close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О чебышевских коэффициентах некоторых функций.

код для вставкиСкачать
Математические
структуры и моделирование
УДК 517.587
2000, вып. 6, с. 5054
О ЧЕБЫШЕВСКИХ КОЭФФИЦИЕНТАХ
НЕКОТОЫХ ФУНКЦИЙ
С.Д. Симонженков
Polynomial Chebyshev approximation have been omputed for the funtions
Z x
F (x)
=
0
1
t
f (t) dt; f (t)
=
arsh or
t
arsin t:
Во многих вычислительных задачах возникает необходимость в нахождении
коэициентов Чебышева ункции
ряд Чебышева ункции
R
x 1 f (x) dx
по известному разложению в
f (x). Соответствующая методика известна (см., напри-
мер, [1?, теоремы 9:4 и 9:6), получены конкретные разложения для ряда ункций, например,
f ( x)
= ln(1 +
ункции
F (x) =
Z x
x); sin x; : : : :
arsh t
t
0
Автору приходилось использовать
dt; G(x) =
Z x
arsin t
t
0
dt:
Их разложения в имеющейся литературе не было найдено, что и послужило поводом для данной статьи. В ней даются коэициенты разложений указанных
ункций:
F (x) =
F (x) =
X
n0
= F (1) =
2000
n0
an T2n
G(x) =
где
X
X
(2)
X
n0
k0
1
++
x
an T2n+1
1=2
k
jxj 1;
a(1)
n T2n+1 (x);
2
1
2
ln x ln(4x);
arsin x
;
(1)
x 1;
jxj 1;
(3)
(1 + 2k )
2
= 0:9552018064 : : :
n
a(1)
n
a(2)
n
0
0.96530568
0.05184924
an
1.21651767
1
-0.01058987
-0.05361909
-0.12384640
2
0.00052213
0.00188557
-0.00368756
3
-0.00003945
-0.00012566
-0.00018014
4
0.00000367
0.00001093
-0.00000997
5
-0.00000038
-0.00000110
-0.00000058
6
0.00000004
0.00000012
-0.00000004
7
-0.00000001
-0.00000001
С.Д. Симонженков
(2)
Омский государственный педагогический университет
:
51
Математические структуры и моделирование. 2000. Вып. 6.
Эти коэициенты получены на основе равенств
arsh t =
t
X
n0
arsh t = ln 2t +
jtj 1;
bn T2n (t);
X
n0
n T2n
1
; t 1;
t
X
t tg t =
dn T2n (t);
2
n0
(4)
(5)
jtj 1;
(6)
в которых коэициенты брались из таблиц 3:7 и 3:11 справочника [2?. азложения (1),(2) получены соответственно из (4),(5) делением на
t с последующим
почленным интегрированием. Так как
Z arsin x
G(x) =
y tg y dy =
2
Z 2 arsin x
4
0
t tg
0
2
t dt;
то (3) получается из (6) также почленным интегрированием. Окажется, что
1
a(1)
n =
8
>
<
an
(2)
1
=
n
>
:
4n + 2
1
2
n
n
a
(2)
0
an =
2
где
bn+1 ); n 0;
(en bn
1
1
=
1
4 4n + 2
2
1)n 0
+:::+(
1 u1
; n 6= 0;
2 u2 + 3 u3
:::;
(7)
dn+1 ); n 0;
(en dn
en = 1 (n 6= 0); e0 = 2;
u1 = 1; uk
1
=1
2
+:::+
(
1)k
k
1
+
1)k+1
(
(k
2k
> 1):
По этим ормулам и находились коэициенты в указанной выше таблице.
Докажем, например, ормулы (7). Будет существенно использовано равенство
X
n0
(
n
1) n = 0;
(8)
являющееся следствием (5), и тот акт, что при
1
t
Для
[T2n (t)
T2n (0)? = 2
n
X
(
k
1)
n>0
1
T2n
2k +1 (
t) :
k=1
x 1 имеем
F (x) =
Z 1
Z x
+
0
=
1
+
Z x
1
ln 2t
t
dt +
X
n0
n
Z x
1
1
t
T2n (t) dt:
(9)
52
С.Д. Симонженков.
О чебышевских коэициентах некоторых ункций
t на 1=t во втором
Вычисляя здесь первый интеграл непосредственно и заменяя
(под знаком суммы), получим
x
Z 1
X
1
2
ln 2 +
+
n
1
2
1
1
F (x) = S
Обозначим через
S
так как
=
n
n1
Z 1
1
t
1
x
2
[T2 (t)+1?(1
=
X
n 1
Z 1
n
на отрезке
x
X
Z 1
n 1
x
1
(
1)
kn
k
1
T2n
2k +1 (
t) dt =
S
1(
t) dt (n
n+1 + n+2
: : :):
сводится к вычислению приращения ункции
X
1
T2n (t)
2n
n2
1
2n
2
T2n
2(
t) (n n+1 + n+2 : : :)
;1
. Имеем
S
+
+
n0
n
1) n ln x;
(
1
2 T2n
1
T2n (t) dt:
X
T2n (0)? dt +
X
2
x
2 + 3 : : :)+
1
t
x
1)n . В силу (8) и (9)
Таким образом, нахождение
1
[T2n (t)
T0 (t) = 1; T2n (0) = (
=
n0
сумму игурирующего здесь ряда. Тогда
X
S
t
=
1
1
2
2
1
1
1
4
2
4
1
1
1
6
4
6
T4
T6
Здесь коэициент при
T2
a(2)
1
T2
1
x
+
a
a
(2)
3
=
=
(1
1
+
1
4
2
T2
T4
1
2 + 3
1
x
: : :)+
(2
3 + 4
=
1
2
1
x
1 + 2
2
1
3
1
2
1
2
T4 ; T6
(3
4 + 5
: : :) + : : : :
3 + 4
::: ;
соответственно
2 + 3
4 + 5
::: ;
3 + 4
: : :)+
равен
аналогично для коэициентов при
(2)
2
x
x
1
1
5 + 6
:::
53
Математические структуры и моделирование. 2000. Вып. 6.
и т.д. Свободный член, он же коэициент при
a(2)
=
0
1
(1
2
2 + 3
+
1
1
6
4
: : :) +
1
1
4
2
T0 , имеет
вид
(2
3 + 4
: : :)+
(3
4 + 5
: : :) + : : : :
Для доказательства равенств (7) осталось воспользоваться условием (8) и определением чисел
uk .
В заключение рассмотрим некоторые примеры.
1: Известно ( [3, с.495?), что
Z 1
0
где
G
p
1
ln x
2
dx =
x
2
G
ln 2 +
8
2
;
- постоянная Каталана. Требуется вычислить аналогичный интеграл
Z 1
I
2
0
Выполним в
I
x
подстановку
получим
I
=
F
1
p ln x
2+x
p
=
2 t и интегрирование по частям в
=
p
1
7
X
=
2
dx:
n=0
an T2n+1
(1)
1
2
Стандартное суммирование Кленшо ([2, с.511?) с
случае схема
p
N
F (x);
:
= 7;
x
p1
=
2
;
в данном
B8 = B9 = 0;
Bn = Bn+2 + a(1)
n ; n = 7(
I
дает
=
I
p1
2
(B0
1)0;
B1 )
= 0:68966811:
2: ассмотрим вычисление интеграла Клаузена
Z t
Cl(t) =
ln
2 sin
0
1
2
y dy;
0
y
на основе равенства ([3, с.255?)
G(x) =
1
2
Cl (2 arsin x) + arsin x ln 2x:
Отсюда
Cl(t) = 2G
sin
t
2
t ln
2 sin
t
2
=2
7
X
n=0
an T2n+1
t
t ln
2 sin
t
2
:
(10)
54
С.Д. Симонженков.
О чебышевских коэициентах некоторых ункций
Заметим, что это равенство аналогично полученному ранее
Cl(x) =
где
1
2
N (x)
2
N (y ) = y
X
r0
t ln
2 sin
x
2
;
(11)
A2r T2r (y ):
Вывод равенства (11) и таблицу коэициентов
A2r
см. в [4?.
езультаты некоторых вычислений согласно (10) представлены далее.
t
6
3
2
2
3
5
6
G(sin 2t )
Cl(t)
0.259802
0.864379
0.507471
1.014942
0.730181
0.915966
0.913546
0.676628
1.040401
0.356908
1.088793
0.000000
Литература
1. Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева. М.:
Наука, 1983. 384 .
2. Люк Ю. Специальные математические ункции и их аппроксимации. М.: Мир,
1980. 608 .
3. Прудников А.П. и др. Интегралы и ряды. Элементарные ункции. М.: Наука, 1981.
800 .
4. Wood E. Effiient alulation of Clausens integral // Math. Comp. 1968. V.22. ќ104.
P.883884.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
148 Кб
Теги
чебышевской, функции, некоторые, коэффициента
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа