close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об одной модели контактного трения в процессах течения тонкого пластического слоя.

код для вставкиСкачать
Серия «Естественные науки»
Об одной модели контактного трения в процессах течения тонкого
пластического слоя
д.ф.-м.н. проф. Кийко И.А.
МГУ им. М.В. Ломоносова
8(495)9395539, elast5539@mail.ru
Аннотация. Предложен вариант теории течения тонкого слоя пластического
материала, в котором используется новая модель трения на контактных поверхностях, основанная на гипотезе о тесной физической связи анизотропии пластического материала и фактуры контактной поверхности.
Ключевые слова: совместность системы уравнений течения, уравнение Лагранжа, интегрирующий множитель, уравнение растекания
Процессы течения тонкого пластического слоя, сжимаемого параллельными плоскостями с анизотропным контактным трением, рассматривались в работах [1, 2]. В них высказано предположение, что напряжение контактного трения определяется матрицей анизотропии; в развитой теории эта матрица принята диагональной. Показано, что при малой анизотропии эволюция контура области, занятой слоем, описывается уравнением того же типа, что
и в изотропном случае [3, 4], в работе [4] исследована задача о неустойчивости растекания
полосы. В предлагаемой работе развивается феноменологический подход: мы полагаем, что
величина контактного напряжения трения в процессах растекания тонкого пластического
слоя есть функция угла наклона касательной к линии тока и параметров процесса: температуры, механических свойств материала слоя и др. Материал слоя считается пластически изотропным.
1. Уравнения равновесия
Слой пластического материала занимает в плоскости xy в начальный момент времени
область S0 , ограниченную контуром G 0 : y0 = j0 ( x0 ) . Слой сжимается сближающимися
плоскостями, так что в моменты t > 0 имеем область S с контуром y0 = j ( x0 , t ) . Считаем
область S (так же как и S0 ) симметричной относительно оси x , поэтому линия разветвления течения – конечный или бесконечный отрезок этой оси.
Обозначим t S – предел текучести материала слоя на сдвиг; вообще говоря, t S может
быть функцией температуры, степени деформации и других параметров процесса течения.
Мы будем считать t S = const , чтобы не затенять основное свойство процесса течения – анизотропию трения. Поэтому принимаем гипотезу:
-t тр = t S f (q , m ) n0 , n0 = {cos q ,sin q } ,
(1.1)
где: q – угол между вектором скорости частиц слоя и осью x , m – показатель анизотропии.
Функцию f (q , m ) примем с условиями: она симметрична относительно осей координат; монотонно убывает от единицы до m при изменении q от 0 до p
2
. Трение ортотроп-
но, оси ортотропии совпадают с осями координат.
Обозначим
– характерный размер области S0 , h0 – начальное значение толщины
слоя и введем функцию давления z = ( p - ls S ) h ( 2t S
)
(где s S = 3t S , l ~ 1 ), состояние в
слое при этом и условие на границе будут подчиняться системе уравнений:
¶z
¶z
= f sin q ; z |G = 0 ,
= f cos q ; ¶y
¶x
здесь введены безразмерные координаты, отнесенные к .
Условие совместности системы (1.2) имеет вид:
64 Известия МГТУ «МАМИ» № 4(22), 2014, т. 4
(1.2)
Серия «Естественные науки»
æ ¶f
ö ¶q æ ¶f
ö ¶q
-ç
=0,
cos q - f sin q ÷
sin q + fco s q ÷
(1.3)
ç
è ¶q
ø ¶y è ¶q
ø ¶x
æ ¶f
ö
æ ¶f
ö
и обозначает, что функции q ( x, y ) и g = ç
cos q - f sin q ÷ x + ç
sin q + fco s q ÷ y линейно
q
q
¶
¶
è
ø
è
ø
зависимы. Поэтому имеем общее решение уравнения (1.3):
æ ¶f
ö
æ ¶f
ö
cos q - f sin q ÷ x + ç
sin q + fco s q ÷ y = y 1 (q ) ,
(1.4)
ç
è ¶q
ø
è ¶q
ø
в котором y 1 (q ) – произвольная функция.
Запишем уравнение линии тока в виде y = y ( x ) ; тогда y ' = tgq º x . После этой замены
уравнение (1.4) примет вид:
fy '- f 'x (1 + y '2 )
y=
f 'x (1 + y '2 ) y '+ f '
x +y ( y ') ,
для функции анизотропии f оставлено прежнее обозначение.
Уравнение (1.5) – это уравнение Лагранжа:
y = j ( y ' ) x +y ( y ' ) .
(1.5)
(1.6)
2. Общее решение уравнения (1.6)
Во всех известных руководствах по обыкновенным дифференциальным уравнениям
общее решение уравнения Лагранжа записывается в параметрическом виде; вводится параметр P ( x ) = y ' , уравнение (1.6) дифференцируется по x , в результате имеем:
(j ( P ) - P ) dx + (j ' ( P ) x +y ' ( P )) dP = 0.
(2.1)
Отсюда получаем:
y '( P)
dx j ' ( P )
+
x=,
j-P
dP j - P
это линейное уравнение имеет решение:
y ' ( P ) m1 ( P ) dP ö
j ' ( P ) dP
1 æ
x=
,
çC - ò
÷ , ln m1 = ò
m ( P) è
j-P
j-P
ø
из (1.6) имеем:
y = j ( P ) x +y ( P ) .
(2.2)
(2.3)
(2.4)
Таким образом, получено общее решение уравнения Лагранжа (1.6).
Приведем данную форму общего решения уравнения (1.6), которая в некоторых случаях может оказаться более простой с вычислительной точки зрения.
Легко видеть, что уравнение (2.1) имеет интегрирующий множитель
æ dP ö
m ( P ) = exp ç ò
÷ и общее решение:
è j-Pø
m ( P )(j - P ) x + ò m ( P )y ' ( P ) dP = C .
Общее решение записывается в параметрическом виде:
1
x=
C - ò m ( P )y ' ( P ) dP , y = j ( P ) x +y ( P ) .
m ( P )(j - P )
Легко доказывается, что (2.5) тождественно с (2.3).
(
)
Известия МГТУ «МАМИ» № 4(22), 2014, т. 4
(2.5)
(2.6)
65
Серия «Естественные науки»
3. Направления дальнейших исследований
1) Экспериментальное или теоретическое определение функции анизотропии f (q , m ) и зависимости предела текучести материала t S от параметров процесса, прежде всего от
температуры.
2) Выбор функции y ( P ) ; кроме соображений математической простоты и физической достоверности получаемых результатов, ничего другого, к сожалению, мы посоветовать не
сможем.
Приведем (из соображений простоты результата) пример выбора функции y ( P ) .
Положим
ò m ( P )y ' ( P ) dP = a m ( P )(j - P ) ,
0
отсюда дифференцированием находим
y ( P ) = a 0j ( P ) , и из (2.6) определяем:
C0
.
x + x0
Из этого уравнения определяется (точно или аппроксимационно) P в функции от x ,
после чего из второго уравнения (2.6) находится линия тока y = y ( x ) .
m ( P ) (j ( P ) - P ) =
После этого по известной методике [4] определяется уравнение растекания.
-1
2
æ
ö 2
и из уравнения (1.5) получим:
Пример. Положим f (q ) = ç cos 2 q + sin q 2 ÷
m ø
è
1
y = 2 xy '+y 1 ( y ') .
b
Примем y 1 = a1 y ' , подставим в предыдущее уравнение и проинтегрируем его вместе с
граничными условиями x = x0 , y = j ( x0 , t ) , ( y 'j ') x = x = -1 . В результате получим:
0
m2
æ
x -x ö
y = f1 ( x, x0 , t ) = j ( x0 ) ç1 + 02
÷ ,
è m jj ' ø
где j ' означает производную от j по x0 .
Соответственно этому находим уравнение растекания:
¶j
2m 2
m2 2
2
=j +
j 'j ' +
j j",
¶t
1+ m
1+ m
оно дополняется условиями Коши: t = 0 , j = j0 ( x0 ) .
Здесь t – степень деформации: t = ln ( h0 h ( t ) ) .
1.
2.
3.
4.
66
Литература
Кийко И.А. Технология обработки давлением и новые постановки задач в теории пластичности // Труды 9-й конференции по прочности и пластичности, М., 1996, т. 3, с. 149149.
Кийко И.А. Анизотропия в процессах течения тонкого пластического слоя // ПММ, 2006,
т. 70, вып. 2, с. 344-351.
Кийко И.А. О растекании тонкого пластического слоя в условиях анизотропии // Международная научная конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики», Россия, Тула, 19-23 сентября 2011г.
Кийко И.А. О форме анизотропного пластического слоя, сжимаемого параллельными
плоскостями с анизотропным трением // Вестник Московского университета, 2014.
Известия МГТУ «МАМИ» № 4(22), 2014, т. 4
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
200 Кб
Теги
слоя, тонкого, контактного, процесса, одной, модель, трение, течение, пластического
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа