close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об обобщении формулы Колмогорова на суммы зависимых векторов.

код для вставкиСкачать
1999
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 4 (443)
УДК 519.214
М.Д. ЮДИН
ОБ ОБОБЩЕНИИ ФОРМУЛЫ КОЛМОГОРОВА
НА СУММЫ ЗАВИСИМЫХ ВЕКТОРОВ
Метод решения центральной предельной проблемы теории вероятностей, подробно изложенный в [1], легко распространяется на суммы зависимых векторов. Будем предполагать, что случайные векторы имеют ограниченные дисперсии. Этот случай исследовался в [2]. Однако в [2]
в формуле Колмогорова, обобщенной на суммы зависимых векторов, неверно указан предел подинтегральной функции при x ! 0. Как показано в [3], этот предел зависит от пути стремления
x к нулю и выражается через скалярное произведение вектора-параметра
t на единичный век;
(t;x)
. Тем не менее, из
тор e, направленный по касательной к пути в точке подхода: xlim
;
2jxj
!0
результатов [2], [3] следует, что в обобщенной формуле Колмогорова подинтегральная функция
интегрируема в окрестности нуль-вектора, поставляя оттуда нормальный компонент.
В данной работе получаем обобщенную на суммы зависимых векторов формулу Колмогорова, в которой из области интегрирования исключен нуль-вектор.
1. Пусть fnsgns=1 , n = 1; 1, | система серий d-мерных векторов, определенных при ка-d
ждом n на одном и том же вероятностном пространстве и принимающих значения в R ,
(1)
(d)
(i)
(i)
ns = (ns
; : : : ; ns
), Mns
= 0, x = (x1 ; : : : ; xd ). Запись ns x означает, что ns
xi для
всех i = 1; d ([4], с. 30), (x; y) | скалярное произведение, jxj | модуль вектора (норма).
Обозначим: Sn(s;p) = n(s+1) + + np , Sn(p;p) 0, Mns | -алгебра вектора ns , t = (t1 ; : : : ; td ).
Обобщим специальные функции, введенные в [1],
i(t; Sn(s;n)=Mns ))
i(t; ) f (t; M )); s = 1; n:
f (t; Mns ) = M (exp
ns
M (exp i(t; Sn(s;n) )) ; 'ns = M (e
2
ns
Получим, что характеристическая функция (х. ф.) суммы Sn =
'n (t) =
n
Y
s=1
n
P
s=1
ns
'ns (t):
Условие (A). При любом фиксированном t
lim
n!1
n
X
s=1
j'ns (t) ; 1j = 0:
(A)
2
P
(i) (j )
Введем симметричную матрицу Bn = kbn(i;j) k, i; j = 1; d, где bn(i;j) =
M (ns
np ; jns j 0js;pjm
"; jnp j "), mn определяется в теореме 1, " > 0. Через h(n) обозначим медленно меняющуюся
функцию ([5], c. 36).
Напомним, что система серий fns g называется mn -зависимой, если (n1 ; : : : ; np ) и
(n(p+k) ; : : : ; nn ) независимы при k mn .
n
61
Теорема 1.
Пусть система серий векторов
бое постоянное число,
при
nn
fnsg mn = m n = ;
0
1 8
-зависимая, где
m
0 | лю-
0 < 1=8, кроме того, найдутся постоянные H1 , H2 и n0 такие, что
0
(i)
max
Mns
H1hn(n) ;
s;i
(i) (j ) (k)
max M jns
nr nq j Hn2h3=(2n) ;
s;r;q;i;j;k
0 jr ; qj m0 n1=4; , 0 < js ; qj m0 n1=4; . Тогда, если при n ! 1
(1)
2
где
Kn (x) =
то сумма
Sn
n
X
s=1
M (ns ; ns x) ;! K (x) < 1; "lim
!1 Bn = B;
! nlim
сл.
2
0
будет иметь безгранично делимое предельное распределение, логарифм х. ф. ко-
торого
Z
)
(t) = | (ei(t;x) ; 1 ; i(t; x)) jx1j2 dK (x) ; (t; Bt
2 ;
(2)
R
d
где
t | вектор-столбец, а из области интегрирования исключен нуль-вектор.
n
Доказательство. Сделаем разбиение суммы Sn = sP ns по методу Бернштейна
=1
uni =
ik+(X
i;1)m
s=(i;1)k+(i;1)m+1
ns;
vni =
ikX
+im
s=ik+(i;1)m+1
ns ; i = 1; :
Возьмем в разбиении (3) k = [m0 n1=4; ], m = [m0 n1=8; ], 0 < 1=8. Положим Sn1 =
Sn = P vni . Поскольку
2
(3)
P
i=1
uni ,
i=1
MSn =
2
2
X
i=1
m
X
Mvni H mnh(n)d ! 0;
1
2
2
2
i=1
(n)d ! 0;
M 0ni H mh
n
2
1
(4)
где ni0 | векторы, вошедшие в Sn2 , то сумма Sn будет иметь то же предельное распределение,
что и Sn1 ([1], с. 44).
Будем доказывать теорему для суммы векторов, вошедших в Sn1 , обозначив их в порядке
возрастания индексов через nj , j = 1; l, l = k, и положив Sn(j;p) = n(j+1) + + np . Благодаря
mn -зависимости, в функциях fnj (t; Mnj ) для системы fnj g можно сделать сокращения. Получим
i(t; Sn(j;p) =Mnj )) ;
fnj (t; Mnj ) = M (exp
M (exp i(t; Sn(j;p) ))
где p = p(j ) | индекс последнего вектора np той части uni , в которую вошел вектор nj . Используя разложения ei(t;S ) = 1 + i(t; Sn(j;p) ) ; (t;S 2 ) n1 , jn1 j 1, ei(t;S ) = 1 + i(t; Sn(j;p) )n2 ,
jn2j 1, и условия (1), совершенно так же, как при доказательстве теоремы 2.2 в ([1], с. 57),
найдем, что система fnj g удовлетворяет условию (A).
Образуем для системы fnj g вектор-функции вектор-аргумента anj (t) = M (nj fnj (t; Mnj )),
l
al (t) = P anj (t) и 'nj = M (ei(t; )f (t; Mnj )), j = 1; l. Очевидно,
n(j;p)
n(j;p)
2
n(j;p)
nj
j =1
l
X
j =1
('nj (t) ; 1) =
l Z
X
j =1R
(ei(t;x) ; 1 ; i(t; x))fnj (t; Mnj ) dP fnj xg + i(t; al (t)):
d
62
(5)
Из (1), (4) и разложения ei(t;x) = 1 + i(t; x) ; (t;x2 ) , jj 1, найдем, что при любом фиксированном t
n Z
X
Jl ;
(ei(t;x) ; 1 ; i(t; x)) dP fns xg ! 0;
2
s=1R
d
где Jl | первое слагаемое правой части (5). По свойствам интеграла Стилтьеса при любом " > 0
Z
n Z
X
(ei(t;x) ; 1 ; i(t; x)) dP f xg =
(ei(t;x) ; 1 ; i(t; x)) 1 dK :
ns
s=1 jxj"
Отсюда и из теоремы Хелли следует, что
lim
n!1
n
jxj
jxj"
2
n Z
X
Z
| (ei(t;x) ; 1 ; i(t; x)) dP fns xg = | (ei(t;x) ; 1 ; i(t; x)) jx1j2 dK (x);
s=1R
R
d
d
где из области интегрирования исключен нуль-вектор.
n
P
(i) (j )
Пусть матрица Cn = kcn(i;j) k, где cn(i;j) = M (ns
ns ; jns j ") и C = "lim
!1 Cn . Из
!0 nlim
s=1
разложения
2
3
ei(t;x) = 1 + i(t; x) ; (t;2x) + i (t;6x) ; jj 1;
и равенства
n (t; )2
X
ns ; j j " = lim lim ; (t; Cn t )
lim
lim
;
ns
"!0 n!1 s=1
"!0 n!1
2
2
получим
n Z
X
i(t;x) ; 1 ; i(t; x)) dP f xg = ; (t; Ct ) :
lim
lim
(
e
ns
"!0 n!1
2
s=1 jxj"
Следовательно,
Z
i(t;x) ; 1 ; i(t; x)) 1 dK (x) ; (t; Ct ) :
lim
J
=
|
(
e
n!1 l
jxj2
2
R
(6)
d
Пусть матрица An = kn(i;j) k, где n(i;j) =
l
X
l
X
j =1
j =1
P
<js;pjm
0
Mnsi npj , T =
( ) ( )
n
2
P
d
i=1
2
ti . Из соотношений
M jnj (t; Sn j;p ) j H k nh(=n)T d ! 0;
(
)
2
2
3
2 2
3 2
M jnj (t; Sn j;p )j j1 ; M (exp i(t; Sn j;p ))j H k h2n(n)T d ! 0;
(
)
(
а также из (4) следует, что an (t) ; i
l
P
j =1
2
1
)
4
2
3 3
2
M (nj (t; Sn j;p )) ! 0, (t; an (t)) ; i t;A
(
(
)
n
2
(t; At ) ;
lim
(
t;
a
(
t
))
=
i
n
n!1
2
t )
! 0, т. е.
(7)
где A = nlim
!1 An .
При вычислении матрицы An можно ограничиться "-окрестностью нуль-вектора, т. к.
n
n
2
X
X
M (j (t; S )j; j j > ") 1 M j 2 (t; S )j H2 nk Th(n)d ! 0:
ns
n(s;p)
ns
n s;p
ns
"s
"n =
Поскольку "lim
!1(An + Cn ) = "lim
!1 Bn , то из (5), (6), (7) и леммы из [2] (аналогичной
! nlim
! nlim
s=1
0
(
=1
0
лемме 1.3 из [1]) следует доказательство теоремы.
63
)
3 2
2. В этом пункте предполагается, что система векторов fnsg удовлетворяет условию равномерно сильного перемешивания (р. с. п.) [5].
Теорема 2.
циент которого
что при
nn
fnsg удовлетворяет условию р. с. п., коэффи ( ) = O( ; ;" ), " > 0, кроме того, найдутся постоянные H , H и n такие,
Пусть система серий векторов
3
1
1
1
2
0
0
(i)
(i) (j ) (k)
max
Mns
Hn1 ; s;r;q;i;j;k
max M jns
nr nq j Hn2h3=(2n) ;
s;i
сл.
" . Тогда, если K (x) ;!
1=4;=2
K (x) < 1
где 0 jr ; q j kn = [n
], 0 < js ; qj kn , 0 < 2(7+3
n
")
при n ! 1, lim lim Bn ! B , то сумма Sn будет иметь безгранично делимое предельное
"!0 n!1
распределение, логарифм х. ф. которого выражается по формуле (2).
P
(i) (j )
Здесь матрица Bn = kbn(i;j ) k, bn(i;j ) =
M (ns
np ; jns j "; jnp j ").
2
1
1
0
js;pjk
n
Доказательство теоремы 2 аналогично доказательству теоремы 1. При этом в разбиении (3)
нужно взять k = kn , m = [n1=4; ].
Следствие. В условиях теорем 1 и 2 матрица B неотрицательно определена.
Случай неограниченных дисперсий рассмотрен в [3].
Литература
1. Юдин М.Д. Сходимость распределений сумм случайных величин. { Минск: Изд-во \Университетское", 1990. { 254 с.
2. Юдин М.Д. О решении центральной предельной проблемы теории вероятностей для сумм
зависимых векторов // Весцi АН Беларусi. Сер. фiз.-матэм. навук. { 1994. { Є 3. { С. 31{35.
3. Юдин М.Д. Об обобщении формулы Леви{Хинчина на суммы зависимых векторов // Изв.
вузов. Математика. { 1996. { Є 4. { С. 75{80.
4. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. { М.: Наука, 1977. { 352 с.
5. Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные величины. { М.: Наука,
1965. { 524 с.
Мозырский государственный
Поступила
19.11.1996
педагогический институт
64
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
137 Кб
Теги
суммы, формула, обобщение, векторов, колмогоров, зависимый
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа