close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О тепловой устойчивости многослойных плоских стенок при нагреве внутренними источниками зависящими от температуры.

код для вставкиСкачать
Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. — 2009. — № 2 (19). — С. 177–185
УДК 517.958:[536.2+539.219.3]
О ТЕПЛОВОЙ УСТОЙЧИВОСТИ МНОГОСЛОЙНЫХ ПЛОСКИХ
СТЕНОК ПРИ НАГРЕВЕ ВНУТРЕННИМИ ИСТОЧНИКАМИ,
ЗАВИСЯЩИМИ ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ
Б. В. Аверин
Сызранский филиал Самарского государственного технического университета,
446001, Самарская обл., Сызрань, ул. Советская, 45.
E-mail: totig@yandex.ru
Приводится последовательность получения аналитического решения стационарной нелинейной задачи теплопроводности для многослойной плоской стенки
с зависящими от температуры внутренними источниками теплоты. На основе анализа полученного решения применительно к двухслойной стенке получены кривые, позволяющие при конкретных исходных данных определить мощность источников теплоты, при которых происходит неограниченное возрастание температуры (тепловой взрыв).
Ключевые слова: аналитические решения, нелинейные задачи, многослойные
конструкции, внутренние источники теплоты, тепловой взрыв.
Задачи, связанные с нелинейным нагревом многослойных конструкций от
действия внутренних источников теплоты, имеют важный научный и практический интерес [1–6]. При решении этих задач важнейшей проблемой является определение предельной мощности источников, при которых количество
получаемой от них теплоты не может быть полностью отведено от конструкции при заданных граничных условиях теплообмена. Такие режимы нагрева приводят к неограниченному возрастанию температуры в конструкции
и в конечном итоге — к её тепловому разрушению. Для определения мощности таких источников теплоты необходимо иметь аналитическое решение
соответствующей краевой задачи.
Эффективным методом решения задач теплопроводности для многослойных конструкций является метод, основанный на применении обобщенных
функций. При этом многослойная система заменяется однослойной, но с переменными (разрывными) физическими свойствами среды, которые описываются с помощью единичных характеристических (асимметричных) функций. Простота такого метода в том, что в данном случае нет необходимости
специального выполнения условий сопряжения. Благодаря особым свойствам
асимметричной функции, условиям идеального термомеханического контакта между слоями удается удовлетворить непосредственно в уравнении.
Рассмотрим многослойную плоскую стенку, у которой на поверхности
x = x0 = 0 задана температура окружающей среды t1 , а на поверхности
x = xn — температура t2 . Предположим, что в пределах каждого слоя удельные мощности тепловых источников аппроксимируются линейными функциями температуры
qvi = ai + bi T,
(1)
где ai = ω0i , bi = ω0i βi ; ω0i — удельная мощность постоянно действующего
Борис Викторович Аверин (к.т.н.), доцент, каф. общетеоретических дисциплин.
177
Аверин Б. В.
внутреннего источника теплоты в i-том слое стенки при T = 0 ℃ж βi — экспериментальная постоянная для i-того слоя стенки.
Представим коэффициент теплопроводности и удельную мощность внутреннего источника теплоты для многослойной стенки как единые целые в виде
λ(x) = λ1 +
n−1
X
(λi+1 − λi )H(x − xi );
(2)
i=1
(3)
qv (x, T ) = a(x) + b(x)T,
где
a(x) = a1 +
n−1
X
(ai+1 − ai )H(x − xi ),
i=1
b(x) = b1 +
n−1
X
(bi+1 − bi )H(x − xi ),
i=1
0, если x < xi ,
— асимметричная единичная функция.
1, если x > xi
Дифференциальное уравнение теплопроводности для определения стационарного температурного поля в многослойной конструкции с нелинейными внутренними источниками теплоты c учётом (1)–(3) в этом случае будет
иметь вид
dh
dT (x) i
λ(x)
+ b(x)T + a(x) = 0.
(4)
dx
dx
Перейдём в (4) от переменной x к новой независимой переменной z по
формуле
s
r
r Zx s
n−1
X bi+1
b(ξ)
b1
bi
z=
dξ =
x+
−
H(x − xi ).
(5)
λ(ξ)
λ1
λi+1
λi
H(x − xi ) =
i=1
0
Тогда уравнение (4) в новой переменной (5) преобразуется к неоднородному дифференциальному уравнению с постоянными и сингулярными коэффициентами вида
r
n−1
X λi+1 bi+1
dT a(z)
d2 T
+ T (z) = −
−1
,
(6)
δ(z − zi ) −
2
dz
λi bi
dz z=zi
b(z)
i=1
где δ(z − zi ) — дельта-функция Дирака.
Общее решение уравнения (6) с помощью метода вариации произвольных
постоянных можно представить в виде
T (z) = C1 sin z + C2 cos z + D1 (z) sin z − D2 (z) cos z,
где
D1 (z) =
Zz
0
178
f (z) cos z dz,
D2 (z) =
Zz
0
f (z) sin z dz;
(7)
О тепловой устойчивости многослойных плоских стенок . . .
f (z) = −
r
n−1
X
i=1
dT a(z)
λi+1 bi+1
−1
.
−
λi bi
dz z=zi b(z)
После вычисления соответствующих интегралов общее решение (7) запишется так:
n−1
a1 X ai+1 ai T (z) = C1 sin z + C2 cos z −
−
−
[1 − cos(z − zi )] +
b1
bi+1
b1
i=1
r
dT λi+1 bi+1
−1
sin(z − zi ) H(z − zi ). (8)
+
λi bi
dz z=zi
Неизвестные производные dT
dz z=z в (8) представим в виде
i
dT = D1i C1 − D2i C2 − D3i ,
dz z=zi
(9)
где D1i , D2i , D3i определяются из следующих рекуррентных соотношений:
s
j−1 r
X
λ j bj
λi+1 bi+1
j
− 1 D1i cos(zj − zi ) ;
(10)
cos zj −
D1 =
λj+1 bj+1
λi bi
i=1
s
r
j−1
X λi+1 bi+1
λ j bj
j
i
D2 =
− 1 D2 cos(zj − zi ) ;
(11)
sin zj −
λj+1 bj+1
λi bi
i=1
D3j
=
s
X
j−1 r
λj bj
ai+1 ai
−
sin(zj − zi )−
λj+1 bj+1
bi+1
bi
i=1
j−1 r
X
λi+1 bi+1
i
−
− 1 D3 cos(zj − zi ) , (12)
λ i bi
i=1
где j ≡ 1, 2, . . . , n − 1.
После подстановки (9) в (8), получим
r
n−1
X
λi+1 bi+1
i
− 1 D1 sin(z − zi )H(z − zi ) C1 +
T (z) = sin z −
λi bi
i=1
r
n−1
X λi+1 bi+1
+ cos z +
− 1 D2i sin(z − zi )H(z − zi ) C2 −
λi bi
i=1
n−1r
ai+1 ai
a1 X
−
−
−
[1 − cos(z − zi )] H(z − zi )+
b1
bi+1
bi
i=1
n−1r
X
λi+1 bi+1
− 1 D3i sin(z − zi )H(z − zi ). (13)
+
λ i bi
i=1
179
Аверин Б. В.
Постоянные интегрирования C1 и C2 находим из граничных условий
T = t1 , при z = 0;
T = t2 , при z = zn ,
(14)
где
zn =
r
n−1
X
b1
h+
λ1
i=1
s
bi+1
−
λi+1
r
bi
(h − xi );
λi
h — толщина n-слойной стенки.
Подставляя (13) в (14), получаем
C1 =
A
,
R
C2 = t1 +
a1
;
b1
(15)
где
n−1 ai+1 ai
−
[1 − cos(zn − zi )]−
bi+1
bi
i=1
r
n−1
X λi+1 bi+1
−
− 1 D3i sin(zn − zi )H(z − zi )−
λ i bi
i=1
r
n−1
X λi+1 bi+1
a1
i
− cos zn +
− 1 D2 sin(zn − zi ) t1 +
; (16)
λ i bi
b1
a1 X
+
A = t2 +
b1
i=1
R = sin zn −
n−1
X
r
i=1
!
λi+1 bi+1
− 1 D1i sin(zn − zi ).
λ i bi
(17)
После подстановки (15) в (13) с учётом (16) и (17) получим
T (z) =
Aϕ1 (z)
+ ϕ2 (z),
R
(18)
где
ϕ1 (z) = sin z −
r
n−1
X
i=1
ϕ2 (z) =
tC1
a1
+
b1
a1
−
−
b1
cos z +
r
n−1
X
i=1
n−1 X
ai+1
i=1
λi+1 bi+1
− 1 D1i sin(z − zi )H(z − zi ),
λi bi
ai
−
[(1 − cos(z − zi )]H(z − zi )+
bi+1
bi
r
n−1
X λi+1 bi+1
− 1 D3i sin(z − zi )H(z − zi ).
+
λ i bi
i=1
180
λi+1 bi+1
− 1 D2i sin(z − zi )H(z − zi )−
λ i bi
О тепловой устойчивости многослойных плоских стенок . . .
Рассмотрим знаменатель R в формуле (18). Например, для двухслойной
стенки, с учётом обозначений, принятых в (1), его можно представить следующим образом:
r
λi bi
− 1 cos z1 sin(z2 − z1 )
(19)
R = sin z2 −
λ 2 b2
или в таком виде:
R = sin z2 −
s
λi ω01 β1
− 1 cos z1 sin(z2 − z1 ),
λ2 ω02 β2
q
где z1 = B1 h1 , z2 = B1 h1 +B2 h2 , B1 =
первого и второго слоев.
Запишем (20) следующим образом:
ω01 β1
λ1 ,
B2 =
q
ω02 β2
λ2 ;
h1 , h2 — толщина
R = sin [(z2 − z1 ) N2 ] − (1 − Kε1 ) cos [(z2 − z1 ) N1 ] sin [(z2 − z1 ) N3 ] ,
где
N1 =
(20)
(21)
z2
z2 − z1
z1
, N2 =
, N3 =
;
z2 − z1
z2 − z1
z2 − z1
s
λ1 ω01 β1
Kε1 =
, z2 − z1 = B2 h2 .
λ2 ω02 β2
Обозначим
B2 h2 = µ1 .
(22)
Соотношение (21) с учётом (22) примет вид
R = sin µN2 − (1 − Kε1 ) cos µN1 sin µ.
(23)
Рассмотрим условия, при которых знаменатель формулы (18) обращается
в ноль и, следовательно, температура принимает бесконечное значение:
sin µN2 − (1 − Kε1 ) cos µN1 sin µ = 0.
(24)
Выполнив преобразования в (24) c учётом (22), получим
λ2 h1
λ2 h1
N2 −(1−Kε1 ) cos µ1 Kε1
N2 sin µ1 = 0. (25)
sin µ1 1 + Kε1
λ1 h2
λ1 h2
Таким образом, задача о критических тепловых режимах, приводящих к тепловому взрыву, в двухслойной стенке свелась к решению трансцендентного
уравнения (25), т. е. к отысканию первого корня µ1 при различных значениях
µ2 λ
безразмерных параметров Kε1 и η = λλ21 hh12 . Из (22) найдём, что ω02,max = β1 h22 .
2 2
Если удельная мощность постоянно действующего внутреннего источника теплоты во втором слое при известном внутреннем источнике теплоты в
181
Аверин Б. В.
первом слое превысит ω02,max , то тепловой поток с поверхностей двухслойной стенки при заданных t1 и t2 нельзя отвести, и произойдёт разрушение
материалов конструкции.
На рис. 1 представлены графики зависимости µ1 = f (η, Kε1 ), отделяющие область, в которой стационарное распределение температуры возможно, от области неограниченного возрастания температуры. Проиллюстрируем их применение при следующих исходных данных: λ1 =0,065 Вт/м·K, λ2 =
= 0,32 Вт/м·K, ω01 = 11,68 кВт/м3 , ω02 = 161,7 кВт/м3 , β1 = 0,01 К−1 ,
β2 = 0,1 К−1 , h1 = 30 · 10−3 м, h2 = 7,5 · 10−3 м.
Определим параметры η и Kε1 :
η=
λ2 h1
0,32 30 · 10−3
=
≈ 19,6923.
λ1 h2
0,065 7,5 · 10−3
Так как η изменяется в пределах 0 6 η 6 π, то представим 19,6923 как 6π +
+ 0,268π. Отбрасывая количество периодов 6π, окончательно получаем, что
η ≈ 0,268π ≈ 0,843 и
s
r
r
ω01 β1 λ1
0,01 · 0,065 11,68
Kε1 =
=
≈ 0,4.
ω02 β2 λ2
0,1 · 0,32
161,7
Используя найденные η и Kε1 , из графика находим µ1 ≈ 2,1. Тогда критическая мощность внутреннего источника теплоты, действующего во втором
слое, определяется выражением
ω02,max =
4,41 · 0,32 · 106
µ21 λ2
≈ 250 кВт/м3 .
≈
0,1 · 56,25
β2 h22
Рис. 1. Критические кривые, при которых знаменатель R в формуле (18)
принимает нулевые значения (выполняются условия теплового взрыва);
цифры: 1 — Kε = 0,001, 2 — Kε = 0,3, 3 — Kε = 0,5, 4 — Kε = 0,8, 5 — Kε = 1,
6 — Kε = 2, 7 — Kε = 3, 8 — Kε = 6, 9 — Kε = 10
182
О тепловой устойчивости многослойных плоских стенок . . .
Критическую мощность внутреннего источника теплоты, действующего в первом слое, найдём из соотношения
ω01,max = 0,072ω02,max ≈ 18 кВт/м3 .
Приравняем к нулю выражение (19):
r
λ1 b1
− 1 cos z1 sin(z2 − z1 ) = 0.
sin z2 +
λ2 b2
(26)
Преобразуем его к виду
q
tg z2 = q
откуда

Учитывая, что
z2 = arctg  q
z1 = h1
r
ω01 β1
,
λ1
λ1 b1
λ2 b2
λ1 b1
λ2 b2
q
λ1 b1
λ2 b2
−1
tg z1 ,
(27)

(28)
+ tg2 z1
λ1 b1
λ2 b2
+ tg2 z1
z2 = h1
r
tg z1  + π.
ω01 β1
+ h2
λ1
r
ω02 β2
,
λ2
выражению (27) можно придать такой вид:
q
s
ω01 β1
tg h1
λ1 ω01 β2
λ
q 1 =−
.
ω02 β2
λ2 ω02 β2
tg h2
λ2
(29)
Откуда получаем расчётную формулу для определения критической толщины первого слоя стенки, если известна толщина второго слоя:
s
(
"
#
)
r
λ1
ω02 β2
arctg −Kε1 tg h2
+π ,
(30)
h1кр =
ω0 β1
λ2
и наоборот
h2кр =
s
λ2
ω0 β1
(
"
arctg −Kε1 tg h1
r
#
)
ω01 β1
+π .
λ1
(31)
Для трёхслойной стенки формула (17) будет иметь вид
s
ω01 λ1 β1
− 1 cos z1 sin(z3 − z1 )+
R = sin z3 +
ω02 λ2 β2
s
s
ω02 λ2 β2
ω01 λ1 β1
+
− 1 cos z2 +
−1 ×
ω03 λ3 β3
ω02 λ2 β2
× cos z1 cos(z2 − z1 ) sin(z3 − z2 ) = 0, (32)
183
Аверин Б. В.
q
ω
β
03 3
где z3 = B1 h1 + B2 h2 + B3 h3 , h3 — толщина третьего слоя, B3 =
λ3 .
Рассмотрим частный случай, когда трёхслойная стенка представляет собой симметричную конструкцию. Разделив и умножив аргументы у тригонометрических функций в (32) на (z2 − z1 ) = B2 h2 , после несложных преобразований приходим к следующему характеристическому уравнению:
1
1
η
− (1 − Kε1 ) cos(µ1 Kε1 η) sin µ1 1 +
η −
sin µ1 1 + Kε1 η +
Kε2
Kε2
n
− (1 − Kε2 ) cos[µ1 (1 + Kε1 η)]−
o
1
− (1 − Kε1 ) cos(µ1 Kε1 η) cos µ1 ) sin µ1
η = 0,
Kε2
q
ω λ β
где Kε2 = ω002 λ23 β23 .
3
Таким образом, задача о критических тепловых режимах в трёхслойной
стенке свелась к отысканию методом последовательных приближений корня
µ1 в зависимости от безразмерных параметров Kε1 , Kε2 и η.
На рис. 2 предоставлены графики зависимости µ1 = f (η, Kε1 , Kε2 ). Как
и для двухслойной стенки, если удельная мощность постоянного действующего внутреннего источника теплоты во втором слое превысит ωε2 , max , то
произойдет разрушение материалов стенки.
Таким образом, графики, представленные на рис. 1 и 2, позволяют уже на
стадии проектной разработки прогнозировать критические тепловые режимы
и задавать такие значения внутренних источников и геометрические размеры
конструкций, которые обеспечивают их тепловую устойчивость.
Аналогично решается задача и для n-слойных плоских стенок.
Рис. 2. Критические кривые, отделяющие довзрывную область от области теплового взрыва для трёхслойного РПУ. Кривые 1–4 соответствуют следующим значениям параметров Kε1 и Kε2 : 1 — 0,001 6 Kε1 6 0,1,
10 6 Kε2 6 1000; 2 — 0,01 6 Kε1 6 1, Kε2 = 1; 3 — 0,01 6 Kε1 6 10, Kε2 = 0,1;
4 — 1 6 Kε1 6 100, Kε2 = 0,01
184
О тепловой устойчивости многослойных плоских стенок . . .
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Аверин Б. В. Математическое моделирование внутренних источников теплоты, температурных полей и термических напряжений в многослойных радиопрозрачных укрытиях мощных передающих антенн: Автореф. дисс. . . . канд. техн. наук, Моск. госуд.
акад. тонкой хим. технол. / М., 1999. — 20 с.
2. Аверин Б. В., Колотилкин Д. И., Мелехина Н. М. К вопросу о законе распределения
тепловых источников в многослойных РПУ при зависимости электрофизических свойств
от температуры // Вопросы специальной радиоэлектроники. Сер. ТТА, 1990. — № 2(47). —
C. 46–61.
3. Аверин Б. В., Колотилкин Д. И. Исследование тепловой устойчивости многослойных
диэлектриков при их нагреве мощным электромагнитным СВЧ-полем / В сб.: Автоматизация технологических процессов и производств. Точность, качество и надёжность конструкций и технических систем: Тез. докл. межвуз. научно-практ. семин.выставки. — Сызрань, 1997. — C. 47–48.
4. Гулабянц Л. А. Теплофизические основы проектирования ограждающих конструкций
радиотехнических комплексов с высоким уровнем излучаемой мощности: Автореф.
дисс. . . . докт. тех. наук, НИИСФ / М., 1984. — 45 с.
5. Брыков С. И., Килькеев Р. Ш., Ругинец Р. Г. Эффект нелинейного разогрева диэлектрика в СВЧ электромагнитном поле. — Минск: Ред. ИФЖ, 1987. — Деп. В ВИНИТИ
06.04.87. — Рег. № 2727–В.
6. Стефанюк Е. В., Кудинов В. А. Аналитические решения задач теплопроводности при
переменных во времени коэффициентах теплоотдачи // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та.
Сер. Физ.-мат. науки, 2008. — № 2(17). — C. 171–184.
Поступила в редакцию 08/VII/2009;
в окончательном варианте — 21/X/2009.
MSC: 80A20, 35A09
ON THERMAL STABILITY OF MULTI LAYER PLANE WALLS
WHEN HEATING BY TEMPERATURE-DEPENDENT INTERNAL
HEAT SOURCES
B. V. Averin
Syzran’ Branch of Samara State Technical University,
45, Sovetskaya str., Syzran’, Samara region, 446001.
E-mail: totig@yandex.ru
Sequence of obtaining of analytical solution for a stationary non-linear problem of thermal conductivity for a multi layer plane wall with temperature-dependent internal heat
source is presented. Curves are plotted that allow to separated the region of stationary
temperature distribution from region of unrestricted growth of temperature (thermal
explosion region) are plotting.
Key words: analytical solution, non-linear problem, multi layer design, internal heat
source, thermal explosion.
Original article submitted 08/VII/2009;
revision submitted 21/X/2009.
Boris V. Averin (Ph. D. (Techn.)), Associate Professor, Dept. of General Theoretical Discipline.
185
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа