close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об адельной формуле для гауссовых интегралов.

код для вставкиСкачать
2000
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 7 (458)
УДК 517.986
Э.Ю. ЛЕРНЕР
ОБ АДЕЛЬНОЙ ФОРМУЛЕ ДЛЯ ГАУССОВЫХ ИНТЕГРАЛОВ
1. Введение. Цель данной заметки | дать \адельное" доказательство адельной формулы
для гауссовых интегралов. Эта формула заключается в том, что если элементы матрицы (B )nn
квадратичной формы рациональны, то произведение по всем простым p гауссовых интегралов
по n-мерному p-адическому пространству Qnp , умноженное на соответствующий вещественный
интеграл, равно единице. Другими словами, гауссов интеграл по пространству аделей равен единице. Доказательство этой формулы в одномерном случае (многомерный случай легко сводится
к одномерному) было впервые дано в [1]. Оно опирается на достаточно нетривиальные формулы
для интегралов по Qp и некоторые факты из теории чисел. В п. 3 приводится простое аналитическое, \адельное" доказательство, не использующее предварительных вычислений интегралов
по Qp . Идея предлагаемого доказательства состоит в естественном разбиении всей области интегрирования | кольца аделей | на части. Это разбиение аналогично разбиению пространства
Rn на единичные кубики. Используя некоторые простые свойства преобразования Фурье на Qp ,
легко получить доказываемый результат.
В п. 4 обсуждается упрощенный вариант арифметического доказательства [1]. Будет показано, что если использовать явные формулы для интегралов по Qp (по Qnp ), то адельная формула
для гауссовых интегралов эквивалентна аналогичной формуле для символа Гильберта. Дается также явное выражение для многомерных гауссовых интегралов по Qnp через инварианты
соответствующей квадратичной формы.
2. Структура кольца аделей [2]. Пусть Q | поле рациональных чисел. R | вещественное пополнение Q, Qp | p-адическое пополнение Q, Z | кольцо целых, Zp | кольцо целых
p-адических чисел: Zp = fa 2 Qp : jajp 1g. Ограниченное прямое произведение аддитивных
групп R+, Q+p , p = 2; 3; 5; : : : , относительно Zp+, p = 2; 3; : : : , называется группой аделей A. Другими словами, A есть множество всех последовательностей a = (a1 ; a2 ; : : : ; ap ; : : : ), где a1 2 R,
ap 2 Qp , p = 2; 3; : : : , причем ap 2 Zp для почти всех 1 p. Множество таких последовательностей
образует кольцо относительно операций покомпонентного сложения и умножения. Последовательность аделей a(n) = (a(1n) ; a2 ; : : : ; ap ; : : : ) сходится к аделю a = (a1 ; a2 ; : : : ; ap ; : : : ), если она
сходится к a покомпонентно и существует такое N , что при всех n N ap ; a(pn) 2 Zp .
Группа аделей A, будучи локально компактной, имеет
Z инвариантную меру, которую обозначим через da. Эта мера будет нормирована условием da = 1, где F | компактное множество
F
аделей a = (a1 ; a2 ; : : : ; ap ; : : : ) таких, что 0 a1 1, ap 2 Zp , p = 2; 3; : : : Если '(a) | суммируемая на A функция вида '(a) = '1 (a1 )'2 (a2 ) : : : 'p (ap ) : : : , то
Z
Z
Z
Z
'(a)da = '1 (a1 )da1 '2 (a2 )da2 : : : 'p (ap )dap : : : ;
1
всех, за исключением конечного числа
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований
(грант Є 99-01-00467).
31
где dap | меры на Qp , p = 1; 2; 3; : : : (Q1 R), нормированные условиями
Z1
Z
da1 = 1;
dap = 1; p 6= 1:
Zp
0
Поле рациональных чисел изоморфно вкладывается в кольцо аделей A. Каждому рациональному числу r соответствует последовательность (r; r; : : : ; r; : : : ). Такие последовательности
являются аделями (т. к. для всех rQ 6= 0 выполнено jrjp = 1 для почти всех p). Их называют
главными аделями. Заметим, что jrjp = 1 для r 2 Q (Q = Q n f0g). Здесь произведение
p
берется по всем простым p и p = 1, jrj1 | абсолютное значение числа r. Кольцо главных аделей дискретно в A. Фундаментальная область аддитивной группы A относительно подгруппы
главных аделей есть F . Таким образом,
G
A = Ar ;
(1)
r 2Q
где Ar = fa 2 A : a = r + x; x 2 F g, а значок t означает объединение непересекающихся
множеств. Заметим, что для \усеченных" аделей
A0 = f(a2 ; a3 ; a5; : : : ) : ap 2 Qp; причем ap 2 Zp для почти всех pg
имеет место следующее представление
G
A0 =
fa 2 A0 : a = r + x; x 2 F 0g;
(2)
r2Q\[0;1)
где F 0 = fa 2 A0 : ap 2 Zp ; p = 2; 3; : : : g.
Обозначим через fap gp дробную часть p-адического числа. Она является обычным рациональным числом и определяется следующим образом: если
1
X
ap = ci pi ; ci 2 f0; : : : ; p ; 1g;
i=m
то fap gp =
;1
P
i=m
ci pi . Пусть Dp = fd 2 Qp : fdgp = dg. Имеет место разложение
Qp =
G
d2Dp
d; d = fap 2 Qp : ap = d + x; x 2 Zp g:
Более того, если S | \p-адическая сфера" радиуса p , 2 Z : S = fx 2 Qp : jxjp = p g, то при
> 0 справедливо разложение
G
S =
d:
(3)
d2Dp ; jdjp =p
Пусть D = fa 2 A0 : ap 2 Dp , причем ap = 0 для почти всех pg. Отображение
X (a2 ; a3 ; : : : ) ! r =
ap mod 1
p=2;3;:::
является взаимно однозначным отображением из D на рациональные числа из интервала [0; 1).
Обратное отображение задается формулой ap = frgp . Таким образом, разложение (2) можно
переписать в виде
G
(4)
A0 = fa 2 A0 : a = d + x; x 2 F 0 g:
d2D
32
Кольцо аделей является самодуальным кольцом, т. е. любой аддитивный характер на кольце
аделей имеет вид (ax), где a 2 A, и
Y
(a) = 1 (a1 )
p(ap ); 1 (a1 ) = e;2ia1 ; p (ap ) = e2ifap g :
p=2;3;:::
Заметим, что
(r) = 1; если r 2 Q:
(5)
Также будем использовать инвариантность индикатора Zp относительно преобразования Фурье в Qp
(
Z
p(kx)dx = 1; если k 2 Zp ;
(6)
0; если k 2= Zp :
Zp
3. \Адельное" доказательство адельной формулы. Пусть B = (bi;j ) | невырожденная
матрица размерности n n, все элементы которой | рациональные числа. Обозначим через
gp (B ), p = 2; 3; : : : , \несобственный" гауссов интеграл по Qnp
X
Z
n
q
gp (B ) = j2n det B jp Nlim
b
x
x
p
i;j i j dx1 : : : dxn :
!1
x2Qnp :jxi jp N
i;j =1
Через
аналогичный вещественный интеграл, равный, как известно, ((1 ;
p g1(B ) обозначим
p
i)= 2)l ((1 + i)= 2)k , где l и k | соответственно положительный и отрицательный индексы
инерции матрицы1 B . В [1] был доказан одномерный вариант следующей теоремы.
QТеорема 1. Все интегралы gp (B ), p = 1; 2; 3; : : : , существуют, и их произведение g1 (B ) gp (B ) равно единице.
p=2;3;:::
n
P
Квадратичную форму
bi;j xi xj можно с помощью линейного преобразования x = Cy (C =
i;j =1
(ci;j )ni;j=1 , ci;j 2 Q) привести к диагональному виду, и при этом для меры Хаара в Qp , p = 2; 3; : : : ,
справедлива обычная формула замены переменных dx1 : : : dxn = j det C jp dy1 : : : dyn . Поэтому
теорему 1 достаточно доказать лишь в одномерном случае. Более того, если B b 2 Q имеет
вид s=q, s; q 2 Z , то заменой переменных x = qy доказательство теоремы сводится к случаю
b 2 Z , b 6= 0.
Основная идея \адельного" доказательстваZзаключается в следующем утверждении.
X
Лемма. Пусть b 2 Z , b 6= 0. Тогда ряд
(bx2 )dx абсолютно сходится и равен единиr2Q Ar
це.
Q
В силу равенств (1) и j2n bjp = 1 этот результат можно интерпретировать как тот факт, что
p
гауссов \интеграл по A" равен единице.
Доказательство леммы. В силу равенства (5) имеем
Z
Z
Z
(bx2)dx = (br2 + 2brx + bx2)dx = (2brx + bx2 )dx:
Ar
F
Положим 2br = r0 . Искомый ряд можно переписать в виде
XZ
r0 2Q 0
1
1 (bx2 + r0 x)dx
Y Z
p=2;3;::: Zp
F
p (bx2 + r0 x)dx:
1 Здесь и далее в п. 4 инварианты квадратичной формы P bi;j xi xj
i;j
от матрицы
B.
33
рассматриваются как функционалы
Так как b 2 Zp , с учетом (6) имеем
(
0
Y Z
Y Z
2
0
0
p(bx + r x)dx =
p (r x)dx = 1; если r0 2 Z ;
0; если r 2 Q n Z:
p=2;3;::: Zp
p=2;3;::: Zp
Таким образом, искомый ряд совпадает с
XZ1
1(bx2 + r0 x)dx
r0 2Z 0
| суммой коэффициентов Фурье функции e;2ibx2 .
Доказательство теоремы (одномерный случай, b 2 Z , b 6= 0). Докажем сначала, что
для интегралов Gp(b) = j2bj;p 1=2 gp (b) выполнено
Z
Gp(b) =
p (bx2 )dx:
(7)
x2Qp :jxjpj2bj;p 1
В частности, при p > jbj1
Gp(b) =
Z
x2Zp
p (bx2 )dx =
Z
x2Zp
dx = 1:
(8)
Отсюда следует существование интегралов gp (b) для всех простых p и их произведения
Y
Y
g(b) =
gp (b) = j2bj;11=2
Gp (b):
p=2;3;:::
p=2;3;:::
В силу (3) для доказательства (7) достаточно доказать, что
Z
p (bx2)dx = 0; если d 2 Dp ; jdj > j2bj;p 1 :
x2
d
Это равенство следует из (6):
Z
x2
d
p(bx2 )dx = p (bd2 )
Z
x2Zp
(9)
p (2bdx)dx = 0:
Представим теперь произведение g(b) в виде суммы интегралов по элементарным областям. В
силу (7){(9) имеем
XZ
Y
;
1
=
2
g(b) = j2bj1
p (bx2 )da:
0
0
d2D a2A :a=d+x; x2F p=2;3;:::
Ввиду эквивалентности разложений (2) и (4) последнее равенство можно переписать как
X Z
Y
;
1
=
2
g(b) = j2bj1
p (bx2 )da:
0
0
r2Q\[0;1) a2A :a=r+x; x2F p=2;3;:::
Несобственный интеграл g1 (b) можно представить в виде ряда
q
X r+Zk+1
g1 (b) = j2bj1
1(bx2 )dx;
k2Z r+k
где r | любое рациональное число из интервала [0; 1). Получаем
XZ
g(b)g1 (b) =
(bx2 )dx:
r2Q Ar
Таким образом, утверждение теоремы сводится к утверждению леммы. 34
4. Арифметика гауссовых интегралов. Пусть c 2 Z . Символ Лежандра (c=p) определяется следующим образом:
8
>;1; если уравнение x2 = c mod p не имеет решения x 2 Z ;
c >
<
0; если c = 0 mod p;
p =>
>
: 1; если уравнение x2 = a mod p имеет ненулевое решение x 2 Z:
Пусть p-адическое число b 2 Qp представимо в виде1
1
X
b = ci pi; ci 2 f0; : : : ; p ; 1g; cm 6= 0:
i=m
Для одномерного гауссова интеграла в Qp имеет место формула gp (b) = p (b) ([1], [3]), где
8
>
если m четное;
>
<1;
p (b) = >(cm =p); если m нечетное, p 1 mod 4;
>
:(cm =p)i; если m нечетное, p 3 mod 4;
при p 6= 2, и
81
>
>
если m четное;
< p2 (1 + (;1)cm+1 i);
2(b) = > 1
>
: p (1 + i)icm+1 (;1)cm+2 ; если m нечетное:
2
p
Напомним, что g1 (b) = 1 (b), где 1 (b) = (1 ; sign(b)i)= 2. Для всех p = 1; 2; 3; : : :
p (bc2 ) = p (b);
(10)
p (b)p (;b) = 1:
(11)
Функция p (b) связана с символом Гильберта. По определению символ Гильберта (b; b0 )p ,
p = 1; 2; 3; : : : , b; b0 2 Qp, равен 1 или ;1 в зависимости от того, представляет форма bx2 +b0 y2 ;z2
число 0 в поле Qp или нет. Легко проверить справедливость соотношения (см. [1]):
p (b)p (b0 ) = (b; b0 )p p (bb0 ); b; b0 2 Qp :
(12)
Соотношение (12) вместе с формулой произведения (законом взаимности) для символа Гильберта [4]
Y
(b; b0 )1
(b; b0 )p = 1; b; b0 2 Q
(13)
p=2;3;:::
позволяют дать простое арифметическое доказательство формулы
Y
1(b)
p (b) = 1; b 2 Q :
p=2;3;:::
(14)
Действительно, в силу (10), (11) достаточно рассмотреть случай, когда b | натуральное число,
Qn
представимое в виде произведения pi различных простых чисел pi . Многократно используя
i=1
(12), получаем
n
Y
Y
p (b) = p (pi ) (pi ; pj )p :
(15)
i=1
i<j
Таким образом, тождество (13) позволяет свести доказательство формулы (14) к случаю, когда
b | простое число. Тогда тождество (14) следует из определения функции p.
1 Здесь Q = Qp n f0g. Этим же символом будем обозначать мультипликативную группу поля Qp .
p
35
Обсудим, наконец, выражение для гауссовых интегралов gp (B ), p = 2; 3; : : : , через инварианты квадратичной формы. Такими инвариантами являются disc B | дискриминант матрицы
B (det B , определенный с точностью до умножения на квадрат ненулевого элемента из Qp ) и
инвариант Хассе |
Y
"(B ) = (ci ; cj )p ;
i<j
n
P
n
P
где ci x2i | диагональная квадратичная форма, эквивалентная форме
bi;j xi xj [4]. В силу
i=1
i;j =1
(10) можно считать, что функция p определена на факторгруппе Qp =Qp2 .
Теорема 2. Имеет место формула gp (B ) = "(B )p (disc B ).
Доказательство. Имеем
n
Y
Y
gp (B ) = p (ci ) = p (c1 cn ) (ci ; cj )p :
i=1
i<j
Последнее равенство доказывается аналогично равенству (15). Таким образом, gp (B ) =
p(det B )"(B ).
Литература
1. Владимиров В.С., Волович И.В., Зеленов Е.И. p-адический анализ и математическая физика.
{ М.: Наука, 1994. { 352 с.
2. Гельфанд И.М., Граев М.И., Пятецкий-Шапиро И.И. Теория представлений и автоморфные
функции. { М.: Наука, 1966. { 512 с.
3. Alacoque C., Ruelle Ph., Thiran E., Verstegen D., Weyers J. Quantum amplitudes on p-adic elds
// Phys. Lett. { 1988. { V. 211B. { P. 59{62.
4. Серр Ж.П. Курс арифметики. { М.: Мир, 1972. { 184 с.
Казанский государственный университет
Поступила
12.08.1996
36
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
176 Кб
Теги
интеграл, гауссовых, формула, адельной
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа