close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об абсолютной сходимости рядов Фурье по обобщенной системе Хаара.

код для вставкиСкачать
2000
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 3 (454)
УДК 517.518
Г.А. АКИШЕВ, С.Т. МАХАШЕВ
ОБ АБСОЛЮТНОЙ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ
ПО ОБОБЩЕННОЙ СИСТЕМЕ ХААРА
Обозначим через Lq пространство всех измеримых по Лебегу на [0; 1] функций f (x), для
которых
Z 1
1=q
kf kq =
jf (x)jq dx < +1 1 q < 1:
0
Пусть дана последовательность fpn g натуральных чисел таких, что pn 2, n = 1; 2; : : : Обобщенную систему Хаара fpk g = fn (t)g на отрезке [0; 1] определим следующим образом ([1],
[2]). Положим 1 (t) 1 на [0; 1], если n 2, то n = mk + r(pk+1 ; 1) + s, где mk = p1 p2 : : : pk ;
k = 0; 1; : : : ; r = 0; 1; : : : ; mk ; 1; s = 1; 2; : : : ; pk+1 ; 1. Через A обозначим множество точек вида
l
mk на отрезке [0; 1]. Тогда, если t 2 B , где B [0; 1] n A, разложение
1
X
t = k (t) ; (t) = 0; 1; : : : ; p ; 1;
k=1
mk
k
k
единственно. Теперь определим функцию
8
>
>
>
<
n (t) = sk;r (t) = >
pm exp 2isk (t) ; t 2 r ; r + 1 \ B;
k
p
m m
+1
k+1
k
k
>
>
t 2= mr ; rm+ 1 :
:0;
k
k
Пользуясь тем, что множество
B всюду плотно на [0; 1], функцию n (t) по непрерывности про;
должим на интервал mrk ; rmk . После этого в точках разрыва функцию n (t) положим равной
полусумме ее предельных значений справа и слева, а на концах отрезка [0; 1] | ee предельным
+1
значениям изнутри отрезка.
Так определенная система fpn g ортонормирована и полна в пространстве L1 [1]. Если pn = 2
для всех n 1, то fpn g будет классической системой Хаара.
n
P
В дальнейшем будем пользоваться следующими обозначениями: Sn (f; t) = ak (f )k (t) |
k=1
частичная сумма ряда Фурье, а ak (f ) | коэффициенты
Фурье
функций
f
2
L
1 по обобщенной
n
P
системе Хаара; En (f )q = finf
b
f ;
k k q | наилучшее приближение функций f 2 Lq , 1 bk g
k=1
q < +1 полиномами по системе fpn g.
n 1R;h
;
Положим 4k;r = rm;k1 ; mrk : r = 1; 2; : : : ; mk ; k = 0; 1; : : : Величина !(f; )q = sup
jf (x +
h) ; f (x)jq dx
h
0
o1=q
0
называется модулем непрерывности функций f 2 Lq .
Рассмотрим функциональные классы Hq! = ff 2 Lq : !(f; )q !(); 0 1g, где
1 |
!() | модуль непрерывности, и Eq () = ff 2 Lq [0; 1] : En(f )q n g, где = fn g+n=1
последовательность положительных чисел такая, что n # 0, n ! 1. Через C (p; q; : : : ) будем
обозначать положительные постоянные, зависящие от указанных параметров.
8
Условие абсолютной и равномерной сходимости ряда Фурье{Хаара в терминах модуля непрерывности и наилучшего приближения исследованы в [3], [4], для обобшенной системы Хаара
изучены в [5] (см. также [6]).
В данной статье установлены условия абсолютной и равномерной сходимости ряда Фурье по
обобщенной системе Хаара fpn g функции из классов Hq! , Eq ().
Из определения функций n ([1], с. 300) следует
Лемма 1. Пусть обобщенная система Хаара fpn g определена последовательностью fpn g
натуральных чисел pn 2, n = 1; 2; : : : Тогда имеет место равенство
sup
mX
k+1
x2[0;1] n=mk +1
n (x)n () = mk; =q :
1
1
q
В дальнейшем будем рассматривать обобщенную систему Хаара fpn g, определенную ограниченной последовательностью fpn g.
Теорема 1. Если f 2 Lq , 1 < q < +1, и
1
X
n=1
то ряд
n =q; En (f )q < +1;
1
1
X
n=1
(1)
1
jan(f )n(t)j
(2)
равномерно сходится на [0; 1].
Доказательство. Пусть M , N | произвольные натуральные числа. Выберем натуральные
числа l и v такие, что ml;1 < M ml ; mv;1 < N mv . В силу ортогональности обобщенной
системы Хаара и неравенства Гельдера получим
mX
k+1
n=mk +1
jan(f )n(x)j mX
k+1
n=mk +1
an(f )
n mX
k+1
q n=mk +1
"n(x)n (x)n () ;
q0
(3)
где "n (x) = expf;i arg(an (f )n (x))g и 1q + q10 = 1, при каждом x 2 [0; 1].
При условии sup pn < +1 обобщенная система Хаара является безусловным базисом ([7]) в
n
пространстве Lq , 1 < q < 1. Поэтому, учитывая лемму 1, будем иметь
mX
k+1
n=mk +1
mX
k+1
q "n (x)n(x)n () C
q0
n=mk +1
n (x)n () Cq mk=q
1
q0
для любого x 2 [0; 1]. Следовательно, пользуясь неравенством (3), получим
N
X
n=M +1
jan(f )n(x)j Cq
v;1
X
mX
k+1
mk=q 1
k=l;1
n=mk +1
an(f )n ()
при каждом фиксированном x 2 [0; 1]. В силу оценки [1]
mX
k+1
n=mk +1
an(f )n () Cq Emk (f )q
q
и монотонности наилучшего приближения из (4) получим
N
X
n=M +1
jan (f )n(x)j Cq
9
mX
v;1
n=ml;1 +1
n =q; En (f )q
1
1
q
(4)
для любого x 2 [0; 1], ml;1 < M ml , mv;1 < N mv . На основании условия (1) отсюда следует
равномерная сходимость ряда (2) на [0; 1].
Теорема 2. Пусть 1 < q < 1 и n # 0, n ! 1. Для того чтобы для любой функции
f 2 Eq () ряд (2) равномерно сходился на [0; 1], необходимо и достаточно, чтобы
1
X
n=1
n =q; n < +1:
1
(5)
1
Доказательство. Достаточность следует из теоремы 1. Докажем необходимость. Пусть для
любой функции f 2 Eq () ряд (2) равномерно сходится на [0; 1]. Допустим, что условие (5) не
выполняется, т. е.
1
X
n=1
n =q; n = +1:
1
(6)
1
Положим n1 = 1 и nk+1 = minfn : n 12 nk g, k 1. Тогда
nk 2; nk ; nk ; > 2; nk :
(7)
Далее положим (k) = maxfj : mj < nk g. Ясно, что m k < nk m k . Рассмотрим ряд
1
P
m=qk; = nk m k (t), t 2 [0; 1]. В силу равенства
1
+1
1
1
+1
+1
1
k=1
1 2
( )
( )
+1
( )+1
( ) +1
km k kq = m=qk; =
1
( ) +1
(8)
1 2
( )
и первого неравенства в (7) получим, что этот ряд по норме пространства Lq , 1 < q < 1,
сходится к некоторой функции f0 2 Lq и будет рядом Фурье этой функции по системе fpn g.
Пусть nj n < nj+1 . Тогда m (j;1) < nj . Пользуясь соотношениями (7) и (8), получим
En (f )q Em j;
0
1) +1
(
(f0 )q 1
X
k=j
nk 21 nj 4n :
Таким образом, 4;1 f0 2 Eq (). По определению функции системы fpn g при любом l будем
иметь
mX
(l) +1
jan(f )n (0)j n=1
0
l
X
k=1
jam k (f )jm=qk =
( )
0
1
( )
l
X
k=1
m=qk nk :
1
( )
(9)
Так как n # 0 при n ! +1 и fpn g ограничена, то
nkX
+1 ;1
n=nk
n
=q;1 n
nk
1
nkX
+1 ;1
n=nk
n =q; 2 ; =q qC m=qk nk ; k 1:
1
1
1 1
0
1
( )
Поэтому, учитывая (6), из (9) получим
1
X
n=1
jan(f )n (0)j = +1:
0
Это противоречит предположению о равномерной сходимости ряда (2) для любой функции
f (x) 2 Eq ().
10
Теорема 3. Пусть ! ( ) | модуль непрерывности, 0 1. Для того чтобы для любой
функции f 2 Hq! , 1 < q < +1, ряд (2) равномерно сходился на [0; 1], необходимо и достаточно,
чтобы
1
X
n =q; !(n; ) < +1:
1
n=1
1
(10)
1
следует из оценки [1]
Доказательство. Достаточность
En(f )q 12!(f; n; )q ; f 2 Lq ; 1 q < 1;
1
и теоремы 1.
Пусть для любой функции f 2 Hq! ряд (2) равномерно сходится на [0; 1].
Допустим, что условие (10) не выполняется, т. е.
Необходимость.
1
X
n =q; !(n; ) = +1:
1
n=1
1
1
Тогда по теореме С.Б. Стечкина [8] существует последовательность fB (n)g такая, что
B (n) # 0; n ! +1; B (n) !(n; ); n = 1; 2; : : : ;
1
N
X
n=1
1
X
B (n) N!(N ; );
1
n=1
n =q; B (n) = +1:
1
1
(11)
(12)
В силу теоремы Коши и ограниченности последовательности fpn g из (12) следует
1
X
k=1
mk=q B (mk ) = +1:
(13)
1
Построим возрастающую последовательность номеров fnj g такую, что
1
X
1
X
j =1
j =k
B q (mnj ) = O(B q (mnk ));
(14)
mn=qj B (mnj ) = +1:
(15)
1
Для этого положим ki+1 = minfk : B (mk ) 12 B (mki )g. Тогда
B (mki ) 2; B (mki );
(16)
;
B (mk ) > 2 B (mki ); k = ki ; : : : ; ki ; 1:
(17)
существует, т. к. B (mk ) # 0, k ! +1. В силу монотонности последовательности
1
+1
1
+1
Такой номер ki+1
fB (n)g и неравенства (17) получим
kX
i =1
k=ki;1
mk=q B (mk ) Cq mk=qi; B (mki ; ):
1
1
1
1
P
1
(18)
m1=q B (mki;1 ) = +1. Отсюда следует, что по крайней мере один из рядов
i=2 ki ;1
1 1=q
1
P
mk2j+1 ;1 B (mk2j+1 ;1), P m1k=q2j ;1B (mk2j ;1 ) расходится.
j =1
j =1
Поэтому (см. (13))
11
Если расходится первый из этих рядов, то положим nj = k2j+1 ; 1, в противном случае nj =
1
k2j ; 1. Тогда P m1n=qj B (mnj ) = +1. Соотношение (15) доказано. Докажем (14). Из неравенств
j =1
(16) следует
B (mnj ) 2; B (mnj ) 8 j 1:
(19)
1
+1
Пользуясь этим неравенством, легко убедиться в справедливости соотношения (14). Далее, поk
k
P
P
ложим Ak = m1n=qj B (mnj ), Dk = m1n=qj B (mnj )=Aj , Fj = m1n=qj B (mnj )=Aj Dj . Тогда
j =1
j =1
1
X
j =1
Определим функцию
8
(;1)j+1 2pnj +1
>
>
>
pnj
>
>
>
>
<
+1
Fj = +1:
(20)
+1
j
Fj ; при t = p2nm
; j = 1; 2; : : : ;
+1
nj +1
i
h
i
f0(t) = >0; при t = 0; t 2 p1 ; 1 ; t 2 m1 ; m1 ; k 6= nj ;
>
1
>
hk+1 1 k p
>
>
nj +1 + 1 i h pnj +1 + 1 1 i
>
>
;
:линейна на каждом из отрезков
mnj +1 2mnj +1 ; 2mnj +1 ; mnj :
h
Учитывая определение функции f0 (t), t 2 [0; 1], и неравенство (19), нетрудно убедиться, что f0 2
Lq , 1 q < 1. Докажем, что f0 2 Hq! . Выберем натуральное число N так, что m;N1+1 < h < m;N1.
Тогда
;h
1
Z
jf (t + h) ; f
0
0
(t)jq dt =
0
mZ;N1;1
jf (t + h) ; f
0
0
(t)jq dt +
0
;h
1
Z
jf (t + h) ; f (t)jq dt = I + I : (21)
0
m;N1;1
0
1
2
Оценим интеграл I1 . Пусть v(N ) | наименьшее из чисел j со свойством (pnj +1 + 1)(2m;nj1+1 ) 2
[0; m;N1+1 ]. По свойству модуля числа и в силу неравенства (a + b) 2;1 (a + b ), 1 < 1,
получим
I
1
2q;1
mZ;N1;1
jf
0
(t + h)jq dt +
0
mZ;N1;1
jf
0
(t)jq dt
:
(22)
0
В первом интеграле в правой части оценки (22), делая замену переменных t + h = x, будем
иметь
mZ;N1;1
p
jf (t + h)jq dt ( N +1)
Z
0
0
m ;1
m;N1
jf (x)jq dx:
0
(23)
N +1
Учитывая определение функции f0 , получим
mZ;N1;1
jf (t)jq dt =
0
0
1
X
;1
m
Z nk
jf (t)jq dt +
0
k=v(N ) m;1
nk +1
12
mZ;N1;1
m;N1+1
jf (t)jq dt:
0
(24)
Из неравенств (22){(24) следует, что
I
1
2q;1
mZ;N1;1
2
jf
0
m;1
(t)jq dt +
N +1
m;N1
p
( N +1)
Z
jf
0
m;N1;1
(t)jq dt +
1
X
;1
m
Z nk
jf
0
k=v(N ) m;1
(t)jq dt
:
(25)
nk +1
Из определения функции f0 видно, что
jf0(t)j 2pnj +1(pnj +1 ; 1);1 Fj 8 t 2 [0; 1]:
Поэтому, учитывая, что pn C0 8 n 1, получим
;1
m
Z nk
jf (t)jq dt (4Fk )q m;nk (4B (mnk ))q ; k v(N ):
m;1
(26)
1
0
nk +1
Аналогично доказываются неравенства
p
( N +1)
Z
m;N1
jf (t)jq dt Cq !q (h);
(27)
jf (t)jq dt (4!(m;N ))q Cq !q (h):
(28)
0
m;N1;1
mZ;N1;1
m;N1+1
1
0
С помощью неравенств (26){(28) и (19), (12) из (25) получим
1
X
I Cq !q (h) +
1
k=v(N )
B q (mnk ) Cq !q (h):
(29)
Oценим I2 . По определению функции f0 будем иметь
I =
2
=p
1Z 1
m;N1;1
jf (t + h) ; f (t)jq dt =
0
0
v(X
N );1
;1
m
Z nj
j =1 m;1 ;h
nj +1
jf (x + h) ; f (x)jq dx:
0
0
(30)
Непосредственным вычислением получим
;1
m
Z nj
m;nj1+1 ;h
jf (x+h);f (x)jq dx (h4pnj (pnj ;1); Fj mnj )q (pnj ;1)m;nj ; j = 1; 2; : : : ; v(N );1:
0
0
+1
+1
2
+1
1
+1
+1
Подставляя в равенство (30), имеем
I (4h)q
v(X
N );1
2
j =1
p ; 1 (16h)q
[pnj +1 (pnj +1 ; 1);2 Fj mnj +1 ]q nmj +1
nj +1
v(X
N );1
j =1
mqnj B q (mnj ):
(31)
В силу B (n) # 0, n ! +1, и 2 pn C0 , n = 1; 2; 3; : : : , нетрудно убедиться, что
v(X
N );1
j =1
mqnj B q (mnj ) Cq
v(X
N );1 nX
j ;1
j =1 l=nj ;1
13
mql B q (ml ) Cq
mX
(N );1
s=1
sq; B q (s);
1
(32)
где (N ) = nv(N );1 . Пользуясь свойством n!( n1 ) " при n ! +1 и первым соотношением в (12),
получим
mX
N ;
1 q :
sq;1B q (s) C m
!
(
)
1
(N );1
q
s=1
m N ;
(
Поэтому из (31) и (32) следует
I Cq
hq
)
1
q
1
:
(33)
m N ; ! m
N;
Учитывая выбор номера (N ), легко убедиться, что m;N m; N . Следовательно, (N ) < N +1,
т. е. (N ) ; 1 < N . Тогда по выбору номера N имеет место неравенство h < m; N ; . Поэтому
учитывая, что ; !() убывает на [0; 1], из (33) будем иметь
I Cq !q (h):
(34)
Из неравенств (21), (29) и (34) следует !(f )q Cq !(), 0 < 1. Значит, функция g (t) =
!
Cq f (t) 2 Hq . Теперь докажем, что ряд (2) расходится в точке x = 0. По определению функций
системы fpn g и модуля комплексного числа получим
2
(
)
1
(
)
1
1
+1
1
( )
1
( )
1
1
2
1
0
0
jamnj (g )mnj (0)j = mcnj b +
+1
где
0
0
+1
0
q
l
( +1)
bl =
m;nj1+1
Z
pnjX
+1 ;1
l=1
2
bl cos p 2l+ 1 +
nj
pnjX
+1 ;1
l=1
sin p 2l+ 1
2 1=2
nj
; (35)
f (t)dt; l = 0; 1; : : : ; pnj ; 1; 8 j 1:
0
lm;1
+1
nj +1
Так как [ mnj ; mnj ] [ mn1j ; m1nj ] при l = 1; 2; : : : ; pnj +1 ; 1, то, пользуясь определениj
ем функции f0 (t), непосредственным вычислением можно убедиться, что bl = (pn(;j 1);1)2Fmjnj l ,
l = 1; 2; : : : ; pnj +1 ; 1, где l = 2l ; 1, если l = 1; 2; : : : ; [ pnj 2 +1 ] ; 1; l = 2(pnj +1 ; l) ; 1,
если l = [ pnj 2 +1 ] + 1; : : : ; pnj +1 ; 1. Если l = [ pnj 2 +1 ], то l = (pnj +1 ; 2) при нечетном pnj +1
и l = (pnj +1 ; 23 ) при четном pnj +1 . Запись [y] означает целую часть числа y. Пользуясь
этими значениями bl и учитывая, что 2 pn C0 , n = 1; 2; : : : , из равенства (35) получим
jamnj +1(g0 )mnj +1(0)j cq Fj 8 j . Следовательно, в силу соотношения (20) будем иметь
l
l
1+
+1
+1
+1
+1
+1
2
+1
+1
+1
1
X
n=1
jan(g )n (0)j = +1
0
для функции g0 2 Hq! . Это противоречит предположению о том, что для любой функции f 2 Hq!
ряд (2) равномерно сходится на [0; 1].
Замечание 1. В случае pn = 2, n = 1; 2; : : : (система Хаара) из теоремы 3 следуют результаты П.Л. Ульянова [3] и С.Г. Прибегина [9]. Теоремы 1 и 2, 3 ранее были анонсированы в
[10].
Замечание 2. При sup pn < +1 условия
n
1
X
эквивалентны.
n=1
n =q; En (f )q < +1;
1
1
1
X
k=0
14
mk=q Emk (f )q < +1
1
+1
Поэтому условие
1
X
k=0
mk=q Emk (f )q < +1
1
(36)
+1
достаточно для равномерной сходимости ряда (2) на отрезке [0; 1].
Теперь докажем, что при неограниченности последовательности fpn g условие (36) недостаточно для справедливости утверждения теоремы 1.
Теорема 4. Пусть sup pn = +1. Тогда существует функция f0 2 Lq [0; 1] такая, что услоn
1
P
jan(f )n (t)j не будет сходиться равномерно на [0; 1].
Доказательство. Так как последовательность fpn g неограничена, можно выбрать такую
вие (36) выполняется, но ряд
0
n=1
последовательность номеров n(k), что mn(k) < pn(k+1) . Построим функцию
f (t) =
0
1
X
j =1
m;n j= mn j (t):
1 2
( )
( ) +1
Легко убедиться, что f0 2 Lq [0; 1]. Пусть n(j ) k < n(j + 1). Тогда, учитывая монотонность
наилучшего приближения, получим
Emk (f )q Emn j (f )q +1
0
( ) +1
0
1
X
l=j +1
m;n l= Cq m;n j=q :
1 2
( )
1
( +1)
Поэтому, учитывая, что pn 2, n 1, и mn(k) < pn(k+1) , k 1, получим
1
X
k=0
mk=q Emk (f )q C (q)
1
+1
0
1
X
j =0
m;n j=q
1
( +1)
n(jX
+1);1
k=n(j )
C (q)
mk=q 1
1
X
j =0
m;n j=q mn=qj
1
( +1)
1
;
( +1) 1
C (q)
1 X
j =0
1
mn j
( )
1=q
< +1:
Таким образом, функция f0 2 Lq удовлетворяет условию (36). По определению системы fn (t)g
получим m
nl
l;1
l;1
X
X
X
jan(f0)n (0)j = jamn j +1(f0)mn j +1(0)j = m;n(1j=)2m1n=(2j) = l ; 1:
( )
n=1
j =1
( )
Переходя к пределу при l ! +1, имеем
( )
1
P
n=1
j =1
jan (f )n(0)j = +1.
0
B заключение авторы благодарят рецензента за полезное замечание.
Литература
1. Голубов Б.И. Об одном классе полных ортогональных систем // Сиб. матем. журн. { 1968.
{ Т. 9. { С. 297{314.
2. Виленкин Н.Я. Об одном классе полных ортонормальных систем // Изв. АН СССР. Сер.
матем. { 1947. { Т. 11. { С. 363{400.
3. Ульянов П.Л. Об абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье // Матем. сб. { 1967.
{ Т. 72. { С. 193{225.
4. Ciesielski Z., Musielak I. On absolute convergence of Haar series // Colloq. Math. { 1959. { V. 7.
{ P. 61{65.
5. Голубов Б.И, Рубинштейн А.И. Об одном классе систем сходимости // Матем. сб. { 1966.
{ Т. 71. { С. 93{112.
15
6. Жижиашвили Л.В. Некоторые вопросы многомерного гармонического анализа. { Тбилиси:
Изд-во Тбилиск. ун-та, 1983. { 114 с.
7. Vlasova E.A. Convergence of series with respect to generalized Haar systems // Anal. Math. {
1987. { V. 13. { Є 4. { P. 339{360
8. Стечкин С.Б. Об абсолютной сходимости рядов Фурье // Изв. АН СССР. Сер. матем. { 1953.
{ Т. 17. { Є 2. { C. 87{98.
9. Прибегин С.Г. Об абсолютной сходимости рядов Фурье{Хаара // Изв. вузов. Математика.
{ 1981. { Є 8. { С. 77{82.
10. Акишев Г.А., Махашев С.Т. Об абсолютной сходимости рядов Фурье по обобщенной системе
Хаара // Материалы междунар. конф. \Матем. модел. в естественных науках". { Алматы,
1997. { C. 51.
Карагандинский государственный
университет
Поступила
27.04.1998
16
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
185 Кб
Теги
сходимость, абсолютное, хаара, обобщенные, система, фурье, рядом
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа