close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об одной модели динамики численности населения с учетом формирования и распада семейных пар.

код для вставкиСкачать
Математические
структуры и моделирование
2000, вып. 6, с. 101106
УДК 517.958
ОБ ОДНОЙ МОДЕЛИ ДИНАМИКИ ЧИСЛЕННОСТИ
НАСЕЛЕНИЯ С УЧЕТОМ ФОМИОВАНИЯ
И АСПАДА СЕМЕЙНЫХ ПА
Н.В. Перцев
The paper is onerned with a mathematial models using for study the problems
of human demography. Some mathematial models for pair formation in bisexual
populations in the form of the system of nonlinear delay integro - diferential equations
are disussed here.
Метод математического моделирования широко применяется при исследовании демограических процессов. Классические модели динамики численности популяций описаны в работах Мальтуса, Ферхюльста, Пирла, Шарпа, Лотки, Вольтерра, Колмогорова, МакКендрика, он Ферстера. Обзоры работ этих
и других авторов можно найти в монограиях [16?. В основу математических моделей демограических процессов положены соотношения между тремя
основными акторами: рождаемость, смертность и миграция. Наиболее просто
поддается описанию смертность в популяции. Это связано с тем, что имеется огромный статистический материал, позволяющий построить ункцию выживаемости (или ункцию дожития), которая задает долю индивидуумов в
популяции, доживших до определенного возраста. Значительно более трудную
задачу представляет собой описание миграции и рождаемости. Интенсивность
миграции населения может зависеть от многих причин, среди которых выделяются причины экономического, политического, экологического характера и многие другие. Интенсивность рождаемости напрямую связана с процессом ормирования семей, условиями их жизни, обеспеченности различными ресурсами,
а также процессом распада семей как вследствие разводов, так и вследствие
смерти одного из супругов.
Классические модели описывают динамику численности населения без учета половой структуры и миграции. Предполагается, что численности мужчин и
женщин примерно одинаковы, и тогда достаточно рассматривать только одну
переменную. Простейший вариант модели динамики численности населения в
интегральной орме имеет следующий вид. Пусть B (t) - скорость (интенсивность) рождения новых индивидуумов в популяции в момент времени t. Пере-
2000
Н.В. Перцев
E-mail: pertsevuniver.omsk.su
Омский государственный университет
102
менная
Н.В. Перцев.
Об одной модели динамики численности населения...
B (t) удовлетворяет уравнению
B (t) = B0 (t) +
Zt
(t )L(t )B ( ) d:
(1)
0
R1
B0 (t) задается соотношением B0 (t) = (t + u)L(t + u)=L(u)(u; 0) du:
0
Здесь (u; t) - ункция частоты индивидуумов возраста u в популяции в момент
Ru2
t, т.е. ункция (u; t) обладает тем свойством, что (u; t)du - доля индиви-
Функция
u1
дуумов в популяции в момент t, возраст которых лежит в интервале (u1 ; u2 ).
Ru2
еальное число индивидуумов такого возраста равно N (t) (u; t)du, где N (t) u1
общее число индивидуумов популяции в момент времени t. Выражение
Rt2
t1
B (t)dt
задает число новых индивидуумов, рожденных в интервале времени (t1 ; t2 ). Далее, (u)dt задает среднее число потомков одного индивидуума возраста u в dt
единиц времени; L(u) - вероятность того, что время жизни индивидуума превышает u; (u) - ининитезимальная интенсивность гибели, т.е. вероятность того,
что индивидуум возраста u погибнет в следующие h единиц времени, равна
Ru
(u)h + o(h). Соотношение между L(u) и (a) имеет вид: L(u) = exp( (a)da).
0
Другой подход к описанию динамики популяций состоит в использовании диеренциальных уравнений с частными производными. Простейшая модель задается соотношениями
x x
+
t x(0; t) =
=
Z1
d( ) x(; t);
m( ) x(; t) d;
(2)
(3)
0
x(; 0) = '( ):
(4)
В уравнениях (2), (3) ункции d( ), m( ) описывают специическую возрастную смертность и рождаемость, а '( ), входящая в (4), задает начальную плотность популяции. Абстрактная модель динамики m взаимодействующих популяций может быть записана в орме
x x
+
t =
A(; t; x(; ));
(5)
x(0; t) = B (t; x(; ));
(6)
x(; t) = '(; t):
(7)
Здесь x(; t) = ol(x1 (; t); :::; xm (; t)), xi (; t) - плотность численности i - й популяции, 1 i m. Отображения A(; t; x(; )), B (t; x(; )) задают рождаемость и
Математические структуры и моделирование. 2000. Вып. 6.
103
смертность в популяциях за счет взаимодействия индивидуумов. Заданная в (7)
ункция '(; t) = ol('1 (; t); :::; 'm (; t)) определяет закон изменения возрастной структуры популяций при t t0 , тогда как соотношения (5), (6) описывают
этот закон для t > t0 . Взаимосвязь моделей вида (1) - (7) детально рассмотрена
в работах [4, 6, 7?.
Учет половой структуры популяций приводит к необходимости рассмотрения как минимум трех переменных, отражающих динамику численности населения. К этим переменным относятся x = x(t); y = y (t) - численность неженатых
мужчин и незамужних женщин и z = z (t) - число семейных пар. Формирование пар может быть описано ункцией f (x; y ), которая задает интенсивность
(скорость) образования пар в результате контактов между неженатыми мужчинами и незамужними женщинами. Один из вариантов модели, описывающей
изменение x(t); y (t); z (t), предложен в работе [8? и имеет вид:
x_ = (kx + y + ) z
xx f (x; y );
y_ = (ky + x + ) z y y f (x; y );
z_ = f (x; y ) (x + y + ) z;
x(0) = x0 ; y (0) = y0 ; z (0) = z0 :
(8)
Здесь kx z; ky z - интенсивности рождения мальчиков и девочек, x z; y z; x x; y y
- интенсивности смертности мужчин и женщин (состоящих и не состоящих в
браке), z - интенсивность развода семейных пар. Функция f (x; y ), входящая в
(8), должна удовлетворять следующим свойствам:
1) f (0; y ) = f (x; 0) = 0 для всех x 0; y 0,
2) при любом 0 f ( x; y ) = f (x; y ),
3) если u 0; v 0, то f (x + u; y + v ) f (x; y ).
Примерами такой f (x; y ) служат следующие ункции:
f (x; y ) = xy
x + (1 )y
f (x; y ) = min(x; y );
; f (x; y ) = x y 1 ;
0
< ;
0
< < 1:
Модель (8) следует рассматривать как базовую, на основе которой могут
быть созданы более сложные варианты уравнений, описывающих динамику
численности населения. Обратимся, в частности, к вопросу о построении ункции рождаемости. В модели (8) рождаемость пропорциональна общему количеству семей. Очевидно, что можно учитывать распределение семей по числу
рожденных детей. Пусть z0 = z0 (t); z1 = z1 (t); z2 = z2 (t); :::; zn = zn (t) - число
семей, у которых родилось, соответственно, 0, 1, 2, ... , n детей к моменту времени t. Параметр n, вообще говоря, ограничен сверху, а в конкретных ситуациях
он может быть равен, например, 2, 3 или 4. Тогда интенсивности рождения
мальчиков и девочек можно задать соотношениями
bx (t) =
n 1
X
i=0
kx zi (t); by (t) =
i
n 1
X
i=0
ky zi (t):
i
(9)
104
Н.В. Перцев.
Об одной модели динамики численности населения...
Учтем также тот акт, что только спустя время x ; y , например через 18 лет
после рождения, новорожденные вырастают и могут образовывать семьи. Кроме того, из всех детей, рожденных в момент времени t, до моментов времени
t + x ; t + y доживает только доля rx юношей и доля ry девушек. Поэтому
интенсивности прироста численностей неженатых мужчин и незамужних женщин в момент времени t будут равны, соответственно, rx bx (t x ) и ry by (t y ).
Заметим, что рождение ребенка в семье, имеющей i детей, приводит к тому, что
число семей zi уменьшается, а число семей zi+1 увеличивается, 0 i n 1.
Принимаем, что семьи, имеющие n детей, потомства больше не производят.
Предположим также, что мужчины и женщины, ставшие ѕсвободнымиї после
развода или смерти супруга, могут образовывать новые семьи и производить
потомство. Тогда при сделанных предположениях система уравнений модели
будет записана в следующем виде:
x_ = rx bx (t x ) + y
n
X
i=0
zi +
n
X
i=0
i zi
x x f (x; y );
n
X
n
X
zi + i zi y y f (x; y );
i=0
i=0
(x + y + 0 + kx0 + ky0 ) z0 ;
y_ = ry by (t y ) + x
z_0 = f (x; y )
z_1 = (kx0 + ky0 ) z0 (x + y + 1 + kx1 + ky1 ) z1 ; t 0;
z_2 = (kx1 + ky1 ) z1 (x + y + 2 + kx2 + ky2 ) z2 ;
(10)
::::::::::::::::::;
z_n = (kx
n
1
k
+ yn
1)
zn
1
( x+
y + n ) zn :
Начальные условия для системы (10) зададим так:
x(0) = x0 ; y (0) = y0 ; zn (0) = zn0 ;
zi (t) = zi0 (t);
0
in
1
;
; y ) t 0:
max( x
(11)
Представленная выше модель более детально отражает структуру рождаемости, чем модель (8). Вместе с тем модели (8) и (10), (11) не учитывают
возрастную структуру популяции. Поэтому они могут использоваться для описания динамики численности населения только для сравнительно небольших
промежутков времени, когда можно пренебречь существенным изменением возрастной структуры населения. В частности, при проведении конкретных расчетов можно выбирать периоды времени длительностью 10 - 15 лет. Переменные
модели (10), (11) x(t); y (t) должны интерпретироваться как численности неженатых мужчин и незамужних женщин в возрасте до 40 - 45 лет. Кроме того,
параметр n может иметь значения 2, 3.
С другой стороны, первое и второе уравнения системы (10) можно дополнить отрицательными слагаемыми dx (t); dy (t), задающими интенсивности
уменьшения численностей x(t); y (t) вследствие процесса старения. Функции
Математические структуры и моделирование. 2000. Вып. 6.
105
dx(t); dy (t) нетрудно построить на основе статистических данных по динамике
численности населения за предшествующие периоды. Наконец, можно учитывать распределение семей по длительности времени до рождения очередного
ребенка. Тогда слагаемые (kxi + kyi ) zi , входящие в уравнения для zi и zi+1 ,
следует заменить на ункции (z )i (t), вид которых предложен в работе [9?.
Опираясь на эти предположения, систему уравнений модели запишем в орме
n
X
x_ = rx bx (t x ) + y
i=0
n
X
y_ = ry by (t y ) + x
zi +
i=0
i zi
xx f (x; y ) dx (t);
n
X
i zi y y f (x; y )
i=0
(x + y + 0 ) z0
(z )0 (t);
i=0
zi +
n
X
dy (t);
z_0 = f (x; y )
z_1 = (z )0 (t) (x + y + 1 ) z1 (z )1 (t); t 0;
(12)
z_2 = (z )1 (t) (x + y + 2 ) z2 (z )2 (t);
::::::::::::::::::;
z_n = (z )n 1 (t) (x + y + n ) zn:
Функции bx (t); by (t), входящие в уравнения (12), отличаются от (9) и задаются
соотношениями
bx (t) = px
Операторные ункции
(
z )0 (t) =
(
n 1
X
(
i=0
z )i (t); by (t) = qy
n 1
X
i=0
(
z )i (t):
(13)
z )i (t) устроены следующим образом:
Zz
e
(x +y +0 ) a
f (x(t a); y (t a)) p0 (a)da;
0
(
z )1 (t) =
Zz
e
(x +y +1 ) a
e
(x +y +2 ) a
(
z )0 (t a) p1 (a)da;
0
(
(
z )n
z )2 (t) =
1(
t) =
Zz
Zz
(
z )1 (t a) p2 (a)da;
0
::::::::::::::::::;
e
(x +y +n 1 ) a
(
z )n
2(
t a) pn
1(
(14)
a)da:
0
В соотношениях (14) ункции pi (a) описывают интенсивность рождения очередного ребенка в семье, имеющей i детей, в зависимости от времени a, прошедшего от рождения предыдущего ребенка, 1 i n 1 (при i = 0 - в зависимости
от времени a после образования семьи). Коэициент z задает некоторое предельно допустимое значение для этих времен. Функции pi (a) 0 таковы, что
106
Rz
0
Н.В. Перцев.
pi (a)da
;
= 1 0
Об одной модели динамики численности населения...
in
1.
Коэициенты px
> 0; q y >
0,
входящие в (13),
в сумме равны единице и при проведении конкретных расчетов могут быть
принятыми как 1/2. Систему уравнений (12) следует дополнить начальными
условиями
x(t) = x0 (t); y (t) = y0 (t);
zi (0) = zi0 ;
; y ) + n z ) t 0;
(max( x
0
i n:
(15)
В завершение отметим, что модель (12) - (15) представляет собой один из
возможных способов описания динамики численности населения. Другие способы построения моделей могут опираться на уравнения вида (5), (6), (7), разностные уравнения или на случайные процессы (см., например, [1, 1012?).
Литература
1. Моран П. Статистические процессы эволюционной теории. М.: Наука, 1973. 287 с.
2. Динамическая теория биологических популяций / Под ред. .А. Полуэктова. М.:
Наука, 1974. 456 с.
3. Михальский А.И., Петровский А.М., Яшин А.И. Теория оценивания неоднородных
популяций. М.: Наука, 1989. 128 с.
4. Полуэктов .А., Пых Ю.А., Швытов И.А. Динамические модели экологических
систем. Л.: идрометеоиздат, 1980. 288 с.
5. Базыкин А.Д. Математическая биоизика взаимодействующих популяций. М.:
Наука, 1985. 181 с.
6. Хмелевский Ю.И. Самовоспроизводящиеся системы. Математическая теория.
М.: Наука, 1991. 431 с.
7. Gyori I. Some mathematial aspets of modelling ell population dynamis // Computers
and Math. Appl. 1990. V.20. ќ4. 6. P.127138.
8. Hadeler K.P., Waldstatter R., Worz - Busekros A. Models for pair formation in bisexual
populations // J. Math. Biol. 1988. V.26. ќ6. P.635639.
9. Перцев Н.В. Об одном классе интегродиеренциальных уравнений в моделях динамики популяций // Математические структуры и моделирование / Под ред. А.К.
уца. Омск: ОмУ. 1998. Вып. 1. C.7285.
10. Asmussen S., Hering H. Branhing Proesses. Stuttgart: Birkhauser, 1983. 461 p.
11. Guttorp P. Statistial inferene for branhing proesses. New York: Wiley and Sons,
1992. 211 p.
12. Mohler M. Forward and bakward proesses in bisexual models // J. Appl. Prob. 1994.
V.31. ќ2. P.309322.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
163 Кб
Теги
динамика, семейный, населения, распада, одной, пар, модель, формирование, численности, учетом
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа