close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об одной неоднородной регуляризованной задаче динамики вязкоупругой среды.

код для вставкиСкачать
Известия вузов. Математика
2012, № 8, c. 58–64
http://old.kpfu.ru/journals/izv_vuz/
Гос. номер статьи по НТЦ "Информрегистр" 0421200123 \0077
В.П. ОРЛОВ
ОБ ОДНОЙ НЕОДНОРОДНОЙ РЕГУЛЯРИЗОВАННОЙ ЗАДАЧЕ
ДИНАМИКИ ВЯЗКОУПРУГОЙ СРЕДЫ
Аннотация. Установлена разрешимость одной неоднородной регуляризованной задачи динамики вязкоупругой сплошной среды в плоском случае.
Ключевые слова: вязкоупругая сплошная среда, априорные оценки, сильное решение.
УДК: 517.958
1. Введение. В декартовом произведении QT = [0, T ] × Ω, где Ω ∈ R2 — ограниченная
область с гладкой границей Γ, рассматривается начально-краевая задача
t
2
∂
v(t, x)+ vi (t, x)∂v(t, x)/∂xi −µ0 ∆v(t, x)−µ1 Div
exp(λ(s−t)) E(v)(s, z(s; t, x)) ds+
∂t
τ
(t,x)
i=1
p(t, x) dx = 0; t ∈ [0, T ];
+grad p(t, x) = f (t, x), (t, x) ∈ QT ; div v(t, x) = 0, (t, x) ∈ QT ;
Ω
(1)
v(0, x) = v 0 (x), x ∈ Ω0 , v(t, x) = v 1 (x), (t, x) ∈ ST = {(t, x) : t ∈ [0, T ], x ∈ Γ}. (2)
Здесь v(t, x) = (v1 (t, x), v2 (t, x)) и p(t, x) — искомые векторная и скалярная функции, означающие скорость движения и давление среды, f (t, x) — плотность внешних сил, E(v)={Eij }2i,j=1
— тензор скоростей деформаций, т. е. матрица с коэффициентами Eij (v) = 12 (∂vi /∂xj +
∂vj /∂xi ). Дивергенция Div E(v) матрицы определяется как вектор с компонентами — дивергенциями строк, µ0 > 0, µ1 , λ — неотрицательные константы, v0 , v1 — заданные начальное и граничное значения функции v. Вектор-функция z(τ ; t, x) определяется как решение
задачи Коши
τ
v(s, z(s; t, x)) ds, τ, t ∈ [0, T ], x ∈ Ω,
(3)
z(τ ; t, x) = x +
t
причем τ (t, x) = inf{s : z(s; t, x)) ∈ Ω, 0 ≤ s ≤ t}.
В случае однородного граничного условия данная задача хорошо изучена. При µ1 = 0 система уравнений (1)–(2) является системой уравнений Навье–Стокса, описывающей движение ньютоновских жидкостей. При µ1 = 0 система (1)–(2) описывает динамику вязкоупругих жидкостей. Нелокальная теорема существования и единственности слабых и сильных
решений системы (1)–(3) установлена в [1], [2] при τ (t, x) = 0 и v 1 (x) = 0 для регуляризованной задачи (1)–(2), получающейся заменой в (3) v на Sδ v (Sδ v — оператор регуляризации).
Там же обоснована необходимость регуляризации.
Поступила 20.03.2012
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 10-01-00143.
58
ОБ ОДНОЙ НЕОДНОРОДНОЙ РЕГУЛЯРИЗОВАННОЙ ЗАДАЧЕ
59
Появление неоднородного граничного условия v 1 (x) = 0 приводит к тому, что траектория
частицы жидкости, которая в момент t попадает в точку x, может начинаться с точки
границы в момент τ (t, x) > 0. В связи с этим возникает интеграл с переменным нижним
пределом τ (t, x), зависящим от t и x. Это сильно усложняет задачу, поскольку сказывается
на дифференциальных свойствах выражения под знаком Div.
2. Обозначения и основные результаты. Ниже | · | обозначает евклидову норму вектора или матрицы; (·, ·) — скалярное произведение в L2 (Ω); |u|0 , u0 , |u|k , uk,m — нормы
функции u в L2 (Ω), L2 (Q), W2k (Ω), W2k,m(Q); P — ортопроектор в L2 (Ω) на подпространство
◦
соленоидальных функций H; V = W 12 (Ω) ∩ H.
Предполагается, что граничная функция v 1 (x) гладкая и удовлетворяет условию
v 1 (x) · n(x) dx = 0, v 1 (x) · n(x) = vi1 (x)ni (x).
(4)
Γ
Здесь n(x) — вектор внешней нормали к Γ в точке x ∈ Γ. Тогда существует гладкая функция
v(x), определенная в Ω, удовлетворяющая условию div v(x) = 0 и совпадающая с v 1 (x) на
Γ ([3], с. 34).
◦
Рассмотрим в H оператор Av = −Pv, D(A) = W22 (Ω)∩H ∩ W 12 (Ω) ([3], с. 54) и определим
= Sδ u, где
регуляризатор Sδ : L2 (Ω) → C 2 (Ω) как u
u
(x) = v(x) + (I + δA)−1−κ (u(x) − v(x)), δ > 0, κ > 0.
(5)
Заметим, что в силу непрерывности вложений W2σ (Ω) ⊂ C 1 (Ω), σ > 2 ([4], с. 408), D(Aα ) ⊂
W22α (Ω), α > 0, [5] для v(t, x) = Sδ v(t, x) при v(t, x) ∈ W20,1 (QT ) справедливо включение
v(t, x) ∈ L1 (0, T ; C 2 (Ω)). Предполагаем, что κ сколь угодно мало. Имеются и другие конструкции оператора регуляризации Sδ [1]. Все они обладают свойством, что при δ → 0 имеет
место сходимость Sδ u(x) к u(x).
Рассмотрим задачу Коши
τ
v (s, z(s; t, x)) ds, τ ∈ [0, T ], (t, x) ∈ Q.
(6)
z(τ ; t, x) = x +
t
С помощью [6] устанавливается однозначная разрешимость задачи (6) при всех (t, x) ∈ Q,
однако z(τ ; t, x) определяется лишь для τ ∈ [τ (t, x), T ].
Будем интересоваться оценками решений задачи (1)–(2), (6). Под решением задачи будем
понимать пару гладких функций, удовлетворяющих (1)–(2).
Сформулируем основной результат. Относительно поведения функции v 1 (x) на границе будем предполагать, что она вырождается лишь на конечном множестве особых точек
Π={z1 , . . . , zk } границы, т. е. v 1 (z) · n(z) = 0, z ∈ Π (n(z) — внешняя нормаль в z ∈ Γ).
Будем предполагать, что в окрестности произвольной точки z∗ ∈ Π выполняются следующие условия согласования границы и граничного условия. Пусть в произвольной точке
1 , x
2 , порожденная единичныz∗ ∈ Π введена локальная ортогональная система координат x
ми вектором нормали n(z∗ ) и касательным вектором k(z∗ ), а граница задается как функция
x1 ), причем σ(0) = σ (0) = 0, σ(
x) > 0 при x
= 0. Пусть в этой системе граничная
x
2 = σ(
x1 ), v 12 (
x1 )), и выполняется условие согласования
функция v 1 имеет вид (v 11 (
(v 12 ) (0) − σ (0)v 11 (0) = 0, z ∈ Π.
(7)
60
В.П. ОРЛОВ
Теорема 1. Пусть f ∈ L2 (0, T ; H), v 0 ∈ L2 (Ω), v 1 ∈ C 1 (Γ) и выполняется условие (4).
Тогда для решения задачи (1)–(2), (6) справедлива априорная оценка
t
2
|v(s, x)|21 ds ≤ M (f 20 + v4C 1 (Ω) + |v|20 ), 0 ≤ t ≤ T.
(8)
|v(t, x)|0 +
0
С помощью теоремы 1 устанавливается
Теорема 2. Пусть f ∈ L2 (0, T ; H), v 1 ∈ C 2 (Ω), v 0 − v ∈ V и выполняются условия (4) и
(7). Тогда для решения задачи (1)–(2), (6) справедлива априорная оценка
v1,2 ≤ M (f 0 , |v 0 |1 , v 1 C 2 (Γ) ).
(9)
С помощью теоремы 2 устанавливается
Теорема 3. Пусть f ∈ L2 (0, T ; H), v 0 − v ∈ V , v 1 ∈ C 2 (Γ) и выполняются условия (4)
и (7). Пусть область выпукла. Тогда задача (1)–(2), (6) имеет единственное решение
v ∈ W21,2 (QT ), p ∈ W20,1 (QT ), причем v1,2 + p0,1 ≤ M (f 0 , |v 0 |1 , v 1 C 2 (Γ) ).
Схемы доказательств теорем 1, 2 и 3 проводятся в пп. 4, 5 и 6 соответственно. В п. 3 приводятся вспомогательные результаты. Всюду ниже vx (x) означает матрицу Якоби векторфункции v(x), vxx (x) — тензор, состоящий из вторых производных ∂ 2 vk (x)/∂xi ∂xj .
3. Вспомогательные факты. С помощью доказываемой оценки v (t, x)C(0,T ;C 2 (Ω)) ≤
M v(t, x)W 0,1 для v(t, x) ∈ W 0,1 (QT ) устанавливаются неравенства (τ (t, x) ≤ τ ≤ t)
2
zx (τ ; t, x)C(Ω) ≤ M (v0,1 , v 1 C 1 (Γ) ), zxx (τ ; t, x)C(Ω) ≤ M (v0,1 , v 1 C 1 (Γ) ).
(10)
Установим некоторые свойства функции τ (t, x). Представим Ω в виде
Ω = Ω+ (t)∪Ω− (t)∪Ω0 (t), Ω+ (t) = {x : τ (t, x) > 0, v 1 (z)·n(z) = 0, z = z(τ (t, x); t, x), x ∈ Ω};
Ω− (t) = {x : τ (t, x) = 0, z(τ (t, x); t, x) ∈ Ω}; Ω0 (t) = Ω \(Ω+ (t)∪ Ω− (t)). Устанавливается, что
множества Ω± (t) являются открытыми, функция τ (t, x) непрерывна на Ω+ (t), τ (t, x) ≡ 0
на Ω− (t), m(Ω0 (t)) = 0 и m(Ω+ (t) ∪ Ω− (t)) = m(Ω). Здесь m(B) — мера множества B.
Пусть граница Γ задается уравнением Φ(x) = 0, где Φ(x) — гладкая функция.
Лемма 1. Функция τ (t, x) дифференцируема на Ω+ (t) и справедливо соотношение
2
∂zk
∂Φ
∂τ (t, x)
=−
(z(τ (t, x); t, x))
(τ (t, x); t, x) ×
∂xi
∂xk
∂xi
k=1
× (∇Φ(z(τ (t, x); t, x))v 1 (z(τ (t, x); t, x)))−1 , i = 1, 2. (11)
Получим оценки производных τ (t, x). Изучим поведение ∇τ (t, x) на Ω+ (t). Заметим,
что из формулы (11) следует, что ∇τ (t, x) может иметь особенность только тогда, когда
z(τ (t, x); t, x) попадает в окрестность особой точки z ∈ Π. Оказывается, что в окрестность
особой точки могут попадать лишь траектории, начинающиеся вблизи нее.
Без ограничения общности будем считать, что эта точка z единственная и z = 0, область Ω
лежит в верхней полуплоскости, а в малой окрестности z = 0 граница Γ задается функцией
z2 = σ(z1 ), |z1 | ≤ h1/2 , h > 0, так, что σ (0) = 0, σ (0) > 0.
Более того, в целях упрощения довольно громоздких выкладок будем считать, что в этой
малой окрестности z = 0 граница Γ задается функцией z2 = z12 , |z1 | ≤ h1/2 , h > 0. Положим
Γ(h) = {z : z ∈ Γ, z2 = z12 , |z1 | ≤ h1/2 }, U (h) = {z : z2 ≥ z12 , |z1 | ≤ h1/2 }.
ОБ ОДНОЙ НЕОДНОРОДНОЙ РЕГУЛЯРИЗОВАННОЙ ЗАДАЧЕ
61
Лемма 2. Пусть x ∈ Ω+ , z = z(τ (t, x); t, x) ∈ Γ(h) и
(v 12 ) (0) − 2v 1 (0) = 0.
(12)
Тогда справедливо неравенство |∂τ (t, x)/∂xi | ≤ M (v0,1 )|z1 |−1 , i = 1, 2.
Заметим, что (12) — это условие (7) для границы z2 = z12 .
4. Схема доказательства теоремы 1. Без ограничения общности будем считать, что
λ = 0. Умножив (1) на обращающуюся на границе Γ функцию v(t, x), т. е. на v(x), скалярно
в L2 (Ω) и воспользовавшись стандартными соображениями ([3], с. 141) при интегрировании
по частям, получим (повторяющиеся индексы предполагают их суммирование)
1 d
|v(t, x)|20 + µ0 |vx (t, x)|20 = (f (t, x), v(t, x)) − (f (t, x), v(x)) − µ0 (E(v)(t, x), E(
v )(x))−
2 dt
t
t
E(v)(s, z(s; t, x)) ds, E(v)(t, x) + µ1
E(v)(s, z(s; t, x)) ds, E(
v )(x) +
− µ1
τ (t,x)
1
+
2
∂
vj
vi vj ,
∂xi
τ (t,x)
∂vj
1
vi
, vj
−
2
∂xi
d
Ik . (13)
+ (v(t, x), v(x)) =
dt
7
k=1
Нетривиальной является оценка I4 , I6 . Оценка I4 сводится к оценке интеграла
t
|vx (s, z(s; t, x))|2 ϕ(s, x) ds dx.
I41 =
Ω
τ (t,x)
1, x ∈ Ωs ;
где Ωs = {y : y = z(s; t, x), x ∈ Ωs }.
Здесь измеримая функция ϕ(s, x) =
0, x ∈
/ Ωs ,
Перепишем I41 с помощью ϕ(s, x), избавившись от переменной x в пределе интегрирования
и меняя порядок интегрирования. Получим
t
t
2
2
|vx (s, z(s; t, x))| ϕ(s, x)ds dx =
|vx (s, z(s; t, x))|2 ϕ(s, x) dx ds.
(14)
I41 =
0
Ω
0
Ω
t
Отсюда стандартным образом выводится оценка I4 ≤ C(ε) 0 |v(s, x)|21 ds + ε|v(t, x)|21 .
Для оценки слагаемого I6 используется один результат Темама ([7], с. 143) о существовании продолжения v(x) граничной функции v 1 (x) в область Ω для обеспечения неравенства
(ui (x) ∂v(x) , u(x))| ≤ ε|u(x)2 ∀u(x) ∈ V , для произвольного ε > 0.
∂xi
1
v (x)4C 1 (Ω) .
Для слагаемого I6 имеем |I6 | ≤ ε|v(t, x)|21 + M (ε)
t
v 4C 1 (Ω) , |v|20 и |v(τ, x)|21 dτ .
Остальные слагаемые дают оценки через f 20 , 0
Интегрируя (13) по t, пользуясь оценками Ik и выбирая ε > 0 достаточно малым, получаем
t
t
2
2
2
4
0 2
|v(s, x)|1 ds ≤ M1
|f (s, x)|0 ds + v (x)C(Ω) + |v |0 +
|v(t, x)|0 +
0
0
t
+ M2
0
ξ
|v(s, x)|21
ds +
|v(ξ, x)|20
dξ. (15)
0
Отсюда имеем интегральное неравенство типа Гронуолла для q(t) =
t
0
|v(τ, x)|21 dτ +
|v(t, x)|20 , дающее оценку q(t). Из (15) и оценки q(t) следует утверждение теоремы 1.
62
В.П. ОРЛОВ
5. Схема доказательства теоремы 2. Заменой u(t, x) = v(t, x) − v(x) исходная задача
сводится к задаче
∂u(t, x)/∂t + ui (t, x)∂u(t, x)/∂xi − µ0 ∆u(t, x) + grad p(t, x) = Φ(t, x), (t, x) ∈ QT ;
p(t, x) dx = 0, t ∈ [0, T ];
div u(t, x) = 0, (t, x) ∈ QT ;
(16)
(17)
Ω
∂
vi (x)
∂
vi (x)
∂ui (t, x)
+ ui (t, x)
+ vi (x)
−
∂xi
∂xi
∂xi
t
7
E(u)(z(s; t, x)) ds + µ1 Div
E(
v )(s, z(s; t, x)) ds + µ0 ∆
v (x) ≡
Jk (t, x),
Φ(t, x) = f (t, x) − vi (x)
− µ1 Div
t
τ (t,x)
τ (t,x)
k=1
(18)
u(0, x) = v 0 (x) − v(x) ≡ u0 (x), x ∈ Ω0 , u(t, x) = 0, (t, x) ∈ ST .
Из (8) вытекает
t
t
t
2
2
2
2
0
2
|∂u(s, x)/∂t|0 ds + |u(t, x)|1 +
|u(s, x)|2 ds ≤ M
|Φ(s, x)|0 ds + |u (x)|1 ,
0
0
(19)
(20)
0
0 ≤ t ≤ T , с не зависящей от t константой.
t
Получим оценку |Φ(s, x)|20 ds через оценки Jk . Без ограничения общности считаем, что
0
единственной особой точкой z ∗ (v(z ∗ ) · n(z ∗ ) = 0) является z ∗ = 0, и область Ω лежит выше
границы Γ = {z : z2 = z12 , |z1 | ≤ h1/2 }. Здесь нетривиальной является оценка формы J5 , при
дифференцируемости которой появляются слагаемые вида
t
|uxx (s, z(s; t, x))| |zx (s; t, x)| ds.
J51 (t, x) = |ux (τ (t, x), z(; t, x))| |∇τ (t, x)|, J52 (t, x) =
τ (t,x)
Оценка J52 L2 (Qt ) проводится по схеме оценки I41 и дает неравенство
t
|J52 (s, x)|20 ds
0
≤M
t
0
τ
|u(s, x)|22 ds dτ.
0
Оценка J51 L2 (Qt ) заменой переменных τ = τ (s, x), z1 = z1 (τ (s, x); s, x) сводится к оценке
t |ux (τ, z1 , z12 )|2 |z1 |−1 dτ dz1 ds,
части этой нормы в малой окрестности особой точки
0
Z(h,s)
где Z(h, t) — некоторая окрестность особой точки, для которой
τ ≥ t + m1 z1 , −h1/2 ≤ z1 ≤ h1/2 , 0 ≤ τ ≤ t.
Использование теорем вложения, неравенства моментов для норм пространства Соболева
и специфики области позволяет утверждать, что при произвольно малом ε > 0
t
t
t
2
2
|J5 (s, x)|0 ds ≤ ε
|u(τ, z)|2 dτ + C(ε)
|u(τ, z)|20 dτ.
0
0
0
ОБ ОДНОЙ НЕОДНОРОДНОЙ РЕГУЛЯРИЗОВАННОЙ ЗАДАЧЕ
63
Остальные слагаемые оцениваются аналогично, но проще. Учитывая оценки слагаемых Jk ,
(20), (8) и выбирая ε > 0 достаточно малым, получаем
t
t
∂u(s, x) 2
ds + |u(t, x)|21 +
|u(s, x)|22 ds ≤
∂t 0
0
0
t τ
1
0
≤ M (v (x)C 2 (Γ) , |u (x)|1 , f (t, x)0 ) +
|u(s, z(s; t, x))|22 ds dτ. (21)
0
Полагая q(t) =
t
|u(s, x)|22 ds, из (21) имеем q(t) ≤ M1 + M2
0
t
0
|u(s, x)|22 ds. Отсюда вытекает
0
q(t) ≤ M3 , M3 = M (v (x)C 2 (Γ) , |u (x)|1 , f (t, x)0 ).
1
0
v (x)|1 ) и (21) следует оценка
Из этой оценки с учетом неравенства |u0 (x)|1 ≤ M (|v 0 (x)|1 +|
(9).
6. Схема доказательства теоремы 3. Перепишем задачу (16)–(19) в виде
vi /∂xi + P vi ∂ui /∂xi − µ0 P ∆u,
L(u) = Ψ, L(u) ≡ ∂u/∂t + P ui ∂
vi /∂xi + µ0 P ∆
v ) − Pui ∂u/∂xi + µ1 P Div
Ψ = (f − P vi ∂
(22)
t
E(u)(z(s; t, x)) ds+
τ (t,x)
t
+ µ1 P Div
E(
v )(s, z(s; t, x)) ds ≡ S1 (u) + S2 (u) + S3 (u) + S4 (u).
τ (t,x)
Используя обратимость оператора L (L−1 : L2 (0, T ; H) → W21,2 (QT )), сведем задачу (22) к
операторному уравнению
u = K(u), K(u) = L−1 (S1 (u) + S2 (u) + S3 (u) + S4 (u)).
(23)
Доказательство разрешимости уравнения (23) проводится по схеме [8]. Применение к слагаемым L−1 (Sk (u)) в (23) оценок, использованных для аналогичных слагаемых при выводе
априорной оценки (9), позволяет показать, что при достаточно большом R и достаточно
малом T0 ≤ T оператор K переводит в себя шар S(R) радиуса R пространства W21,2 (QT0 ).
Введение W20,1 (QT0 )-метрики на S(R) порождает полное метрическое пространство Ξ. При
малом T0 ≤ T уравнение (23) однозначно разрешимо в Ξ, а следовательно, задачи (22) и
(1)–(2), (6) однозначно разрешимы на [0, T0 ]. Так как априорная оценка (9) не зависит от
T , то это обстоятельство позволяет продолжить решение с [0, T0 ] на [0, T ].
Литература
[1] Звягин В.Г., Дмитриенко В.Т. О слабых решениях начально-краевой задачи для регуляризованной модели вязкоупругой жидкости, Дифференц. уравнения 38 (12), 1633–1645 (2002).
[2] Звягин В.Г., Дмитриенко В.Т. О сильных решениях начально-краевой задачи для регуляризованной
модели несжимаемой вязкоупругой жидкости, Изв. вузов. Матем., № 9, 24–40 (2004).
[3] Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости (Наука, M.,
1970).
[4] Трибель Х. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы
(Мир, M., 1980).
[5] Соболевский П.Е. О дробных нормах в банаховом пространстве, порожденном неограниченным оператором, УМН 19 (6), 219–222 (1964).
[6] Orlov V.P., Sobolevskii P.E. On mathematical models of a viscoelasticity with a memory, Diff. and Integral
Equat. 4 (1), 103–115 (1991).
[7] Темам Р. Уравнение Навье–Стокса. Теория и численный анализ (Мир, М., 1987).
64
В.П. ОРЛОВ
[8] Orlov V. On strong solutions of regularized model of a viscoelastic medium with variable boundary, ISRN
Mathematical Physics, V. 2012, Article ID 407940, 19 p., 2012. doi:10.5402/2012/407940.
В.П. Орлов
профессор, кафедра математического моделирования,
Воронежский государственный университет,
Университетская пл., д. 1, г. Воронеж, 394006, Россия,
e-mail: orlov_vp@mail.ru
V.P. Orlov
A non-homogeneous regularized problem of dynamics of viscoelastic continuous medium
Abstract. We prove the solvability of some non-homogeneous regularized problem of dynamics of
a viscoelastic continuous medium in the planar case.
Keywords: viscoelastic continuous medium, a priori estimates, strong solution.
V.P. Orlov
Professor, Chair of Mathematical Modeling,
Voronezh State University,
1 Universitetskaya sq., Voronezh, 394006 Russia,
e-mail: orlov_vp@mail.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
179 Кб
Теги
динамика, среды, неоднородным, одной, регуляризованного, задачи, вязкоупругих
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа