close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об одной нелинейной вариационной проблеме теории кавитирующих профилей.

код для вставкиСкачать
Известия вузов. Математика
2012, № 12, c. 90–96
http://www.ksu.ru/journals/izv_vuz/
e-mail: izvuz.matem@ksu.ru
Краткое сообщение
Д.В. МАКЛАКОВ, И.Р. КАЮМОВ
ОБ ОДНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ВАРИАЦИОННОЙ ПРОБЛЕМЕ
ТЕОРИИ КАВИТИРУЮЩИХ ПРОФИЛЕЙ
Аннотация. В работе для профилей, обтекаемых по схеме Гельмгольца–Кирхгофа с бесконечной каверной, исследуются предельные значения коэффициентов подъемной силы и сопротивления, отнесенные к длине омываемой части профиля. Именно, при заданном значении
коэффициента подъемной силы определяются минимальное и максимальное значения коэффициента сопротивления. Тем самым находятся максимальное и минимальное значения
гидродинамического качества.
Ключевые слова: экстремальная проблема, идеальная жидкость, схема Гельмгольца–Кирхгофа,
кавитационное обтекание, гидродинамическое качество.
УДК: 517.958 : 532.5
Рассмотрим профиль, обтекаемый установившимся безвихревым потоком идеальной несжимаемой жидкости со скоростью v0 на бесконечности. В теории аэро- и гидропрофилей известны две классические схемы обтекания: безотрывное течение (рис. 1a)) и схема
Гельмгольца–Кирхгофа с бесконечной каверной (рис. 1b)). Для первой схемы сопротивление
D = 0 (парадокс Даламбера), а подъемная сила L определяется хорошо известной формулой Кутты–Жуковского
l
(v · τ )ds.
(1)
L = −ρv0 Γ, Γ =
0
Здесь ρ – плотность жидкости, Γ – циркуляция вокруг контура профиля, s – дуговая абсцисса контура профиля, отсчитываемая от точки схода потока A, (v · τ ) – скалярное произведение вектора скорости v на поверхности профиля и единичного вектора τ , касательного
к поверхности и направленного в сторону возрастания s, l — периметр контура профиля.
Для безотрывного обтекания точка B с дуговой абсциссой s = l совпадает с точкой A, для
которой s = 0. Если l1 – дуговая абсцисса точки O разделения потока и v = |v|, то
(v · τ ) = −v(s) при 0 ≤ s ≤ l1 , (v · τ ) = v(s) при l1 ≤ s ≤ l.
(2)
Как видно из (1), для определения подъемной силы крылового профиля необходимо
знать лишь распределение скорости по его поверхности как функцию дуговой абсциссы s.
При этом, если v(s) известна, то контур профиля может быть восстановлен из решения так
называемой обратной краевой задачи аэромеханики [1]. Формула (1) сыграла выдающуюся
Поступила 18.06.2012
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты №№ 12-01-00996-а, 12-01-97013-р_поволжье_а).
90
ОБ ОДНОЙ ВАРИАЦИОННОЙ ПРОБЛЕМЕ ТЕОРИИ КАВИТИРУЮЩИХ ПРОФИЛЕЙ
91
Рис. 1. a) — безотрывное обтекание профиля, b) — профиль, обтекаемый по
схеме Гельмгольца–Кирхгофа.
роль в теории крыловых профилей и неоднократно использовалась для оптимизации их
формы (например, [1], [2]).
Рассмотрим теперь вторую классическую схему обтекания — схему Гельмгольца–Кирхгофа (рис. 1b)). Согласно этой модели течения поток отделяется от поверхности профиля
в точках отрыва A и B, за профилем образуется бесконечная каверна с постоянным давлением, равным давлению в набегающем потоке, скорость на свободных поверхностях AI и
BI постоянна и равна скорости на бесконечности v0 . Точку разделения потока, как и ранее,
обозначим через O. Дуговую абсциссу отсчитываем от точки A.
Формулы, аналогичные (1), для подъемной силы L и сопротивления D профиля, обтекаемого по второй схеме, были получены недавно в работах [3], [4]:
l
2
l
ρv0
v0
v0
v
log
ds
,
(3)
L = ρv0 (v · τ ) log ds, D =
√
v
4π
ϕ
v
0
0
где l — длина дуги AOB омываемой части профиля, ϕ = ϕ(s) – распределение потенциала
скорости вдоль AOB:
s
l1
v(s)ds при 0 ≤ s ≤ l1 , ϕ =
v(s)ds при l1 ≤ s ≤ l,
ϕ=
l1
s
l1 — дуговая абсцисса точки разделения потока O.
Модель Гельмгольца–Кирхгофа в настоящее время трактуется как предельная схема кавитационного обтекания ([5], с. 23), когда давление в набегающем потоке совпадает с давлением в каверне, а размеры каверны бесконечно велики. В теории кавитационных течений
известно первое условие Бриллуэна ([5], с. 124): давление в каверне минимально. Тогда скорость на свободных поверхностях AI и BI максимальна и, следовательно,
v(s) ≤ v0 ,
0 ≤ s ≤ l.
(4)
Отсюда вытекает, что в формулах (3) множитель log vv0 ≥ 0.
Простота формул (3) позволяет ставить различные задачи по определению распределений скорости на кавитирующем профиле, обеспечивающих максимальную подъемную силу
при выполнении условия Бриллуэна (4). Одна из таких задач была решена в работах [3],
[4]. Именно, было найдено распределение v(s), при котором подъемная сила L максимальна. Установлено, что для профиля максимальной подъемной силы l1 = 0 (точки A и O
совпадают) и v(s) = e−1 v0 , где e — основание натуральных логарифмов. Из (3) вытекает, что Lmax = ρv02 le−1 и это абсолютный максимум подъемный силы при выполнении (4).
92
Д.В. МАКЛАКОВ, И.Р. КАЮМОВ
Однако такая постановка совершенно не учитывает кавитационное сопротивление, определяемое второй формулой в (3). Найденное распределение v(s) = e−1 v0 дает сопротивление
D = ρv02 l/(πe). Гидродинамическое качество такого профиля будет κ = L/D = π. Чтобы получить профили с большим гидродинамическим качеством κ, естественно включить
сопротивление D в процесс оптимизации.
Введем отнесенные к l коэффициенты подъемной силы CL и сопротивления CD :
CL =
2L
,
ρv02 l
CD =
2D
.
ρv02 l
В конце статьи [3] как вариант дальнейшего перспективного направления исследований была сформулирована задача об определении распределения скорости на поверхности кавитирующего профиля, которое при заданной подъемной силе L (заданном CL ) обеспечивает
максимальное гидродинамическое качество κ = L/D = CL /CD . Полному решению данной задачи и посвящена настоящая работа. Кроме того, для полноты картины мы нашли
распределения скорости, обеспечивающие минимальное гидродинамическое качество κ при
заданном значении CL . Тем самым при фиксированном значении коэффициента подъемной
силы CL найдены точные оценки сверху и снизу важной для приложений гидродинамической характеристики.
Пусть l2 = l − l1 — длина дуги OB. Введем две безразмерные функции u1 (σ) и u2 (σ),
0 ≤ σ ≤ 1, такие, что
u1 l1l−s
на OA;
v
1
s−l1 =
(5)
v0
на OB.
u2 l2
Так как скорость v ≥ 0, то функции u1 (σ) и u2 (σ) являются неотрицательными. При выполнении условия Бриллуэна (4) они удовлетворяют неравенствам
u1 (σ) ≤ 1,
u2 (σ) ≤ 1.
(6)
С помощью формул (3) выразим CL и CD через u1 (σ) и u2 (σ):
2
√
1 √
1 − εJ[u2 ] + εJ[u1 ] ,
CL = 2{(1 − ε)I[u2 ] − εI[u1 ]}, CD =
2π
где ε = l1 /l, I[u] и J[u] — нелинейные функционалы от функции u(σ), 0 ≤ σ ≤ 1:
1
1
u(σ) log u(σ) dσ
u(σ) log u(σ) dσ, J[u] = −
.
I[u] = −
σ
0
0
u(σ1 )dσ1
(7)
(8)
0
Как видно из (8), при выполнении условия Бриллуэна (6) значения функционалов I[u], J[u]
при u = u1 (σ) и u = u2 (σ) будут неотрицательными.
Перепишем функционалы I[u] и J[u] в терминах классических функционалов вариационного исчисления. Для этого сделаем замену
σ
u(σ1 )dσ1 .
λ(σ) = 2
0
Тогда
I[λ] = −
1
λλ log(λλ )dσ,
0
√ J[λ] = − 2
1
λ log(λλ )dσ.
0
Ясно, что λ(σ) ≥ 0. Кроме того, u(σ) = λ(σ)λ (σ), поэтому λ (σ) ≥ 0.
(9)
ОБ ОДНОЙ ВАРИАЦИОННОЙ ПРОБЛЕМЕ ТЕОРИИ КАВИТИРУЮЩИХ ПРОФИЛЕЙ
93
Решение основной проблемы определения абсолютных экстремумов гидродинамического
качества κ при заданном значении CL основано на решении следующей вспомогательной
вариационной задачи.
Вспомогательная задача. Найти функцию λ(σ), σ ∈ [0, 1]:
λ(0) = 0,
λ (σ) ≥ 0,
(10)
доставляющую абсолютный минимум (максимум) функционалу J[λ] при условии, что
I[λ] = q (q задано), и дополнительном ограничении
λ(σ)λ (σ) ≤ 1.
(11)
Без ограничения (11) данная задача является задачей вариационного исчисления на
условный экстремум со свободным правым концом. Найдем решение методом множителя
Лагранжа. Составим вспомогательный функционал
1
1
λ (λ + k) log(λλ )dσ = −
E(λ, λ )dσ,
(12)
P [λ] = −
0
0
где k — действительная постоянная, и запишем уравнение Эйлера [6]
d
Eλ = 0,
dσ
которое для функционала P [λ] приобретает вид
Eλ −
λ (λ + k)
+ λ = 0.
λ
Отсюда следует
λ (σ)[λ(σ) + k] = c,
(13)
где c — постоянная. Так как правый конец искомой функции λ(σ) является свободным, то
должно выполняться соотношение [Eλ ]σ=1 = 0 [6], которое приводится к виду
λ(1)λ (1) = 1/e.
Уравнение (13) легко интегрируется при условии λ(0) = 0 и имеет два решения:
λ(σ) = −k + 2cσ + k2 при k > 0,
λ(σ) = −k − 2cσ + k2 при k < 0.
(14)
(15)
(16)
Нами доказано, что функции вида (15), (16) определяют максимум функционала J[λ] и, как
следствие, не минимум гидродинамического качества κ, a его максимум, который мы устанавливаем лишь для полноты картины. Таким образом, применение классического подхода
не приводит к определению наиболее интересных с точки зрения практических приложений
экстремумов. Для решения использовали технику (развитую ранее в статьях [7]–[11] для исследования экстремальных задач теории струй и кавитации), основанную на неравенстве
Йенсена ([12], теорема 204).
Через Jmin (q) (Jmax (q)) обозначим минимум (максимум) функционала J[λ] при заданном
значении I[λ] = q. Полное решение вспомогательной задачи содержит
Теорема 1. 1) Функция Jmin (q) задается параметрическими уравнениями
q = q(b) = 12 b2 − k2 + k(b − a) − k2 log ab ,
√ Jmin = 2 k log ab + b + k ,
(17)
94
Д.В. МАКЛАКОВ, И.Р. КАЮМОВ
√
где b ∈ ( 2/e, 2),
b2 e − 2
(e − 1)b(b2 e − 2)
,
a
=
.
2 + (e − 2)b2 e
(e − 1)b
Абсолютный минимум доставляется функцией
√
2 − b2
2σ
при 0 ≤ σ < γ,
c
=
.
λ(σ) =
2 + (e − 2)b2 e
−k + 2c(σ − γ) + (a + k)2 при γ ≤ σ ≤ 1,
k = K(b) = −
2) Функция Jmax (q) задается параметрическими уравнениями
q = q(b) = 12 b2 + k b − k2 log b+k
b(b2 e − 2)
k ,
√ где
k
=
K
.
(b)
=
−
1
2(b2 e − 1)
+
b
,
Jmax = 2 k log b+k
k
Пусть c =
(18)
(19)
b2
2(b2 e−1) .
Абсолютный максимум доставляется функциями
b ∈ (0, 1/e),
λ(σ) = −k − 2cσ + k2 при q ∈ (0, q∗ ),
√
при q = q∗ ,
λ(σ) = σ/ e
λ(σ) = −k + 2cσ + k2 при q ∈ (q∗ , qmax ], b ∈ ( 1/e, 2/e].
Проблему определения абсолютного максимума гидродинамического качества κ полностью решает
Теорема 2. Максимально возможное значение коэффициента подъемной силы CL равно
2/e. При заданном значении CL ∈ (0, 2/e] абсолютный минимум коэффициента сопро1 2
Jmin (CL /2), а абсолютный максимум гидродинамического качества
тивления CD min = 2π
2
κmax = 2πCL /Jmin (CL /2).
Ситуация с нахождением минимального качества (максимального сопротивления) при
заданном CL является более сложной. Мы установили, что
2
√
1 √
1 − εJmax (q2 ) + εJmax (q1 ) ,
(20)
CD max = max
ε,q1 ,q2 2π
где ε, q1 и q2 удовлетворяют ограничениям
ε ∈ [0, 1),
0 ≤ q1 , q2 ≤ qmax ,
(1 − ε)q2 − εq1 = CL /2 ∈ (0, qmax ],
qmax = 1/e.
(21)
Решение задачи (20), (21) было найдено численно с помощью стандартной функции Maximize пакета Mathematica 8.0.
На рис. 2 показаны зависимости минимального коэффициента сопротивления CD min и
максимального CD max от коэффициента подъемной силы CL , а в табл. 1 представлены значения максимального гидродинамического качества κmax и минимального κmin при различных значениях CL . Штрих-пунктирной линией на рис. 2 показана зависимость CD от
CL для плоской пластины. Коэффициенты CD и CL для пластины определятся хорошо
известными формулами Релея ([5], с. 83):
CD =
2π sin2 α
,
4 + π sin α
CL =
π sin 2α
,
4 + π sin α
κ = ctg α,
где α — угол атаки.
Как видно из рис. 2, штрих-пунктирная линия целиком лежит между кривыми CD min (CL )
и CD max (CL ). Укажем, что для любого крыла, обтекаемого по схеме Гельмгольца–Кирхгофа,
точка (CL , CD ) всегда лежит в области, ограниченной кривыми CD min (CL ) и CD max (CL ).
ОБ ОДНОЙ ВАРИАЦИОННОЙ ПРОБЛЕМЕ ТЕОРИИ КАВИТИРУЮЩИХ ПРОФИЛЕЙ
95
Рис. 2. Зависимости CD min и CD max от CL (штрих-пунктирная линия —
зависимость CD от CL для плоской пластины)
Таблица 1. Значения κmax и κmin при различных CL
2
CL
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
e
κmax ∞ 224.88
99.1015 57.0649 35.9197 23.0608 14.1997 7.0821 π
κmin 0 0.107495 0.219695 0.342541 0.48536 0.666406 0.933793 1.53824 π
Литература
[1] Елизаров А.М., Ильинский Н.Б., Поташев А.В. Обратные краевые задачи аэрогидродинамики: теория
и методы проектирования и оптимизации формы крыловых профилей (Физматлит, M., 1994).
[2] Елизаров А.М., Касимов А.Р., Маклаков Д.В. Задачи оптимизации формы в аэрогидродинамике (Физматлит, М., 2008).
[3] Маклаков Д.В. Аналог теоремы Кутта–Жуковского при обтекании профиля с отрывом струй, Докл.
РАН 441 (2), 187-190 (2011).
[4] Maklakov D.V. On the lift and drag of cavitating profiles and the maximum lift and drag, J. Fluid Mech. 687,
360-375 (2011) doi:10.1017/jfm.2011.358
[5] Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости, 2-е изд. (Наука, М., 1979).
[6] Лаврентьев М.А., Люстерник Л.А. Курс вариационного исчисления (ГИТЛ, М.–Л., 1950).
[7] Маклаков Д.В. О максимуме сопротивления криволинейного препятствия, обтекаемого с отрывом
струй, ДАН СССР 298 (3), 574–577 (1988).
[8] Maklakov D.V., Uglov A.N. On the maximum drag of a curved plate in flow with a wake, Eur. J. Appl. Math.
6 (5), 517–527 (1995).
[9] Maklakov D.V. A note on the optimum profile of a sprayless planing surface, J. Fluid Mech. 384, 281–292
(1999).
[10] Maklakov D.V. Some remarks on the exact solution for an optimal impermeable parachute problem, J. Comput.
and Appl. Math. 166 (2), 591–596 (2004).
[11] Maklakov D.V. On deflectors of optimum shape, J. Fluid Mech. 540, 175–187 (2005).
[12] Харди Г.Г., Литтльвуд Дж.Е., Полиа Г. Неравенства (Ин. лит., М., 1948).
96
Д.В. МАКЛАКОВ, И.Р. КАЮМОВ
Д.В. Маклаков
профессор, кафедра аэрогидромеханики,
Казанский (Приволжский) федеральный университет,
ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия,
e-mail: dvmaklakov@mail.ru
И.Р. Каюмов
ведущий научный сотрудник,
институт математики и механики им. Н.И. Лобачевского,
Казанский (Приволжский) федеральный университет,
ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия,
e-mail: ikayumov@gmail.com
D.V. Maklakov and I.R. Kayumov
One nonlinear variational problem of the theory of cavitating profiles
Abstract. In this paper we consider profiles with infinite cavity streamlined in accordance with
the Helmholtz–Kirchhoff scheme. We study limit values of coefficients of the rising force and the
resistance with respect to the length of the streamlined part of the profile. Namely, for a given
value of the coefficient of the rising force we calculate the minimal and maximal values of the
resistance coefficient and thus determine the maximal and minimal values of the hydrodynamic
quality.
Keywords: extremal problem, ideal fluid, Helmholtz–Kirchhoff scheme, cavitation streamline flow,
hydrodynamic quality.
D.V. Maklakov
Professor, Chair of Aerohydrodynamics,
Kazan (Volga Region) Federal University,
18 Kremlyovskaya str., Kazan, 420008 Russia,
e-mail: dvmaklakov@mail.ru
I.R. Kayumov
Leading Scientific Researcher,
N.I. Lobachevskii Institute of Mathematics and Mechanics,
Kazan (Volga Region) Federal University,
18 Kremlyovskaya str., Kazan, 420008 Russia,
e-mail: ikayumov@gmail.com
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
200 Кб
Теги
нелинейные, профилей, кавитирующих, одной, вариационных, проблемы, теория
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа