close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

ОБ ИНВАРИАНТНОСТИ КЛАССА 29.jpg ОТНОСИТЕЛЬНО ОПЕРАТОРА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ОПЕРАТОРА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

код для вставкиСкачать
УДК 517.5
ОБ ИНВАРИАНТНОСТИ КЛАССА Nα∞
ОТНОСИТЕЛЬНО ОПЕРАТОРА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ1
Ф.А. Шамоян, В.А. Беднаж
∞
В работе доказано, что класс Nα инвариантен относительно оператора дифференцирования при всех
α > 0.
Ключевые слова: голоморфные функции, единичный круг, мероморфные функции, характеристика
Р. Неванлинны, класс
Пусть
Nα∞ , оператор дифференцирования.
D = { z : z < 1} – единичный круг на комплексной плоскости, H ( D ) -
множество всех голоморфных в D функций, Μ ( D ) - множество всех мероморфных в D
функций, f ∈ Μ ( D ) . Характеристикой Р. Неванлинны функции
выражение
π
1
T ( r, f ) =
ln + f reiϕ dϕ + N ( r , f ) ,
2π −∫π
(
где
r ∈ ( 0,1) ,
r
N (r, f ) = ∫
n ( t , ∞ ) − n ( 0, ∞ )
t
0
последовательности полюсов функции
dt
называется
f
)
-
усредненная
считающая
f , n ( r , ∞ ) = {card bk , bk ≤ r} ,
функция
bk - полюса
функции f в D, n ( 0, ∞ ) - кратность полюса f в начале координат.
Не ограничивая общности, в дальнейшем всюду будем предполагать, что точка
z = 0 не является особой точкой функции f .
Для α > 0 определим N α∞ класс функций:


cf
;
0
≤
r
≤
1
Nα∞ =  f ∈ Μ ( D ) : T ( r , f ) ≤
.
α
(1 − r )


Хорошо известно, что класс Р. Неванлинны N = N 0∞ не инвариантен относительно
оператора дифференцирования. Гипотеза об инвариантности класса Р. Неванлинны
относительно оператора дифференцирования была выдвинута Р. Неванлинной в работе
(см.[5]). В дальнейшем О. Фростман в [3] и Л. Хан в [4] установили, что существуют
функции f ∈ N такие, что f ′∉ N .
Основным результатом статьи явлеются доказательство следующего утверждения:
Теорема. Класс Nα∞ при любых α > 0 инвариантен относительно оператора
дифференцирования.
Введем определение класса О. Бесова Bαp ,q :
Пусть 0 < α < +∞ , n = [α ] , s = α − n , тогда функция
 π ( n) i ( x + t )
α
− 2 f ( n ) eix + f ( n) ei ( x −t )
ψ ∈ Bp ,q ⇔ ∫  ∫ f
e
−π  −π
________________________
π
1
(
)
( )
(
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ:№09-01-97517
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
q
)
p
p
dt
 dx sq +1 < +∞ .
t

Для доказательства теоремы используем параметрическое представление класса Nα∞ ,
полученное в работе [6].
Теорема А. Пусть α > 0, β > α − 1 , тогда класс Nα∞ совпадает с классом
мероморфных в D функций, допускающих представление
π
ψ eiθ
λ
cλ z ⋅ Π β ( z , ak ) ⋅ exp ∫
dθ
β +2
− iθ
1
−
e
z
−π
,
(1)
f ( z) =
Π β ( z , bk )
где λ - неотрицательное целое число,
ψ ( eiθ ) - функция из класса О. Бесова B1,β∞−α +1 , то есть
( )
)
(
π
dt 
i (θ + t )
i (θ −t ) 
iθ
f
e
2
f
e
f
e
−
+

 dx < +∞ при 0 < β − α + 1 ≤ 2 ,
∫ t β −α +1  −∫π
−π

β
 2 +1 1 π

∞
1− ρ 2

z 
ρ eiθ
 (β )

Π β ( z , ak ) = ∏ 1 −  exp −
⋅ ln 1 −
ρ d ρ dθ  ,
+
2
β
∫
∫
− iθ
ak 
π
ak
k =1 
ak
0 −π 1 − ρ e


∞
∞
{ak }1 , {bk }1 - произвольные последовательности точек из D , удовлетворяющих
условиям
c1
,
n ( r ) = {card ak , ak ≤ r} ≤
α +1
(1 − r )
π
(
)
( )
(
)
(
(
)
)
n% ( r ) = {card bk , bk ≤ r} ≤
c2
(1 − r )
α +1
.
Обозначим Αα∞ - пространство аналитических функций из класса Nα∞ ,
т.е. Αα∞ = Nα∞ ∩ Η ( D ) .
Тогда очевидно, чтобы доказать теорему достаточно установить инвариантность
относительно оператора дифференцирования класса Αα∞ , α > 0 .
Лемма. Пусть
 p U j (z) 
h ( z ) = (1 − U ( z ) ) ⋅ exp  ∑
 , z ∈ D ,
j
j
=
1


где U ( z ) - голоморфная в D функция. Тогда справедливо равенство
 p U j (z) 
h ( z ) = −U ′ ( z ) ⋅U p ( z ) ⋅ exp  ∑
 , z ∈ D .
j
j
1
=


Доказательство. Имеем
 p U j ( z) 
h′ ( z ) = −U ′ ( z ) ⋅ exp  ∑
 +
 j =1 j 
 p U j ( z )  p j −1
+ (1 − U ( z ) ) ⋅ exp  ∑
 ⋅ ∑ U ( z ) ⋅ U ′ ( z ) =
 j =1 j  j =1
p
 p U j (z)  

j −1
= U ′ ( z ) ⋅ exp  ∑
 ⋅  −1 + (1 − U ( z ) ) ∑ U ( z )  =
j =1
 j =1 j  

j
p
p
 p U (z)  

j −1
j
= U ′ ( z ) ⋅ exp  ∑
 ⋅  −1 + 1 − U ( z ) + ∑ U ( z ) − ∑ U ( z )  =
j =2
j =2

 j =1 j  
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
 p U j ( z) 
p
= U ′ ( z ) ⋅ exp  ∑
 ⋅ −U ( z ) .
 j =1 j 
(
)
Лемма доказана.
Замечание. Когда U ( z ) = z , z ∈ D , аналогичная лемма доказана в работе (см.[2]).
Пусть теперь f - произвольная функция из пространства Αα∞ , α > 0 .
Теорема Б (см.[6]). Пусть α > 0, β > α − 1 , тогда класс Αα∞ совпадает с классом
голоморфных в D функций, допускающих представление
π
ψ eiθ
(2)
f ( z ) = Π β ( z , zk ) ⋅ exp ∫
dθ ,
β +2
− iθ
z
−π 1 − e
( )
)
(
где { z k }1 - произвольная последовательность точек из D , удовлетворяющих условию
∞
c
n(r) ≤
(1 − r )
α +1
( )
,
(3)
ψ eiθ - функция из класса О. Бесова B1,β∞−α +1 .
Для краткости обозначим
g (z) =
( )
∫ 1− e z
(
)
ψ eiθ
π
β +2
− iθ
−π
dθ .
В дальнейшем, не ограничивая общности, будем предполагать, что β = p достаточно
большое натуральное число.
Доказательство теоремы. Из равенства (2) следует, что
f ′ ( z ) = Π p ( z , zk ) ⋅ exp g ( z ) ⋅ g ′ ( z ) + Π ′p ( z , z k ) ⋅ exp g ( z ) = F1 ( z ) + F2 ( z ) ,
где
F1 ( z ) = Π p ( z , zk ) ⋅ exp g ( z ) ⋅ g ′ ( z ) ,
F2 ( z ) = Π ′p ( z , z k ) ⋅ exp g ( z ) .
Используя теорему А достаточно доказать, что функции g ′ ∈ Αα∞ и
Π ′p ( z , z k )
Π p ( z, zk )
∈ Nα∞ .
Сначала докажем, что F1 ∈ Αα∞ .
Поскольку
ln + F1 ( z ) ≤ ln + f ( z ) + ln + g ′ ( z ) ,
то достаточно оценить T ( g ′, r ) . Имеем
T ( g ′, r ) =
1
2π
π
∫ ln
+
(
)
g ′ reiϕ dϕ .
−π
Но очевидно, что
g′ ( z ) ≤ c ⋅
( )
π
ψ eiθ ⋅ e − iθ
−π
(1 − e z )
∫
− iθ
p +3
dθ ≤
c
(1 − z )
p +3
⋅
π
∫ ψ ( e ) dθ ≤ (1 − z )
iθ
−π
Поэтому,
T ( g ′, r ) ≤ c% ln
c1
, r ∈ ( 0,1) .
(1 − r )
Следовательно,
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
c1
p +3
.
T ( g ′, r ) ≤
c%1
(1 − r )
α
, r ∈ ( 0,1) .
Поэтому
1
2π
π
∫ ln
+
(
F1 re
)
iϕ
π
1
dϕ ≤
2π
∫ ln
+
(
)
f reiϕ dϕ +
c%1
−π
(1 − r )
≤
c2
.
(1 − r )
Π ′p ( z , zk )
Теперь докажем принадлежность классу Nα∞ функции G ( z ) =
, и тем
Π p ( z , zk )
самым докажем, что F2 ( z ) ∈ Αα∞ , поскольку F2 ( z ) = G ( z ) ⋅ Π p ( z , z k ) ⋅ exp g ( z ) .
−π
α
α
(4)
Вспомним теперь, что при β = p произведение Π p имеет вид
j
2
 p

 zk − z 
 1  1 − zk  
 =
Π p ( z , zk ) = ∏ z k 
 exp ∑ ⋅ 
k =1
 1 − zk ⋅ z 
 j =1 j  1 − zk ⋅ z  
j
2
2
 p

∞ 
1 − zk 
 1  1 − zk  
 exp ∑ ⋅ 
  , z ∈D.
= ∏ 1 −
 1 − zk ⋅ z 
k =1 
 j =1 j  1 − zk ⋅ z  

∞
Обозначим
j
2
 p

 1 − zk 2 
 1  1 − zk  
 exp ∑ ⋅ 
 ,
Ap ( z , zk ) =  1 −
 1 − zk ⋅ z 
 j =1 j  1 − z k ⋅ z  


тогда
∞
Π p ( z , z k ) = ∏ Ap ( z , zk ) .
k =1
Очевидно, что
∞
Π ′p ( z , z k ) = ∑ Π p , k ( z ) ⋅ A′p ( z , z k ) ,
k =1
где
∞
Π p , k ( z ) = ∏ Ap ( z , z j ) .
j =1
j≠k
Используя лемму, получим
p
j
2
 p

 1 − z k 2 ′  1 − zk 2 
 1  1 − zk  
 ⋅
 ⋅ exp ∑ ⋅ 
 =
A′p ( z , zk ) = − 
 1 − zk ⋅ z   1 − zk ⋅ z 

 
j
1
−
z
⋅
z
j
=
1
k


 


 
=−
(
zk 1 − zk
2
(1 − zk ⋅ z )
Поэтому,
∞
Π ′p ( z , zk ) = −∑ Π p ,k ( z ) ⋅
k =1
или, используя представление (6),
) ⋅  1 − z
p
j
2
 p


 1  1 − zk  
 ⋅ exp ∑ ⋅ 
 .
 1 − zk ⋅ z 
 1 − zk ⋅ z  
j
j
=
1




 

2
(
zk 1 − zk
2
(1 − zk ⋅ z )
2
k
) ⋅  1 − z
2
p
j
2
 p


 1  1 − zk  
 ⋅ exp ∑ ⋅ 
 
 1 − zk ⋅ z 
 j =1 j  1 − z k ⋅ z  


2
k
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
(5)
(6)
1− z )
(
,
z
⋅
A
z
z
⋅
( ) ( )
2
∞
Π ′p ( z , zk ) = − ∑ Π p , k
p
k =1
∞
Π ′p ( z , z k ) = −Π p ( z , z k ) ⋅ ∑
k =1
Π ′p ( z , zk )
(1 − z )
2
(1 − zk ⋅ z )
k
Далее, учитывая формулу (5), получим
Следовательно, имеем
p +1
 1 − zk ⋅ z 
⋅
.
 zk − z 
k
(
1 − zk
)
2
p+2
p +1
(1 − zk ⋅ z )
 1 
⋅
 , z∈D.
 zk − z 
p +1
p +1
 1 
⋅
 , z ∈ D, z ≠ zk , k = 1, 2, K
Π p ( z , zk )
k =1 (1 − z k ⋅ z )
 zk − z 
Пусть 0 < δ ≤ 1 , а p - такое натуральное число, что
( p + 1) δ > α − 1 ,
Тогда как установлено в работе ( см. [1])
∞
= −∑
k
p +1
∞
(
∑ (1 − z )
p +1)δ
< +∞ .
k
k =1
Учитывая это и используя то, что при 0 < δ < 1
δ
∞
 ∞ 
δ
c
≤
 ∑ k  ∑ c k , ck ≥ 0 , k = 1, 2,K ,
k =1
 k =1 
получаем
Π ′p ( z , zk )
δ
∞
≤∑
Π p ( z , zk )
(
1 − zk
)
+
2 δ ( p 1)
1 − zk ⋅ z
k =1
Поэтому,
π
∫
−π
(
( re
)
)
Π ′p reiϕ , z k
Πp
iϕ
, zk
δ
⋅
δ ( p +1)
(
k =1
)
.
δ
zk − z
1 − zk
∞
dϕ ≤ ∑
1
2 δ ( p +1)
δ ( p +1)
(1 − zk z )
Докажем, что последний интеграл ограничен. Имеем
π
π
dϕ
dϕ
=
∫−π r eiϕk − reiϕ δ −∫π
k

2
2  ϕ − ϕk
 ( r − rk ) + 4rrk sin  2


=
π
∫
−π

2
2  t 
 ( r − rk ) + 4rrk sin  2  
 

∫
−π
≤
(
( re
Π ′p reiϕ , z k
Πp
c2
iϕ
, zk
)
)
δ
∞
δ
2
∞
dϕ ≤ c2 ⋅ ∑
k =1



z k − reiϕ
−π
=
δ
2
dt
≤ c1 ,
2δ
t
0
≤ c∫
(
1 − zk
k =1
(
⋅
1 − zk
δ ( p +1) ∑
(1 − r )
dϕ
⋅∫
π
dϕ
при условии rk > r0 > 0 .
Следовательно, из (7) получаем
π
π
)
Далее, учитывая полученные оценки, имеем
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
δ ( p +1)
(1 − r )
2 δ ( p +1)
)
2 δ ( p +1)
≤
c3
(1 − r ) (
=
δ p +1)
.
δ
.
(7)
1
2π
π
∫ ln
−π
+
(
( re
Π′p reiϕ , zk
Πp
iϕ
, zk
) dϕ ≤ 1 1
δ 2π ∫
)
π
−π
≤ c ( p + 1) ⋅ ln
Следовательно, функция
G(z) =
а функция
(
( re
Π ′p reiϕ , zk
Πp
iϕ
, zk
c% ( p )
1
,
≤
(1 − r ) (1 − r )α
Π ′p ( z , z k )
Π p ( z, zk )
)
)
δ
dϕ ≤
∈ Nα∞ ,
F2 ( z ) = G ( z ) ⋅ Π p ( z , z k ) ⋅ exp g ( z ) ∈ Aα∞ .
Теорема доказана.
In the paper proof that the class Nα∞ invariance with operator of differentiation for all α > 0 .
The key words: holomorphic of function, individual disk, meromorphic of function, class Nα∞ , characteristic of
Nevanlinna , operator of differentiation.
Список литературы
1. Шамоян Ф.А. О нулях аналитических в круге функций, растущих вблизи его границы//
Изв. АН Арм.ССР. Серия Математика. 1983. Т.18. № 1.
2. Branges L. Hilbert spaces of entire functions. – Prentice – Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J.,
1968. P.326.
3. Frostman O. On analytic functions with bounded characteristic // Bull. Amer. Math. Soc. –
1946 V. 52. № 8. P. 694-699.
4. Hahn L. On the Bloch – Nevanlinna problem // Proc. Amer. Math. Soc. 1972.V. 32. № 1. P.
221-224.
5. Nevanlinna R. Le thoreme de Picard – Borel et la functions meromorphes. – Paris: Gauthier
– Villars, 1929 vii – P. 1799.
6. Shamoyan F.A., Shubabko E.N. Parametrical Representations of Some Classes of
Holomorphic Function in the Disk // Operator Theory: Advances and Applications. 2000. V.
113. P. 331-338.
Об авторах
Ф. А. Шамоян - док. проф. Брянского государственного университета им.
академика И.Г. Петровского, shamoyanfa@yandex.ru.
В. А. Беднаж - канд. доц. Брянского государственного университета им. академика И.Г.
Петровского, e-mail: verabednazh@rambler.ru.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
129 Кб
Теги
инвариантность, оператора, jpg, класс, дифференцированный, относительные
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа