????? ?????????????? ????, ???????????? ??? ???? ? ???????, ????????
? ?????????, ??????? ????????? ??????????? [2?4] ? ????? ????? ????. ? ????????? ?????? ??????????? ??????? ?????????? ????? ?????????.
????? ??????? ???????? ???????????????? z > 0. ?? ??? ??????????? ???????? ? ?????????? ????????? ? ????? ??????? (???????? ?????). ?????????? ?????? ??????????? ????? ?????????? x = y = z = 0, ??? ?????????????
????????? ??????????? ???????? ? ?????? ???????? ????????? ???????
2
x + y2
AP
,
q = 2 exp ?
?r
r2
??? A ? ??????????? ??????????; P ? ?????? ???????? ?????? ??????? ????????? ?????????, ????????? ?? ??????????? z = 0; r ? ?????? ????? ??????? (??? ???????? ????????? ????????? r = ?1k , k ? ??????????? ?????????????????).
? ????????? ??????? ????????? (????? ??????????? ????????? ????????? ? ??????? ???????, ??? OX ?????????? ????? ??????????? ????????)
??????? ????????? ????????????????
1 ?T
? ?T
?
,
a ?t
a ?x
??????????????? ????????? ? ??????? ????????:
?T =
T (?, y, z, t) = T (x, ?, z, t) = T (x, y, ?, t) = T (x, y, z, 0) = T0 ,
2
?T AP
x + y2
?
= ? 2 exp ?
,
?z z=0
?r
r2
?????? ?????? ???????????? ? ?????? ??????? ?????? ?????????? ????????????????
???????????? ????????????; ?.?.-?.?.
??????? ????????? ?????????? ? ??????? ????????????? ??????? ?????? ??????????
???????????????? ???????????? ????????????.
224
? ??????????? ??????? ??????????? ?????????? ????? ??????
? ???????????? ?????? (????? ??????????? ?? ??????? ?T
?t = 0) ????? ??? [2?4]
r Z? exp ? (x+?? )2 +y2 ? z 2
2
4a?
AP a
4a? +r
?
T = T0 +
d?,
(1)
2
?? ?
? (4a? + r )
0
??? a ? ??????????????????????, ? ? ????????????????, ? ? ???????? ???????? ???????? ????????? ?? ???????????.
????? ??????? ????????? ??????????? ??????? T0 = 0. ???????? ? ???????????? ?????????, ?????????? (1) ? ????
Z? exp ? (?+??)2 +?2 ? ?2
?+1
?
1
d?.
(2)
?=
?
?
?(? + 1)
0
?????
?=
4a?
,
r2
?=
x
,
r
?=
y
,
r
?=
z
,
r
?=
?r
,
4a
?=
T
,
0
Tm
(3)
0 = AP
? ? ?????????????? ? ???????????? ?????? ??????????? ???????
? Tm
2?r ?
? ?????? ???????????? ???????? ????? [2?4].
????? ????? ????? ????????????? ?????? ?????? ???????????, ?. ?. ? ??????? (2) ????? ??????? ? = 0. ?????, ??????? ?2 = (? ? ?)2 + ? 2 ? ???????
? (2) ??????? ?????????????? ?????????????? ?????????? ??????????, ?????
?????
#
"Z?
2 ? ? ?2
exp
??
2
2
2
?+1
exp(? ? ? ? ? )
d? .
(4)
?=
?
?
?(? + 1)
0
????? ?????????? ?????????? ? ??? ??????? ??? ?????????, ????????????
? ?????????? ??????, ??????? ????????? ?????????:
"Z?
#
Z? exp ?? 2 ? ? ?2
?
X
?+1
(??2 )k
exp(?? 2 ?)
d? =
T (?, ?) =
d? . (5)
?
1
?(? + 1)
k!
2 (? + 1)k+1
?
k=0
0
0
???????????????? ????????? ?????????? [5]
?(a)U (a, b, ?) =
Z?
exp(??? )
d?
+ 1)1?b+a
? 1?a (?
(??? a > 0, ? > 0),
0
? ??????? ?(a) = 0 exp(?? )? a?1 d? (??? a > 0) ? ?????-???????, U (a, b, ?) ?
??????????????????????????????
??????? ??????? ??????? ????, ?????? (5),
?
? ?????? ? 12 = ?, ???????
R?
?
? X
(??2 )k
T (?, ?) = ?
U
k!
k=0
1 1
2, 2
? k, ? 2 .
(6)
225
? ? ? ? ? ? ?. ?., ? ? ? ? ? ? ? ?. ?.
??????????? ??????????????????? ??????? ??????? ??????? ???? ???????????? ?? ??????????? [5, 6]
?
M (a, b, ?)
1?b M (1 ? b + a, 2 ? b, ?)
U (a, b, ?) =
??
,
sin ?b ?(1 ? b + a)?(b)
?(a)?(2 ? b)
? ??????????? ??????????????????? ??????? ??????? ??????? ???? ?? ??????????? [5, 6] ????
M (a, b, ?) = 1 +
a ?1 a(a + 1) ?2 a(a + 1)(a + 2) ?3
+
+
+ иии .
b 1!
b(b + 1) 2!
b(b + 1)(b + 2) 3!
(7)
????? ????????? (6) ????? ?????? ?????????????? (? ??????? ?? ?????????? ?????) ??????????????, ?????????? ????????????? ?? ?????????
??????????? ??????? [5], ???? ????????? ? ????????? ?????:
T (?, ?) =
?
? exp(? 2 ? ?2 )
?
X
(2?)2k
k=0
k!
?
1
2
+ k i2k erfc(?).
(8)
??? ????????? ??????????? ???????? [5] ???????????? ?????????????
2
i2k erfc(?) = ?
?
Z?
0
t2k
exp(?t2 ? 2?t ? ? 2 ) dt.
(2k)!
????????? ??? ? (8) ? ???????? ??????? ??????? ???????????? ? ??????????????:
#
"?
Z?
2k
X (2?)2k
t
T (?, ?) = 2 exp(??2 ) exp(?t2 ? 2?t)
? 12 + k
dt.
(9)
k!
(2k)!
k=0
0
?
? ?????? ??????? [5] ???????? ?????? 22??1 ? 12 + ? ?(?) = ??(2?) ????????? ? ?????????? ??????? ??????? (9) ??????????? ??????
?
X
(2?)2k
k=0
???
k!
Iх (?) =
?
1
2
+k
t2k
?
= ?I0 (2?t),
(2k)!
?
? х X
2
k=0
1
?2k
4k ?(1 + k + х) k!
? ???????????????? ??????? ??????? ??????? ???? ??????? х (? ?????
?????? х = 0). ?????
?
T (?, ?) = 2 ? exp(??2 )
Z?
0
exp(?t2 ? 2?t)I0 (2?t) dt =
? exp(??2 )
= ?
?
Z?
0
226
exp ?
t2
4? 2
? t I0
?
?t
dt. (10)
? ??????????? ??????? ??????????? ?????????? ????? ??????
????????? ??????? ????????? [5]
I0 (?t) =
?
X
(?2 ? 1)k t k
k!
k=0
2
Ik (t)
? ???????????? ??????? ??????? ? ??????????? ??????????????????? ??????? (7) ?? ??????? [5]
t k exp(?t)
Ik (t) =
M 21 + k, 1 + 2k, 2t ,
2
k!
?????????? (10) ? ????
T (?, ?) =
?
? exp(??2 ) X
(?2 ? ? 2 )k
?
О
?
4k ? 2k k!k!
k=0
О
Z?
0
t2
t2k exp ? 4?
2 ? 2t M
1
2
+ k, 1 + 2k, 2t dt.
???????????????? ??????????????? ??????? [5, 6]
M (a, b, ?) = exp(?)M (b ? a, b, ??),
????? ???????
?
? exp(??2 ) X
(?2 ? ? 2 )k
О
T (?, ?) = ?
?
4k ? 2k k!k!
k=0
О
Z?
0
t2
t2k exp ? 4?
2 M
1
2
+ k, 1 + 2k, ?2t dt.
????????? ?????????? ???????? ??? ???????????? ????????? ?????
Z?
0
t2
t2k exp ? 4?
2 M
1
2
+ k, 1 + 2k, ?2t dt =
+ k2 , 34 + k2 ; 12 , 1 + k ; 4? 2 ?
? 22k+1 ? 2k+2 ?(1 + k)2 F2 34 + k2 , 54 + k2 ; 32 , 32 + k ; 4? 2 ,
= 22k ? 2k+1 ?
1
2
+k
2 F2
1
4
??? ?????????? ??????????????????? ??????? ???????????? ????????? ??????? [7, 8]:
2 F2 [(a,
b), (c, d), ?] = 1 +
ab ?1 a(a + 1)b(b + 1) ?2
+
+
cd 1!
c(c + 1)d(d + 1) 2!
a(a + 1)(a + 2)b(b + 1)(b + 2) ?3
+
+ иии .
c(c + 1)(c + 2)d(d + 1)(d + 2) 3!
227
? ? ? ? ? ? ?. ?., ? ? ? ? ? ? ? ?. ?.
?????, ????? ????????????? ???????????
(1)
Rk 2 (2?) = 2 F2
(3)
Rk 2 (2?) = 2 F2
1
4
+ k2 ,
3
4
3
4
+ k2 ,
5
4
????????? (10) ? ????????? ?????:
T (?, ?) =
?
? exp(??2 )
1 + k ; (2?)2 ,
+ k2 ; 32 , 32 + k ; (2?)2 ,
+
?
X
(?2 ? ? 2 )k h
k=0
k!k!
?
k
2
1
2
;
1
2,
(1)
+ k Rk 2 (2?)?
i
(3)
? 2??(1 + k)Rk 2 (2?) . (11)
????? ???????, ? ?????? (4), (5), (11) ???????? ????????? ??? ???????????? ??????????? ??????? (2) ??? ??????? ? = 0 (?. ?. ?? ????? ???????????):
?=
exp(?? 2 ? ? 2 ) X (?2 ? ? 2 )k h
?
?
?
k!k!
?
1
2
k=0
(1)
+ k Rk 2 (2?)?
i
(3)
? 2??(1 + k)Rk 2 (2?) . (12)
??????? ?????????. ??-??????, ????????? ???? ???? ?????????? ?2 =
= (? ??)2 +? 2 , ?? ??? ??????? ? = 0 (?????????????, ???????? ? = 0 ? ??. (3) )
?? (12) ??????? ???????????? ??????????? ??? ????? ?????, ??????? ??
??????????? ???????, ??? ??????????? ???? ??????:
exp(?? 2 ? ? 2 ) X (? 2 + ? 2 )k ?
?
?=
?
k!
?
k=0
1
2
+k
=
k!
= exp(?? 2 ? ? 2 )M
1, ? 2 + ? 2 =
2
2
= M 12 , 1, ?? 2 ? ? 2 = exp ?? 2?? I0
1
2,
? 2 +?2 .
2
(13)
????????? (13) ??? ??? ??????? ????? [4]. ??? ????? ??????? ????????? ????
?? ??????????? (????? ? = ? = 0 ???, ??? ?? ?? ?????, x = y = 0 ? ??. (3) )
????????? (13) ????????? ??? ? = 1, ?????????????, ??????????? ???????
? ?????? (3) ?????
AP
0
? .
(14)
T = Tm
=
2?r ?
??-??????, ??????????? ??????? ??? ????? ?????, ??????? ?? ???????????, ?????????? ????? (?????? ? 6= 0) ???????????? ???????? (12), ??????? ?????????? ???????? ?????????????? ????????? (2) ????? ??????????
??????????????????? ???????.
?-???????, ????????? ?2 = (? ? ?)2 + ? 2 , ?? ??????? ?2 = ? 2 ??????????????? ?? ???? ?????? ?????????? ??????? ?, ????? ??????? ????? ??????????
228
? ??????????? ??????? ??????????? ?????????? ????? ??????
? = ?, ? = 0. ??? ????? ?????, ??????? ?? ???? ??????????, ????????? (12) ????????? ??????? ???:
h
? = exp(?? 2 ? ? 2 ) 2 F2
1 3
4, 4
?????????? ????
;
1
2,
1 ; (2?)2 ?
2?
? ? 2 F2
?
?
2?r ?
?=T
,
AP
?=
3 5
4, 4
;
3 3
2, 2
; (2?)2
i
.
?r
4a
(??. (3) ) ? ??????? ? = ? = 0, ??????? ???????? ????????? (1) ? ??????
x = y = z = 0, ? 6= 0:
T =
AP h
? 2 F2
2?r ?
1 3
4, 4
;
1
2,
1 ;
?r 2
2a
?
?r
? ? 2 F2
2 ?a
3 5
4, 4
;
3 3
2, 2
;
?r 2
2a
i
. (15)
??? ??????????? ???? ??????, ????? ???????? ? = 0, ??? ????????? ????????? ? ??????? (14).
????? ???????, ??????? (15) ?????? ??????????? ? ?????? ???????? ????????? ?????, ??????????? ?? ??????????? ???????????????? ???????.
??????. ? ?????? ???????? ????????????? ??? ??????????? ??????? ??????????? ?????????? ????? ?????? ????? ?????????? ??????????????????? ???????. ? ?????? ????? ????????????? ?????????? ??????????? ??????? ? ?????? ??????????? ???? ??????.
????????????????? ??????
1. ?????????, ?. ?. ?????????? ? ??????????? ??????? ????? ????? ?????? [?????] /
?. ?. ?????????, ?. ?. ???????, ?. ?. ????????. ? ????: ???????, 1990. ? 192 ?.
2. ???????, ?. ?. ??????? ???????? ????????? ??? ?????? [?????] / ?. ?. ???????. ? ?.:
??????, 1951. ? 296 ?.
3. ?????, ?. ?. ? ??????? ????????????? ????? ?? ?????????? ????????????????? ?????????? ??????? [?????] / ?. ?. ?????, ?. ?. ??????, ?. ?. ????????? // ?????. ?
1981. ? ? 1. ? C. 35?43.
4. ????????? ??????? ????????????? ?????????, ??????????? ??????? ??????? ???????? ?????????????????? ??????????? ??????? [?????] / ?. ?. ???????, ?. ?. ?????,
?. ?. ?????? ? ??. // ?????. ? 1979. ? ? 6. ? C. 3?11.
5. ?????????? ?? ??????????? ???????? ? ?????????, ????????? ? ???????????????
????????? [?????] / ??? ???. ?. ??????????, ?. ??????. ? ?.: ?????, 1979. ? 832 ?.
6. ???????, ?. ??. ??????????? ??????????????????? ??????? [?????] / ?. ??. ???????. ? ?.: ????????. ????? ?? ????, 1966. ? 250 ?.
7. ??????, ??. ???????? ??????????????????? ???? [?????] / ??. ??????, ?. ??????. ?
?.: ???, 1993. ? 349 ?.
8. ???????, ?. ?. ??????????? ???????. ???????????, ?????????, ???? ? ?????? ??????? [?????] / ?. ?. ???????. ? ?.: ?????????, 2006. ? 512 ?.
????????? ? ???????? 14/III/2008;
? ????????????? ???????? ? 22/VI/2008.
229
V. V. Manako, V. A. Putilin
MSC: 65Z05, 33C20
ON TEMPERATURE OF SURFACE HEATING WITH A MOVING
LASER BEAM
V. V. Manako, V. A. Putilin
Samara State Technical University,
443100, Samara, Molodogvardeyskaya str., 244.
E-mail: physics@samgtu.ru
Heating of a surface by moving laser beam is studied. Proposed solution is represented
with the generalized hypergeometric function. With the help of this representationthe
temperature in the center of a moving beam is determined.
Key words: heating of surfaces by laser, solution of heat conductivity boundary value
problem, generalized hypergeometric function.
Original article submitted 14/III/2008;
revision submitted 22/VI/2008.
Manako Viktor Vladimirovich, Ph. D. (Phis. & Math.), Dept. of Physics of Samara State
Technical University.
Putilin Vladislav Alexeevich, Senior Lecturer, Dept. of Physics of Samara State Technical
University.
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