close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об аналогах теоремы Бореля для пространств ультрадифференцируемых функций нормального типа.

код для вставкиСкачать
2003
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 8 (495)
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 517.28:517.518
Д.А.АБАНИНА
ОБ АНАЛОГАХ ТЕОРЕМЫ БОРЕЛЯ ДЛЯ ПРОСТРАНСТВ
УЛЬТРАДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ НОРМАЛЬНОГО ТИПА
В соответствии с известной теоремой Э. Бореля [1] для любой последовательности (xn )1
n=0
вещественных или комплексных чисел найдется такая бесконечно дифференцируемая на R
функция f , что f (n)(0) = xn при всех n 2 N 0 (многомерный ее вариант имеется, например,
в ([2], с. 34{35)). Вслед за этой работой многие авторы [3]{[11] исследовали аналогичную задачу
при различных априорных ограничениях на естественным образом согласованный между собой
рост функции f и последовательности (xn )1
n=0 . В частности, в [8] и [10] она была изучена для
пространств Берлинга и Румье ультрадифференцируемых функций, задаваемых в рамках подхода Берлинга{Бьорка с помощью весовой ;функции
!. Фактически эти пространства задаются
1
1
1
весовыми последовательностями (n!)n=1 и n ! n=1 соответственно и представляют два предельных случая: минимальный (Берлинга) и максимальный (Румье). В [8], [10] доказано, что аналог
)
теоремы Бореля для них справедлив тогда и только тогда, когда lim sup !!(Kt
< K при не(t)
t!1
котором K > 1. Заметим, что пространства типа Румье при !(t) = t1= совпадают с хорошо
известными классами Жевре порядка > 1, для которых указанный аналог имеет место (это
было известно и раньше [4], [5]).
В данной статье получен критерий справедливости аналога теоремы Бореля для пространств
ультрадифференцируемых функций нормального типа, задаваемых с помощью весовых после1
довательностей вида (qn !)1
n=1 , где (qn )n=1 , возрастая или убывая, стремится к q 2 (0; 1).
2. Непрерывная неубывающая функция ! : [0; 1) ! [0; 1) называется весовой [10], если она
удовлетворяет следующим условиям:
() существует M > 0 такое, что !(x + y) M (!(x) + !(y) + 1) при всех x; y 0;
R1 !(t)
( ) 1+
t2 dt < 1;
0
( ) ln t = o(!(t)) при t ! 1;
() '! (x) = !(ex ) выпукла на [0; 1):
Как обычно, '! (y) := supfxy ; '! (x) j x 0g | функция, двойственная по Юнгу с '! .
Для функции f 2 C 1 (RN ) и чисел s; p 2 (0; 1) положим
jf j!;s;p := supN sup jf ()(x)j exp ; ; s'! (jj=s);
1.
2N0 kxkp
j
где f () := @x1 @1 :::@xf NN , = (1 ; : : : ; N ), jj = 1 + + N и kxk = maxfjxi j 1 i N g для
любого x = (x1 ; : : : ; xN ) 2 RN . Пусть далее
E!;s;p(RN ) := ff 2 C 1(RN ) : jf j!;s;p < 1g:
j
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований,
проект 02-01-00372.
63
Для q 2 (0; 1] и q 2 [0; 1) определим соответственно пространства
E q! (RN ) :=
( )
\
\
p>0 0<s<q
E!;s;p(RN ) и Efq!g(RN ) :=
\ [
p>0 s>q
E!;s;p(RN ):
При этом E(1!) (RN ) называют пространством Берлинга ультрадифференцируемых функций, а
Ef0!g(RN ) | Румье. При q 2 (0; 1) E(q!)(RN ) и Efq!g(RN ) естественно называть пространствами
Берлинга и Румье нормального типа.
Обозначим через : f 7;! (f () (0))2NN0 отображение сужения, действующее из C 1 (RN ) в
пространство всех последовательностей комплексных чисел.
Для d = (d )2NN0 2 и s 2 (0; 1) положим
kdk!;s := supN jd j exp ; ; s'! (jj=s)
2N0
и определим следующие пространства последовательностей:
E q! :=
\
( )
<s<q
0
E!;s
E!;s := fd 2 kdk!;s < 1g;
[
для q 2 (0; 1] и Efq!g := E!;s для q 2 [0; 1):
s>q
Очевидно, что при всех допустимых q оператор сужения действует из Eq (RN ) в Eq (здесь
и далее обозначает (!) или f!g). Как уже отмечалось в п. 1, в [8] и [10] были установлены необходимые и достаточные условия на !, при которых операторы : E(1!) (RN ) ;! E(1!)
и : Ef0!g (RN ) ;! Ef0!g сюръективны (в этом случае говорят, что для соответствующего пространства ультрадифференцируемых функций справедлив аналог теоремы Бореля). Основной
результат данной статьи, формулируемый ниже, характеризует в том же отношении пространства нормального типа. Будем при этом предполагать, что весовая функция ! вместо условия
() удовлетворяет более жесткому требованию почти
полуаддитивности
сверху, т. е. для лю;
бого p > 1 имеется такое C > 0, что !(x + y) p !(x) + !(y) + C при всех x; y 0. Отметим,
что степени жесткости () и этого предположения в определенном смысле равносильны относительно рассматриваемых пространств | максимального или минимального и соответственно
нормального типов.
Теорема. Пусть ! | почти полуаддитивная сверху весовая функция. Следующие утверждения эквивалентны :
(i) аналог теоремы Бореля справедлив для всех пространств E(q!) (RN ) и Efq!g (RN ), q 2 (0; 1);
(ii) аналог теоремы Бореля справедлив хотя бы для одного из пространств E(q!) (RN ) или
Efq!g(RN ), q 2 (0; 1);
!(t)
(iii) ! | медленно меняющаяся функция, т. е. tlim
!1 !(t) = 1 для любого или (что в исследуемом случае одно и то же) для некоторого > 1.
Примерами полуаддитивных сверху весов, удовлетворяющих (iii), а значит, и (i), являются
!(t) = ln (1+ t), > 1, а не удовлетворяющих | !(t) = t1= , > 1. Последнее означает, что для
пространств Жевре порядка и нормального типа аналог теоремы Бореля места не имеет.
Схема доказательства теоремы проводится методом, разработанным в [8] для пространств
минимального и максимального типов. Суть этого метода заключается в переходе к двойственной задаче, которая формулируется в терминах целых в C N функций, и ее исследовании. Остановимся кратко на ключевых моментах доказательства, которые имеют существенное отличие
от [8] и могут быть полезны в других вопросах.
64
Использовав выпуклость '! , сначала устанавливаем, что всякая весовая функция ! обладает свойствами
lim lim sup !!((rtt)) = 1;
(1)
r&1 t!1
!(y=t) + !(yt) 2!(y) для всех y 1 и t 2 [1; y];
(2)
'! (x) ; r'! (x=r)
lim
= 1 для всех r > 1 и 2 (0; 1):
(3)
x!1
x
Далее, с помощью (1), (2) доказывается, что условие (iii) теоремы равносильно каждому из
следующих двух:
R1
jyj
!(jtj)
(iii1 ) (x;ylim
)!1 ! (jx + iy j)
(t ; x)2 + y2 dt = 1;
y6=0
R1 ! (rt)
;1
2
(iii2 ) rlim
!1 !(r) 0 t2 + 1 dt = 1.
Именно, сначала показываем, что из (iii) следует
4 Z 1 !(yt) dt = 1:
lim
(4)
y!1 ! (y ) 1 t2 + 1
Затем с помощью простых оценок получаем при y 6= 0
Z 1 ;
! (jxj + jyj)t
j
yj Z 1
!(jtj)
1
2
P! (x + iy) :=
dt !(jxj + jyj) +
dt:
;1 (t ; x)2 + y2
2
1
t2 + 1
Как известно, гармоническое продолжение P! (x + iy) функции !(x) с вещественной оси в верхнюю (равно, как и в нижнюю) полуплоскость удовлетворяет неравенству P! (x + iy) !(jx + iyj)
для всех (x; y) 2 R2 c y 6= 0. Поэтому, заменив в (4) y на jxj + jyj, имеем
lim P! (x + iy) = 1:
(x;y )!1 ! (jxj + jy j)
y6=0
!(jxj + jyj)
В силу (iii) (x;ylim
= 1. Из двух предыдущих равенств вытекает (iii1 ). Импликация
)!1 ! (jx + iy j)
(iii1 ) ) (iii2 ) тривиальна, а (iii2 ) ) (iii) доказывается следующим образом. На основании
свойств (1), (2) весовых функций устанавливается, что (iii2 ) влечет
lim !(y=2)!(+y)!(2y) = 2:
y!1
Обозначим b := lim sup !!(2(yy)) . Так как
y!1
!(y=2) + !(2y)
2)
2 = ylim
lim
inf !!(y=
sup !!(2(yy)) = 1b + b;
!1
y!1
! (y )
(y) + limy!1
!(2y)
то b = 1. Тогда ylim
!1 !(y) = 1 в силу неубывания ! и, очевидно, ! | медленно меняющаяся
функция.
Таким образом, остается проверить справедливость импликаций (iii1 ) ) (i) и (ii) ) (iii2 )
(ясно, что (i) ) (ii)). Для этого при помощи аналога теоремы Пэли{Винера{Шварца ([12], теорема 3) вопрос о сюръективности операторов : Eq (RN ) ;! Eq , 0 < q < 1, переформулируется
в терминах целых в C N функций. При этом для реализации метода из [8] используются свойства
(1), (3) весовых функций. Далее, так же, как и в [8], применяя принцип Фрагмена{Линделефа,
65
устанавливаем, что (iii1 ) ) (i). Следует отметить, что здесь существенную роль играет использование условия (iii), равносильного (iii1 ), которое позволяет заменить двойственную задачу в
C N на новую задачу в C .
Наконец, импликация (ii) ) (iii2 ) доказывается при предположении о почти полуаддитивности сверху весовой функции ! с помощью построения специального семейства полиномов.
Литература
1. Borel E. Sur quelques points de la theorie des fonctions // Ann. Sci. Ec. Norm. Sup. { Ser. 3d .
1985. { V. 12. { P. 9{55.
2. Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях. { М.: Мир, 1971.
{ 232 с.
3. Carleson L. On universal moment problems // Math. Scand. { 1961. { V. 9. { P. 197{206.
4. Митягин Б.С. О бесконечно дифференцируемой функции с заданными значениями производных в точке // ДАН CCCP. { 1961. { Т. 138. { Є 2. { С. 289{292.
5. Джанашия Г.А. О задаче Карлемана для класса функций Жевре // ДАН CCCP. { 1962. {
Т. 145. { Є 2. { С. 259{262.
6. Ehrenpreis L. Fourier analysis in several complex variables. { New York: Wiley-Interscience Publ.,
1970. { 506 p.
7. Komatsu H. Ultradistributions II. The kernel theorem and ultradistributions with support in a
submanifold // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. Sec. IA . { 1977. { V. 24. { P. 607{628.
8. Meise R., Taylor B.A. Whitney's extension theorem for ultradierentiable functions of Beurling
type // Ark. Mat. { 1988. { V .26. { P. 265{287.
9. Petzsche H.-J. On E. Borel's theorem // Math. Ann. { 1988. { V. 282. { P. 292{313.
10. Bonet J., Meise R., Taylor B.A. Whitney's extension theorem for ultradierentiable functions of
Roumieu type // Proc. R. Ir. Acad. { 1989. { V. 89A. { P. 53{66.
11. Коробейник Ю.Ф. Об аналитических решениях проблемы Бореля // Матем. заметки. { 2000.
{ Т. 67. { С. 525{538.
12. Абанин А.В., Тищенко Е.С. Пространства ультрадифференцируемых функций и обобщение
теоремы Пэли{Винера{Шварца // Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки. { 1997. {
Є 2. { С. 5{8.
Ростовский государственный университет
66
Поступила
29.07.2002
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
9
Размер файла
159 Кб
Теги
типа, теорема, пространство, ультрадифференцируемые, аналогах, функции, нормальной, борели
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа