close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об одной системе дифференциальных уравнений и ее приложении в прикладной теории упругости.

код для вставкиСкачать
УДК 517.942: 539.3
Ю.Э. Сеницкий, А.Ю. Сеницкий
ОБ ОДНОЙ СИСТЕМЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИИ В ПРИКЛАДНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Рассматривается система трех обыкновенных линейных дифференциальных уравнений второго
порядка с переменными коэффициентами. Существенным представляется то, что ее частные
случаи совпадали с системами уравнений, которые получаются при интегрировании осесимметричных начально-краевых задач динамики оболочек в уточненной постановке методом разложения
по собственным вектор-функциям. В процессе исследования использовалось преобразование зависимых переменных в сочетании с методом факторизации получающегося при этом дифференциального оператора. Подробно изучены системы уравнений, соответствующие ядровым краевым
задачам непрерывно неоднородных по толщине и трехслойных сферических, а также круговых конических оболочек с конечной сдвиговой жесткостью.
Пусть задана однородная система дифференциальных уравнений
2
∑=0 а 2−k (х )D k U (х ) = 0,
(1)
dk
, k = 0, 2 ;
dx k
(2)
k
где U (х ) ∈ С I2 – искомая вектор-функция; х ∈ I (l1 , l 2 ) – открытый интервал вещественной оси;
Dk =
U ( х ) = U 1 (х ), U 2 ( х ), U 3 ( х ) , а 0 = diag (а11 , а 22 , а 33 ) ;
Т
с11 (х ) 0
b11 (х ) b12
0
а1 ( х ) = b21
b22 (х ) b23 , а 2 ( х ) = с 21 ( х ) с 22
с 31
0
0
b32
b33 ( х )
с13
с 23 (х ) ;
с 33 (х )
(3)
*
(х ) + d 11 , с 33 (х ) = с11* (х ) + d 33 ,
а11 = а 33 = k −2 а 22 , b11 ( х ) = b33 (х ) = k −2 b22 (х ), с11 ( х ) = с11
с 21 (х ) = d 21 b11 (х ), с 23 ( х ) = d 23 b11 (х ), b21 = а11 d 21 = const , b23 = а11 d 23 = const ,
(4)
*
а ii , d ii , b12 , b32 , с13 , с 31 , с 22 , k – вещественные константы; b11 ( х ), с11
(х ) ∈ С I , Т – знак транспонирования.
Справедливо следующее утверждение.
Т е о р е м а 1. Если выполняется функциональное равенство
*
′ ( х ) = с11
b11
(х ), (b11′ (х ) = Db11 )
(5)
и константы bij , d ij , с ij таковы, что
(
)
b12 − с13 ≠ 0, d 23 b12 − k 2 с13 ≠ 0, d 23 b12 − k 2 с13 (d 33 b12 − с13 b32 ) + b12 с 22 с13 ≠ 0,
(6)
то система (1) – (4) эквивалентна* разрешающему дифференциальному уравнению VI-го порядка относительно потенциала Ф( х ) :
LLL (Ф ) + r20 LL (Ф ) + r21 L(Ф ) + r22 Ф = С = const ,
(7)
L = а11 D 2 + b11 ( х )D .
(8)
Постоянные коэффициенты r20 , r21 , r22 уравнения (7) выражаются через bij , d ij , с ij , k , а по-
тенциал Ф( х ) ∈ С I6 связан с компонентой U 1 ( х ) вектор-функции U (х ) зависимостью:
U 1 ( х ) = Ф ′(х ) = D Ф .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Введем вторую потенциальную функцию V (х )
∈ С I3
(9)
по формуле
U 3 (х ) = k V ′(х ) + Ф ′( х ) − U 2′ (х ) = k D V + D Ф − D U 2 .
(10)
В результате подстановки соотношений (9), (10) в систему уравнений (1), последняя преобразуется к следующему виду:
−2
*
Приводится к уравнению (7).
54
−2
G (Ф ) + (d 11 + с13 ) D (Ф ) + k −2 с13 D (V ) + (b12 − с13 )D U 2 = 0,


(d 21 + d 23 )L(Ф ) + k −2 d 23 L(V ) + k 2 − d 23 L (U 2 ) + с 22U 2 = 0,


−2
−2
G (Ф ) + k G (V ) − G (U 2 ) + (d 33 + с13 ) D Ф + k d 33 D V + (b32 − d 33 ) D U 2 = 0.
(
)
(11)
Здесь
*
G = a11 D 3 + b11 (х ) D 2 + c11
(х )D .
(12)
Если потребовать выполнение условия (5), то справедливо операторное равенство
G (...) = D L (...) .
(13)
После интегрирования первого и третьего уравнений (11) с учетом (13) в результате имеем
такую систему уравнений:

L(Ф ) + (d 11 + с13 )Ф + k −2 с13 V + (b12 − с13 )U 2 = С1* ,

(d 21 + d 23 )L(Ф ) + k −2 d 23 L(V ) + k 2 − d 23 L (U 2 ) + с 22U 2 = 0,
(14)


L(Ф ) + k − 2 L(V ) − L(U 2 ) + (d 33 + с13 )Ф + k − 2 d 33 V + (b32 − d 33 )U 2 = С 2* ,
где С1* , С 2* - произвольные постоянные интегрирования.
Исключая из (14) последовательно функции U 2 и V , получаем следующее дифференциальное уравнение:
r19 LLL(Ф ) + (r6 r18 + r8 r16 − r10 r15 )LL(Ф ) + (r8 r17 − r7 r18 − r10 r16 )L(Ф ) +
(15)
+ (r9 r18 − r10 r17 )Ф = С* = const.
(
)
Здесь rs – постоянные коэффициенты, причем
r19 = r8 ⋅ r15 , r18 = r8 ⋅ r14 + r10 ⋅ r12 , r17 = r8 ⋅ r13 + r9 ⋅ r12 , r16 = r8 ⋅ r11 − r7 ⋅ r12 ,
r15 = r1 ⋅ r8 + r6 ⋅ r12 , r14 = k − 2 d 33 − r3 ⋅ r5 , r13 = c31 + d 33 − r2 ⋅ r5 , r12 = k − 2 + r3 ,
r11 = 1 + r2 − r1 ⋅ r5 , r10 = c 22 r3 , r9 = c 22 r2 , r8 = k − 2 d 23 − r3 ⋅ r4 , r7 = d 21 + d 23 − c 22 r1 − r2 ⋅ r4 ,
(16)
−1
r5 = b32 − d 33 , r4 = k 2 − d 23 , r3 = k − 2 c13 r1 , r2 = (d 11 + c13 ) r1 , r1 = (b12 − c13 ) .
Из (15) немедленно следует разрешающее уравнение (7), в котором
r20 = r19−1 (r6 r18 + r8 r16 − r10 r15 ), r21 = r19−1 (r8 r17 − r7 r18 − r10 r16 ), r22 = r19−1 (r9 r18 − r10 r17 ) .
(17)
В процессе приведения системы уравнений (14) к (15) использовались следующие выражения для функций U 2 и V :
[
]
U 2 ( х ) = r1 С1* − L (Ф ) − r2 Ф − r3 V ,
V (х ) =
−r18−1
[r15 LL (Ф ) + r16 L (Ф ) − r17 Ф] + С
(18)
**
,
где С - новая постоянная.
Соотношения (17) – (19) справедливы, если
r1−1 ≠ 0, r18 ≠ 0, r19−1 ≠ 0 .
В раскрытом виде неравенства (20) и представляют условия (6).
Теорема доказана.
(19)
**
(20)
Т е о р е м а 2. Общее решение Ф * (х ) соответствующего (7) однородного дифференциального уравнения определяется системой линейно-независимых частных решений Ф m (х ) порождающих уравнений II-го порядка
(L − λ m )Фm (х ) = 0, m = 1, 3
(21)
и их модификаций, в которых параметры λ m являются корнями кубического уравнения
λ3m + r20 λ 2m + r21 λ m + r22 = 0
Д о к а з ат е л ь с т в о. Рассмотрим соответствующее (7) однородное уравнение
L3 Ф * + r20 L2 Ф * + r21 L Ф * + r22 Ф * = 0,
где введено обозначение для степеней дифференциального оператора L :
Lm = 1
LL2
...3
L , L0 = 1 .
( )
( )
( )
(22)
(23)
(23)
m
В результате факторизации левой части уравнения (23) имеем
55
3
L3 (...) + r20 L2 (...) + r21 L(...) + r22 (...) = ∏ (L − λ m )(...), .
(24)
m =1
Если теперь приравнять в (24) коэффициенты при одинаковых степенях L , то получаем такую систему равенств:
λ1 + λ 2 + λ 3 = − r20 , λ1 λ 2 + λ1 λ 3 + λ 2 λ 3 = r21 , λ1 λ 2 λ 3 = − r22 .
(25)
(
)
В силу теоремы Виета из (25) следует, что λ m m = 1, 3 являются корнями кубического
уравнения (22).
Дифференциальное уравнение (23) с учетом (24) принимает следующий вид:
3
∏ (L − λ m )Ф(х ) = 0,
(26)
m =1
откуда немедленно следуют (21) и их модификации в зависимости от вида корней (22). Действительно:
а) при λ1 ≠ λ 2 ≠ λ 3 имеем непосредственно
(L − λ1 )Ф1 = 0, (L − λ 2 )Ф2 = 0, (L − λ 3 )Ф3 = 0 ;
(27)
b) при λ1 = 0, λ 2 ≠ λ 3 соответственно
L Ф1 = 0, (L − λ 2 )Ф 2 = 0, (L − λ 3 )Ф3 = 0 ;
(28)
с) при λ1 ≠ λ 2 = λ 3 линейно независимые решения Ф m (x ) определяются из такой цепочки
порождающих уравнений:
(L − λ1 )Ф1 = 0, (L − λ 2 )Ф2 = 0, (L − λ3 )Ф3 = Ф2 ;
(29)
d) если λ1 = λ 2 = λ 3 = λ , то в этом случае
(L − λ )Ф1 = 0, (L − λ )Ф2 = Ф1 , (L − λ )Ф3 = Ф2 .
(30)
На основании (28) - (30) могут быть рассмотрены и другие варианты корней λ m и соответствующих им порождающих уравнений.
Если обозначить фундаментальную систему решений цепочек порождающих уравнений
(27) - (30) соответственно:
а) f 1 (λ m , x ) , f 2 (λ m , x ) , m = 1, 3 ;
(31)
b) ϕ 1 (x ), ϕ 2 ( x ), f 1 (λ m , x ) , f 2 (λ m , x ) , m = 2, 3 ;
(32)
c) f 1 (λ m , x ) , f 2 (λ m , x ) , ϕ 1 (λ 2 , x ), ϕ 2 (λ 2 , x ), m = 1, 2 ;
(33)
d) f 1 (λ, x ) , f 2 (λ, x ) , ϕ1 (λ, x ), ϕ 2 (λ, x ), ψ 1 (λ, x ), ψ 2 (λ, x ) ,
(34)
то общее решение однородного уравнения (23) может быть записано в виде:
3
3
m =1
3
m =1
а) Ф * (х ) = ∑ Фm ( x ) =∑ [C m f 1 (λ m , x ) + Dm f 2 (λ m , x )];
3
b) Ф * (х ) = ∑ Фm ( x ) =С1ϕ 1 ( х ) + D1ϕ 2 (х ) + ∑ [C m f 1 (λ m , x ) + Dm f 2 (λ m , x )];
m =1
3
(36)
m=2
2
c) Ф * (х ) = ∑ Фm (x ) =∑ [C m f 1 (λ m , x ) + Dm f 2 (λ m , x )] + С 3ϕ 1 (λ 2 , х ) + D3ϕ 2 (λ 2 , х ) ;
m =1
3
(35)
(37)
m =1
d) Ф * (х ) = ∑ Фm (x ) =С1 f 1 (λ , х ) + D1 f 2 (λ , х ) + С 2 ϕ 1 (λ , х ) + D2 (λ , х ) + С 3ψ 1 (λ , х ) +
m =1
+ D3ψ 2 (λ , x ) ;
(38)
С m , D m - произвольные постоянные.
Поскольку (31) – (34) представляют соответственно систему частных решений уравнений
(27) – (30), то путем непосредственной их подстановки удовлетворяется (26), а, принимая во
внимание (24), - и уравнение (23).
Если одновременно подставить (21) в (23), то в результате получаем кубическое уравнение
(22). Теорема доказана.
Очевидно, справедливо более общее утверждение.
Т е о р е м а 3 (обобщение теоремы 2). Решение обыкновенного линейного дифференциального уравнения
56
n
rm Lm (Ф ) = 0 ,
∑
m =0
где Lm - степени оператора L , rm - постоянные коэффициенты, может быть представлено в
виде суммы
n
Ф( х ) = ∑ Ф m ( x )
m =1
частных решений Ф m (х ) цепочки порождающих уравнений
(L − λ m ) Ф m ( х ) = 0
или ее модификаций (30) в зависимости от вида корней λ m соответствующего алгебраического
уравнения
n
rm λ m = 0.
∑
m =0
Доказательство теоремы аналогично приведенному выше.
Общее решение неоднородного уравнения (7) теперь записывается в виде:
3
Ф( х ) = Ф * ( х ) + А = ∑ Ф m ( x ) + A ,
(39)
m =1
где A = const , а Ф * (х ) определяется равенствами (35) – (38).
Если принять во внимание порождающее уравнение (21), то используя соотношения (18),
(19), (9), (10) сначала вычисляется функция V ( x ) , а затем и искомые компоненты U 2 (x ),
U 1 ( x ), U 3 (x ) вектор-функции U (x ) . Имеем
n
(
)
V (x ) = −r181 ∑ r15 λ 2m + r16 λ m + r17 Фm (x ) + C ** ,
m =1
3
[
(
)]
) (
U 2 ( x ) = ∑ r18−1 r3 r15 λ 2m + r16 λ m + r17 − r1 λ m + r2 Ф m (x ) + D,
m =1
n
U 1 (x ) = ∑ Ф m′ (x ) ,
n
m =1
[
)]
(
U 3 (x ) = ∑ (r1 λ m + r2 + 1) − r18−1 r3 r15 λ 2m + r16 λ m + r17 Ф m′ ( x )
m =1
(40)
Здесь Ф m (x ), Ф m′ (x ) - соответственно домноженная на произвольные постоянные фундаментальная система решений уравнений (27) – (30) и ее производные.
Из (31) следует, что только функция U 2 ( x ) определяется с точностью до несущественной
константы D , появляющейся вследствие повышения порядка исходной системы уравнений (1)
в процессе ее интегрирования. Таким образом, без ограничения общности ее можно принять
равной нулю:
D = 0,
(41)
и фактически рассматривать соответствующее (7) однородное уравнение, т.е. в выражении (30)
считать
А=0.
(42)
Наконец следует отметить, что возможность построения точного решения системы уравнений
(1) – (4) сводится к интегрируемости порождающей цепочки линейных уравнений II-го порядка
с переменными коэффициентами (27) – (30). Ниже рассматриваются некоторые частные случаи
(1) – (4), встречающиеся в начально-краевых задачах теории оболочек.
1) После разделения переменных методом конечных интегральных преобразований (КИП)
в математической модели нестационарной осесимметричной динамической задачи неоднородной или трехслойной непологой сферической оболочки формируется система уравнений (1) –
(4) для определения ядровой вектор-функции (собственных форм колебаний) [1, 2], в которой
соответственно
*
а11 = а 33 = k −2 a 22 = 1 , b11 (x ) = b33 ( x ) = k −2 b22 ( x ) = ctg x, c11
(x ) = − sin −2 x,
(
)
(
)
(
)
d 11 = 1 + ξ 2 m 2 − k 2 + ν , d 33 = 1 + ξ 2 s 2 − k 2α − 2 γ 12 + ν , d 21 = −b12 = − 1 + ν + k 2 ,
57
d 23 = c13 = k 2 , b32 = −c 31 = −k 2α −2 γ 12 , c 22 = ξ 2 m 2 − 2(1 + ν ) .
(43)
Здесь ν , k , γ 12 , α , m, s - безразмерные константы, причем первые четыре зависят от физикомеханических и геометрических характеристик оболочек.
Замечаем, что для элементов (43) матриц (3), (4) выполняются условия (5), (6) теоремы 1 и,
следовательно, система (1) эквивалентна разрешающему дифференциальному уравнению (7),
причем
L = D 2 + ctg D .
(44)
Порождающее дифференциальное уравнение (21) в данном случае может быть представлено в виде
Ф m′′ ( x ) + ctg x Ф m′ ( x ) + c m (c m + 1)Ф m (x ) = 0 ,
(45)
где
λ m = −c m (c m + 1) ,
и заменой независимой переменной z = cos x приводится к уравнению Лежандра.
Общее решение (35) – (37) уравнения (7) с учетом (42) записывается следующим образом.
а) при λ1 ≠ λ 2 ≠ λ 3 –
3
3
m =1
m =1
[
]
Ф( х ) = ∑ Фm ( x ) =∑ C m PCm (cos x ) + Dm QCm (cos x ) ;
(46)
b) если λ1 = 0, λ 2 ≠ λ 3 –
3
2
m =1
m =1
Ф( x ) = ∑ Фm ( x ) = ∑ C1 ln
1+ cos x
1− cos x
3
[
]
+ D1 + ∑ C m PCm (cos x ) + Dm QCm (cos x ) ;
m =2
(47)
с) при λ1 ≠ λ 2 = λ 3 –
3
2
m =1
m =1
[
]
x
[
Ф( x ) = ∑ Фm ( x ) = ∑ C m PCm (cos x ) + Dm QCm (cos x ) + W −1 ∫ C 3 PC2 (cos τ ) +
0
][
]
+ D3 QC 2 (cos τ ) QC2 (cos x )PC 2 (cos τ ) − PC2 (cos x )QC2 (cos τ ) dτ .
(
)[
]
Здесь W = 1 − x 2 PC 2 (cos x )QC′ 2 (cos τ ) − QC2 (cos x )PC′2 (cos τ ) = const ,
(48)
PCm (cos x ) , QCm (cos x )
-
функции Лежандра степени С m первого и второго рода.
Располагая равенствами (46) – (48), по формулам (40) могут быть определены искомые
функции U 1 ( x ), U 2 (x ), U 3 ( x ) .
2) В качестве второго примера рассматривается осесимметричная задача динамики для неоднородной конической оболочки конечной сдвиговой жесткости в предположении, что влиянием тангенциальных перемещений в выражении для поперечных сил и прогибов в формулах
для нормальных усилий можно пренебречь. При решении ее методом КИП получаем систему
уравнений (1) – (4) для ядра интегрального преобразования, в которой элементы матриц (4) определяются такими равенствами:
*
(x ) = − х −2 ,
а11 = а 33 = k −2 a 22 = 1 , b11 ( x ) = b33 (x ) = k −2 b22 (x ) = x −1 , c11
d 11 = с 22 = ξ 2 m 2 , d 33 = ξ 2 s 2 − k 2 β , b12 = с 31 = −d 21 k 2 (1 + ν ) = k 2 (х 0 tg θ )−1 ,
d 23 = k 2 , c 31 = 0 , b32 = −k 2 β , β = CR 22 D −1 .
(49)
Здесь k ,ν , β , m, s, θ , x 0 - постоянные величины, из которых только х 0 имеет размерность.
Этот частный случай является особым, поскольку
b12 − с13 = 0.
(50)
Учитывая (50), используем отличную от описанной выше при доказательстве теоремы 1 схему
приведения системы (1) – (4), (49) к разрешающему дифференциальному уравнению (7). Следует при этом иметь в виду, что удовлетворяется основное условие (5) теоремы 1.
Вместо выражения (10) вводим функцию V по формуле
U 3 (х ) = k −2V ′(х ) − U 2′ ( х ) .
(51)
Преобразованная с учетом (51) и (5), аналогичная (14) система уравнений с точностью до
несущественных для дальнейшего решения (41), (42) констант принимает такой вид:
58
L(Ф ) + d 11Ф + k −2 b12 V = 0,


d 21 L(Ф ) + L(V ) + d 11U 2 = 0,


−2
−2
k L(V ) − L(U 2 ) + k d 33 V + (b32 − d 33 )U 2 = 0.
(52)
Здесь
L = D 2 + x −1 D.
(53)
Если исключить из (52) последовательно функции U 2 и V , то в результате получаем подобное (15) разрешающее дифференциальное уравнение. Имеем
LLL (Ф ) + r10 LL (Ф ) + r11 L(Ф ) + r12 Ф = 0,
(54)
где
r12 = r9−1 r6 r7 , r11 = r9−1 (r4 r7 + r6 r8 − r5 ) , r10 = r9−1 (r1 r7 + r4 r9 − r2 ) ,
r9 = r1 r8 , r8 = r1 r7 , r7 = r3−1 , r6 = k −2 d 33 , r5 = r2 (d 33 − b32 ),
r4 = k −2 + r1 (d 33 − b32 ), r3 = r1 k −2 b12 , r2 = r1 d 21 , r1 = d 11−1 .
(55)
В процессе приведения (52) к (54) использовались очевидно реализуемые условия
r1−1 = d 11 ≠ 0, r3 ≠ 0, r9 ≠ 0.
(56)
Порождающее дифференциальное уравнение (21), в данном случае (53), представляет
уравнение Бесселя
Фm′′ ( x ) + x −1Ф m′ (x ) + η m Ф( х ) = 0, λ m = −η m , m = 1, 3 ,
а общее решение (54) для различных комбинаций корней соответствующего кубического уравнения
λ3m + r10 λ 2m + r11 λ m + r12 = 0
записывается следующим образом:
а) если λ1 ≠ λ 2 ≠ λ 3 (η1 ≠ η 2 ≠ η 3 ) –
3
3
m =1
m =1
[
Ф( х ) = ∑ Фm ( x ) = ∑ C m I 0
(
η m x + Dm Y0
(
[
)
b) при λ1 = 0, λ 2 ≠ λ 3 (η1 = 0, η 2 ≠ η 3 ) –
3
3
m =1
m= 2
)
Ф( x ) = ∑ Фm ( x ) = C1 ln x + D1 + ∑ C m I 0
с) при λ1 ≠ λ 2 = λ 3 (η1 ≠ η 2 = η 3 ) –
[
(
)
(
)]
(
ηm x
)] ;
η m x + Dm Y0
[ (
(
(57)
)]
ηm x ;
)
(58)
)]
(
ηx
C 3 I 0′ η m x + D3Y0′ η m x . (59)
2
m =1
m =1
Здесь I 0 (...), Y0 (...) - функции Бесселя нулевого порядка I-го и II-го рода. Имея в виду (57) – (59)
и равенства (40), легко определяются функции U 1 ( x ), U 2 (x ), U 3 ( x ) .
3) Элементы матрицы коэффициентов (4) системы дифференциальных уравнений (1) – (3)
ядровой краевой задачи при исследовании нестационарной осесимметричной деформации круговой в плане неоднородной пологой сферической оболочки имеют следующий вид:
*
а11 = а 33 = k −2 a 22 = 1 , b11 (x ) = b33 ( x ) = k −2 b22 ( x ) = x −1 , c11
( x ) = х −2 ,
3
2
Ф( х ) = ∑ Фm ( х ) = ∑ C m I 0
η m x + Dm Y0
ηm x −
b12 = − d 21 = β (1 + ν ) , d 23 = k 2 , d 11 = ξ 2 m 2 , d 33 = ξ 2 s 2 + d 32 , d 32 = −k 2 γ 12α − 2 ,
c 22 = d 11 − 2 β b12 , c13 = c 31 = 0 .
(60)
Повторяя приведенную выше схему решения и используя представления (9), (51), приходим к следующему разрешающему уравнению
LLL (Ф ) + r13 LL (Ф ) + r14 L(Ф ) + r15 Ф = 0 ,
(61)
а также соответствующему кубическому уравнению
λ3m + r13 λ2m + r14 λ m + r15 = 0 .
(62)
Здесь
r15 = d 11 (r7 r12 )−1 , r14 = (r7 r10 + r6 )(r7 r12 )−1 , r13 = r11 r12−1 , r12 = (r1 r9 + r2 ) r5−1 ,
r11 = (r1 r8 + r3 r9 + r4 ) r5−1 , r10 = r3 r8 r5−1 , r9 = r6 r7−1 , r8 = d 11 r7−1 , r7 = r1b12 , r6 = 1 − r2 b12 ,
(
r5 = k − 2 d 33 , r4 = r2 (d 33 − b32 ), r3 = k − 2 + (d 33 − b32 )r1 , r2 = r1 d 21 , r1 = d 11 − 2 β b12
)
−1
.
(63)
59
При этом должны выполняться следующие условия:
r1 ≠ 0, b12 ≠ 0, r5 ≠ 0, r12 ≠ 0 .
Дифференциальный оператор L определяется выражением (53), потенциал Ф( х ) по формулам (57) – (59), а искомые функции U 1 ( x ), U 2 (x ), U 3 ( x ) из равенств (40).
В заключение следует отметить, что аналогичная (1) – (4) система уравнений с постоянными коэффициентами а ii = const , bij = const , c ij = const формируется в процессе решения осе-
(
)
симметричной динамической задачи для неоднородной цилиндрической оболочки конечной
сдвиговой жесткости.
Таким образом, в настоящей работе рассмотрена система трех обыкновенных линейных
дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами. Существенным представляется то, что ее частные случаи совпадали с системами уравнений, которые получаются при интегрировании осесимметричных начально-краевых задач динамики оболочек в
уточненной постановке методом разложения по собственным вектор-функциям [1-3]. В процессе исследования использовалось преобразование зависимых переменных в сочетании с методом
факторизации [4-6] получающегося при этом дифференциального оператора. Подробно изучены системы уравнений, соответствующие ядровым краевым задачам непрерывно неоднородных по толщине и трехслойных сферических [2,3], а также круговых конических оболочек с
конечной сдвиговой жесткостью.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Сеницкий Ю.Э. Многокомпонентное обобщенное конечное интегральное преобразование и его приложение к
нестационарным задачам механики. // Известия вузов. Математика. 1991, №4. С. 57 – 63.
2. Сеницкий Ю.Э. Нестационарная задача динамики для трехслойной сферической оболочки. // Строительная механика и расчет сооружений. 1990, №6. С. 55 – 61.
3. Сеницкий Ю.Э. Осесимметричная динамическая задача для неоднородной пологой сферической оболочки с конечной сдвиговой жесткостью. // Прикладная механика. 1994, Т. 30, №9. С. 50 – 57.
4. Беркович Л.М. Факторизация и преобразования обыкновенных дифференциальных уравнений. Саратов. Изд-во
Саратов. Ун-та. 1989, С. 192.
5. Berkovitch L.M., Netchaevsky M.L., Senitsky Y.E. The method factorization of differential operators and its applications. // Complex. Analysis and applications. Proceedings of the International Conference. Bulgar. Acad. of Schi. Sofia.
1984. P. 55 – 62.
6. Сеницкий Ю.Э., Сеницкий А.Ю. О решении одного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами, имеющего приложение в динамической теории упругости. // Математическая физика и нелинейная механика. АН УССР, 1990, №13(47). С. 22-25.
Работа выполнена при финансовой поддержке Минобразования РФ в соответствии с
конкурсом грантов по фундаментальным исследованиям в области технических наук,
проект ТОО-12.1-2109.
60
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
141 Кб
Теги
уравнения, дифференциальной, система, одной, прикладное, упругости, теория, приложение
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа