close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об одном классе краевых задач для системы внутренних волн.

код для вставкиСкачать
Вычислительные технологии
Том 4, № 5, 1999
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
ДЛЯ СИСТЕМЫ ВНУТРЕННИХ ВОЛН ∗
И. И. Матвеева
Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН
Новосибирск, Россия
e-mail: matveeva@math.nsc.ru
The solvability of a class of boundary problems in the space quarter is studied for
the system of internal waves in Boussinesque approximation. Necessary and sufficient
solvability conditions in the weight Sobolev space have been obtained.
В настоящей работе изучается один класс краевых задач для системы интегро-дифференциальных уравнений, описывающей внутренние волны в приближении Буссинеска
Dt u1 + Dx1 p = 0,
Dt u2 + Dx2 p = 0,
Zt
Dt u3 + ω 2 u3 ds + Dx3 p = 0,
0
div u = 0.
(1)
Система (1) является системой не типа Коши — Ковалевской. В настоящее время имеется
большое число работ по исследованию уравнений и систем, не разрешенных относительно
старшей производной. В 1998 г. вышла монография Г. В. Демиденко и С. В. Успенского
“Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной”, в которой
излагаются некоторые аспекты теории краевых задач для таких уравнений и систем. В
этой книге содержится обширная библиография, по которой можно познакомиться с исследованиями таких уравнений и систем в различных направлениях.
Рассмотрим следующую краевую задачу в четверти пространства R4++ = {(t, x) : t > 0,
x0 = (x1 , x2 ) ∈ R2 , x3 > 0} для системы (1)
Dt u1 + Dx1 p = 0,
Dt u2 + Dx2 p = 0,
Zt
Dt u3 + ω 2 u3 ds + Dx3 p = 0,
0
div u = 0,
t > 0,
x ∈ R3+ ,
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований,
грант №99–01–00533 и Министерства общего и профессионального образования Российской Федерации.
c И. И. Матвеева, 1999.
°
∗
45
46
И. И. Матвеева
uj |t=0 = u0j (x), j = 1, 2, 3, x ∈ R3+ ,
Zt
b1 u1 + b2 u2 + b3 u3 + b4 p(s, x) ds|x3 =0 = 0, t > 0,
x 0 ∈ R2 ,
(2)
0
где ω > 0 и bi — вещественные постоянные. Будем предполагать, что краевая задача (2)
удовлетворяет условию Лопатинского:
τ
l(τ, ξ 0 ) = b4 + b3 √
|ξ 0 | − i(b1 ξ1 + b2 ξ2 ) 6= 0
(3)
τ + ω2
при Re τ ≥ γ0 > 0, ξ 0 ∈ R2 \{0}. В работе [1] был доказан критерий выполнимости (3):
условие Лопатинского (3) выполнено тогда и только тогда, когда |b3 | + |b4 | =
6 0, b3 b4 ≥ 0,
при этом
τ
|ξ 0 ||.
|l(τ, ξ 0 )| ≥ |b4 + b3 Re √
2
τ +ω
В рассматриваемый класс задач входят первая и вторая краевые задачи. Действительно, при b1 = b2 = b3 = 0, b4 = 1, дифференцируя граничное условие по t, получаем условие
первой краевой задачи p|x3 =0 = 0. При b1 = b2 = b4 = 0, b3 = 1 имеем условие второй
краевой задачи u3 |x3 =0 = 0.
r1 ,r2
Введем следующие весовые функциональные пространства Wq,γ
(R4++ ) и L1,σ (R3+ ), где
r1 , r2 — целые, 1 < q < ∞, γ > 0.
Определение. Будем говорить, что: функция v(t, x) принадлежит пространству
r1 ,r2
Wq,γ (R4++ ), если e−γt v(t, x) ∈ Wqr1 ,r2 (R4++ ), при этом
r1 ,r2
kv(t, x), Wq,γ
(R4++ )k = kDtr1 (e−γt v(t, x)), Lq (R4++ )k +
X
|α|≤r2
kDxα (e−γt v(t, x)), Lq (R4++ )k;
функция v(x) принадлежит пространству L1,σ (R3+ ), если (1+|x|)−σ v(x) ∈ L1 (R3+ ), при этом
kv(x), L1,σ (R3+ )k = k(1 + |x|)−σ v(x), L1 (R3+ )k.
r1 ,r2
Вопрос о разрешимости задачи (2) в соболевских пространствах Wq,γ
изучался в [2]. В
частности, был установлен следующий результат.
Теорема 1. Пусть u0j (x) ∈ Wq1 (R3+ ), j = 1, 2, u03 (x) ∈ Wq1 (R3+ ) ∩ L1 (R3+ ) и выполнены
условия согласования
div u0 (x) = 0,
b1 u01 + b2 u02 + b3 u03 |x3 =0 = 0.
(4)
Если q > 3/2, то краевая задача (2) имеет единственное решение
1,1
uj (t, x) ∈ Wq,γ
(R4++ ),
j = 1, 2, 3,
0,2
p(t, x) ∈ Wq,γ
(R4++ ),
и выполнена оценка
3
X
j=1
1,1
0,2
kuj (t, x), Wq,γ
(R4++ )k + kp(t, x), Wq,γ
(R4++ )k ≤
≤c
µX
3
j=1
ku0j (x),
Wq1 (R3+ )k
+
ku03 (x),
¶
L1 (R3+ )k
,
γ > γ0 ,
(5)
О КЛАССЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СИСТЕМЫ ВНУТРЕННИХ ВОЛН
47
где константа c > 0 не зависит от u0 (x).
1,1
0,1
Отметим, что uj (t, x) ∈ Wq,γ
(R4++ ), ∇p(t, x) ∈ Wq,γ
(R4++ ) при q > 1 и u0j (x) ∈ Wq1 (R3+ ),
j = 1, 2, 3. Ограничение на показатель суммируемости q появляется при получении оценки
для функции p(t, x). Возникает естественный вопрос: насколько существенно это ограничение? В настоящей работе дается ответ на этот вопрос. Для того, чтобы задача (2) была
r1 ,r2
корректно разрешима в пространстве Wq,γ
при q ≤ 3/2, необходимо потребовать, чтобы
0
функция u3 (x) удовлетворяла дополнительному условию.
Теорема 2. Пусть u0j (x) ∈ Wq1 (R3+ ), j = 1, 2, u03 (x) ∈ Wq1 (R3+ ) ∩ L1,−1 (R3+ ), и выполнены
условия (4). Краевая задача (2) имеет единственное решение (5) при всех 1 < q ≤ 3/2
тогда и только тогда, когда
Z
u03 (x)dx = 0.
(6)
R3+
Отметим, что необходимость дополнительных требований на данные типа условий ортогональности впервые была обнаружена С. А. Гальперном [3] при построении L2 -теории
задачи Коши для одного класса систем не типа Коши — Ковалевской. Аналогичная особенность для смешанных краевых задач в четверти пространства была замечена Г. В. Демиденко [4]. В первом разделе построим последовательность приближенных решений краевой
задачи (2). При построении этой последовательности и получении Lq -оценок для ее элементов будем следовать схеме, предложенной Г. В. Демиденко в [4] и подробно описанной
в [5]. Во втором параграфе мы проведем доказательство теоремы 2.
1. Приближенные решения
Рассмотрим вспомогательную краевую задачу с параметрами τ ∈ C, Re τ ≥ γ0 , ξ 0 ∈ R2 \{0}
τ v1 + iξ1 v4 = f1 (ξ 0 , x3 ),
x3 > 0,
τ v2 + iξ2 v4 = f2 (ξ 0 , x3 ),
τ v3 + ω 2 τ −1 v3 + Dx3 v4 = f3 (ξ 0 , x3 ),
iξ1 v1 + iξ2 v2 + Dx3 v3 = 0,
b1 v1 + b2 v2 + b3 v3 + b4 τ −1 v4 |x3 =0 = 0,
sup (|v1 | + |v2 | + |v3 | + |v4 |) < ∞.
x3 >0
(7)
Предположим, что выполнены условия согласования
iξ1 f1 (ξ 0 , x3 ) + iξ2 f2 (ξ 0 , x3 ) + Dx3 f3 (ξ 0 , x3 ) = 0, b1 f1 (ξ 0 , 0) + b2 f2 (ξ 0 , 0) + b3 f3 (ξ 0 , 0) = 0. (8)
Задача (7) и условия (8) получаются формальным применением преобразований Фурье
по x0 и Лапласа по t к краевой задаче (2) и условиям (4). Нетрудно показать, что при
выполнении условия Лопатинского (3) краевая задача (7) имеет единственное решение,
которое с учетом условий (8) может быть записано в виде
v1 (τ, ξ 0 , x3 ) = −iξ1 τ −1 v4 (τ, ξ 0 , x3 ) + τ −1 f1 (ξ 0 , x3 ),
v2 (τ, ξ 0 , x3 ) = −iξ2 τ −1 v4 (τ, ξ 0 , x3 ) + τ −1 f2 (ξ 0 , x3 ),
(9)
48
И. И. Матвеева
v3 (τ, ξ 0 , x3 ) = −
ω2
v4 (τ, ξ , x3 ) = 2
2τ
0
Z∞
τ2
τ
τ
Dx3 v4 (τ, ξ 0 , x3 ) + 2
f3 (ξ 0 , x3 ),
2
+ω
τ + ω2
λ(x3 −s)
e
ω2
f3 (ξ , s) ds − 2
2τ
0
x3
ω2
− 2
2τ
Z∞
0
Zx3
e−λ(x3 −s) f3 (ξ 0 , s) ds−
0
b3 ω 2 |ξ 0 |
√
e−λ(x3 +s) f3 (ξ 0 , s) ds +
l(τ, ξ 0 )τ τ 2 + ω 2
Z∞
e−λ(x3 +s) f3 (ξ 0 , s) ds,
(10)
0
√
τ 2 + ω2 0
|ξ |. Поскольку функции vj (τ, ξ 0 , x3 ), j = 1, . . . , 4, являются аналитичеτ
скими и ограниченными по τ , Re τ ≥ γ0 , в силу теоремы 5.2 из [5, гл. 1] функции
где λ =
Z∞
wj (t, ξ 0 , x3 ) = (2π)−1/2
e(iη+γ)t vj (iη + γ, ξ 0 , xn ) dη,
j = 1, . . . , 4,
−∞
не зависят от γ ≥ γ0 .
Перейдем к построению приближенного решения краевой задачи (2). Формальное решение этой задачи можно было бы получить, применив обратный оператор Фурье по ξ 0
к функциям wj (t, ξ 0 , x3 ), j = 1, . . . , 4. Однако функция w4 (t, ξ 0 , x3 ) имеет неинтегрируемые
особенности при ξ 0 = 0. Поэтому возникает необходимость в регуляризации обратного преобразования Фурье. Для этого воспользуемся интегральным представлением С. В. Успенского [6] функций f (x) ∈ Lq (Rn ):
f (x) = lim (2π)−n
h→0
Zh−1
Z Z
−1
v
ei(x−y)ξ G(ξv)f (y) dξ dy dv,
h
(11)
Rn Rn
где G(ξ) = 2N |ξ|2N exp (−|ξ|2N ), N — произвольное натуральное число.
Обозначим через û03 (ξ 0 , x3 ) преобразование Фурье функции u03 (x) по x0 . Пусть f3 (ξ 0 , x3 ) =
(2π)−1/2 û03 (ξ 0 , x3 ). Определим функции
ph (t, x) = (2π)−1
Z
Zh−1
0 0
−1
v
eiξ x G(ξ 0 v)w4 (t, ξ 0 , x3 ) dξ 0 dv =
h
= (2π)−3/2
Zh−1
Z∞
Z Z
2
ω
0
0
e(iη+γ)t+iξ x G(ξ 0 v) √
eλ(x3 −s) û03 (ξ 0 , s) ds dη dξ 0 dv−
v −1
2 2πτ 2
h
−(2π)−3/2
R2 R1
x3
Zh−1
Z Z
Zx3
2
ω
0
0
e(iη+γ)t+iξ x G(ξ 0 v) √
v −1
e−λ(x3 −s) û03 (ξ 0 , s) ds dη dξ 0 dv−
2 2πτ 2
h
−(2π)−3/2
R2
R2 R1
0
Z∞
Z Z
Zh−1
ω2
−1
(iη+γ)t+iξ 0 x0
0
e−λ(x3 +s) û03 (ξ 0 , s) ds dη dξ 0 dv+
v
e
G(ξ v) √
2
2 2πτ
h
R2 R1
0
49
О КЛАССЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СИСТЕМЫ ВНУТРЕННИХ ВОЛН
+(2π)−3/2
Zh−1
Z Z
b3 ω 2 |ξ 0 |
0 0
−1
√
e(iη+γ)t+iξ x G(ξ 0 v) √
v
×
2πl(τ, ξ 0 )τ τ 2 + ω 2
R2 R1
h
×
Z∞
e−λ(x3 +s) û03 (ξ 0 , s) ds dη
0
dξ dv =
Vk (τ, ξ 0 , x3 ),
k=1
0
u1,h (t, x) = u01 (x) −
4
X
Zt
u2,h (t, x) = u02 (x) −
Dx1 ph (s, x) ds,
0
u3,h (t, x) =
Zt
Dx2 ph (s, x) ds,
0
cos(ωt)u03 (x)
−
Zt
cos(ω(t − s))Dx3 ph (s, x) ds.
(12)
0
Нетрудно показать, что
Dt u1,h + Dx1 ph ≡ 0,
Dt u3,h + ω
2
Zt
Dt u2,h + Dx2 ph ≡ 0,
u3,h ds + Dx3 ph ≡ 0,
uj,h |t=0 = u0j (x),
j = 1, 2, 3,
0
и в силу интегрального представления (11)
kDx1 u1,h + Dx2 u2,h + Dx3 u3,h , Lq (R3+ )k → 0,
kb1 u1,h + b2 u2,h + b3 u3,h + b4
Zt
h → 0,
ph (s, x) ds|x3 =0 , Lq (R2 )k → 0,
h → 0.
0
Поэтому вектор-функцию (uh (t, x), ph (t, x)) можно рассматривать в качестве приближенного решения краевой задачи (2).
2. Необходимые и достаточные условия разрешимости
Здесь мы установим, что условие (6) является необходимым и достаточным для разрешиr1 ,r2
мости краевой задачи (2) в весовом соболевском пространстве Wq,γ
(R4++ ) при q ≤ 3/2. В
силу теоремы 1
1,1
0,2
u(t, x) ∈ Wq,γ
(R4++ ), p(t, x) ∈ Wq,γ
(R4++ )
при q > 3/2. Более того,
1,1
u(t, x) ∈ Wq,γ
(R4++ ),
0,1
∇p(t, x) ∈ Wq,γ
(R4++ )
при q > 1. Поэтому остается доказать, что функция p(t, x) ∈ Lq,γ (R4++ ) при 1 < q ≤ 3/2
тогда и только тогда, когда функция u03 (x) ∈ Lq (R3+ )∩L1,−1 (R3+ ) удовлетворяет условию (6).
Лемма 1. Пусть u03 (x) ∈ Lq (R3+ ) ∩ L1,−1 (R3+ ). Для того, чтобы функция p(t, x) ∈
Lq,γ (R4++ ) при q ≤ 3/2, необходимо, чтобы
Z
u03 (x)dx = 0.
R3+
50
И. И. Матвеева
Доказательство проведем от противного. Предположим, что
Z
u03 (x)dx 6= 0 и p(t, x) ∈
R3+
Lq,γ (R4++ )
Lq,γ (R4++ )k
при q ≤ 3/2. Поскольку kp(t, x),
Хаусдорфа — Юнга имеем
k(2π)−1/2
Z∞
≤ c < ∞, тогда в силу неравенства
e−iξ3 x3 p̃(τ, ξ 0 , x3 ) dx3 , Lq0 (R4 )k ≤ c < ∞,
1
1
+ 0 = 1,
q q
0
где
0
p̃(τ, ξ , x3 ) = (2π)
−3/2
Z∞ Z
0 0
e−τ t−iξ x p(t, x) dt dx0 ,
τ = iη + γ.
0 R2
Следовательно,
sup
ε>0
Z∞ Z
¯q 0
¯Z∞
¯
¯
−iξ
x
0
¯ e 3 3 p̃(τ, ξ , x3 ) dx3 ¯ dξ dη ≤ c.
¯
¯
−∞ ε<|ξ|<1 0
Очевидно, что функции
ũj (τ, ξ 0 , x3 ) = (2π)−3/2
Z∞ Z
0 0
e−τ t−iξ x uj (t, x) dt dx0 ,
j = 1, 2, 3,
0 R2
и функция p̃(τ, ξ 0 , x3 ) являются решениями краевой задачи (7) при
Z
0 0
0
−3/2
fj (ξ , x3 ) = (2π)
e−iξ x u0j (x) dx0 , j = 1, 2, 3,
R2
и определяются формулами (9), (10). Согласно (10)
J=
Z∞
0
ω2
1
e−iξ3 x3 p̃(τ, ξ 0 , x3 ) dx3 = √
2 2πτ 2 λ − iξ3
ω2
1
− √
2 2πτ 2 λ + iξ3
Z∞
Z∞
(e−iξ3 s − e−λs )û03 (ξ 0 , s) ds−
0
e−iξ3 s û03 (ξ 0 , s) ds−
0
¶
µ
Z∞
b3 ω 2 |ξ 0 |
1
ω2
√
−√
− √
e−λs û03 (ξ 0 , s) ds.
2
0
2
2
λ
+
iξ
2πl(τ, ξ )τ τ + ω
2 2πτ
3
0
В силу леммы Адамара функцию
û03 (ξ 0 , s)
û03 (ξ 0 , s)
=
можно представить в виде
û03 (0, s)
+
2
X
j=1
ξj Uj (ξ 0 , s),
О КЛАССЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СИСТЕМЫ ВНУТРЕННИХ ВОЛН
51
где
0
Uj (ξ , s) = (2π)
−1
Z1 Z
0 0
e−iξ x µ (−ixj )u03 (x) dx0 dµ.
0 R2
Поскольку
−iξ3 s
e
= 1 − iξ3 s
Z1
−iξ3 sµ
e
dµ,
e
−λs
= 1 − λs
0
Z1
e−λsµ dµ,
0
следовательно,
ω2
1
J= √
2 2πτ 2 λ − iξ3
ω2
1
+ √
2 2πτ 2 λ + iξ3
Z∞
iξ3 s
0
Z1
Z∞µ
−λsµ
e
dµ − iξ3 s
0
0
−iξ3 sµ
e
λs
Z1
Z1
−iξ3 sµ
e
¶
dµ û03 (ξ 0 , s) ds+
0
dµ û03 (ξ 0 , s) ds
0
ω2
1
− √
2 2πτ 2 λ + iξ3
Z∞
e−iξ3 s
2
X
ξj Uj (ξ 0 , s) ds+
j=1
0
µ
¶
Z∞ Z1
b3 ω 2 |ξ 0 |
ω2
1
√
−√
λs e−λsµ dµû03 (ξ 0 , s) ds−
+ √
2 2πτ 2
2πl(τ, ξ 0 )τ τ 2 + ω 2 λ + iξ3
0
0
¶
µ
Z∞
2
X
b3 ω 2 |ξ 0 |
1
ω2
√
−√
− √
e−λs
ξj Uj (ξ 0 , s) ds+
2
0
2
2
λ
+
iξ
2πl(τ, ξ )τ τ + ω
2 2πτ
3
j=1
0
b3 ω 2 |ξ 0 |
ω2
1
√
√
√
−
+
λ + iξ3
2πτ 2
2πl(τ, ξ 0 )τ τ 2 + ω 2
µ
¶ Z∞
û03 (0, s) ds
0
=
6
X
k=1
Очевидно, что
sup
ε>0
Z∞ Z
¯X
¯q 0
¯ 5
¯
¯
¯ dξ dη ≤ cku03 (x), L1,−1 (R3+ )kq0 ≤ c.
J
k
¯
¯
−∞ ε<|ξ|<1 k=1
Следовательно,
sup
ε>0
Z∞ Z
0
|J6 |q dξ dη ≤ c.
−∞ ε<|ξ|<1
Тогда, учитывая определение l(τ, ξ 0 ), получаем
sup
ε>0
Z∞ Z
−∞ ε<|ξ|<1
¯q 0
¯
Z∞
¯
¯ b4 − i(b1 ξ1 + b2 ξ2 )
0
¯ dξ dη ≤ c.
¯
û
(0,
s)
ds
3
¯
¯ (λ + iξ3 )τ 2 l(τ, ξ 0 )
0
Отсюда
sup
ε>0
Z
ε<|ξ|<1
¯
¯q 0
Z∞
¯ −1
¯
0
¯|ξ|
¯ dξ ≤ c.
û
(0,
s)
ds
3
¯
¯
0
Jk .
52
И. И. Матвеева
0
Поскольку q ≤ 3/2, функция |ξ|−q несуммируема в окрестности нуля. Следовательно, если
R∞
условие (6) не выполнено, то û03 (0, s) ds 6= 0 и
0
lim
Z
ε→0
ε<|ξ|<1
¯
¯q 0
Z∞
¯ −1
¯
0
¯|ξ|
¯ dξ = ∞.
û
(0,
s)
ds
3
¯
¯
0
Противоречие. Лемма доказана.
Из теоремы 1 и леммы 1 вытекает первая часть утверждения теоремы 2. Для доказательства второй части нам понадобится следующий результат.
Лемма 2. Пусть u03 (x) ∈ Lq (R3+ ) ∩ L1,−1 (R3+ ) и выполнено условие (6), тогда
¶
µ
0
+
++
0
+
(13)
kph (t, x), Lq,γ (R4 )k ≤ c ku3 (x), Lq (R3 )k + ku3 (x), L1,−1 (R3 )k ,
при этом
kph1 (t, x) − ph2 (t, x), Lq,γ (R4++ )k → 0,
h1 , h2 → 0.
(14)
Доказательство. В силу (12)
e−γt ph (t, x) = (2π)−3/2
Z Z
Zh−1
0 0
−1
v
eiηt+iξ x G(ξ 0 v)v4 (τ, ξ 0 , x3 ) dη dξ 0 dv =
R2 R1
h
=
4
X
(2π)−3/2
k=1
Zh−1
Z Z
4
X
iηt+iξ 0 x0
0
0
0
−1
e
G(ξ v)Vk (τ, ξ , x3 ) dη dξ dv =
Pk (t, x).
v
k=1
R2 R1
h
Оценки всех слагаемых проводятся по одной схеме, поэтому мы проведем подробное доказательство только для первого слагаемого P1 (t, x), которое перепишем следующим образом:
P1 (t, x) = (2π)
−3/2
Z1
v
−1
h
+(2π)−3/2
Z Z
iηt+iξ 0 x0
e
R2 R1
ω2
G(ξ v) √
2 2πτ 2
0
Z∞
eλ(x3 −s) û03 (ξ 0 , s) ds dη dξ 0 dv+
x3
Zh−1
Z Z
Z∞
2
ω
0
0
eiηt+iξ x G(ξ 0 v) √
v −1
eλ(x3 −s) û03 (ξ 0 , s) ds dη dξ 0 dv =
2 2πτ 2
1
x3
R2 R1
= P11 (t, x) + P12 (t, x).
Поскольку
Z∞
eλ(x3 −s) û03 (ξ 0 , s) ds =
R1
θ(s − x3 )eλ(x3 −s) θ(s)û03 (ξ 0 , s) ds,
−∞
x3
Z
Z∞
−iξ3 x3
e
λx3
θ(−x3 )e
1
,
dx3 =
λ − iξ3
Z∞
0
e−τ t dt = 1/τ,
О КЛАССЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СИСТЕМЫ ВНУТРЕННИХ ВОЛН
53
используя формулу преобразования Фурье свертки, получаем
P11 (t, x)
=c
Z1
v
−1
×
eiηt+iξx G(ξ 0 v)
R1 R3
h
Z Z
Z Z
1
×
τ (λ − iξ3 )
e−iηζ−iξ3 y3 θ(y3 )θ(ζ)e−γζ û03 (ξ 0 , y3 )dζ dy3 dx dη dv.
R1 R1
|ξ 0 | + iξ3
удовлетворяет условиям теоремы Лизоркина
τ (λ − iξ3 )
о мультипликаторах [7]. Следовательно,
Нетрудно проверить, что функция
kP11 (t, x), Lq (R4++ )k
≤ ck
Z1
h
×
Z
v
−1
Z
eiξx G(ξ 0 v)(|ξ 0 | + iξ3 )−1 ×
R3
e−iξ3 y3 θ(y3 )û03 (ξ 0 , y3 ) dy3 dx dv, Lq (R3+ )k.
R1
Поскольку
Z∞
0
e−iξ3 x3 e−|ξ |x3 θ(x3 ) dx3 =
−∞
|ξ 0 |
1
,
+ iξ3
используя формулу обратного преобразования Фурье, в силу неравенства Минковского
имеем
Z1
Z∞ Z Z
0 0
0
kP11 (t, x), Lq (R4++ )k ≤ c v −1 k
eiξ (x −y ) G(ξ 0 v)×
h
−∞ R2 R2
0
× θ(x3 − y3 )e−|ξ |(x3 −y3 ) θ(y3 )u03 (y) dξ 0 dy 0 dy3 , Lq (R3+ )k dv.
Применяя неравенство Юнга, получаем
kP11 (t, x), Lq (R4++ )k
≤c
Z1
−1
v k
Сделав замену sj = ξj v, j = 1, 2,
≤c
0 0
0
eiξ x G(ξ 0 v)e−|ξ |x3 dξ 0 , L1 (R3+ )k dv ku03 (x), Lq (R3+ )k.
R2
h
kP11 (t, x), Lq (R4++ )k
Z
Z1
h
yl = xl /v, l = 1, 2, 3, получим
dvk
Z
0 0
0
eis y G(s0 )e−|s |y3 ds0 , L1 (R3+ )k ku03 (x), Lq (R3+ )k.
R2
Полагая число N в определении функции G(s0 ) достаточно большим, приходим к неравенству
kP11 (t, x), Lq (R4++ )k ≤ cku03 (x), Lq (R3+ )k.
(15)
54
И. И. Матвеева
Оценим функцию P12 (t, x). В силу условия (6)
Z
0 0
e−iξ x u03 (x) dx
=−
Z1 Z∞ Z
0
R3+
0 0
e−iµξ y iξ 0 y 0 u03 (y 0 , y3 ) dy 0 dy3 dµ.
0 R2
Тогда, повторяя рассуждения, описанные выше, получаем
kP12 (t, x), Lq (R4++ )k ≤
h−1
≤c
2 Z
X
k=1 1
°Z
°
°
°
0
0
0
0
+
0
+ °
iξ x
0
−|ξ |x3
v −1 °
)
dξ
,
L
(R
e
G(ξ
v)ξ
e
q
k
3
°
° dv kxk u3 (x), L1 (R3 )k.
R2
В результате замены sj = ξj v, j = 1, 2,
yl = xl /v, l = 1, 2, 3, получим
kP12 (t, x), Lq (R4++ )k ≤
h−1
≤c
2 Z
X
v
−4+3/q
k=1 1
°
°Z
°
°
is0 y 0
0
−|s0 |y3
0
+ °
°
ds , Lq (R3 )° dv ku03 (x), L1,−1 (R3+ )k.
dv ° e G(s )sk e
R2
Z∞
Поскольку при q > 1 интеграл v −4+3/q dv сходится, выбирая N в определении функции
1
G(s0 ) достаточно большим, приходим к неравенству
kP12 (t, x), Lq (R4++ )k ≤ cku03 (x), L1,−1 (R3+ )k.
(16)
Из оценок (15) и (16) следует требуемая оценка для функции P1 (t, x). Проводя такие
же рассуждения для функций Pj (t, x), j = 2, 3, 4, получаем (13). Сходимость (14) доказывается аналогичным образом. Лемма доказана.
При доказательстве теоремы 1 было установлено, что для приближенного решения
краевой задачи (2) имеют место оценки
3
X
j=1
1,1
0,1
kuj,h (t, x), Wq,γ
(R4++ )k + k∇ph (t, x), Wq,γ
(R4++ )k ≤
≤c
3
X
j=1
ku0j (x), Wq1 (R3+ )k,
(17)
при этом
3
X
j=1
1,1
(R4++ )k+
kuj,h1 (t, x) − uj,h2 (t, x), Wq,γ
0,1
+k∇ph1 (t, x) − ∇ph2 (t, x), Wq,γ
(R4++ )k → 0,
r
(R4++ )
Wq,γ
h1 , h2 → 0.
(18)
из (14) и (18) вытекает существование функций
В силу полноты пространства
0,2
1,1
(R4++ ), таких, что
(R4++ ), j = 1, 2, 3, p(t, x) ∈ Wq,γ
uj (t, x) ∈ Wq,γ
1,1
kuj,h (t, x) − uj (t, x), Wq,γ
(R4++ )k → 0,
О КЛАССЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СИСТЕМЫ ВНУТРЕННИХ ВОЛН
55
0,2
kph (t, x) − p( t, x), Wq,γ
(R4++ )k → 0
при h → 0. При этом из неравенств (13) и (17) вытекает оценка
3
X
j=1
1,1
0,2
kuj (t, x), Wq,γ
(R4++ )k + kp(t, x), Wq,γ
(R4++ )k ≤
≤c
µX
3
j=1
ku0j (x),
Wq1 (R3+ )k
+
ku03 (x),
¶
.
L1,−1 (R3+ )k
Нетрудно показать, что полученная вектор-функция (u(t, x), p(t, x)) является искомым
решением краевой задачи (2). Доказательство единственности в указанных классах функций затруднений не вызывает. Теорема 2 доказана.
В заключение автор выражает благодарность профессору Г. В. Демиденко за полезные
дискуссии.
Список литературы
[1] Демиденко Г. В., Матвеева И. И. Краевые задачи в четверти пространства для
систем не типа Коши — Ковалевской. Тр. Ин-та матем. СО РАН, 26, 1994, 42–76.
[2] Матвеева И. И. Краевые задачи для систем с вырожденной матрицей при производной по времени: Автореф. дисс. ... канд. физ.-мат. наук. Ин-т матем. им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, 1996.
[3] Гальперн С. А. Задача Коши для общих систем линейных уравнений с частными
производными. Тр. Моск. мат. о-ва, 9, 1960, 401–423.
[4] Демиденко Г. В. Об условиях разрешимости смешанных задач для одного класса
уравнений соболевского типа. Краевые задачи для уравнений с частными производными: Тр. семинара акад. С. Л. Соболева. Ин-т математики АН СССР. Сиб. отд-ние,
Новосибирск, 1, 1984, 23–54.
[5] Демиденко Г. В., Успенский С. В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной. Науч. книга, Новосибирск, 1998.
[6] Успенский С. В. О представлении функций, определяемых одним классом гипоэллиптических операторов. Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова, 117, 1972, 292–299.
[7] Лизоркин П. И. Обобщенное лиувиллевское дифференцирование и метод мультипликаторов в теории вложений классов дифференцируемых функций. Там же, 105,
1969, 89–167.
Поступила в редакцию 10 ноября 1998 г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
181 Кб
Теги
внутренние, волна, система, одной, класс, задачи, краевых
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа