close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О тождествах кольца матриц второго порядка над кольцом Галуа.

код для вставкиСкачать
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
УДК 512.552.4
А.Н. Федорова
О тождествах кольца матриц второго порядка
над кольцом Галуа
A.N. Fedorova
On the Identities of the Second Order Matrix
Ring over Galois Ringк
В работе получено некоторое описание вида
тождеств кольца матриц второго порядка над
кольцом Галуа.
Ключевые слова: кольца с тождествами,
In this paper we obtain a certain description
for identities of the second order matrix ring over
a Galois ring.
Key words: rings with identities, varieties of
В работе [1] найден базис тождеств кольца
матриц второго порядка над кольцом Галуа характеристики p2 . В настоящей работе исследуется строение тождеств кольца матриц второго
порядка над кольцом Галуа характеристики pn
при произвольном натуральном n ? 3.
Введем необходимые обозначения. Положим Rp(m,n) = M2 (GR(pm , n)) { кольцо матриц второго порядка над кольцом Галуа, Anp =
M2 (GF (pn )) { кольцо матриц второго порядка
над конечным полем. Пусть, далее, многообразие A(pm,n) = var Rp(m,n) и Np(m,n) { нильпотентное подмногообразие A(pm,n) .
Как обычно, T (R) { идеал тождеств кольца R, J (R) { радикал Джекобсона кольца R,
LR (S ) { линейная оболочка множества S над
кольцом R.
Утверждение 1. Индекс нильпотентности многообразия Np(m,n) равен 2m.
Доказательство. В работе [2] показано, что
многочлен
Поэтому для любого кольца K ? Np(m,n) выполняется равенство K 2m = (0).
Покажем, что x1 . . . x2m?1 6? T (Np(m,n) ).
Пусть элемент a = e12 + pe21 ? Rp(m,n) . Тогда
многообразия колец, матрицы над конечными
кольцами, кольца Галуа.
f1 (x, y ) = (x?xq
2
2
)(y?yq )(1 ? [x, y]q?1 ) ? T (Anp ),
=p .
Отсюда следует, что для любых элементов
(m,n)
(m,n)
a, b ? Rp
f1 (a, b) ? J (Rp
). Так как
Q
(m,n) m
m
J (Rp
) = 0, то i=1 f1 (ai , bi ) = 0 для любых элементов ai , bi ? Rp(m,n) (i = 1, m). Следовательно,
q
n
g (
x, y) =
m
Y
i=1
rings, matrices over nite rings, Galois rings.
a2
a2m?1
= pe,
= a2(m?1) ╖ a = (pe)m?1 ╖ a =
= pm?1 (e12 + pe21 ) = pm?1 e12 6= 0
и
a 2m
= (pe)m = pm e = 0.
Таким образом, кольцо K = hai ? Np(m,n) и
x1 . . . x2m?1 6? T (K ).
Утверждение 2. Пусть F { свободное
кольцо многообразия Np(m,n) . Тогда характеристика кольца F t при t = 1, 2m ? 1 равна pm?[ 2 ] .
Доказательство. Аналогично утверждению 1, f1 (a, b) ? J (Rp(m,n) ) для любых элементов
(m,n)
a, b ? Rp
. Следовательно,
t
g (
x, y) = pm?k
для любого
шем в виде
k
k
Y
i=1
f1 (xi , yi ) ? T (Rp(m,n) )
= 1, m ? 1. Многочлен
g
перепи-
g (
x, y) = pm?k x1 y1 . . . xk yk + pm?k h(
x, y),
где h { сумма одночленов степени ? 2k +1. Тогда
f1 (xi , yi ) ? T (Rp(m,n) ).
g1 (
x, y) =
Многочлен g можно переписать в виде
= pm?k x1 y1 . . . xk yk + pm?k h1 (x, y) ? T (Rp(m,n) )
g (
x, y) = x1 y1 x2 y2 . . . xm ym + h(
x, y),
для некоторого многочлена h1 , являющегося
суммой одночленов степени ? 2m.
где h { сумма одночленов степени ? 2m + 1.
62
О тождествах кольца матриц второго порядка над кольцом Галуа
(m,n)
pm?k x1 y1 . . . xk yk ? T (Np
)
(
m,n
)
m?k
p
x1 y1 . . . xk yk xk+1 ? T (Np
). То есть
Поэтому
и
t
pm?[ 2 ] x1 . . . xt ? T (Np(m,n) ).
Покажем, что pm?[ 2 ]?1 x1 . . . xt 6? T (Np(m,n) ).
Пусть элемент a = e12 + pe21 ? Rp(m,n) . Тогда
t
= a2╖[ 2 ] ╖ at?2╖[ 2 ] = p[ 2 ] e ╖ at?2╖[ 2 ] .
t
t
at
t
t
t
= pm?[ 2 ]?1 ╖ p[ 2 ] e = pm?1 e 6= 0,
t
t
а если t ? 1 (mod 2), то
pm?[ 2 ]?1 at
t
= pm?[ 2 ]?1 ╖ p[ 2 ] a =
t
(m,n)
Rp
t
= pm?1 a = pm?1 e12 6= 0.
Следовательно, кольцо K = hai ? Np(m,n) и
pm?[ 2 ]?1 x1 . . . xt 6? T (K ).
t
╡
Лемма 1. Пусть (0) 6= K { нильпотентное
подкольцо в
Anp .
Тогда
K ? LGF (q) (a),
╡
где
a
ai
= ?i
1
??i?1
Тогда
a1 a2
= ?1 ?2 ╖(?2 ??1 )
?i
?1
ai
{
╢
один из следующих элементов: ??1?1 ??1
(? ? GF (q)), e12 , e21 .
Доказательство.
В силу тождества
f1 (x, y ) = 0 кольца Anp , K 2 = (0). Пусть
0 6= a1 , a2 ? K . Тогда a21 = a22 = 0. Поэтому
tr ai = det ai = 0 (i = 1, 2). Следовательно, элемент ai (i = 1╡, 2) имеет один
╢ из видов: ?i e12 ,
1
?i
?i e21 или ?i ╖
(?i , ?i ? GF (q)).
??i?1 ?1
Так как a1 a2 = 0, то элементы a1 и a2 имеют
одинаковый вид. Предположим, что
╡
╢
(i = 1, 2).
?2?1
?(?1 ?2 )?1
1
= 0.
Поэтому ?1 = ?2 и a2 ? LGF (q) (a1 ). Лемма
доказана.
Пусть Bt { подмножество свободного кольца
Zp [x1 , . . . , xt ], состоящее из элементов вида
0
0
=
0
a1 a2 . . . a2k?1 a2k a2k+1
╡
=
0
0
0
0
0
+ pk b
Кроме того,
=
╢
2 . . . ?2k?1 ?
pk?1 ?1 ?21
2k?1
21
╖
63
╢
2 . . . ?2k?1 ?
pk?1 ?1 ?21
2k?1
21
для некоторого b ? Rp(k+1,n) .
(k+1,n)
a2k a2k+1 ? J (Rp
). Тогда
╡
= {? (i) | 1 ? i ? t, i ? 1(mod 2)}.
=
╢
=
{?(i) | 1 ? i ? t, i ? 1(mod 2)} =
,
2m?2
m?1
2
4
= 00 p ?1 ?21 ?3 ?21 . . 0. ?2m?3 ?21 ?2m?1 .
Прямым
можно показать, что
╡ вычислением
2 ? ╢
0
p?1 ?21
3
a1 a2 a3 =
. Предположим, что
0
0
требуемое равенство выполнено при m = k.
Проверим его истинность при m = k + 1. Заметим, что
a1 a2 . . . a2k?1 =
╡
таких, что
╢
╡
m
x?(1) . . . x?(t) ? x? (1) . . . x? (t) (?, ? ? St )
i
?i + p?12
i
p?22
i
p?11
i
p?21
a1 . . . a2m?1
╢
??1?1
=
i
где ?ke
, ?i ? GR(pm , n) (i = 1, 2m ? 1). Индукцией по m покажем, что
╡
╡
= Rp(m,n) /J (Rp(m,n) ) ?
= Anp
и a { образ элемента a ? Rp(m,n) при естественном
гомоморфизме Rp(m,n) ? Rp(m,n) . Так как кольцо
K нильпотентно, то K { нильпотентное подкольцо в Rp(m,n) .
Если K = (0), то K ? J (Rp(m,n) ) и K m = 0.
Поэтому B2m?1 ? T (K ).
Пусть K 6= (0). Тогда, в силу леммы 1,
K ? LGF (q) (
a) для некоторого элемента a ?
(m,n)
Rp
.
Предположим, что K ? LGF (q) (e12 ) (случай,
когда K ? LGF (q) (e21 ), рассматривается аналогично). Тогда можно считать, что
Следовательно, если t ? 0 (mod 2), то
pm?[ 2 ]?1 at
Имеет место следующая
Теорема 1. B2m?1 ? T (Np(m,n) ).
Доказательство.
Пусть элементы
(m,n)
a1 , . . . , a2m?1 ? Rp
и кольцо K =
(m,n)
ha1 , . . . , a2m?1 i ? Np
. Напомним, что
╖ a2k ╖ a2k+1
╢
2 . . . ?2k?1 ?
pk?1 ?1 ?21
2k?1
21
2k
p?11
2k
p?21
0
2k
?2k + p?12
2k
p?22
╢
╖ a2k+1
=
╖
=
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
╡
╢
2 . . . ?2k?1 ?
2k
0 pk ?1 ?21
2k?1 ?21 ?2k+1 .
21
0
0
Таким образом, требуемое равенство выполняется для всех m ? 2. Причем произведение элементов a1 , . . . , a2m?1 не изменяется при
перестановке сомножителей, имеющих одинаковую четность индекса. Следовательно, B2m?1 ?
T (K ).
LGF (q) (
a), где a
=
╡ Пусть K ╢ ?
1
?
(? ? GR(pm , n)). Тогда можно
?? ?1 ?1
считать, что ai = ?i a + pbi , где ?i ? GR(pm , n),
(m,n)
bi ? Rp
. Заметим, что a2 = 0 и pm Rp(m,n) =
(0). Поэтому
=
a1 . . . a2m?1
=
2m?
Y1
i=1
=
P
??S2
1 ?? x? (1) . . . x? (2m?1) . Определим отношение эквивалентности на множестве подстановок St (3 ? t ? 2m ? 1), положив ? ? ?
(?, ? ? St ), если многочлен
m?
x?(1) . . . xt ? x? (1) . . . x? (t) ? Bt .
Обозначим через Mt некоторое множество представителей классов эквивалентности, содержащее тождественную подстановку e. Тогда многочлен f можно представить в виде
f (x1 , . . . , x2m?1 ) =
X
= g(x1 , . . . , x2m?1 )+
?? x?(1) . . . x?(2m?1) ,
??M2m?1
где g ? LZ (B2m?1 ), ?? ? Zp .
Заметим, что g ? T (Np(m,n) ). Тогда
=
i=1
(?i a + pbi ) =
h(x1 , . . . , x2m?1 ) =
X
?2i?1 ╖ pm?1 ╖ ab2 ab4 . . . ab2m?2 a.
??M2m?1
╡
=
?i
??i /?
▓i
?▓i /?
╢
m?
Y1
i=1
??M2m?1
m
Y
i=1
?2i?1 ╖pm?1 ╖
m?
Y1
i=1
(?2i ?(▓2i /? ))╖a.
Как и в предыдущем случае, произведение
элементов a1 , . . . , a2m?1 не изменяется при перестановке сомножителей, имеющих одинаковую
четность индекса. Следовательно, B2m?1 ?
T (K ).
Таким образом, B2m?1 ? T (K ) для любого
нильпотентного кольца K ? Rp(m,n) . Так как
многообразие Np(m,n) порождается нильпотентными подкольцами кольца Rp(m,n) , то B2m?1 ?
(m,n)
T (Np
).
Лемма 2. Пусть полилинейный многочлен f (x1 , . . . , x2m?1 ) ? T (Np(m,n) ). Тогда
f ? LZ (B2m?1 ) + pLZ (x?(1) . . . x?(2m?1) |? ?
S2m?1 ).
pm
, где
?? a?(1) . . . a?(1)
=
= 0.
2i = 1 (i = 1, m ? 1), ?2i?1 = 0
Положим ?21
21
(i = 1, m), ?i = 1 (i = 1, 2m ? 1). Тогда
(?2i ? (▓2i /? )) ╖ a.
a1 . . . a2m?1
=
╢
=
(m,n)
.
ha1 , . . . , a2m?1 i ? Np
X
h(a1 , . . . , a2m?1 ) =
То есть
a1 . . . a2m?1
╡
ai
Как и в теореме 1, кольцо K
Следовательно,
,
i
i
i
i
где ?i = ?11
+ ??21
, ▓i = ?12
+ ??22
.
По индукции легко показать, что
ab2 ab4 . . . ab2m?2 a =
?? x?(1) . . . x?(2m?1) ? T (Np(m,n) ).
i
i
p?11
?i + p?12
i
i
p?21
p?22
i
?ke
, ?i ? GR(pm , n) (i = 1, 2m ? 1).
Пусть
i
i
Пусть bi = (?kj
) (?kj
? GR(pm , n)). Тогда
abi
m
pm
= ?1 a ╖ pb2 ╖ ?3 a ╖ pb4 . . . pb2m?2 ╖ ?2m?1 a =
m
Y
Доказательство. Пусть f (x1 , . . . , x2m?1 ) =
pm
64
и
= pm?1 e12
a?(1) . . . a?(2m?1)
=0
при ? 6= e. Поэтому
0 = h(a1 , . . . , a2m?1 ) = ?e pm?1 e12 .
Таким образом, ?e ? 0 (mod p). Аналогично
получаем, что ?? ? 0 (mod p) для любой подстановки ? ? M2m?1 .
Теорема 2. Пусть полилинейный многочлен
(m,n)
f (x1 , . . . , xt ) ? T (Np
) (3 ? t ? 2m? 1). Тогда
f ? LZ (Bt ) + pLZ (x?(1) . . . x?(t) |? ? St ).
Доказательство. Как и в доказательстве
леммы 2, многочлен f можно представить в виде
pm
pm
f (x1 , . . . , xt ) = g (x1 , . . . , xt )+
X
??Mt
где g ? LZ (Bt ).
pm
?? x?(1) . . . x?(t) ,
О тождествах кольца матриц второго порядка над кольцом Галуа
Далее многочлен
Из теоремы 2 очевидным образом вытекает
Следствие 1.
Пусть многочлен
(m,n)
f (x1 , . . . , xt ) ? T (Ap
) (3 ? t ? 2m ? 1) представим в виде
h = f ╖ xt+1 . . . x2m?1 ? T (Np(m,n) ).
Тогда многочлен
=
X
r(x1 , . . . , xt ) =
?? x?(1) . . . x?(t) xt+1 . . . x2m?1 ? T (Np(m,n) ).
??Mt
В силу леммы 2,
? ? Mt .
?? ?
0 (mod p) для любого
f (x1 , . . . , xt ) = g (x1 , . . . , xt ) + h(x1 , . . . , xt ),
где g { полилинейный многочлен; а h { сумма
одночленов степени ? 2m. Тогда g ? LZ (Bt )
+ pLZ (x?(1) . . . x?(t) |? ? St ).
pm
pm
Библиографический список
1. Олексенко А.Н. Базис тождеств алгебры матриц второго порядка над GR(p2 , n) // Известия Алтайского государственного университета. { 2000. { №1.
65
2. Мальцев Ю.H., Кузьмин Е.H. Базис тождеств алгебpы матpиц втоpого поpядка над
конечным полем // Алгебpа и логика. { 1978.
{ №1.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
202 Кб
Теги
кольцо, галуа, над, матрица, порядке, тождества, второго
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа