close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об ограниченности теплицевых операторов в весовых пространствах соболева голоморфных в шаре функций.

код для вставкиСкачать
УДК - 517.55
ОБ ОГРАНИЧЕННОСТИ ТЕПЛИЦЕВЫХ ОПЕРАТОРОВ В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
СОБОЛЕВА ГОЛОМОРФНЫХ В ШАРЕ ФУНКЦИЙ1
Ф.А. Шамоян, С.М. Куриленко
В работе получено полное описание тех плюригармонических функций на единичной сфере N-мерного
комплексного пространства, при которых теплицев оператор с соответствующим символом является
ограниченным оператором в аналитических пространствах С.Л. Соболева.
Ключевые слова: единичный шар, аналитическая функция, пространства Соболева, оператор Теплица,
радиальная производная, плюрисубгармоническая фунция.


Пусть BN = z  C N : z < 1 - единичный шар в N-мерном комплексном пространстве C N , S N его граница. Путь далее  - функция типа модуля непрерывности на R = [0,  ) , т.е. неотрицательная
неубывающая функция на R , такая, что функция  t  =
 (t )
t
убывает в некоторой окрестности точки
t = 0 (см. [1]). Символом H ( BN ) обозначим множество всех голоморфных в BN функций.
Введем так же понятие производной в смысле Римана-Лиувилля: если f  H ( BN ) имеет
следующее однородное разложение : f ( z ) =


f ( z ), z  BN и   0 то дробной производной
k =0 k
порядка β в смысле Римана-Лиувилля называется функция

(   k  1)
f k ( z ), z  BN .
k 0 (   1) ( k  1)
D  f (z) = 
В монографии [2] определена радиальная производная функции f следующим образом:

( N  1   ) ( N  t  k    1)
f k ( z ), z  BN .
k 0  ( N  1    t ) ( N  1  k   )
Ясно, что производная D  f (z ) является частным случаем R ,t f ( z ) при  =  N , t =  .
R ,t f ( z ) = 
 -весовым пространством Лебега назовем пространство с нормой
f L ( ) =  | f ( ) |  (1 |  |)(1 |  |)  1 dv( ) < 

BN
где dv ( ) - 2N-мерная мера Лебега в BN .
Пусть
далее H BN   L   = A   ,
 > 0,
обозначим
через
A  , n 
следующее
пространство голоморфных в BN функций
A  , n = { f  H ( BN ) : f
A ( ,n )
=  | D n f ( ) |  (1 |  |)(1 |  |)  1 dv( ) < }
BN
Очевидно, что A   = A  ,0  .
Определим пространство  голоморфных в BN функций следующим образом:


  2
(1 | z|)2 

 
 =  f  H ( BN ):  ||f||  sup  |D
f (z ) |
   




zB 
N
 (1 | z|) 

И, наконец, определим оператор Теплица с символом на пространстве C ( BN  S N )  H ( BN ) :
1
Работа выполнена при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (код проекта 13-01-97508)
T  f  z  = 
SN
f    
d  , z  BN .
(1  z ,  ) N
Основным результатом работы является доказательство следующей теоремы:
Теорема. Пусть   0 ,  - функция типа модуля непрерывности
на
R ,
h
-
1
плюригармоническая функция из L ( S N ) , тогда при n >   N следующие утверждения равносильны
Th
1)
является ограниченным оператором в пространстве A ( , n)
2)
Фун
кцию h можно представить в виде h( ) = h1 ( )  h2 ( ) ,   S N , где h1 имеет аналитическое
продолжение в BN , при этом h1  A ( , n) , а h2 является граничным значением некоторой
ограниченной аналитической функции в BN .
Замечание. Основная теорема в одномерном случае установлена в работе [3].
Доказательство теоремы основано на нескольких вспомогательных утверждениях.
Следующее утверждение типа теореммы Харди-Литтвуда легко вывести из результатов работы
[4].
Лемма 1. Пусть  - функция типа модуля непрерывности на (0,1] ,  > 0 ,
~1  r  = 1  r t  (1  r ) , тогда справедливы оценки
c1 f
L ( )
 R s ,t f
A~ ( )
 c2 f
L ( )
для любой аналитической функции f из A ( ) .
Здесь и в дальнейшем
c j  c j (...)  положительные числа, зависящие только от (…)
Следующая лемма также установлена в работе [4].
Лемма 2. Пусть k, m  N , f  H ( BN ) , тогда существует многочлен P порядка не выше
m  k  1 такой, что
f ( z) = 
BN
(1 |  |) m D k f ( ) P( z,  )
dv( ).
(1  z ,  ) N 1 mk
Докажем теперь следующее утверждение:
Лемма 3. Пусть h  H 1 ( BN ) , тогда если оператор Th действует в пространстве A ( , n) , то
h  H  , причем h

 Th , где H  - множество ограниченных аналитических функций в BN .
Доказательство:
Положим
fr (z) =
1
(1  z, r ) N
-
аналитическая
функция
по
z
и
по
r,
r = ( r1 , r2 ,..., rN )  R N , по определению
Th ( f r )( z ) = 
SN
f r ( ) h( )
h( )
d ( ) = 
d ( ).
N
N
N
S
(1  z,  )
N (1  z ,  ) (1   , r )
Учитывая равенство  , r =  , r , получим,
Th ( f r )( z ) = 
SN
h( )
h(r )
h( r )
d ( ) =
=
= h( r ) f r ( z ).
N
N
N
(1   , z ) (1  r ,  )
(1  r , z )
(1  z , r ) N
Но, так как оператор Th действует в пространстве A ( , n) , то
z  BN ,
Th ( f r )
=| h(r ) |  f r
A ( ,n )
A ( ,n )
 Th  fr
A ( ,n )
откуда | h( r ) | Th . Если мы заменим функцию
f r (z ) на f r (z ) ,   S N , то получим
утверждение леммы.
Лемма 4. Пусть  >   N ,   R ,  - функция типа модуля непрерывности. Тогда класс
A ( ,  ) является кольцом относительно операций умножения и сложения.
Доказательство:
Для доказательства леммы достаточно установить, что оператор умножения является
ограниченным оператором в пространстве A ( ,  ) .
Для целых  мы можем использовать методы из работы [3], поэтому покажем сначала, что мы не
нарушая общности можем считать, что  = n  N .
Действительно, согласно лемме 1, справедлива оценка
c1 f
 R s ,t f
A ( )
A
~ ( )
 c2 f
A ( )
~(1  r ) = (1  r )t  1  r 
; 
(1)
Положим n =    , n  N ,   (0,1) . Следующее равенство установлено в [2]
R   N , D = D  = D n ,
Пусть f  A ( ,  ) . Тогда, D  ( f )  A ( ) , следовательно, согласно (1)
R   N , D  f = D n f  L (   ); n >     1
Аналогично, если g  A ( ,  ) , то
D n g  L (   ); n >     N
Если теперь для целого n мы докажем, что D n ( f  g )  L (   ), то это будет означать, что
R   N , D  ( f  g )  L (   ) или опять с учетом (1) получим D  ( f  g )  L ( ), т.е. f  g  A ( ,  ) .
Значит, не теряя общности, мы можем доказывать лемму для целых  = n . Перейдем к
доказательству леммы.
Согласно утверждению 1.15 из [2] (стр. 19) для некоторых многочленов pm 
Dn f ( z) =
 pm ( z)
m n
m f
( z ); n  R  ; m  NN
z m
Далее для мультииндексов  и  имеем
f g
=
A ( ,n )



 
n






 f
   g
 pm ( z )  ( z )    ( z )

z
z

L ( )
Для доказательства леммы достаточно установить оценку

BN
(1 |  |)
 f
   g
 (1 |  |)  ( )    ( ) dv( )  c f


 1
A ( ,n )
 g
A ( , n )
.
Учитывая представления
f (z) = 
BN
(1 |  |2 ) s D n f ( )
dv( z )
(1  z ,  ) N 1 sn
g ( z) = 
BN
(1 |  |2 ) s D n g ( )
dv( z )
(1  z,  ) N 1 s n
имеем
 f
P( )(1 |  |2 ) s D n f ( )
(
z
)
=
BN (1  z,  ) N 1sn  dv( z)
z 
Где P и Q – некоторые многочлены от   BN .
   g
Q( )(1 |  |2 ) s D n g ( )
(
z
)
=
BN (1  z,  ) N 1sn    dv( z)
z  
Откуда, после подстановки получаем

BN
(1 |  |)  1  (1 |  |)
 c

BN BN
 f
  g
(

)

( ) dv( ) 
 
   
(1 |  |) s (1 | w |) s | D n f ( ) |  | D n g ( w) |  I ( , w)dv( ) dv( w)
(2)
где
 (1 | z |)(1 | z |)  1
I ( , w) = 
BN
| 1  z,  |
s  N 1n 
| 1  z, w |
s  N 1n   
dv( z ), w, z  BN .
Так как s - достаточно большое натуральное число, то при   n , |  || w | , | z |= r , имеем
1
I ( , w)    (1  r )(1  r ) 1 
SN
0
| 1  z,  |
s  N 1 n 
1
d ( z )r 2 N 1dr 
s  N 1 n   
| 1  z, w |
 1
1  (1  r )(1  r )
1
2 N 1
d

(
z
)
r
dr

c
2 s  2 N  2 2 n 
0 (1  r )2s N 22 n  dr 
SN
| 1  z,  |
1
   (1  r )(1  r ) 1 
0
 (1 |  |)(1 |  |)  1
 (1 |  |)(1 |  |)  1
c
c
,
2  s 1     n  n  N 1
(1 |  |) 2 s 1 n  N 1
(1 |  |)
(3)
Аналогично, получим
I  , w   c
 (1 | w |)(1 | w |)  1
(1 | w |) 2  s 1 n  N 1
(
,w
4)
Подставляя (3) и (4) в (2), приходим к неравенству


 с  D n f ( )  (1   )(1   )  1 dv( )    (1  w ) n 1 N D n g ( w) dv( w)
B
 B
L ( )
 N
 N
Но, так как n >   N и  (1 | w |)  const (1 | w |) , w BN , то из последнего неравенства
  f   g

z  z   
получим:
  f   g

z  z   
c f
L ( )
A ( , n )
 g
A ( , n )
лемма доказана.
Доказательство теоремы.
Докажем (1)= > (2).
Если Th действует в пространстве A ( , n) , то поскольку h - плюригармоническая функция, то
h = h1  h 2 , где h1  A ( , n) , а h2  H 1 ( BN ) . Но, так как Th - ограниченный оператор и по лемме 4
пространство
A ( , n) является кольцом, то Th 2 ( f ) - ограниченный оператор в
Следовательно, по лемме 3 h2  H  . Импликация (1)= > (2) доказана.
Докажем (2)= > (1).
Согласно лемме 2
f (z) = 
(1 | t |) m D n f (t ) P( z , t )
(1  z , t ) N 1 m n
BN
dv(t )
и этот интеграл абсолютно сходится при z  S N . Значит,
Th 2 ( f )( z ) = 
SN
h 2 ( )
(1  z,  ) N

BN
(1 | t |) m D n f (t ) P(  , t )
(1   , t ) N 1 m n
dv(t )d ( ).
A ( , n) .
Поменяем порядок интегрирования
h 2 ( ) P(  , t )
Th 2 ( f )( z ) =  (1 | t |) m D n f (t ) 
BN
SN
(1   , t ) N 1 m  n (1  z ,  ) N
d ( ) dv(t ).
Рассмотрим внутренний интеграл
h 2  P  , t
J=

(1   , t ) N 1 m  n (1  z ,  ) N
SN
h2 ( ) P( t ,  )
=
SN
(1  t ,  )
N 1 m  n
(1   , z )
N
d   =
d ( ) == D m 1n 
SN
h2 ( ) P1 ( , t )
(1   , z ) N
(1  t ,  ) N
d ( ).
Применив к данному интегралу формулу Коши-Сеге, получим, что
 h (t ) P2 ( z, t ) 

J ( z , t ) = D m 1 n  2
 (1  t , z ) N 


где производная берется по t .
Согласно утверждению 1.15 из [3] (см. стр. 19)
D s f ( z) =

pm ( z)
m N
m f
( z ),
z m
m  NN , s  R
где каждый pm есть многочлен от z  BN . Откуда
J=
 k h2
p k (t , z )

k
(1  z , t ) N  m 1k  n
k | m 1 n t
Значит, чтобы доказать ограниченность оператора Th 2 в A ( , n) , достаточно показать, что
оператор
 s h2
(1 | t |)  (t ) s
t dv(t ), k =| s |
(1  z , t ) N  m 1 k
m
Bh ( )( z ) = 
2
BN
действует в пространстве A ( )  A ( ,0) при условии, что 0  k  m  1  n и h2  H  .
Перейдем к оценке последнего интеграла. Имеем

BN
| Bh ( )( z ) |  (1 | z |)(1 | z |)  1 dv( z ) 
2
 s h2 t 
 (1 | z |)(1 | z |)  1
  (1  t )  t 
dvz dvt , k =| s | .
BN
t s BN | 1  z, t | N  m1 k
m
5)
Оценим внутренний интеграл
 (1 | z |)(1 | z |)  1
I=
dv( z ).
| 1  z, t | N  m 1 k
Так как k  m  1 , то m  N  1  k  N  2 , кроме того  (1 | z |) - неубывающая на [0,1]
BN
функция, значит
 (1  r )(1   ) 1
dv( z ), r =| t |,  =| z | .
0
(1  r ) m k 1
Далее, т.к. k  m  1  n и n >   1 , то m  1  k  m  1  m  1  n = n >   N , значит
1
I (t )  
m  k   > N  1 > 0 . Продолжим оценку. Так как
I (t )  c
 (1   )
- неубывающая на [0,1) функция, получим
1 
(1   ) 1
 (1  r )
d  c
mk

0
1 r
(1  r )
(1  r ) m k  1
 (1  r )
1
Вернемся к оценке интеграла (5). Т.к. h2  H  , то
Bh ( )
2
A ( )
 c
BN
|  (t ) |
 s h2
(1 | t |) k ограничен. Получим, что
t s
 s h2
(1 | t |) k  (1 | t |)(1 | t |)  1 dv(t )  c 
s
t
A ( )
, k =| s |
Теорема доказана.
We give the description of all pluriharmonic function h, for which the Teoplitz operator with symbol h is bounded in the
weighted analytic Sobolev spaces in the ball.
The key words: unit ball, holomorphic function, Sobolev spaces, Toeplitz operator, radial derivative, plurisubharmonic
function.
Список литературы
1. В.И. Смирнов, Н.А. Лебедев, «Конструктивная теория функций комплексного переменного» /,
М.: Наука, 1964 , 440 с.
2. Kehe Zhu, Spaces of Holomorphic Functions in the Unit Ball, Springer, 2005, 274 p.
3. Ф.А.Шамоян, "Об ограниченности Тёплицевых операторов в весовых соболевских
пространствах голоморфных в круге функций" / Записки научных семинаров ПОМИ, том 389, вып. 39,
стр. 257-282, 2011 г.
4. Антоненкова О.Е., Шамоян Ф.А. «Преобразование Коши линейных непрерывных
функционалов и проекторы в весовых пространствах аналитических функций»// Сиб. мат. журн. 2005. Т.
46, №6. С. 1208-1234.
Об авторах
Шамоян Ф.А. - доктор физико-математических наук, профессор Брянского государственного
университета имени академика И.Г. Петровского, shamoyanfa@yandex.ru.
Куриленко С.М. - аспирант Брянского государственного университета имени академика И.Г.
Петровского, SergKurilenko@gmail.com.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
7
Размер файла
195 Кб
Теги
ограниченности, пространство, соболев, шаре, теплицевых, оператора, функции, весовые, голоморфных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа