close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об автомодельном решении задачи Коши для уравнения фильтрации газа в осесимметричной пористой среде.

код для вставкиСкачать
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОО ОСУДАСТВЕННОО УНИВЕСИТЕТА
Физико-математические науки
2006
Том 148, кн. 4
УДК 532.5.011
ОБ АВТОМОДЕЛЬНОМ ЕШЕНИИ ЗАДАЧИ КОШИ
ДЛЯ УАВНЕНИЯ ФИЛЬТАЦИИ АЗА
В ОСЕСИММЕТИЧНОЙ ПОИСТОЙ СЕДЕ
Л.Д. Эскин
Аннотация
Построено ормальное в окрестности точки r = ? и сходящееся в окрестности точки
r = 0 разложение автомодельной задачи Коши для уравнения Буссинеска, описывающего
ильтрацию газа в осесимметричной пористой среде.
1. В случае осесимметричной ильтрации газа в пористой среде давление газа
удовлетворяет уравнению Буссинеска [1?:
pt =
1
r p2 r r
r
(1.1)
(для удобства положили равным единице определяемый свойствами газа постоянный множитель в правой части уравнения (1.1)). В работе [2? .И. Баренблатт
предложил численный алгоритм для построения решения уравнения (1.1), удовлетворяющего начальному условию
p(r, 0) = cr?
(1.2)
pr (0, t) = 0,
(1.3)
и граничному условию
выражающему отсутствие притока газа на оси симметрии. Задача (1.1)(1.3) автомодельна, и ее решение представляется в виде
p(r, t) = t? f (?),
(1.4)
где ? = rt?? автомодельная переменная,
?=
?
,
2??
?=
1+?
,
2
(1.5)
так что ? = ?/? .
В [2? показано, что единственное автомодельное решение задачи Баренблатта
(1.1)(1.3) существует при всех t > 0 лишь в случае
0 < ? < 2.
(1.6)
Ниже будем предполагать условие (1.6) выполненным. В настоящей работе в отличие от работы [2? строятся разложения решения задачи (1.1)(1.3) в окрестности
границы r = 0 и r = ? . С этой целью будем существенно использовать методику,
основанную на совместном использовании методов качественного анализа и теории
84
Л.Д. ЭСКИН
S1
L
S2
W =0
ис. 1
нормальных орм обыкновенных диеренциальных уравнений и развитую нами
в работе [3? для исследования асимптотических свойств решения известной задачи
Полубариновой-Кочиной об опорожнении бассейна.
2. Подстановка (1.4) в уравнение (1.1) приводит к нелинейному уравнению второго порядка
1
(2.1)
? f 2 ? + ??f? = ?f
?
?
для ункции f в (1.4). Уравнение (2.1) с помощью подстановки
f = ? 2 ?(?),
(2.2)
? = ???
сводится к диеренциальному уравнению первого порядка [2?
(2.3)
?? = Q/P,
Q = (8? + 2? + ?)w + 4?? ? ??,
Из (2.2) находим
f? = ?w.
P = ?2? ?,
w = 2? + ?.
(2.4)
Каждая интегральная кривая уравнения (2.3) в азовой плоскости (?, ?) порождает в силу уравнения (2.2) однопараметрическое семейство автомодельных
решений f (?) уравнения (2.1). Поскольку давление p(r, t) неотрицательно, то неотрицательна и ункция f , а вместе с ней с учетом (2.2) и ункция ? . Следовательно, уравнение (2.3) следует рассматривать в полуплоскости ? > 0 плоскости
(?, ?) . Прямая w = 0 разбивает эту полуплоскость на два сектора: сектор I, в
котором w > 0 , и сектор II, в котором w < 0 (см. рис. 1). Интегральные кривые уравнения (2.3), принадлежащие сектору I, порождают с учетом соотношения
(2.4) монотонно возрастающие по r автомодельные решения (1.4) уравнения (1.1),
а интегральные кривые, принадлежащие сектору II, монотонно убывающие по
r решения. Интегральные кривые, принадлежащие обоим секторам, порождают
немонотонные автомодельные решения. В полуплоскости ? ? 0 уравнение (2.3)
ОБ АВТОМОДЕЛЬНОМ ЕШЕНИИ ЗАДАЧИ КОШИ. . .
85
имеет две конечные особые точки: седло-узел O(0, 0) и седло D(0, ??/2) , и три
бесконечные: A(0, ?) , B(0, ??) и бесконечную особую точку седло-узел C в
направлении с угловым коэициентом k1 = ?2 . С помощью стандартных методов качественной теории диеренциальных уравнений [4? (исследование особых
точек и ветвей изоклины нуля уравнения (2.3)) нетрудно показать, что существует
однопараметрическое семейство S (см. рис. 1) интегральных кривых уравнения
(2.3), выходящих из особой точки O в сектор I в направлении с угловым коэициентом k2 = ?1/? > k1 . Семейство S разбивается на два подсемейства S1 и S2 .
Интегральные кривые подсемейства S1 горизонтально пересекают ветвь изоклины
нуля в секторе I, затем вертикально ось ? и уходят на ? в особую точку A .
Интегральные кривые подсемейства S2 с ростом ? пересекают прямую w = 0 ,
переходят в сектор II, в котором затем и остаются. Подсемейства S1 и S2 разделяет интегральная кривая L , также принадлежащая семейству S , для которой при
? ? ? справедлива асимптотика
? = ?2? + ?/4 + O(??1 ).
(2.5)
Для всех интегральных кривых семейства S (в том числе и для кривой L ) справедлива асимптотика
? ? k2 ? при ? ? +0.
(2.6)
Из (2.6) с помощью уравнений (2.2) без труда найдем, что семейство S порождает двупараметрическое семейство решений (1.4) уравнения (1.1), для которых
справедлива асимптотика
p(r, t) ? c21 t? ?/c1 )?
при ? ? ?,
(2.7)
где c1 > 0 произвольная константа. В силу условия (1.6) и соотношений (1.5)
получаем, что ? > 0 , ? > 0 , так что при любом r > 0 при t ? +0 имеем ? ? ? .
В силу (2.7) решения уравнения (1.1), порожденные с помощью уравнений (2.2)
и (1.4) семейством S интегральных кривых уравнения (2.3), будут удовлетворять
начальному условию (1.2), если положить c1 = c? . Итак, решение задачи (1.1)(1.3)
будет порождаться в силу уравнений (1.4), (2.2) одной из интегральных кривых
семейства S . Для построения разложения этого решения в окрестности ? = ?
( r = ? ) необходимо построить разложение кривых семейства S в окрестности
особой точки O , а для построения разложения в окрестности точки ? = 0 ( r = 0 )
разложение кривых семейства S в окрестности особой точки C (седло-узла в
направлении с угловым коэициентом k1 = ?2 ).
3.
В этом пункте будет построено разложение решения задачи (1.1)(1.3) в
окрестности точки r = ? . Положим
y1 = ?,
y2 = w = ? + 2?
(3.1)
и заменим уравнение (2.3) эквивалентной динамической системой
y1? = ?1 y1 + 4y12 ? 2y1 y2 ,
y2? = ??y1 + ?2 y2 + 4y1 y2 + 2y22 ,
(3.2)
где ?1 = 0 , ?2 = ? . Система (3.2) не каноническая, но приводится к каноническому виду
x1? = ?1 x1 + x1 f1 , f1 = 2(? ?1 x1 ? x2 ),
x2? = ?2 x2 + x2 f2 ,
f2 = 2(2? 2 x21 x?1
2 + (2 + 3?)x1 + x2 )
(3.3)
86
Л.Д. ЭСКИН
помощью преобразования
y1 = x1 ,
(3.4)
y2 = ?x1 + x2 .
В результате преобразований (3.1), (3.4) особая точка ? = ? = 0 уравнения (2.3)
переходит в особую точку x1 = x2 = 0 системы (3.3). Известно [5? , что система
(3.3) с ?1 = 0 и ?2 = ? приводится в окрестности особой точки x1 = x2 = 0 к
нормальной орме
z1? = z1 g1 (z1 ),
g1 =
?
X
g1(k,0) z1k ,
g2 =
k=1
с помощью преобразования
h1 (Z) =
X
h1Q Z Q ,
?
X
(3.6)
g2(k,0) z1k
k=1
x1 = z1 (1 + h1 ),
где
(3.5)
z2? = z2 (?2 + g2 (z1 )),
(3.7)
x2 = z2 (1 + h2 ),
Q = (q1 , q2 ),
q1 ? ?1,
Q = (q1 , q2 ),
q1 ? 0,
q2 ? 0,
Q
h2 (Z) =
X
h2Q Q ,
q2 ? ?1
(3.8)
Q
есть ормальные степенные ряды от двух переменных, Z M = z1d z2e , если M =
= (d, e) , причем ряды z1 h1 , z2 h2 не содержат линейных и свободных слагаемых,
так что
h1(?1,0) = h2(0,?1) = h1(?1,1) = h2(1,?1) = 0.
(3.9)
Коэициенты степенных рядов (3.6), (3.8) определяются с помощью соотношений [5?
hi(q,0) = 0,
gi(q,s) = 0 (s 6= 0),
(1)
(2)
hiQ = (?q2 )?1 ciQ + ciQ ,
где
(1)
X
ciQ = ?
hiP giR ?
P +R=Q
(2)
X
(1)
(2)
gi(q,0) = ci(q,0) + ci(q,0) ,
i = 1, 2,
(3.10)
q2 6= 0,
(p1 g1R + p2 g2R ) hi P ,
(3.11)
P +R=Q
(2)
а c1Q , c2Q есть, соответственно, коэициенты при Z Q в разложении ункций
(3.12)
(1 + h1 )f1 (z1 (1 + h1 ), z2 (1 + h2 )) = A1 + A2 ,
A1 = 2? ?1 (1 + h1 )2 z1 ,
A2 = ?2z2 (1 + h1 )(1 + h2 ),
(1 + h2 )f2 (z1 (1 + h1 ), z2 (1 + h2 )) = B1 + B2 + B3 ,
B1 =
4? 2 z12 z2?1 (1
2
+ h1 ) ,
B2 = 2(2 + 3?)z1 (1 + h1 )(1 + h2 ),
(3.13)
B3 = 2z2 (1 + h2 )2 .
Q
Замечание 1. Из (3.10) следует, что все отличные от нуля мономы h1Q Z
содержат множитель z2 как минимум в первой степени.
87
ОБ АВТОМОДЕЛЬНОМ ЕШЕНИИ ЗАДАЧИ КОШИ. . .
Это замечание полезно при вычислении вкладов слагаемых A1 , A2 , B1 , B2 ,
(2)
B3 в коэициенты ciQ .
Прежде всего отметим, что с помощью соотношений (3.9), (3.11) и (3.12) индукцией по q нетрудно доказать, что h1(?1,q) = 0 ( q ? 0 ). Ниже нам понадобятся
коэициенты
g1(1,0) = 2? ?1 ,
g1(2,0) = 8? 2 ? ?1 ,
(3.14)
h2(2,?1) = ?4? 2 ? ?1 .
(3.15)
g2(1,0) = 2(2 + 3?),
h1(0,1) = ?2? ?1 ,
h1(1,1) = 16?? ?3 ,
Докажем справедливость равенств (3.14), (3.15). С учетом соотношений (3.11)
(1)
(2)
и (3.10) нетрудно получить, что ci(q,0) = 0 , так что gi(q,0) = ci(q,0) . Вычисляя
(2)
вклады слагаемых A1 , A2 в c1(q,0) коэициент при z1q в степенном разложении
ункции (3.12) без труда найдем с помощью замечания 1, что вклад A1 равен
2/? при q = 1 и нулю при q > 1 , а вклад A2 равен (?2h2(q,?1) ) . Отсюда получаем
первое равенство в (3.14) и соотношение
(3.16)
g1(2,0) = ?2h2(2,?1) .
(2)
Далее, имеем g2(1,0) = c2(1,0) коэициент при z1 в степенном разложе(2)
нии ункции (3.13). Вклад B1 и B3 в c2(1,0) равен нулю, а вклад B2 равен
2(2 + 3?) , откуда следует справедливость второго равенства в (3.14). С помо(1)
щью (3.11) и (3.9) без труда находим c2(2,?1) = 0 , после чего из (3.10) получаем
(2)
(2)
h2(2,?1) = ?? ?1 c2(2,?1) , где c2(2,?1) коэициент при z12 z2?1 в степенном раз(2)
ложении ункции (3.13). Вклад B1 в c2(2,?1) равен 4? 2 , а вклады B2 и B3 нулю.
Итак, с учетом равенства (3.16) доказана справедливость последних соотноше(1)
ний в (3.14) и (3.15). С помощью соотношений (3.9), (3.11) получаем c1(0,1) = 0 ,
(2)
(2)
откуда h1(0,1) = ? ?1 c1(0,1) = 0 . Вклад A1 в c1(0,1) равен нулю, вклад A2 с учетом
замечания 1 равен ?2 . Справедливость первого равенства в (3.15) доказана.
Осталось вычислить h1(1,1) . Снова с учетом равенств (3.11), (3.14) и равенства
(1)
(3.15) для h1(0,1) находим c1(1,1) = 8(1 + 2?)/? 2 , откуда
(2)
h1(1,1) = ? ?1 (c1(1,1) + 8(1 + 2?)? ?2 ).
(2)
Из (3.12) получаем с учетом замечания 1, что вклад A1 в c1(1,1) равен
(2)
4? ?1 h1(0,1) = ?8/? 2 , вклад A2 в c1(1,1) с учетом соотношений (3.9) равен нулю. В результате получаем второе соотношение в (3.15).
С учетом соотношений (3.6) и (3.14) система уравнений (3.5) принимает вид
!
?
X
?1 2
?1
k
z1? = 2? z1 1 +
2 ?g1(k+1,0) z1 ,
k=1
z2? = ?z2
1+
?
X
?
?1
k=1
откуда
z2?1 dz2
=
2?1 ? 2 z1?2
1+
!
,
!
dz1 ,
g2(k,0) z1k
?
X
k=1
µk z1k
(3.17)
88
Л.Д. ЭСКИН
где
1
2g2(1,0) ? ?1 ? g1(2,0) ? ,
2
остальные коэициенты µk при k ? 2 нам не понадобятся.
Интегрируя уравнение (3.17), получим
!
?
X
d
k
z2 = c2 z1 1 + ?z1 +
?k z1 exp[?? 2 /(2z1 )],
µ1 =
(3.18)
(3.19)
k=1
где c2 > 0 произвольно, d = ? 2 µ1 /2 ; коэициенты ? и ?k , k ? 2 , нам не
понадобятся. С учетом соотношений (3.14) найдем:
(3.20)
d = 1 + 4? ? 2?2 .
Из (3.19) следует, что z2 экспоненциально убывает при z1 ? +0 , и ниже мы
будем вычислять ? и ? лишь с учетом слагаемых порядка O(z2 ) . Из (3.8), (3.19)
находим
? = x1 = z1 + h1(0,1) z1 z2 + h1(1,1) z12 z2 + O z13+d exp[?? 2 /(2z1 )] .
(3.21)
Коэициенты h1(0,1) , h1(1,1) определены в (3.15).
С учетом (3.1), (3.4), (3.7) и соотношений (3.15) для h1(0,1) и h2(2,?1) после ряда
преобразований будем иметь
? = x2 ? ? ?1 x1 =
= ?? ?1 z1 F (z1 ) 1 ? c2 ?z1d?1 exp[?? 2 /(2z1 )] 1 + ?z1 + O z12
, (3.22)
где через F (z1 ) обозначен ормальный степенной ряд
F (z1 ) = 1 + f (z1 ),
f=
?
X
fk z1k ,
fk = ??h2(k+1,?1) ,
(3.23)
k=1
? = ? + 2? ?2 + ?h2(2,?1) = ? + 2? ?2 (1 ? 2?2 ).
Уравнения (3.21), (3.22) задают в параметрической орме ( z1 параметр) интегральные кривые семейства S , причем каждой кривой семейства S отвечает
определенное значение константы c2 > 0 ( c2 параметр семейства S ). С помощью равенств (3.17) и (3.19) без труда найдем
dz2 =
1
c2 z1d?2? 2 1 + (µ1 + ?)z1 + O(z12 ) exp[?? 2 /(2z1 )] dz1 ,
2
(3.24)
после чего из (3.21) в результате ряда преобразований, используя соотношение
(3.24), получим
d? = 1 + c2 z1d?1 exp[?? 2 /(2z1 )] 2?1 ? 2 h1(0,1) +
+(h1(0,1) (1 + 2?1 (µ1 + ?)? 2 ) + 2?1 ? 2 h1(1,1) )z1 + O(z12 ) dz1 . (3.25)
После подстановки в правую часть равенства (3.25) выражений (3.15) для h1(0,1) ,
h1(1,1) окончательно найдем
d? = 1 ? c2 z1d?1 exp[?? 2 /(2z1 )] Ч
Ч ? + (2? ?1 + (µ1 + ?)? ? 8?)z1 + O(z12 ) dz1 . (3.26)
ОБ АВТОМОДЕЛЬНОМ ЕШЕНИИ ЗАДАЧИ КОШИ. . .
89
С учетом соотношений (3.22) и (3.26) второе уравнение (2.2) принимает вид
? ?1 d? = ??(z1 F (z1 ))?1 1 ? c2 z1d exp[?? 2 /(2z1 )]Ч
Ч 2? ?1 + (µ1 + ?)? ? 8? + O(z1 ) dz1 . (3.27)
С помощью соотношений (3.23) (последнее равенство) и (3.14) равенство (3.27)
нетрудно представить в виде
? ?1 d? = ??(z1 F (z1 ))?1 1 ? 2? ?1 c2 z1d exp[?? 2 /(2z1 )](1 + O(z1 )) dz1 .
(3.28)
Положив
(F (z1 ))?1 = 1 + G(z1 ) = 1 +
?
X
(?1)k f k = 1 +
k=1
?
X
gk z1k
(3.29)
k=1
(коэициенты gk полиномы от коэициентов f1 , . . . , fk ) и интегрируя уравнение (3.28), найдем
??
2
d
2
2
c?1
(3.30)
1 ? = z1 R(z1 ) 1 + 2c2 (? /2) ?(?d, ? /2z1 ) + O(?(?d ? 1, ? /2z1 ) ,
где
?
R(z) = exp ???
Zz
0
?
z ?1 G(z) dz ? = 1 +
?
X
rk z k
(3.31)
k=1
есть ормальный степенной ряд, в котором коэициенты rk снова являются
полиномами от f1 , . . . , fk , c1 > 0 вторая произвольная постоянная, а ?(x, y) неполная ? -ункция [6, с. 954?. Используя асимптотику ункции ?(x, y) при y ?
? ? [6, с. 956?, перепишем равенство (3.30) в виде
??
?2
c?1
(1 + O(z1 ))z1d+1 exp[?? 2 /(2z1 )] , z1 ? +0. (3.32)
1 ? = z1 R(z1 ) 1 + 4c2 ?
Из (3.32) находим
?1/?
z1 = (c?1
1 ?)
?
X
k=0
h
?k/?
lk (c?1
1 + 4c2 ? ?3 ?(1 + O(? ?1/? ))Ч
1 ?)
i
?(d+1)/?
1/?
Ч (c?1
exp ?? 2 (c?1
/2 ,
1 ?)
1 ?)
? ? ?,
? = exp(l1 ? 2 /2),
после чего с помощью соотношений (1.4), (2.2), (3.21) и соотношения (3.15) для
h1(0,1) получаем следующее представление для двупараметрического семейства
( c1 , c2 параметры семейства) автомодельных решений уравнения (1.1), порожденных семейством S :
?
p(r, t) = c21 t? (c?1
1 ?)
?
X
?k/?
lk (c?1
Ч
1 ?)
k=0
h
i
?d/?
?1/?
2 ?1 1/?
Ч 1 ? 2c2 ? ?1 ?(c?1
?)
1
+
O(?
)
exp(??
(c
?)
/2)
, (3.33)
1
1
где l0 = 1 , l1 = 4? 2 , а остальные коэициенты lk выражаются с помощью соотношений (3.23), (3.29), (3.31) через коэициенты h2(s,?1) , s = 2, 3, . . . , k + 1 ,
для вычисления которых ниже укажем рекуррентные соотношения. При r > 0 и
t ? +0 имеем ? ? ? , и из (3.33) находим
1/?
lim p(r, t) = c1 r? ,
t?+0
r > 0.
90
Л.Д. ЭСКИН
Следовательно, чтобы решение (3.33) удовлетворяло начальному условию (1.2), достаточно положить в (3.33) c1 = c? , после чего (3.33) дает представление однопараметрического семейства с параметром c2 решений уравнения (1.1), удовлетворяющих начальному условию (1.2). Значение параметра c2 определяется граничным
условием (1.3) и не зависит от параметра c в начальном условии (1.2).
Замечание 2. Для коэициентов h2(m,?1) , m ? 3 , через которые выражаются коэициенты fk , gk , rk и lk рядов (3.23), (3.29), (3.31) и (3.33), с помощью
соотношений (3.10)(3.13) нетрудно получить рекуррентные соотношения
!
m?2
X
?1
h2(m,?1) = ?2?
sh2(s,?1) h2(m?s,?1) + (m ? 1)h2(m?1,?1) ,
(3.34)
s=2
если m нечетно, и
h2(m,?1) =
= ?2? ?1
m?2
X
sh2(s,?1) h2(m?s,?1) + (m ? 1)h2(m?1,?1) + h22(m/2,?1)
s=2
!
, (3.35)
если m четно, причем h2(2,?1) = ?4? 2 /? , h2(0,?1) = h2(1,?1) = 0 .
Из рекуррентных соотношений (3.34), (3.35) следует, что при ? 6= 0 будем иметь
h2(2l+1,?1) > 0 , h2(2l,?1) < 0 , l = 1, 2, . . .
В случае ? = 0 имеем h2(2,?1) = 0 , а в силу замечания 2 в этом случае получаем
h2(m,?1) = 0 при всех m . В результате для степенного ряда в (3.33) получаем
?
X
?k/?
lk (c?1
= 1.
1 ?)
k=1
4. Выше было показано, что решение задачи (1.1)(1.3) порождается одной из
интегральных кривых семейства S . В этом пункте мы построим асимптотическое
разложение этой кривой при ? ? ? (в окрестности особой точки C уравнения
(2.3) в направлении с угловым коэициентом k1 = ?2 ), что позволит получить
асимптотическое разложение решения задачи (1.1)(1.3) при r ? +0 . С этой целью
с помощью преобразования Пуанкаре [4?
? = y1?1 ,
(4.1)
? = (y2 ? 2)y1?1
преобразуем уравнение (2.3) в динамическую систему
y1? = ?4y1 + 2y1 y2 ,
y2? = ??y1 + ?y1 y2 + 4y22 .
(4.2)
Преобразование (4.1) особую точку C уравнения (2.3) переводит в особую точку
O(0, 0) системы (4.2). Система (4.2) не каноническая, но преобразуется в каноническую систему
x1? = ?4x1 + 2?1 ?x21 + 2x1 x2 ,
x2? = px21 + qx1 x2 + 4x22
(4.3)
с помощью преобразования
y1 = x1 ,
y2 = 4?1 ?x1 + x2 ,
p = ?(1 + 2?)/8,
q = 2?1 (1 + 4?),
(4.4)
ОБ АВТОМОДЕЛЬНОМ ЕШЕНИИ ЗАДАЧИ КОШИ. . .
91
которое преобразует особую точку O(0, 0) системы (4.2) в особую точку O(0, 0)
системы (4.3) в азовой плоскости (x1 , x2 ) . ешение системы (4.3) будем искать в
виде степенных рядов
x1 = u
?
X
ak u k ,
x2 = u2
k=1
?
X
bk u k ,
u = exp(?4? ).
(4.5)
k=1
При ? ? ? имеем u ? +0 . Система (4.3) инвариантна относительно сдвига по ? ,
что равносильно умножению параметра u на произвольный множитель. Поэтому,
не уменьшая общности, будем полагать a0 = 1 .
Подстановка рядов (4.5) в систему (4.3) приводит к рекуррентным соотношениям для коэициентов ak , bk :
X
X
1
? 4kak = ?
as am + 2
as bm , k ? 1,
2
s+m=k?1
s+m=k?2
(4.6)
X
X
X
? 4(k + 2)bk = p
as am + q
as b m + 4
bs bm , k ? 0,
s+m=k
s+m=k?1
s+m=k?2
ai = bi = 0 при i < 0 . Соотношения (4.6) позволяют последовательно вычислять
коэициенты ak , bk .
Будем иметь a0 = 1 , a1 = ??/8 , b0 = ?p/8 , b1 = 96?1 p(2?+q) . На вычислении
остальных коэициентов ak , bk , k ? 2 не останавливаемся.
Из (4.1) и первого равенства (4.5) получим
!
?
X
?1
?k
u=?
1+
?k ?
,
(4.7)
k=1
где ?1 = ?a1 = ?/8 , остальные коэициенты также вычисляются с помощью метода неопределенных коэициентов после подстановки ряда (4.7) в ряд (4.5) для
x1 (коэициенты ?k являются полиномами от коэициентов a1 , a2 , . . . , ak ).
С помощью вторых соотношений в (4.1), (4.4), (4.5) и (4.7) найдем
?1
? = ?2? + 4?1 ? + x2 x?1
?+
1 = ?2? + 4
?
X
dk ??k .
(4.8)
k=1
Коэициенты dk в равенстве (4.8) определены однозначно и вычисляются с помощью соотношений (4.5), (4.7), причем d1 = b0 = ?p/8 , на вычислении остальных
коэициентов не останавливаемся.
Сравнивая равенство (4.8) с равенством (2.5), получаем, что (4.8) дает асимптотическое разложение при ? ? ? интегральной кривой L , принадлежащей семейству S и разделяющей его подсемейства S1 и S2 . Интегральной кривой L отвечает
определенное численное значение c2 = c20 параметра c2 семейства S , которое может быть найдено лишь в численном эксперименте. Подставляя равенство (4.8) во
второе уравнение (2.2) и интегрируя полученное уравнение, найдем
?1/2
c?1
3 ? = ?
?
X
(4.9)
sk ??k ,
k=0
где коэициенты sk выражаются через коэициенты di , причем s0 = 1 , s1 =
= ?/16 , s2 = (?2 ? ?)/512 . Из (4.9) получаем
? = c?1
3 ?
?
?2 X
k=0
mk c?1
3 ?
2k
,
(4.10)
92
Л.Д. ЭСКИН
где m0 = 1 , m1 = ?/8 и так далее, c3 > 0 произвольная постоянная. После подстановки (4.10) в первое равенство в (2.2) получим, что порожденное интегральной кривой L (4.8) уравнения (2.3) решение f (?) уравнения (2.1) представляется
в окрестности точки ? = 0 в виде ряда
f (?) = c23
?
X
mk c?1
3 ?
k=0
2k
(4.11)
,
а решение p(r, t) уравнения (1.1), определенное равенством (1.4), в виде ряда
p(r, t) = c23 t?
?
X
mk c?1
3 ?
k=1
2k
,
(4.12)
Поскольку при ? ? ? имеем, что w ? ?/4 , а ? ? 0 , то из (2.4) следует
равенство f? (0) = 0 . Следовательно, решение (4.12) уравнения (1.1) при любом
c3 > 0 удовлетворяет условию (1.3).
Итак, решение p(r, t) начально-краевой задачи (1.1)(1.3) порождается в силу
соотношений (1.5), (2.2) именно интегральной кривой L уравнения (2.3). Для этого решения справедливы в окрестности ? = ? представление (3.33), в котором
следует лишь положить c1 = c? , c2 = c20 , и представление (4.12) в окрестности
? = 0.
Значение параметра c3 в соотношении (4.12) полностью определяется параметрами c и ? и не зависящей от c постоянной c20 . Действительно, из (4.11)
следует равенство c23 = f (0) . Значение f (0) полностью определяется заданными
значениями c > 0 , ? , удовлетворяющим условию (1.6), и постоянной c20 .
Однако при заданных c и ? численное значение c3 , как и численное значение
c20 , можно найти лишь с помощью численного эксперимента.
Нетрудно показать, что кривая L полностью принадлежит сектору I, откуда
в силу равенства (2.4) следует, что решение p(r, t) задачи (1.1)(1.3) монотонно
возрастает по независимой переменной r . Действительно, в силу (4.8) она при
? ? ? уходит в бесконечность в направлении с угловым коэициентом k2 ,
оставаясь при достаточно больших ? в секторе I. Сектору I она, как и любая
кривая семейства S , принадлежит и при ? ? 1 . Интегральные кривые уравнения
(2.3) могут пересекать прямую w = 0 , переходя из сектора I в сектор II, лишь
в направлении с угловым коэициентом k3 = ?2 + (2?)?1 < k1 , причем ветвь
изоклины нуля в секторе II они пересекать не могут (см. рис. 1). Поэтому после
пересечения кривой семейства S прямой w = 0 в некоторой точке ? = ?0 , ? =
?2?0 эта кривая переходит из сектора I в сектор II и остается там при всех ? > ?0 .
Кривая L , принадлежащая сектору I при ? ? 1 , должна принадлежать сектору I
при всех ? .
Докажем, что ряд (4.12) сходится в некоторой окрестности точки ? = 0 . Для
этого, очевидно, достаточно доказать, что ряды (4.5) сходятся в некоторой окрестности точки u = 0 .
Обозначим A = max{2, p, q} (отметим, что в силу справедливости оценки q >
> ?/2 следует справедливость оценки A > ?/2 ). Имеем: |a0 | < A , |a1 | < A ,
|b0 | < A . Пусть уже доказано, что
|as | < As ,
|bs | < As+1 ,
s = 1, . . . , k ? 1.
Тогда из первого соотношения (4.6) находим с учетом оценки 2?1 ? < A :
!
X
X
4k|ak | < A
At+r +
At+r+1 = (2k ? 1)Ak .
t+r=k?1
t+r=k?2
(4.13)
ОБ АВТОМОДЕЛЬНОМ ЕШЕНИИ ЗАДАЧИ КОШИ. . .
93
Следовательно, |ak | < Ak . Оценка |as | < As доказана для всех s ? 1 . Используя
эту оценку и предположение (4.13) для |bs | , из второго соотношения (4.6) получим
!
X
X
X
t+r
t+r+1
4(k + 2)|bk | < A
A
+
A
+ 4A?1
At+r+3 =
t+r=k
t+r=k?1
t+r=k?2
= (k + 1)Ak+1 + kAk+1 + 4A?1 (k ? 1)Ak+1 < (4k ? 1)Ak+1
(мы воспользовались оценкой A ? 2 ), так что |bk | < Ak+1 . Справедливость оценки
|bs | < As+1 доказана для всех s ? 0 .
Из полученных для as , bs оценок следует сходимость рядов (4.5) при |u| < 1/A .
Отсюда следует сходимость рядов (4.7)(4.9) в некоторой окрестности точки ? =
? , следовательно, и ряда (4.12) в некоторой окрестности точки ? = ? .
Замечание 3. Так как влияние граничного условия (1.3) сказывается лишь
на выборе значения c20 параметра c2 в (3.33) и, следовательно, не сказывается
на степенной части этого разложения, то это означает, что на больших расстояниях от оси симметрии ( r ? 1 ) граничное условие (1.3) оказывает влияние лишь
на экспоненциально убывающую часть давления p(r, t) , что вполне естественно с
изической точки зрения. Точно также это влияние экспоненциально мало и на
малых временах t ? 1 вне малой окрестности оси.
Summary
L.D. Eskin. About the self-similar solution of Cauhy problem for the gas ltration equation
in porous medium with axial symmetry.
A formal expansion of the self-similar solution of Cauhy problem for Boussinesq equation
desribing gas ltration in an axial symmetry porous medium of r ? ? and a onvergent
expansion in the neighborhood of the r = 0 are onstruted.
Литература
1.
Баренблатт .И., Ентов В.М., ыжик В.М.
Теория нестационарной ильтрации
жидкости и газа. М.: Недра, 1972. 288 с.
2.
Баренблатт .И. Об автомодельных решениях задачи Коши для нелинейного параболического уравнения нестационарной ильтрации газа в пористой среде // ПММ. 1956. Т. 20, Вып. 6. С. 761763.
3.
Эскин Л.Д. К задаче П. Я. Полубариновой-Кочиной об опорожнении бассейна //
Изв. вузов. Математика. 2004. ќ 9. С. 7384.
4.
Баутин Н.Н., Леонтович Е.А.
5.
Брюно А.Д.
6.
Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1990. 488 с.
Локальный метод нелинейного анализа диеренциальных уравнений. М.: Наука, 1979. 256 с.
радштейн И.С., ыжик И.М.
Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М : ИФМЛ, 1962. 1100 с.
Поступила в редакцию
11.09.06
Эскин Лев Давидович кандидат изико-математических наук, доцент каедры
прикладной математики Казанского государственного университета.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
189 Кб
Теги
среды, решение, уравнения, кошик, фильтрация, пористой, автомодельных, осесимметричных, задачи, газа
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа