close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об аналитических свойствах рядов Дирихле коэффициенты которых являются конечнозначными мультипликативными и с ограниченной сумматорной функцией.

код для вставкиСкачать
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 13 Выпуск 2 (2012)
Труды IX Международной конференции
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения,
посвященной 80-летию профессора Мартина Давидовича
Гриндлингера
УДК 511.3
О ПОВЕДЕНИИ В КРИТИЧЕСКОЙ ПОЛОСЕ
РЯДОВ
ДИРИХЛЕ С КОНЕЧНОЗНАЧНЫМИ
МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ
И С ОГРАНИЧЕННОЙ СУММАТОРНОЙ
ФУНКЦИЕЙ
В. А. Матвеев, О. А. Матвеева (г. Саратов)
Аннотация
В работе рассматриваются вопросы, связанные с расположением нулей, ростом модуля вдоль мнимой оси, поведением при подходе к оси сходимости функций, заданных рядами Дирихле с конечнозначными мультипликативными коэффициентами и с ограниченной сумматорной функцией.
The subject of this work are various questions related to the location of
zeros, growth order along the imaginary line and behavior near the axis of
convergence of functions dened by Dirichlet series, whose coecients are
nite-valued and multiplicative, and whose summatory function is bounded.
Рассмотрим ряд Дирихле
f (s) =
?
?
h(n)
1
ns
,
s = ? + it,
(1)
где h(n) конечнозначная, мультипликативная функция натурального аргумента, для которой
?
S(x) =
h(n) = O(1).
n?x
О ПОВЕДЕНИИ В КРИТИЧЕСКОЙ ПОЛОСЕ РЯДОВ ДИРИХЛЕ. . .
В силу интегрального представления
? ?
S(x)
f (s) = s
dx,
xs+1
0
107
?>1
функция (1) аналитически продолжима регулярным образом в полуплоскость
? > 0.
1
О порядке роста модуля функции
f (s)
вдоль
мнимой оси
Для модуля функции f (s) имеет место следующее утверждение:
1.
Теорема
При 12 ? ? ? 1 имеет место оценка вида
|f (? + it)| = O(|t|1?? ln |t|),
|t| ? ?,
где константа не зависит от t.
Применяя формулу суммирования Абеля для функции
? ? ? 1, получаем следующее представление:
Доказательство.
f (s) в полосе
1
2
f (s) =
N
?
h(n)
n=1
Так как
ns
[
]
?
?
1
S(N )
1
?
+
S(n) s ?
.
(N + 1)s n=N +1
n
(n + 1)s
(2)
(
)
? n+1 1
du |s| 1
1
1
?
ns (n + 1)s = |s|
u1+s ? ? n? ? (n + 1)? ,
n
то в силу (2) получаем неравенство
N
?
1
|s|
|f (s)| ? C1
+ C2 (N + 1)?? + C3 (N + 1)?? .
?
n
?
n=1
Так как (см. [1]) при
1
2
???1
N
?
1
= O(N 1?? ln N ),
?
n
n=1
то в силу (3) окончательно получаем:
|f (s)| = O(|t|1?? ln |t|),
что и завершает доказательство теоремы 1.
1
? ? ? 1,
2
(3)
108
2
В. А. МАТВЕЕВ, О. А. МАТВЕЕВА
О нулях функции
f (s)
в полуплоскости
?>
1
2
При ? > 1 функцию f (s) можно представить в виде бесконечного произведения
?
h(p)
f (s) =
(1 ? s )?1
(4)
p
p
Отсюда получаем неравенство:
? ?
?
?
du
C2
1
1
? C1
=
<C
,
s
?
|f (s)|
n
u
1??
1
n=1
из которого следует, что f (s) не имеет нулей в полуплоскости ? > 1.
Рассуждения, приведјнные в работе [2], позволяют в нашем случае показать,
что в области
1
? >1? 9
ln (|t| + 2)
функция f (s) не имеет нулей.
Далее, рассмотрим логарифмическую производную функции (4):
f ? (s) ? h(n)?(n)
=
,
f (s)
ns
n=1
?
где ?(n) функция Мангольдта. Отсюда
f ? (s) ? h(p) ln p
=
+ f1 (s),
f (s)
ps
p
где f1 (s) функция, регулярная в полуплоскости ? > 12 .
Таким образом, область, в которой функция f (s) при ? >
совпадает с областью, где функция
f2 (s) =
1
2
не имеет нулей,
? h(p) ln p
p
ps
является регулярной.
Рассуждения, приведјнные в работе [2], показывают, что из отсутствия ну1
лей функции f (s) в области ? > 1 ? ln9 (|t|+2)
следует оценка вида
?
h(p) ln x = O(xe?C
?
9
ln x
)
(5)
p?x
Посредством суммирования по формуле Абеля получаем, что
?
?
h(p) ln p ? ln x
h(p).
p?x
p?x
(6)
О ПОВЕДЕНИИ В КРИТИЧЕСКОЙ ПОЛОСЕ РЯДОВ ДИРИХЛЕ. . .
Тогда из (5) и (6) получается, что
?
?
9
h(p) = O(x ln xe?C ln x ).
109
(7)
p?x
Из оценки (7) следует, что при любом m
( x )
?
h(p) = O
.
lnm x
p?x
Приведјм условие, при котором функция f (s) не имеет нулей в полуплоскости ? > 21 . Имеет место
Теорема
2.
Пусть верна оценка
?
1
h(p) = O(x 2 +? ),
? > 0,
x ? ?.
(8)
p?x
Тогда функция f (s) не имеет нулей в полуплоскости ? > 12 .
В случае, когда h(n) характер Дирихле, можно показать, что
условие (8) равносильно тому, что соответствующая L-функция не имеет нулей
в полуплоскости ? > 21 .
Доказательству теоремы 2 предшествует доказательство следующего утверждения.
?
?
an
Лемма 1.
, s = ? + it
ns
n=1
??
n
x 1
n=1 an x
Замечание.
Пусть ряд Дирихле
таков, что соответствующий степенной ряд
при стремлении к ведјт себя следующим
образом:
?
?
1
an xn = O((1 ? x) 2 +? ),
(9)
n=1
где ? произвольное положительное число.
Тогда ряд Дирихле аналитически продолжим регулярным образом в полуплоскость ? > 12 .
Запишем преобразование Меллина:
)
? ? (?
?
?
?
an
1
=
an e?nx xs?1 dx, ? > 1,
s
n
?(s) 0
n=1
n=1
Доказательство.
(10)
где ?(s) гамма-функция.
В силу оценки (9) интеграл, стоящий в правой части равенства (10) абсолютно сходится при любом s, для которого ? > 12 . Действительно, легко увидеть,
что оценка (9) равносильна оценке вида
?
?
n=1
an e?nx = O(x 2 +? ),
1
x?0+.
110
В. А. МАТВЕЕВ, О. А. МАТВЕЕВА
Таким образом, за счјт выражения ряда Дирихле через абсолютно сходящийся интеграл лемма доказана.
Доказательство теоремы 2. Пусть
{
h(p), n = p,
an =
0,
n ?= p.
?
?
Рассмотрим степенной ряд
an xn . Применяя пријм суммирования Абеля,
n=1
при x < 1 получим для него интегральное представление:
? ?
?
?
?
n
an .
an x = ? ln x
S(u)xu du, S(u) =
2
n=1
n?u
В силу оценки (8) отсюда получаем:
?
(
)
? ?
?
1
n
+?
u
an x = O | ln x|
u 2 x du
2
n=1
Запишем последний интеграл в виде
? ?
? (1?x)?1
?
1
1
+?
u
+?
u
u 2 x du =
u 2 x du +
2
?
1
u 2 +? xu du.
(1?x)?1
2
Применив к каждому интегралу формулу интегрирования по частям, получим оценку
(
[
])
1
?
? 12 +?
+?
?
2
1
(1
?
x)
(1
?
x)
an xn = O | ln x| (1 ? x)? 2 +? +
=
+
2
ln
x
ln
x
n=1
= O((1 ? x)? 2 +? ),
1
x ? 1 ? 0,
которая, в силу леммы 1, доказывает продолжимость ряда
? h(p)
p
ps
регулярным
образом в полуплоскость ? > 12 .
Таким образом, теорема 2 полностью доказана.
3
О поведении рядов Дирихле на границе сходимости и оценка сумматорных функций для
одного класса мультипликативных коэффициентов
Выясним, в каких случаях функция f (s), определјнная рядом Дирихле (1),
не может иметь полюсов на оси сходимости ? = 0. С этой целью рассмотрим
О ПОВЕДЕНИИ В КРИТИЧЕСКОЙ ПОЛОСЕ РЯДОВ ДИРИХЛЕ. . .
111
сумматорные функции вида
St (x) =
?
h(n)nit
(11)
n?x
и докажем следующее утверждение.
3 Пусть при некотором действительном t для сумматорной
функции вида (11) имеет место оценка
Теорема
.
(12)
St (x) = o(ln x).
Тогда точка s = it не может быть полюсом для функции f (s), заданной рядом
Дирихле (1).
Доказательство.
Пусть имеет место оценка (12). Тогда, по определению,
?? > 0 ?x0 = x0 (?) : ?x > x0
|St (x)| < ? ln x.
Рассмотрим функцию f1 (s) = f (s ? it). При ? > 1 эта функция задајтся
рядом Дирихле вида
?
?
nit
f1 (s) =
h(n) s .
n
n=1
Применяя к этому ряду метод суммирования Абеля, получим при ? > 0:
? ?
f1 (s) = ?
St (x)x???1 dx.
0
Отсюда следует оценка вида:
? x0
? ?
???1
|f1 (s)| < ?
|St (x)|x
dx + ?
|St (x)|x???1 dx ?
0
x0
?
ln x ? ? ? ?1
x 2 dx ?
? ?C1 + ?? sup ?
x?x0 x 2
x0
4
C2
? ?C1 + ??
,
? ? ?
2
?
?2x
0
где константа C2 не зависит от ? и ?. Здесь мы воспользовались тем фактом,
что sup ln?2x достигается в такой точке x1 , что ln x1 = ?2 .
x>1 x
Последняя оценка и доказывает утверждение теоремы 3.
Как следствие теоремы 3 получем следующий результат.
4 Пусть для некоторого действительного t для сумматорной
функции вида (11) имеет место оценка
Теорема
.
St (x) = O(1),
(13)
112
В. А. МАТВЕЕВ, О. А. МАТВЕЕВА
где константа в правой части не зависит от x.
Тогда при всех ? > 0 имеет место оценка
f (? + it) = O(1),
где константа не зависит от ?.
Выясним, в каких случаях имеет место оценка (13). С этой целью рассмотрим ряд Дирихле
?
?
S(n) 1
(14)
f1 (s) =
· s , ? > 1,
n
n
n=1
?
где S(n) =
h(n).
n?x
Этот ряд сходится абсолютно при ? > 0, и прямая ? = 0 является его осью
сходимости. Для таких рядов имеет место
5 Пусть ряд Дирихле (14) определяет функцию, регулярную на
границе прямоугольника {s = ? + it ? C | 0 ? ? ? 1,?t1 ? t ? t2}. Тогда для
любого t ? [t1, t2] для сумматорной функции St(x) = h(n)n?it имеет место
n?x
оценка
Теорема
.
St (x) = O(1),
где константа зависит только от t1 и t2.
Запишем равенство, полученное в результате применения формулы суммирования Абеля:
Доказательство.
?
???it
h(n)n
=
N
?1
?
S(n)[n???it ? (n + 1)???it ] + S(N )N ???it .
n=1
n?N
Перейдјм в этом равенстве к пределу при ? ? 0. Получим:
?
h(n)n
?it
=
N
?1
?
S(n)[n?it ? (n + 1)?it ] + O(1),
(15)
n=1
n?N
где константа не зависит от ? и t.
Воспользуемся оценкой, доказанной в работе [1],:
n?it ? (n ? 1)?it + itn?(1+it) = O(
1
).
n2
Из этой оценки и из равенства (15) следует, что
?
n?N
h(n)n
?it
=
N
?1
?
k=1
S(n)
it
n1+it
+ O(1),
(16)
О ПОВЕДЕНИИ В КРИТИЧЕСКОЙ ПОЛОСЕ РЯДОВ ДИРИХЛЕ. . .
113
где константа не зависит от N и t.
Исходя из условий теоремы, оценим сумму
N
?
S(n)
n=1
Обозначим an =
S(n)
n
it
n1+it
.
и запишем ряд Дирихле (14) в виде
f1 (s) =
?
?
an n?s ,
? > 0.
n=1
При каждом s = ? + it, ? > 0 имеем:
N +p
N
?
?
?s ?s
an n = lim an n .
f1 (s) ?
p?? n=1
n=N +1
Дальнейшие рассуждения в какой-то степени повторяют рассуждения, приведјнные в [3] на стр. 141143 при доказательстве теоремы Рисса о сходимости
ряда Дирихле ы точках регулярности на оси сходимости.
Рассмотрим прямоугольник ?? ? ? ? ?, t1 ? t ? t2 , в котором функция
вида (14) регулярна.
Рассмотрим ещј функцию
?
?
S(n) 1
f1,?0 (s) =
· , где ? ? 2?0 > 0.
n1+?0 ns
n=1
Эта функция регулярна в прямоугольнике
??1 ? ? ? ?1 , t1 ? t ? t2 ,
Далее, рассмотрим функцию
где ?1 = ? ? ?0 .
]
q
?
1
S(n)
gq (s) = q s (s ? it1 )(s ? it2 ) f1,?0 (s) ?
· s .
1+?0
n
n
n=1
(17)
[
(18)
Покажем, что на сторонах прямоугольника (17) функция gq (s) равномерно по
s стремится к нулю при q ? ?.
Пусть ? > 0. Имеем
p
q
?
?
S(n) 1
S(n) 1
·
=
lim
· s.
f1,?0 (s) ?
1+?0
s
1+?0
p??
n
n
n
n
n=q+1
n=1
Обозначим an =
Абеля имеем:
h(n)
, A(n)
n1+?0
p
?
n=q+1
an n
?s
=
= aq+1 + . . . + an . Тогда по формуле суммирования
p?1
?
n=q+1
A(n)(n?s ? (n + 1)?s ) + A(p)p?s .
114
В. А. МАТВЕЕВ, О. А. МАТВЕЕВА
Так как при достаточно больших q выполняется |A(n)| < ?, и так как
|n
?s
?
? (n + 1) | = s
n+1
?s
?s?1
u
n
|s|
du ? (n?? ? (n + 1)?? ),
?
то при q ? q0 получаем:
p
?
|s|
?s an n < ? (q + 1)?? ,
?
n=q+1
и
q
?
|s|
an n?s < ? q ?s .
f1,?0 (s) ?
?
(19)
n=1
В силу оценки (19) при ? > 0 и q ? q0
|gq (s)| ? ?
|s ? it1 ||s ? it2 ||s|
.
?
На стороне ? = ?1 , t1 ? t ? t2 отношение
|s|
?
ограничено, и, следовательно,
|gq (s)| < ?C,
где C не зависит от q и ?.
На верхней стороне 0 ? ? ? ?1 , t = t2
|s ? it2 |
= 1.
?
Аналогично обстоит дело и на нижней стороне.
Таким образом, на всјм контуре при ? > 0, q ? q0
|gq (s)| < ?C1 ,
где константа C1 не зависит от q и ?.
Пусть теперь ? < 0. Возьмјм достаточно большое натуральное число p. В
нашем прямоугольнике выполняется неравнство:
p?1
q
q
?
?
?
?s
?s ?s an n ?
an n ?
an n = f1,?0 (s) ?
f1,?0 (s) ?
n=1
n=p
n=1
q
?
?s an n ,
?M +
n=p
где константа M зависит от p.
О ПОВЕДЕНИИ В КРИТИЧЕСКОЙ ПОЛОСЕ РЯДОВ ДИРИХЛЕ. . .
Так как
q
?
n=p
?s
an n
=
q?1
?
115
A(n)(n?s ? (n + 1)?s ) + A(q)q ?s ,
n=p
где |A(n)| < ? при выбранном p, то
q
?
|s|
?s an n ? 2? q ?? .
|?|
n=p
Таким образом, для функции gq (s) вида (18) получаем оценку:
|gq (s)| ? |s ? it1 ||s ? it2 |M q ? + 2?
|s ? it1 ||s ? it2 |
.
|?|
Первое слагаемое в правой части неравенства мало, когда q значительно больше
p; второе слагаемое меньше, чем ?C2 , на сторонах прямоугольника при ? < 0,
где C2 некоторая константа, не зависящая ни от q , ни от ?. Следовательно,
на сторонах прямоугольника при больших q выполняется
|gq (s)| < C3 ?,
где C3 не зависит от q .
Это неравенство будет выполнено и внутри прямоугольника, в частности,
на интервале ? = 0, t1 ? t ? t2 . Но на этом интервале оно имеет вид
q
?
|t ? t1 ||t ? t2 | f1,?0 (it) ?
an n?it < C3 ?.
n=1
Отсюда видно, что на меньшем отрезке t?1 ? t ? t?2 , где t?1 > t1 , t?2 < t2 , равномерно имеет место предел:
lim
q??
или
q
?
an n?it = f1,?0 (it),
n=1
q
?
S(n)n?it
lim
q??
n=1
n1+?0
= f1 (?0 + it),
где f1 функция вида (14).
Так как на интервале t?1 ? t ? t?2 равномерно
lim f1 (?0 + it) = f1 (it),
?0 ?0
то в силу (20) имеем оценку
q
?
S(n)
n=1
n
n?it = O(1),
(20)
116
В. А. МАТВЕЕВ, О. А. МАТВЕЕВА
где константа не зависит от t, что в силу оценки (16) и завершает доказательство
теоремы 5.
Пусть h(n) обобщјнный характер в смысле работы [4],?то есть, конечнозначная мультипликативная функция, для которой S(x) =
h(n) = O(1), а
n?x
также h(p) ?= 0 почти для всех простых p.
Ясно, что условие регулярности функции f1 (s) =
носильно условию регулярности функции f (s) =
?
?
n=1
?
?
n=1
S(n)
ns
S(n) 1
n ns
на оси ? = 0 рав-
на оси ? = 1. Поэтому
представляет интерес выфснить поведение этой функции на оси ? = 1.
Отметим, что в случае характера Дирихле последнее имеет место, и, как
следствие теоремы 5, получается следующее утверждение.
6 Пусть h(n) характер Дирихле. Тогда для любого t, |t| < T
имеет место оценка
?
Теорема
.
h(n)nit = O(1),
n?x
где константа зависит только от величины T .
Способом, отличным от нашего, утверждение теоремы 6 доказано в работе [5].
Замечание.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Воронин С. М., Карацуба А. А. Дзета-функция Римана. М.: Физматлит, 1994
[2] Гельфонд О. А. Об арифметическом эквиваленте аналитичности L-ряда Дирихле на прямой Re s = 1 // Избранные труды. М.: Изд-во Наука, 1973. С.
310328.
[3] Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент. М.: Наука, 1976.
[4] Чудаков Н. Г., Родосский К.А. Об обобщјнном характере. ДАН СССР, 1950.
Т. 73.
[5] Чудаков Н. Г., Бредихин Б. М. Применение равенства Парсеваля для оценок
сумматорных функций характеров числовых полугрупп // УМН. 1956. Т. 8.
С. 347360.
Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского.
Получено 17.05.2012
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа