close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об одной обратной задаче идеальной пластичности.

код для вставкиСкачать
Аннин Б.Д. / Физическая мезомеханика 6 1 (2003) 69–73
69
Об одной обратной задаче идеальной пластичности
Б.Д. Аннин
Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия
В плоском и пространственном случаях обсуждается задача определения напряженного состояния по кинематическим характеристикам течения. В пространственном случае используется теория пластичности Треска при условии полной пластичности.
1. Плоский случай
Рассмотрим плоскую задачу [1, 2] идеальной пластичности с условием пластичности Треска для изотропного тела. Основные соотношения имеют следующий
вид:
– уравнения равновесия
?? xx ?? xy
+
= 0,
?x
?y
(1)
?? xy ?? yy
+
= 0;
?x
?y
– условие пластичности
(? yy ? ? xx ) 2 + 4? 2xy = 4k 2 ;
(2)
– условие несжимаемости
?u x ?u y
+
= 0;
(3)
?x
?y
– условие совпадения главных осей тензора напряжений и тензора скоростей пластических деформаций
?u x ?u y
?
? xx ? ? yy
?x
?y
=
.
(4)
2? xy
? u x ?u y
+
?y
?x
Здесь ? xx , ? yy , ? xy — компоненты тензора напряжений; u x , u y — компоненты вектора скоростей в системе
координат x, y; k — постоянная пластичности.
Пусть ? — угол наклона одной из площадок максимального касательного напряжения к оси x. Другая площадка действия максимального касательного напряжения наклонена к оси x под углом ? + ? 2 .
© Аннин Б.Д., 2003
Справедливы равенства
? xx = ? ? k sin 2?,
? yy = ? + k sin 2?,
(5)
? xy = k cos 2?.
Соотношения (5) называются подстановкой Леви.
Функции ? = ?( x, y ), ? = ?( x, y ), u x = u x ( x, y ), u y =
= u y ( x, y ) удовлетворяют следующей системе уравнений:
?
??
??
?? ?
? 2k ?? cos 2? + sin 2? ?? = 0,
?x
?x
?y ?
?
?
??
??
?? ?
? 2k ?? sin 2? ? cos 2? ?? = 0,
?y
?x
?y ?
?
(6)
?u x ?u y
+
= 0,
?x
?y
?u x ?u y
(7)
?
?x
?y
tg 2? =
.
?u x ?u y
+
?y
?x
Исключая путем дифференцирования соотношений
(6) функцию ?( x, y ) будем иметь уравнение относительно функции ?( x, y ) :
? ? 2? ? 2 ? ?
? 2?
sin 2? ? 2 ? 2 ? ? 2 cos 2?
+
?x?y
?y ??
?? ?x
?? ?? ? 2 ? ?? ? 2 ?
?? ??
= 0.
+ 2 cos 2??? ? ? ?? ?? ? + 4 sin 2?
?x ?y
?? ?x ? ? ?y ? ?
?
?
(8)
70
Аннин Б.Д. / Физическая мезомеханика 6 1 (2003) 69–73
Уравнение (8) имеет два семейства ортогональных
характеристик, определяемых уравнениями
dy
= tg ? (?-семейство),
dx
(9)
dy
= ? сtg ? (?-семейство).
(10)
dx
Уравнения характеристик системы (6) и системы (7)
также определяются уравнениями (9), (10).
Вдоль каждой линии семейства ? справедливо равенство
(11)
? ? 2k? = ?,
где ? — постоянная, которая при переходе от одной линии семейства к другой, вообще говоря, изменяется.
Аналогично, вдоль каждой линии семейства ? справедливо равенство
? + 2k? = ?.
(12)
Рассмотрим в односвязной области ? с границей ?,
где определено решение системы (6), произвольный четырехугольник ABCD, образованный двумя линиями ?
(AB и CD) и двумя линиями ? (BC и DA) (рис. 1). Используя соотношения (11), (12), находим
? A + ?C = ? B + ? D .
(13)
Учитывая уравнения (6), условие (13) также следует
из равенства
?
?
??
??
dx +
dy = 0,
?x
?y
(14)
справедливого для любого замкнутого контура ? ? ?,
если в качестве ? взять линию ABCDA.
Условие (13) позволяет найти значение ?( x, y ) в
любой точке области ?, если известно значение ?( x, y )
в какой-либо одной точке этой области ( x0 , y0 ) ? ? + ?.
Пусть область ? с границей ? покрывается сеткой
характеристик (рис. 2, а).
Для любых четырех точек пересечения этих линий
A, B, C, D справедливо равенство (13). Такая сетка называется сеткой Генки [3]. Функция ? = ?( x, y ), определяющая эту сетку посредством уравнений (9), (10), удов-
летворяет уравнению (8). Деформирование элемента
среды, вырезанного бесконечно близкими характеристиками, представлено на рис. 2, б.
Соотношения для скоростей вдоль характеристик таковы:
cos ? du x + sin ? du y = 0 (вдоль линии ?), (15)
sin ? du x ? cos ? du y = 0 (вдоль линии ?).
(16)
Переходим к формулированию обратной двумерной
задачи A2 .
Задача A2 . Пусть в односвязной области ? с границей ? (рис. 1) задана функция ? = ?( x, y ), удовлетворяющая уравнению (8). Требуется найти значения функций ? xx ( x, y ), ? yy ( x, y ), ? xy ( x, y ) в области ? и на ее
границе ?.
Замечание 1. Функция ?( x, y ) может быть определена из уравнения (7), если имеются экспериментальные
данные о кинематике течения, в частности, выявлены
линии максимального сдвига [4].
Решение обратной задачи начнем с определения
функции ? = ?( x, y ) из системы (6). Эта система совместна вследствие уравнения (8). Зададим значение
? = ?( x, y ) в некоторой точке ( x0 , y0 ) ? ? + ?. Будем
иметь
?( x , y ) = ?( x 0 , y 0 ) +
(17)
( x, y )
+
? ??
?? ?
?? dx +
dy ?? .
?
?
x
y
?
?
( x0 , y 0 )
?
а
б
Рис. 1. Криволинейный четырехугольник, образованный характеристиками
Рис. 2. Сетка характеристик области течения (a), напряжения в малом
элементе, ограниченном характеристиками (б)
71
Аннин Б.Д. / Физическая мезомеханика 6 1 (2003) 69–73
Здесь интеграл берется по произвольной кривой, лежащей в области ? и соединяющей точку (x, y) с точкой
?? ??
,
( x0 , y 0 ). Значения производных
берутся из со?x ?y
отношений (6).
Другой возможный путь определения ? = ?( x, y )
состоит в интегрировании обыкновенных уравнений
(9), (10) для построения сетки характеристик и использования соотношений (11), (12) и значения ? = ?( x, y )
в точке ( x0 , y0 ) для вычисления ? = ?( x, y ) в ? + ?.
При этом соотношения (13) выполняются автоматически. После определения ? = ?( x, y ) в ? + ? значения
напряжений в ? + ? вычисляются с помощью (5).
Этот путь дает возможность приближенного вычисления напряжений, если значения ?( x, y ) заданы в узлах квадратной сетки, покрывающей область ? + ?. Некоторые подходы к решению подобной задачи даны
в [5].
Таким образом, по заданному значению ?( x, y ) в
области ? + ? и значению ?( x, y ) в точке ( x0 , y0 ) напряженное состояние в ? + ? определяется однозначно.
Пусть н = (cos ?, sin ?) — нормальный вектор к границе ?; ? н , ? н — нормальная и касательная составляющие вектора напряжений на ?. Справедливы равенства
[1]
? н = ? ? k sin 2(? ? ?),
(18)
? н = k cos 2(? ? ?).
Остановимся на некоторых простых следствиях [2].
1. Пусть на некотором участке границы ?1 ? ? выполняется равенство ? ? ? = ? 4 . Тогда касательное напряжение ? н на участке ?1 равно нулю.
2. Пусть в некоторой области, примыкающей к свободной от напряжений прямолинейной части границы
? 2 ? ? , значение ? = const . Тогда в этой области будет
поле равномерного одностороннего растяжения или
сжатия.
Отметим в заключение этого раздела, что в упругой
постановке задача, подобная задаче A2 , рассмотрена в
работе [6].
2. Пространственный случай
Рассмотрим пространственную задачу [7] идеальной
пластичности при условии пластичности Треска в случае полной пластичности. Основные соотношения имеют вид:
(19)
?ij , j = 0,
1 ?
?
? ij ? ??ij = 2k?? ni n j ? ? ij ?,
3 ?
?
1
? = ? ij ?ij , ? = ±1,
3
n12 + n22 + n32 = 1,
(20)
?il ?lj = ?il ?lj ,
(22)
1
(ui , j + u j , i ),
2
?ij ?ij = 0.
? ij =
(23)
(24)
Здесь ?ij , ?ij — компоненты симметричных тензоров
напряжений и скоростей пластических деформаций в
декартовой системе координат x 1 , x2 , x3 ; ui — компоненты вектора скорости, по повторяющимся индексам
производится суммирование от 1 до 3; ?ij — символ
Кронекера; ? — среднее напряжение; n = ni e i —
собственный вектор тензора напряжений, отвечающий
некратному главному напряжению ?1 (два других главных напряжения ?2 и ?3 совпадают):
4k
?1 = ?
+ ?,
3
2k
(25)
? 2 = ??
+ ?,
3
2k
? 3 = ??
+ ?;
3
e i — базис декартовой системы координат x1 , x 2 , x3 ;
запятая перед индексом означает дифференцирование
по пространственной координате с этим индексом, k —
предел текучести при чистом сдвиге.
В случае полной пластичности условие пластичности Треска
? ?1 ? ? 2 ? 2 ? ?3 ?1 ? ?3 ?
? = k,
max ?
,
,
?
?
2
2
2
?
?
которому удовлетворяют значения главных напряжений
(25), выражается через компоненты тензора напряжений ?ij в виде следующих равенств:
2
? 4k
?
2
= ??
? (? 33 ? ?) ? ,
(?11 ? ? 22 ) 2 + 4?12
? 3
?
2
? 4k
?
? (?11 ? ?) ? ,
(? 22 ? ? 33 ) 2 + 4? 223 = ? ?
? 3
?
2
? 4k
?
2
= ??
? (? 22 ? ?) ? .
(?33 ? ?11 ) 2 + 4?13
3
?
?
Эти равенства получаются путем исключения величин n1 , n2 , n3 из соотношений (20), (21).
Заметим, что равенства (26) можно также получить
из следующих соотношений:
?11? 23 ? ?12?13 ? 22?13 ? ?12 ? 23
=
=
? 23
?13
=
(27)
?33?12 ? ?13? 23
,
?12
(?11 ? ? 22 ) 2 + (?11 ? ?13 ) 2 + (? 22 ? ?33 ) 2 +
(21)
(26)
2
+ 6(?12
2
+ ?13
+ ? 223 )
2
= 8k .
(28)
72
Аннин Б.Д. / Физическая мезомеханика 6 1 (2003) 69–73
Равенства (27) выражают необходимые и достаточные условия совпадения двух главных напряжений тензора напряжений; они следуют из того, что ранг матрицы
?12
?13 ?
? ?11 ? ? 2
?
?
? 22 ? ? 2
? 23 ?
? ?12
? ?
? 23
? 33 ? ? 2 ??
13
?
равен 1 вследствие кратности ? 2 , поэтому все ее миноры второго порядка равны нулю. Значение правой части
второго инварианта девиатора тензора напряжений (28)
получено с использованием равенств (25).
Условие (22) — необходимое и достаточное условие
существования по крайней мере одной тройки общих
главных осей у тензоров ?ij и ?ij (условие изотропии).
С учетом (20) условие (22) можно записать как
?1 j n j
n1
=
?2 j n j
n2
=
?3 j n j
n3
.
(29)
Применим следующую параметризацию равенства
(21):
n 1 = cos ? cos ?,
n 2 = cos ? sin ?,
n3 = sin ?,
(30)
0 ? ? < 2?,
? ? 2 ? ? ? ? 2.
2
?11 = k ( p + cos ? cos 2?),
? 22 = k ( p ? cos 2 ? cos 2?),
?33 = k ( p + 2 ? 3 cos 2 ?),
(31)
?13 = k cos ? sin 2?,
? 23 = k sin ? sin 2?,
p ( x1 , x2 , x3 ), ?( x1 , x2 , x3 ), ?( x1 , x2 , x3 ) ,
A12 = ? sin 2? sin 2?,
A13 = 2 cos 2? cos ?,
A32 = 2 cos 2? sin ?,
(33)
A33 = 3 sin 2?,
B11 = ?2 cos 2 ? sin 2?,
B12 = 2 cos 2 ? cos 2?,
B13 = ? sin 2? sin ?,
B21 = 2 cos 2 ? cos 2?,
B22 = 2 cos 2 ? cos 2?,
B23 = sin 2? cos ?,
B31 = ? sin 2? sin ?,
B32 = sin 2? cos ?,
B33 = 0.
Система для определения компонент вектора скорости имеет следующий вид:
ui , i = 0,
(u1, j + u j, 1 ) n j
n1
=
(u2, j + u j, 2 ) n j
n2
=
(u3, j + u j, 3 ) n j
n3
(34)
.
Здесь n1, n 2 , n3 определяются равенством (30). Система (32) является гиперболической, система уравнений
(34) также принадлежит к гиперболическому типу и
имеет то же характеристическое многообразие, что и
система (32).
Исключая путем дифференцирования соотношений
(32) функцию p ( x1 , x2 , x3 ), будем иметь три уравнения
относительно функций ?( x1 , x2 , x3 ), ?( x1 , x2 , x3 ) :
( A1 j ?, j + B1 j ?, j ) , 3 ? ( A3 j ?, j + B3 j ?, j ) , 1 = 0,
Соотношениям (31) тождественно удовлетворяют
равенства (26), поэтому равенства (31) можно рассматривать как обобщенную подстановку Леви.
Подставляя (31) в уравнение равновесия (19) для
определения функций
Здесь обозначено
A11 = ? sin 2? cos 2?,
A23 = 2 cos 2? sin ?,
A31 = 2 cos 2? cos ?,
( A1 j ?, j + B1 j ?, j ) , 2 ? ( A2 j ?, j + B2 j ?, j ) , 1 = 0,
2
?
?
? = k ? p ? + cos 2 ? ? .
3
?
?
имеем следующую систему трех уравнений:
p, i + Aij ?, j + Bij ?, j = 0, i = 1, 2, 3.
A22 = sin 2? cos 2?,
=
Условия полной пластичности (20) при ? = 1 принимают вид:
?12 = k cos 2 ? sin 2?,
A21 = ? sin 2? sin 2?,
(32)
(35)
( A2 j ?, j + B2 j ?, j ) , 3 ? ( A3 j ?, j + B3 j ?, j ) , 2 = 0.
Рассмотрим в односвязной области V с границей S,
где определено решение системы (32), произвольную
точку Q (рис. 3). Существует ([8], стр. 13) такая система
координат x*1 , x2* , x3* , что тензор напряжений в точке Q
* = ?* = ?* = ?,
в этой системе координат имеет вид ?11
22
33
* = ?, ?* = ?* = ? ?, ? = 2k 3 .
?12
13
23
Сформулируем обратную трехмерную задачу A3 .
Задача A3 . Пусть в односвязной области V с границей S заданы функции ?( x1 , x2 , x3 ), ?( x1 , x2 , x3 ), удовлетворяющие системе уравнений (35). Требуется найти
значения компонент тензора напряжений ?ij в объеме
V и на его границе S.
Аннин Б.Д. / Физическая мезомеханика 6 1 (2003) 69–73
73
? в одной точке напряженное состояние определяется
однозначно.
Пусть н = (?1 , ? 2 , ? 3 ) — нормальный вектор к поверхности S; T1S, T2S, T3S — составляющие вектора напряжений на S. Справедливы равенства
2k ?
?
S
?? ?
?? i + 2kni cos ? = Ti , i = 1, 2, 3;
3
?
?
cos ? = н ? n .
Рис. 3. Напряжения в малом элементе в специальной системе координат
Замечание 2. Функции ?( x1 , x 2 , x3 ), ?( x1 , x 2 , x3 )
могут быть определены из уравнений (34), если имеются экспериментальные данные о кинематике течения.
Начнем с определения функции p = p ( x1 , x2 , x3 ) из
системы (32). Эта система совместна вследствие (35).
Зададим значение функции ?( x1 , x2 , x3 ) в некоторой
точке ( x10 , x20 , x30 ). Из последнего равенства (31) найдем
значение функции p ( x1 , x2 , x3 ) в точке ( x10 , x20 , x30 ). Таким образом, имеем
p ( x1 , x 2 , x3 ) = p ( x10, x 20, x30 ) +
(36)
+
( x1 , x2 , x3 )
? ?p
?
?p
?p
?
?
? ?x dx1 + ?x dx 2 + ?x dx3 ? .
1
2
3
?
( x10 , x20 , x30 ) ?
?
Здесь интеграл берется по произвольной кривой, лежащей в области V и соединяющей точку ( x1 , x 2 , x3 ) с
точкой ( x10 , x 20 , x30 ); значения первых производных
функции p ( x1 , x2 , x3 ) берутся из системы (32). После
определения p = p ( x1 , x2 , x3 ) значение тензора напряжений в V + S вычисляется посредством формулы (31).
Таким образом, по заданным в области V + S значениям функций ? и ? и значению среднего напряжения
(37)
Из формулы (37), в частности, следует, что если на
участке s ? S выполнено равенство ? = ? 2 , т.е. векторы n и ? ортогональны, тогда на этом участке границы
вектор напряжения направлен по нормали к границе.
Работа выполнена при финансовой поддержке СО
РАН (Интеграционный проект СО РАН № 34 «Пульсирующая модель проявления деформаций земной коры»)
и РФФИ (грант № 00-01-96-207).
Литература
1. Хилл Р. Математическая теория пластичности. – М.: ГИТТЛ,
1956. – 408 с.
2. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. – М.: Наука, 1969. –
420 с.
3. Caratheodory C., Schmidt E. Uber die Henky – Prandtlischen Kurven
// Z. angew. Math. Mech. – 1923. – B. 3. – Nb. 6. – S. 468–475.
4. Курленя М.В., Попов С.Н. Теоретические основы определения напряжений в горных породах. – Новосибирск: Наука, 1983. – 97 с.
5. Хакизянов Г.С., Якушев И.К. О расчете давления в двумерных стационарных задачах динамики идеальной жидкости // Журн. выч.
матем. и математ. физики. – 1984. – Т. 24. – № 10.– С. 1557–1564.
6. Дядьков П.Г., Мельникова В.Н., Назаров Л.А., Назарова Л.А., Саньков В.А. Сейсмотектоническая активизация Байкальского региона
в 1989–1995 годах: результаты экспериментальных наблюдений
и численное моделирование изменений напряженно-деформированного состояния // Геология и геофизика. – 1999. – Т. 40. – № 3. –
С. 373–386.
7. Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности. – М.: Физматлит, 2001. – 704 с.
8. Аннин Б.Д., Жигалкин В.М. Поведение материалов в условиях сложного нагружения. – Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1999. – 342 с.
On an inverse problem of perfect plasticity
B.D. Annin
M.A. Lavrentyev Institute of Hydrodynamics, SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia
The 2D and 3D problems of determining the stress state by kinetic characteristics of flow were discussed. The 3D problem was
considered in the condition of total plasticity using Tresca’s theory of plasticity.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
125 Кб
Теги
обратное, пластичности, одной, идеального, задачи
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа