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О численной аппроксимации дифференциальных полиномов.

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A.?. ???????. ? ????????? ????????????? ???????????????? ?????????
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Rx
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? ?puх (x) + ud[Q] = F (x) ? F (0) ? puх (0),
0
u(x0 ) = u0 ,
?
?
? ? ?
uх (?1 ) = v0 ,
?
Rx
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? ?puх (x) + ud[Q] = F (x) ? F (0) ? puх (0),
0
u(x0 ) = u0 ,
?
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uх (?2 ) = v0 ,
?
Rx
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? ?puх (x) + ud[Q] = F (x) ? F (0) ? puх (0),
0
u(x0 + 0) = u0 ,
?
?
? ? ?
uх (?2 ) = v0 ,
(7)
(8)
(9)
? ???? ???????? (2) ?????? (6), (7), (8), (9) ???????? ? ?????? ???? (3). ??????? ? ???? ??????????
??????? ?????? (6), (7), (8), (9) ????? ?????????? ?????????.
?????? ???????? ??????????????? ? ????????????? ???? ??????????? ????????? ?? ??????????
?????? ? ?????? ???????????, ? ????? ????????? ????????? ???????? ?? ?????????, ??????? ?????????????? ????????? ?????? ??????.
?????? ????????? ??? ?????????? ????????? ???? (?????? 07?01?00397).
????????????????? ??????
1. ???????? ?.?. ???????? ????????? ? ???????????
?? ???? ? ???????????? ???????????????? ?????????? // ????. ??. 1999. ?. 364, ? 2. ?. 167?169.
2 ???????? ?.?. ? ?????????????? ????????? ?
?????????? ?????? ??????????????? // ????. ??.
2002. ?. 383, ? 5. ?. 1?4.
3. ???????? ?.?., ??????? ?.?., ?????? ?.?. ? ??-
???? ??????????????? ? ?????????? ????????? //
????? ??????????????? ??????????. ???????: ???-??
???????. ??-??, 2005. ???. 10. ?. 119?130.
4. ??????? ?.?. ? ????????? ???????? ????????????
?????? ???????????????? ????????? ? ???????????? ?????????: ???. . . . ????. ???.-???. ????. ???????,
2005. 120 ?.
??? 517.53
? ????????? ?????????????
???????????????? ?????????
A.?. ???????
???????????? ??????????????? ???????????,
??????? 4 ?????
E-mail: versionfalex@vpti.vladimir.ru
On Numerical Approximation of Differential Polynomials
???????? ??????? ????????????? ???????????????? ?????????? ???????????? ????. ??????? ?????? ?????????? ??????????? ?????????????. ????????, ??? ??????????????? ????????????? ???????? ?????? ?? ???????????.
A numerical approximation formula was devised for differential
operators of a special form. An absolute approximation error value
was indicated. It was shown that the mentioned approximation is
accurate for polynomials.
A.V. Fryantsev
1. ??????? ?? ????????????? ?????? ????????? ????????????????? ?????????
P ? ??????? [1, 2] ????????? ????? ????????????? ????????????? ??????? ??????????? ???? ????
k ?k f (?k z) (????? f ? ????????? ????????????? ????????????? ? ??????????? ????? z = 0 ???????, ? ????????????? ?????????? ?? ???? ??????? ??????????? ????? ?k ) ? ??????? ??????????
?????? ? ?????????? ????????????????? ? ?????????????? ????????????? ???????. ? ??????? 1
????????? ?????? ????? ?????????????? ????????????? ? ????????????? ???????????????? ???????????, ?????????? ???????? ?????????????????.
?
P
????? ??????? f (z) =
fj (z ? z0 )j ?????????? ? ????????? ????????? ????? U(r, z0 ) :=
j=0
:= {z : |z ? z0 | ? r}, z0 ? C ? P (?) =
q
P
s=1
q, pq 6= 0, P (0) = 0.
c A.?. ???????, 2007
░
ps ?s ? ????????? ????????????? ????????? ???????
???????? ???????????? ????????????. 2007. ?.7. ???. ??????????. ????????. ???????????, ???. 2
??????? 1. ??? ????? ??????????? n > q+5 ?????????? ??????????? ????? ?k , k = 1, . . . , N q,
N = [n/q] (????? ????? ????? n/q), |?k | < 1, ?????, ??? ????? ????? ???????????? ?????????
D(f ; z0 , z) :=
q?1
X
Nq
pq?s
s=0
X
f (s) (z0 )
P (?k ) и f (z0 + ?k (z ? z0 )),
(z ? z0 )s ?
s!
(1.1)
k=1
?????? ??? z ? U(r, z0 ) ??? ?????????? ??????????? ?n (z) ????????????? ???????????
t?q ? 1 n+1
|?n (z)| ? n и M (r) и max |ps | и
t
1?s?q
(1 ? t)2
х
5
n?q
Х(n+1)/q
,
(1.2)
??? M (r) = max |f (z)|, t = r?1 |z ? z0 | < 1.
|z?z0 |=r
??????? 1 ??? ?????????????? ????????? ? ?????? [3].
??????????. ???????, ??? ????? ?k ????????? ??? ????? ?????????? ??????????????? ?????????
(??. (1.5)), ?????????? ???? ?? ?????????? n ? q, ? ?? ??????? ?? ?????? ??????? f (z), P (?). ? ????
?????? ????? ????? ?k ???????? ?????????????, ?.?. ????????? ??? ????? ????????????? ???????
f (z).
?????????? ??????????? ????????????? (1.2) ????? ??????? (C/n)n/q ??? ?????????? ???????
n, ?? ???? ??????? ?????? ?????? ? ?????? n.
??????????????. ?????????? ???????? ??????? ? ?????? z0 = 0. ????? ?k ? ?????-???? ????????????? ?????. ????? ??? z ? U(r, 0) ?????
P (?k ) и f (?k z) =
q X
?
X
j
ps fj ?s+j
k z =
s=1 j=0
? X
m?
X
m?s
ps fm?s ?m
,
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m=1 s=1
??? m? = min{q, m}. ?????????????, ??? ????????????? ?????? ????? ?k , k = 1, . . . , n, ?????
n
X
P (?k )f (?k z) =
?
X
Sm
m=1
k=1
m?
X
ps fm?s z m?s ,
(1.3)
s=1
??? ????? Sm ?????????? ????????? ?????
Sm =
n
X
?m
k ,
m = 1, 2, . . .
(1.4)
k=1
????????? ?????? ????? ?k ???, ??? Sq = 1, ? Sm = 0 ??? ???? m 6= q, m = 1, . . . , n (????????,
??? q ? ??????? ?????????? P ? n > q + 5). ???????, ??? ??? ????? ???????? ?? ????????? ?????
(n)
???????? ?? ???? ???????? ?k = ?k ????????? ??? ??????? ?????????
N
X
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k=0
?k
= 0,
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?=
1
,
q?q
N=
и И
n
q
(1.5)
(???????? N q ????????? ?????? ?k 6= 0), ??? ???? (??. [1])
| ?k |?
х
5
n?q
Х1/q
,
k = 1, . . . , N q.
? ????? ????, ???????? ???????????? ?????????????? ??????????
X
?j1 ?j2 . . . ?jm ,
?m = ?m (?1 , . . . , ?n ) =
(1.6)
m = 1, . . . , n,
1?j1 <j2 иии<jm ?n
?? ???????????? ???????? ???????
m?1
┤
│
X
(?1)j и Sm?j ?j ,
m?m = (?1)m+1 Sm +
m = 1, . . . , N q.
j=1
40
??????? ?????
A.?. ???????. ? ????????? ????????????? ???????????????? ?????????
??????? ?????????????? ???????? ???????? ?????????, ??? ??????? ?? ???? ?????????????? ?????????? ???? ? ????????, ???????? ????? q, ? ??? ????
?qk =
(?1)(q+1)k
;
q k k!
?l = 0,
l 6= qk.
?????????????, ??? ??????????? ????? ?k ???????? ????????? ??????? n (??????? ?????):
х
Хk
X
X
?n?qk
1
1
(?1)k k
= 0.
= ?n
(?1)k
q k!
k! q?q
0?qk?n
0?qk?n
?????? ??? ?????????? ???????? ?? ???? ??????? ?k ? ?????????? ????????? (1.5) (??????? ?????
?s ????? ????????? ????????????? q ????????? ??????????? ???????? ? = 1/(q?s )1/q ).
? ?????? [4] ????????, ??? ????? ?s ????????? (1.5) ????????????? ??????????? |?s | ? N/5. ??????
? ?? ????, ??? N > ?1 + n/q, ???????, ??? ????? ?k ????????????? ??????????? (1.6). ?? (1.6), ?
?????????, ??????? ?????? ????????? ???? ??? m > n > q:
Хm/q
х
5
=: An,m .
(1.7)
|Sm | ? n
n?q
???????, ??? ?????? (1.7) ????? ?????????????? ? ??????? [1, 2]. ??? ????????? ?????? ??????? ?k
????????? (1.3) ????????? ???
Nq
X
?
X
P (?k )f (?k z) = D(f ; 0, z) +
Sm
m=n+1
k=1
q
X
ps fm?s z m?s ,
z ? U (r, 0).
s=1
??????? ?????? (1.2) ???????. ?????
Nq
q
?
»
» » X
»
X
X
»
» »
»
|?n (z)| = »D(f ; 0, z) ?
P (?k )f (?k z)» = »
ps fm?s z m?s » ?
Sm
m=n+1
k=1
?
?
X
|Sm |
m=n+1
q
X
s=1
|ps ||fm?s ||z|m?s .
(1.8)
s=1
????????????? ??????????? ??????? ????????????? ???????:
Z
|d? |
M (r)
M (r)
|f (m?s) (0)|
?
= m?s .
|fm?s | =
m?s+1
(m ? s)!
2? |? |=r |? |
r
?????? ? ?????? (1.7) ? (1.8) ? ??????? ??????? n > q + 5 (?? ???????? ???????, ??? |Sm | < An,n+1
??? m ? n + 1) ????????
|?n (z)| ? M (r) и max |ps | и
1?s?q
??? t = r
?1
?
X
|Sm |
m=n+1
q
X
t
m?s
? n и M (r) и max |ps | и An,n+1 и
1?s?q
s=1
q
?
X
X
tm?s ,
m=n+1 s=1
|z| < 1, ??? ? ?????????? ??????? 1 ??? z0 = 0. ц
2. ????????? ?????????? ??????? 1
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(1.1) ????????? ???
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X
f (z0 )
s=0
s!
(z ? z0 )s ?
Nq
X
k=1
?k
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и f (z0 + ?k (z ? z0 )),
?k ? 1
(2.1)
??? ?k ? ????? ????????? (1.5). ? ?????? ?????? ?????????? ??????????? ??????????? ?? ???????
(??. (1.2)):
х
Х(n+1)/q
5
|z ? z0 |
t?q ? 1 n+1
t
.
(2.2)
, t=
|?n (z)| ? n и M (r) и
(1 ? t)2
n?q
r
??????????
41
???????? ???????????? ????????????. 2007. ?.7. ???. ??????????. ????????. ???????????, ???. 2
2. ????? ???? ?? ????????????? pq?s ?????????? P ????? ???????, ? ????????? ? ????. ?????
?? (1.1) ?????????? ??????? ??? ????????????? ?????????? ??????????? f (s) (z0 ) ??????? s. ??????,
????? ??????????? ??????????? n ? q, n > q + 5, ? ????? ??? ????????? s ????? pq?s = 1, pq?k = 0,
k = 0, q ? 1, k 6= s. ????? ?? (1.1) ?????????? ???????
n
n
X q?s
1 (s)
f (0) ?
?k f (?k ),
s!
X q?s
1 (s)
f (0)z s ?
?k f (?k z),
s!
k=1
s = 0, . . . , q ? 1,
(2.3)
k=1
??? ?k ? ????? ????????? (1.5), ?????? ?????????? ??????????? ??????? (2.3) ??????????? ??
??????? (2.2) ??? z0 = 0.
3. ???????? ???????????? ???????? P (?) ??????????????? ???????, ?? ????????? ????? ??????
P
??? ????????????? ??????? f (z) =
ck (z ? z0 )k ? ?????????? ?????????????? ??????? ck ?????
k=0
???????? ????????? ?????
q?1
P
pq?s cs (z ?z0 )s ????? ????????????? ? ??????????? ????? z0 ???????.
s=0
??? ????? ????? ???????????????? ????? ????????????? ? ??????????? ????? z0 ??????? g(z),
???? ???????? ????????? ????????????? ??????? f (z) (???? ?????? ?????????????? ????? ? ???????
[1, 2]).
??????????, ? ???????, ?????? z0 = 0, f (z) = ez , g(z) = cos z. ????? m ? ????????? ???????????
2m+1
P
ps ?s ? ????????? ???????? ???????????
?????, q = 2m + 1, ???????????? ?????????? P (?) =
s=1
???: p2m+3?2k = (?1)k?1 , k = 1, . . . , m + 1, ???????????? ? ??????? ???????? ????? ????. ?????
P (?) =
m+1
X
(?1)k?1 ?2m+3?2k = ?
k=1
?2m+2 + (?1)m
,
1 + ?2
? ?? (1.1) ?????????? ???????
cos z ?
Nq
X
?k
k=1
?2m+2
+ (?1)m ?k z
k
e .
1 + ?2k
(2.4)
? (2.4) ????? ?k ???????? ??????? ????????? (1.5), ?????????? ??????????? ??????????? ?? ???????
(2.2) ??? z0 = 0, M (r) = er .
3. ????????? ? ???????? ????? ??????? ?????????? ?????????????????
? ??????? [4, 5] ??????? ????????? ????????? ? ????????? ????????????????? ?????????????
???????.
??????? A [4, 5]. ??? ????? ????????????? ? U(r, z0 ) ??????? f ?????:
f ? (z0 ) = ?n и f (z0 ) +
n
X
f (z0 + ?k?1 ) + ?(f ; z0 , n)
(3.1)
k=1
? ???????????? |?(f ; z0 , n)| ? 5n(5/(nr))n M (r), n ? 6/r, ??? ?k ? ????? ????????? (1.5) ??? q = 1.
???? ????????? ????? ?????????.
??????? 2. ??? ?????? ?????????? Ps (z) ??????? s ? n ??????? (3.1) ?????, ?? ????
Ps? (z) = ?n и Ps (z) +
n
X
Ps (z + ?k ).
(3.2)
k=1
??????????????. ??? s = 0 ????????? (3.2) ??????????? ????????? ??????? ??? ?????? ??????
????? ?k . ????? ??????? ????? ??????????? ????? ?k , ??? ??????? ??????????? ????????? (3.2) ???
s = 1, n. ????? Sm ????????? ????????? ????? (1.4). ??? s = 1, 2 ?? ????????? (3.2) ????????
1 = ?n и z +
n
X
(z + ?k ) = S1 , 2 и z = ?n и z 2 +
k=1
42
n
X
(z + ?k )2 = 2zS1 + S2 .
k=1
??????? ?????
A.?. ???????. ? ????????? ????????????? ???????????????? ?????????
??c??? ??????? S1 = 1, S2 = 0. ??????? ????? ?? ????????, ??? Sm = 0 ??? m = 3, . . . , n.
?????????????, ???????????, ??? Sm = 0 ??? ???? m = 3, . . . , х, х < n. ???????, ??? ? Sх+1 = 0.
????????????? ?????????? (3.2) ??? Pх+1 (z) = z х+1 :
(х + 1)z х = ?nz х+1 +
n
X
(z + ?k )х+1 = ?n и z х+1 +
х+1
X
j
Cх+1
z х+1?j Sj .
j=0
k=1
?????? ?? ????????????? ???????? ????????
(х + 1)z х = ?nz х+1 + z х+1 S0 + (х + 1)z х S1 + Sх+1 ,
?.?. Sх+1 = 0.
????? ???????, S1 = 1 ? Sm = 0 ??? m = 2, . . . , n. ?????? ?????????? ???????????? ?????
?1 = ?1?1 , . . . , ?n = ?n?1 , ??? ??? ??? ???????? ???? (??. (1.5) ??? q = 1). ц
?????????. ??? ????? j = 2, . . . , s
Ps(j) (z) = (?n)j и Ps (z) +
j
X
Cjk (?n)j?k
k=1
n
X
i1 =1
иии
n
X
Ps (z + ?i1 + и и и + ?ik ).
(3.3)
ik =1
??????????? ???????????? ????????? (3.3) ??? ???????????? ????????????? ??????? ? ??????????????? ??????? ??????????? ????????? ? ?????? [6].
????????????????? ??????
1. ????????
P ?.?. ?? ???????????????? ?????????
???? ???? k ?k h(?k z) // ????????????? ??????????? ?? ???????????????? ?????????? ? ???????????? ????????. ???????, 2006. ?. 86?88.
2.
P ???????? ?.?. ?? ????????????? ??????? ????
k ?k h(?k z) // ?????? ?????????????? ????????????? ??????????? ?? ?????? ??????? ????????????
???????????, ??????????? 100-????? ?.?. ????????.
????????????, 2006. ?. 18?20.
3. ??????? ?.?. ? ????????? ????????????? ???????????????? ????????? // ??????????? ?????? ?????? ??????? ? ??????? ????????: ??. ???????. ???-
??????????
??? ???. ??. ???????: ???-?? ???, 2007. ?. 233?234.
4. ???????? ?.?. ?????? ??????????? ?????????????
?????? ? ?????? ??????? // ???. ??. 2006. ?. 197, ? 4.
?. 33?52.
5. ???????? ?.?., ???????? ?.?. ? ??????????? ?????????????? ??????? // ???. ???????. 2001. ?. 70,
? 4. ?. 553?559.
6. ???????? ?.?. ? ????????? ?????????????????
????????????? ??????? // ???????????????? ????????? ? ???????????? ???????: ???. ????. ???????, 2006.
?. 133?134.
43
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