close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об асимптотических решениях систем линейных дифференциально-функциональных уравнений.

код для вставкиСкачать
Приволжский научный вестник
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 517.928
Н.А. Рашевский
канд. физ.-мат. наук, доцент, кафедра высшей математики,
Криворожский национальный университет, Украина
Н.В. Рашевская
канд. пед. наук, доцент, кафедра высшей математики,
Криворожский национальный университет, Украина
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Аннотация. Предложен способ построения частного решения линейной системы дифференциально-функциональных уравнений нейтрального типа при нарушении стабильности спектра.
Ключевые слова: асимптотическое решение, дифференциально-функциональные уравнения нейтрального типа, точка поворота.
N.A. Rashevsky, Kryvy Rih National University
N.V. Rashevskaya, Kryvy Rih National University
ON ASYMPTOTIC SOLUTIONS OF SYSTEMS OF LINEAR DIFFERENTIAL-FUNCTIONAL
EQUATIONS
Abstract. Method of construct of asymptotic solution of a linear system of differential-functional
equations of neutral type is offered.
Keywords: asymptotic solution, differential-functional equations of neutral type, turning point.
Актуальность задачи интегрирования дифференциально-функциональных
уравнений определяется их многочисленными приложениями. При построении решений обыкновенных дифференциальных уравнений возникает так называемая проблема точек поворота, которая для этих уравнений достаточно полно исследована. В настоящей работе строятся частные решения уравнений нейтрального типа при наличии
точки поворота.
Рассмотрим систему уравнений:
dx(τ , ε )
ε
= A(τ , ε )x(τ , ε ) + B(τ , ε )x(τ - ε∆)(τ ), ε ) + C (τ , ε )x ' (τ - ε∆(τ ), ε ) ,
(1)
dτ
где x(τ,ε) – искомый n – мерный вектор, A(τ,ε), B(τ,ε) и C(τ,ε) – n×n – матрицы, представим сходящимися рядами по степеням действительного малого параметра ε > 0:
A(τ , ε ) =
∞
∑ε
k =0
k
∞
Ak (τ ), B(τ , ε ) = ∑ ε k Bk (τ ), C (τ , ε ) =
k =0
∞
∑ε
k =0
k
Ck (τ )
(2)
при всех τ ∈ [0, L], L < ∞; ∆(τ) ≥ 0 – отклонение аргумента (ОА).
Частные решения системы (1) построены в [1] для простого и тождественно
кратного на [0, L] корня квазиполинома P(λ,τ) ≡ detG(λ,τ); G(τ, λ) ≡ A0(τ) –
λE + (B0(τ) + λC0(τ))exp{– ∆(τ)λ}.
Предполагается выполнение следующих условий:
10. Матрицы Ak(τ), Bk(τ), Ck(τ), и функция ∆(τ) бесконечно дифференцируемы на
отрезке [0, L]; k ≥ 0.
20. Корень λ = λ1(τ) квазиполинома P(λ,τ) бесконечно дифференцируем на отрезке [0, L].
№ 9 (25) – 2013
5
Приволжский научный вестник
Формальное решение системы (1) строим, как в [1], в виде
1 ι

x(τ , ε ) = u(τ , ε ) exp  ∫ λ (s )ds  ,
ε 0

где u(τ , ε ) =
∞
∑ε
k =0
k
(3)
uk (τ , ε ) и λ (s ) – соответственно векторная и скалярная функции, под-
лежащие определению. Для отыскания неизвестных функций подставим (3) в (1), и в
полученном тождестве
ε u ′(τ , ε ) = ( A(τ , ε ) − λ (τ )E ) u(τ , ε ) + (B(τ , ε ) + λ (τ − ε∆(τ ))C(τ , ε ))u(τ − ε∆(τ ), ε ) +
 τ −ε∆ (τ )

+ε C(τ , ε )u ′(τ − ε∆(τ ), ε )) exp  ε −1 ∫ λ (s )ds 
τ


приравняем, следуя работе [3], коэффициенты при степенях ε , предварительно представив формальными рядами по степеням ε функции:
∞
s
∞
( −∆(τ ))s − r d s −r ur (τ , ε )
(−∆(τ ))s d s λ (τ )
u(τ − ε∆(τ ), ε ) = ∑ ε s ∑
;
λ
(
τ
ε
(
τ
),
ε
)
;
−
∆
=
∑
s!
dτ s −r
dτ s
s =0
r =0 (s − r )!
s =0
1
exp 
ε

τ −ε∆ (τ )
∫
τ
cn +1 =

∞
λ (s )ds  = exp ( −∆(τ )λ (τ ) ) ∑ ε k c k ; c0 = 1, c1 =

k =0
∆2 d λ
,...,
2 dτ
1
( −∆(τ ))
d n −k +1λ (τ )
k
A
c
∑ n k n − k + 2 dτ n −k +1 , n = 0, 1, 2,...
(n + 1)! k =0
n
n−k + 2
Определим функцию λ(τ) как λ(τ) ≡ λ1(τ). Обозначив через G(τ) матрицу
G(λ1(τ), τ), с учетом (2) запишем полученную систему уравнений:
du (τ , ε )
G(τ )u0 (τ , ε ) = ε H (τ ) 0
,
dτ
du (τ , ε )
G(τ )u1(τ , ε ) = ε H (τ ) 1
+ F1(τ )u0 (τ , ε ),
dτ
du
d 2u0 (τ , ε )
du
G(τ )u2 (τ , ε ) = ε H (τ ) 2 + F1(τ )u1 + F2 (τ )u1 + F3 (τ ) 0 + F4 (τ )
,
dτ
dτ
dτ 2
dλ
∆2 dλ
где (аргумент τ опускаем) F1 = − A1 − [B1 + λ E − ∆
] exp ( −∆λ ) ,
C0 + (B0 + λC0
dτ
2 dτ
∂G(λ ,τ )
dλ 2
1 d 2λ
 dλ 
|λ =λ1 (τ ) , F2 = − A2 − [ B2 + λC2 − ∆
C1 +
C0 + ∆ 3 (B0 + λC0 ) + ∆ 
 −
2
∂λ
dτ
2! dτ
 dτ 
2
H (τ ) =
1 d 2λ
∆2 dλ
∆2 dλ
)
+
(
B
+
λ
C
)
)
exp(
−∆
λ
),
F
(
τ
)
=
B
+
λ
C
∆
−
C
+
λ
exp( −∆λ ),
[
]
2
1
3
1
1
1
3 dτ 2
2 dτ
2 dτ
∆2 dλ
F4 = { ∆ ⋅ C0 +
[B0 + λCo ) } exp(−∆λ ).
2 dτ
Таким образом, коэффициенты формального ряда (3) можно определить как частные решения системы уравнений вида
du (τ , ε )
ε H (τ ) k
= G(τ )uk (τ , ε ) + f (τ , ε ).
(4)
dτ
В работе [1] коэффициенты ряда (3) определялись из алгебраических уравнений вида G(τ)uk(τ)=f (τ), и функции uk(τ) зависели только от τ, но не от ε. Определяя же
−
6
№ 9 (25) – 2013
Приволжский научный вестник
слагаемые формального ряда (3) как решения (4), получаем зависимость вида uk(τ, ε),
на что было указано в работе [5]. Поскольку λ = λ1(τ), то detG(τ) ≡ 0. Согласно лемме 5.2 из [1, с. 171], на отрезке [0, L] выполняется неравенство:
n-k ≤ rankG(τ) < n-1,
а при сохранении постоянной кратности корнем λ = λ1(τ) квазиполинома P(λ,τ) ранг
матрицы G(τ) на всем отрезке остается постоянным. В изолированной точке τ0 ∈ [0, L]
изменения ранга G(τ) уравнение G(τ)u(k)(τ)=f (τ) в общем случае имеет разрывное решение. Изолированные точки, в которых изменяется rankG(τ) назовем точками поворота (ТП). В этих точках с изолированным корнем λ = λ1(τ) совпадает хотя бы один из
корней функции P(λ,τ), отличных от λ1(τ). Определению ТП удовлетворяют также изолированные точки, где ∆(τ) = 0, где счетное множество корней квазиполинома P(λ,τ)
становится множеством, содержащим не более n элементов.
Следующее утверждение не зависит от наличия или отсутствия ТП.
Теорема 1. Если выполнено условие 10, то система уравнений (1) на отрезке
[0, L] имеет формальное частное решение (3), которое соответствует корню λ = λ1(τ)
характеристического квазиполинома.
При отсутствии ТП условие 20 является следствием условия 10, при наличии
0
ТП 2 не всегда выполняется даже для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Решение системы (4) определяется [2] свойствами пучка матриц λH(τ) − G(τ).
Для формулировки некоторых утверждений, доказываемых методами [1, 2], потребуем
выполнения условий.
30. Существует неособенная матрица T(τ) такая, что
T –1H –1(τ)G(τ)T = Λ0(τ) = diag{w1(τ), w2(τ),…, wn(τ)},
где wn(τ) ≡ 0, wk(τ) = (τ-τ0)qvk(τ), wk(τ0) ≠ 0; 1 ≤ k ≤ n-1, vk(τ0) ≠ 0, q ≥ 1.
При условии 30 система (4) – почти диагональная [2] с ТП кратности q. Пусть
xm(τ,ε) – m-приближение [1, 2], полученное из (3).
40. Вектор xm(τ,ε) ≡ x(τ,ε) на начальном множестве E∆, где x(τ,ε) – точное решение системы (1).
50. Функция τ-ε∆(τ) строго возрастает на отрезке [0, L], причем ∆(τ) > 0.
60. Re(A0(τ)x(τ, ε), x(τ, ε)) ≤ 0.
Теорема 2. Если выполняются условия теоремы 1, а также условия 20 – 60, то
существуют не зависящие от ε константы cr, kr такие, что ∀t∈[(r-1)d, rd], где
1 ≤ r ≤ [L/εd], d = min∆(τ), выполняются неравенства
║x(τ,ε) - xm(τ,ε)║≤ crε γ(m, r, q), ║x′(τ,ε) - x′m(τ,ε)║≤ krεβ(m, r, q),
где γ(m, r, q) = m/(q+1) - r, β(m, r, q) = m/(q + 1) – r – 1.
В случае (отсутствия ТП) оценки теоремы 2 совпадают с оценками работы [1].
Порядки нулей функций wk(τ) могут быть различны: wk ( τ) = ( τ − τ 0 ) qk vk ( τ) . Тогда в приведенных оценках q = max qk . Слагаемые uk(τ, ε) ряда в случае почти диагональной
1≤ kn −1
системы (4) строятся многофазным методом [4].
Таким образом, в работе предложен способ построения частного асимптотического решения системы дифференциально-функциональных уравнений нейтрального
типа, устойчивый к наличию точек поворота.
№ 9 (25) – 2013
7
Приволжский научный вестник
Список литературы:
1. Асимптотические методы в теории линейных дифференциальных уравнений
с отклоняющимся аргументом / С.Ф. Фещенко, Н.И. Шкиль, Ю.П. Пидченко, Н.А. Сотниченко. – Киев: Наук. думка, 1981. – 296 с.
2. Шкиль Н.И. Асимптотическое интегрирование линейных систем дифференциальных уравнений с вырождениями / Н.И. Шкиль, И.И. Старун, В.П. Яковец. – Киев:
Выща шк., 1991. – 207 с.
3. Wasow W. On a Turning Point Problems for Systems with Almost Diagonal Coefficient Matrix // Funkc. Ekv. – 1966. – Vol. 8, № 3. – P. 143–171.
∂
4. Кучеренко В.В. Асимптотика решения системы A  x, − ih  u = 0 при h → 0 в
∂x 

случае характеристик переменной кратности // Известия АН СССР. Сер. Математическая. – 1974. – Т. 38, № 3. – C. 625–662.
5. Шкиль Н.И. О периодических решениях систем дифференциальных уравнений второго порядка // Arch. Math. (Brno). – 1987. – Vol. 23, № 1. – P. 53–2.
List of references:
1. Asymptotic methods in the theory of linear differential equations with delays / S.F.
Feshchenko, N.I. Shkil, Yu.P. Pidchenko, N.A. Sotnichenko. – Kiev: Nauk. Dumka, 1981. – 296 p.
2. Shkil N.I. Asymptotic integration of linear systems of differential equations with degeneracy
/ N.I. Shkil, I.I. Starun, V.P. Yakovets. – Kiev: Vyshcha Shk., 1991. – 207 p.
3. Wasow W. On a Turning Point Problems for Systems with Almost Diagonal Coefficient Matrix // Funkc. Ekv. – 1966. – Vol. 8, № 3. – P. 143–171.


4. Kucherenko V.V. Asymptotics of the solutions of the system A  x, − ih
∂
u = 0

∂x 
as h → 0
in the case of characteristics of variable multiplicity // Proceedings of the Academy of Sciences of the
USSR. Ser. Math. – 1974. – T. 38, № 3. – C. 625–662. .
5. Shkil N.I. On a periodic solutions of systems of second order differential equations // Arch.
Math. (Brno). – 1987. – Vol. 23, № 1. – P. 53–62.
8
№ 9 (25) – 2013
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
128 Кб
Теги
асимптотическое, функциональная, уравнения, дифференциальной, система, линейный, решения
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа