close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об одном классе максимально подвижных почти контактных метрических многообразий.

код для вставкиСкачать
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОО ОСУДАСТВЕННОО УНИВЕСИТЕТА
Физико-математические науки
2009
Том 151, кн. 4
УДК 514.76
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ МАКСИМАЛЬНО
ПОДВИЖНЫХ ПОЧТИ КОНТАКТНЫХ
МЕТИЧЕСКИХ МНОООБАЗИЙ
Н.А. Тяпин
Аннотация
В статье исследуется специальный класс максимально подвижных почти контактных
метрических многообразий M 2n+1 (?, ?, ?, g) . В специальной системе координат выписаны компоненты структурных объектов, найдены базисные поля алгебры Ли ининитезимальных автоморизмов данной структуры.
Ключевые слова: почти контактное метрическое многообразие, алгебра Ли, инитезимальный автоморизм.
Введение
Пусть M гладкое многообразие размерности 2n + 1 , ? диеренциальная
1-орма. Форма ? определяет на M контактную структуру, если выполняется
следующее условие [1?:
? ? (d?)n 6= 0,
то есть ? = ? ? (d?)n является ормой объема. Естественным обобщением контактных структур являются почти контактные структуры.
Почти контактная метрическая структура на гладком многообразии M 2n+1
определяется четверкой тензорных полей: векторным полем ? , называемым характеристическим; диеренциальной 1-ормой ? ; тензорным полем ? типа (1, 1) ,
называемым структурным эндоморизмом; римановым метрическим тензором g .
Эти объекты должны удовлетворять следующим условиям [1?:
?(?) = 1,
?? = 0,
?(?X) = 0,
??X = ?X + ?(X)?,
(1)
g(?X, ?Y ) = g(X, Y ) ? ?(X)?(Y )
для любых векторных полей X, Y на M .
Векторное поле v называется ининитезимальным автоморизмом почти контактной метрической структуры, если выполняются следующие условия:
Lv ? = 0,
Lv ? = 0,
Lv ? = 0,
Lv g = 0,
(2)
где Lv производная Ли вдоль векторного поля v .
Вопрос о максимальной подвижности почти контактных метрических структур
решен С. Танно [2?:
Пусть M 2n+1 связное почти контактное риманово многообразие. Тогда максимальная размерность группы автоморизмов почти контактной метрической структуры равна (n + 1)2 . Максимум будет достигаться, если
Теорема 1.
АВТОМОФИЗМЫ ТЕТЬЕО КЛАССА ТАННО
193
и только если секционная кривизна в направлении двумерных площадок, содержащих вектор ? , будет постоянной, равной C , и M является одним из следующих
пространств:
1) C > 0 : однородное Сасакиево многообразие (или его ? -деормация) постоянной ? -аналитической кривизны H ;
2) C = 0 : 6 глобальных римановых произведений: T ЧCP n , T ЧCE n , T ЧCDn ,
L Ч CP n , L Ч CE n , L Ч CDn ;
3) C < 0 : прямое произведение L Ч ct CE n с метрикой g(t,x) = (dt)2(t) + e2ct G(x)
В принятых обозначениях L прямая, T окружность, CP n комплексное проективное пространство с метрикой Фубини Штуди, CE n унитарное
пространство, CDn открытый шар с однородной кэлеровой структурой отрицательной постоянной голоморной секционной кривизны.
В дальнейшем будем полагать, что индексы меняются следующим образом:
i, j, k, . . . = 1, . . . , n,
a, b, s, . . . = 1, . . . , 2n,
A, B, S, . . . = 1, . . . , 2n + 1.
ассмотрим 3-й класс максимально подвижных почти контактных метрических
структур теоремы Танно [2?. На многообразии L Ч ct CE n введем локальные координаты x = {x1 , . . . , x2n }, t = x2n+1 . Координаты {x1 , ·, x2n } выберем естественным для унитарного пространства CE n образом. Тогда ? |CE n = ?ji ?i+n ? dxj ?
? ?ji ?i ? dxj+n , G = ?ab dxa dxb . Пусть L и M распределения, соответствующие
слоям CE n и L . Из доказательства теоремы [2? следует, что они являются соответственно первым и вторым ундаментальными распределениями почти контактной
метрической структуры. аспределение L натянуто на векторные поля ?1 , . . . , ?2n ,
а M на векторное поле ?2n+1 . Так как L = ker (?) и M линейная оболочка ? ,
1
учитывая первое условие из (1), получим что ? = ?dx2n+1 , ? = ?2n+1 . Используя
?
вид g и пятое условие условие (1), находим ? = 1 . Отсюда следует, что в выбранной нами локальной системе координат структурные объекты имеют следующий
вид:
? = ?2n+1 ,
? = dx2n+1 ,
g = e2cx
2n+1
2
?ab dxa dxb + dx2n+1 ,
(3)
? = ?ji ?i+n ? dxj ? ?ji ?i ? dxj+n .
Нетрудно проверить, что условия (1) выполняются.
1.
Система диеренциальных уравнений
Найдем векторное поле ининитезимального автоморизма v структуры (3).
Условия (2) представляют собой систему диеренциальных уравнений в частных производных относительно неизвестных ункций v A = v A (x1 , . . . , x2n , x2n+1 ) .
Запишем эти условия для структурных объектов (?, ?, ?, g) :
Для векторного поля ? имеем:
Lv ? ? v S ?S ? A ? ? S ?S v A = 0 ? ?2n+1 v A = 0.
(4)
Для диеренциальной 1-ормы ? находим:
Lv ? ? v S ?s ?B + ?S ?B v S = 0 ? ?B v 2n+1 = 0.
Для структурного эндоморизма ? имеем:
S
A
A
S
Lv ? ? v S ?S ?A
B ? ?B ?S v + ?S ?B v = 0.
(5)
194
Н.А. ТЯПИН
Запишем последнее равенство для различных серий индексов:
1. ?j+n v i + ?j v i+n = 0,
3. ? ?j v i + ?j+n v i+n = 0,
5. ?2n+1 v a = 0,
2. ? ?j+n v i+n + ?j v i = 0,
4. ?j v i+n + ?j+n v i = 0,
6. ?b v 2n+1 = 0.
(6)
Для метрического тензора g из системы (2) находим:
Lv g ? v s ?S gAB + gAS ?B v s + gSB ?A v s = 0.
Запишем данное равенство для различных серий индексов:
(
cv 2n+1 + ?a v a = 0,
1.
?b v a + ?a v b
= 0 (a > b),
2. e2cx
2n+1
?2n+1 v a + ?a v 2n+1 = 0,
3. ?2n+1 v 2n+1 = 0.
(7)
(8)
(9)
Исключая из уравнений (4)(9) одинаковые, получаем следующую систему:
?
?2n+1 v A = 0,
?
?
?
?
?
?
?B v 2n+1 = 0,
?
?
?
?
??j+n v i + ?j v i+n = 0,
(10)
???j+n v i+n + ?j v i = 0,
?
?
?
?
?
?
cv 2n+1 + ?a v a = 0,
?
?
?
? a
?b v + ?a v b = 0, a > b.
2.
ешение СДУ
Из первой серии уравнений (10) следует, что ункции v A
=
= v A (x1 , . . . , x2n , x2n+1 ) не зависят от переменной x2n+1 . Из второй серии уравнений (10) следует, что ункция v 2n+1 = v 2n+1 (x1 , . . . , x2n , x2n+1 ) не зависит ни от
одной из переменных, то есть является константой, которую мы обозначим C02n+1 :
v a = v a (x1 , . . . , x2n ),
v 2n+1 = C02n+1 .
С учетом (11) система диеренциальных уравнений (10) примет вид:
?
?
?j+n v i + ?j v i+n = 0,
?
?
?
?
???j+n v i+n + ?j v i = 0,
?
?cC02n+1 + ?a v a = 0,
?
?
?
?? v a + ? v b = 0, a > b.
b
(11)
(12)
a
Диеренцируя третье уравнение системы (12) по xc , получим, что
?ac v a = 0.
(13)
ассмотрим четвертое уравнение системы (12). Для простоты будем считать,
что индексы удовлетворяют лишь условиям a 6= b 6= c . Диеренцируя его по xc ,
получим
?ac v b + ?bc v a = 0, a 6= b 6= c.
(14)
АВТОМОФИЗМЫ ТЕТЬЕО КЛАССА ТАННО
195
Аналогично, диеренцируя равенство ?c v b + ?b v c = 0 по xa , имеем
?ac v b + ?ab v c = 0,
a 6= b 6= c.
(15)
В силу того, что ?a v = ??b v , перепишем (15) в виде
b
a
?ac v b ? ?bc v a = 0,
a 6= b 6= c.
(16)
Складывая (14)и (16) и учитывая (13), получим, что:
?ab v c = 0.
Мы получили, что все вторые частные производные ункций (11) равны нулю.
Отсюда следует, что они линейны по всем своим аргументам и могут быть записаны
в виде
v a = Cba xb + C0a , v 2n+1 = C02n+1 .
(17)
Компоненты векторного поля ининитезимального автоморизма зависят от
4n2 + 2n + 1 постоянных, которые не являются независимыми. Используя систему
(12), найдем алгебраические зависимости, накладываемые на постоянные Cba , C0a ,
C02n+1 .
Подставив (17) в (12), получим:
?
i+n
i
?
?
?Cj+n + Cj = 0,
?
?
?C i ? C i+n = 0,
j
j+n
(18)
2n+1
?
+ Caa = 0,
cC0
?
?
?
?
?C a + C b = 0, a > b.
a
b
Используя условия (18), можно выразить коэициенты Cba через Cji , i < j, и
i ? j . Получим:
i
Cj+n
,
Cij = ?Cji ,
i+n
Cj+n
= Cji ,
i
Cij+n = ?Cj+n
,
j+n
Ci+n
= Cij = ?Cji ,
i
Cji+n = ?Cj+n
,
Caa = ?cC02n+1 ,
j
i
Ci+n
= ?Cji+n = Cj+n
,
(19)
где i < j .
Таким образом, из (19) следует, что среди всех 4n2 коэициентов Cba независимыми являются только n2 . Примем в качестве независимых переменных Cji (i <
i
< j) и Cj+n
(i ? j) . Тогда общее решение системы (10) можно записать в виде:
X
X
X
X
i
i
v i = ?cC02n+1 xi +
Cji xj ?
Cji xj +
Cj+n
xj+n +
Cj+n
xj+n ,
j>i
v i+n = ?
X
j?i
i
Cj+n
xj ?
X
j<i
i
Cj+n
xj +
j<i
Cji xj+n ?
j>i
v
2n+1
j<i
j?i
X
=
C02n+1 .
X
Cji xj+n ? cC02n+1 xi+n ,
j<i
Базисные операторы алгебры ининитезимальных автоморизмов максимально подвижной почти контактной метрической структуры, определяемой равенствами (3), имеют вид:
?
Cji (i < j) :
xj ?i ? xi ?j + xj+n ?i+n ? xi+n ?j+n ,
?
?
?
?
?
i
j+n
?
?i + xi+n ?j ? xj ?i+n ? xi ?j+n ,
?
?Cj+n (i < j) : x
i
(20)
Ci+n
:
xi+n ?i ? xi ?i+n ,
?
?
?
a
?
?
C0 :
?a ,
?
?
? 2n+1
C0
:
cxa ?a ? ?2n+1 .
196
Н.А. ТЯПИН
Таким образом, справедлива
Теорема 2. Существует система координат, в которой структурные объекты и базисные операторы алгебры Ли ининитезимальных автоморизмов максимально подвижных почти контактных метрических многообразий третьего
класса Танно имеют вид (3) и (20) .
Summary
N.A. Tyapin.
On a Class of Almost Contat Metri Manifolds of Maximal Mobility.
A speial lass of almost ontat metri manifolds M 2n+1 (?, ?, ?, g) of maximal mobility is
studied. In terms of a speial oordinate system, we alulate the omponents of the struture
objets of M 2n+1 and nd basis vetor elds of the Lie algebra of innitesimal automorphisms
of M 2n+1 .
Key words:
almost ontat metri manifold, Lie algebra, innitesimal automorphism.
Литература
1.
Кириченко В.Ф.
Диеренциально-геометрические структуры на многообразиях. М.: МПУ, 2003. 495 с.
2.
Tanno Shukihi
The automorphism groups of almost ontat riemannian manifolds //
Tohoku Math. J. 1969. V. 21, No 1. P. 21-38.
Поступила в редакцию
04.06.09
Тяпин Никита Александрович ассистент каедры геометрии Пензенского государственного педагогического университета имени В.. Белинского.
E-mail: tyapin_nikitamail.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
177 Кб
Теги
почта, подвижные, одной, класс, многообразие, контактные, метрические, максимальной
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа