close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об одном классе одноранговых возмущений.

код для вставкиСкачать
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 2 (513)
2005
УДК 517.984
Г.Г. ИСЛАМОВ
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ОДНОРАНГОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Спектральные свойства матриц с вещественными неотрицательными элементами, установленные Перроном и Фробениусом в начале прошлого столетия, были обнаружены сначала у
интегральных операторов, а затем и у более общих операторов в полуупорядоченных пространствах [1].
Интересны свойства периферического спектра линейных операторов. Периферический спектр
оператора A, некоторая степень которого вполне непрерывна, состоит из тех собственных значений этого оператора, которые лежат на спектральной окружности f : jj = r(A)g, где r(A)
| спектральный радиус оператора A.
Сначала рассмотрим конечномерный случай. Пусть A | вещественная квадратная матрица
порядка n с неотрицательными элементами aij . Следуя ([2], с. 129), выберем на плоскости n различных точек p ; : : : ; pn . Для каждого ненулевого элемента aij матрицы A соединим точку pi с
точкой pj направленной линией (звеном) pipj . Полученная в результате фигура называется направленным графом матрицы A. Матрица A называется неразложимой, если ее направленный
граф сильно связен, т. е. для любых двух точек pi и pj существует связывающий их ориентированный путь pipi1 ; : : : ; pi pj . Число звеньев пути называется длиной этого пути. Однозвенный
путь из pi в pi (петля) существует тогда и только тогда, когда aii > 0.
Согласно теореме Фробениуса ([3], с. 334) спектральный радиус r(A) неразложимой матрицы
A с неотрицательными элементами является положительным простым собственным значением
этой матрицы и ему соответствует вектор u с положительными координатами. Кроме того,
периферический спектр матрицы A состоит из простых собственных значений
2
p (1)
k = r(A) exp m (k ; 1) ;1 ; k = 1; m:
При m > 1 число m собственных значений на спектральной окружности называется индексом импримитивности (периодом) матрицы A. В ([3], с. 355) показано, что если () =
n + a n1 + + at n | характеристический многочлен матрицы A, то m равно наибольшему
общему делителю разностей n ; n ; n ; n ; : : : ; nt; ; nt. Известна и другая характеристика индекса импримитивности ([2], с. 131): m есть наибольший общий делитель длин замкнутых путей
(контуров) направленного графа матрицы A.
Как показано в ([3], с. 339), найдется такая диагональная матрица D = diag( ; : : : ; n ) с
m
i = 1, i = 1; n, что 'k = Dk; u будет собственным вектором, отвечающим k .
1
l
1
t
1
1
2
1
1
1
Транспонированная матрица A (как и A) неотрицательна, неприводима
и имеет тот же периферический спектр. Пусть v | положительное решение уравнения
A v = r(A)v, нормированное условием (u; v) = 1, где (; ) | скалярное произведение векторов
в C n . Положим S = diag(1=1 ; : : : ; 1=n ). Тогда j = S j;1 v будет единственным с точностью
до постоянного множителя собственным вектором матрицы A , отвечающим комплексно{
сопряженному собственному значению j , j = 1; m, причем ('k ; j ) = kj | символ Кронекера.
Утверждение.
30
Действительно, имеет место представление ([3], с. 339)
(2)
A = r(Aj ) Dj; AD;j ; j = 1; m:
Перехoдя к комплексно-сопряженным матрицам, получим
A = r(Aj ) S j; AS ;j ; j = 1; m:
(3)
Отсюда и из равенства Av = r(A)v следует, что j = S j; v удовлетворяет уравнению A =
j j . Утверждение следует из простоты собственного значения j . Ортогональность 'k и j при
k 6= j очевидна, а равенство ('k ; k ) = 1 следует из того, что S = D; и (u; v) = 1.
Понятно, что собственные значения оператора
1
+1
1
+1
1
1
A =A;
1
m
X
k=1
k 'k (; k )
лежат внутри спектрального круга f : jj r(A)g. Оператор P k 'k (; k ) приводится к нильk
m
потентной матрице H одноранговым возмущением K = a(; b) (напр., [4]), где a = P k 'k ,
k
m
P
b = k k , причем
m
=1
=1
k=1
k k =
m
Q
mk
; k = 1; m:
(k ; j )
(4)
j =1; j 6=k
Так как для спектральных множеств (A ; K ) = (A + H ) = (A ) [ f0g, то r(A ; K ) < r(A).
Оценим сверху норму однорангового возмущения K . Пусть u = colon(u ; : : : ; un), v =
colon(v ; : : : ; vn ). Так как
m
X
k Dk; = diag(R( ); : : : ; R(n ));
1
1
1
1
1
1
k=1
где R(t) = P k tk; , то a = colon(R( )u ; : : : ; R(n)un ). В силу jj j = 1 имеем jR(j )j P jk j,
k
k
m
m
P
P
=
k
;
j = 1; n. Поэтому kak = (a; a) kuk jk j. Аналогично k S = diag(Q(1= ); : : : ; Q(1=n )),
k
k
m
m
m
где Q(t) = P k tk; , причем в силу j1=j j = 1 верно jQ(1=j )j P j k j = P jk j и, значит,
k
k
k
m
P
=
kbk = (b; b) kvk jk j. Так как jk j jk j = r(A)=m, k = 1; m, то для нормы однорангового
k
возмущения K имеем оценку
m
m
X
X
kK k = kak kbk r(A)kuk kvk m1 jk j jk j; :
k
k
При r(A) = 1, положив jk j = 1, k = 1; m, отсюда получаем kK k mkuk kvk, где u, v |
собственные векторы матриц A и A соответственно, отвечающие единице и нормированные
условием (u; v) = 1. При этом r(A ; K ) < 1.
Заметим, что обычно индекс импримитивности m меньше размерности n матрицы A. Так,
например, если aii > 0 для некоторого i = 1; n, то m = 1. Если же aij > 0 и aji > 0 для
некоторой пары (i; j ) с i 6= j , то существует двухзвенный контур направленного графа матрицы
A, и, следовательно, m 2, т. к. 2 должно делиться на m. Понятно, что возможен случай, когда
m = n (если в качестве A взять матрицу перестановок ([2], c. 27)).
m
1
m
1
=1
1
=1
1 2
1
=1
1
=1
1
=1
=1
1 2
=1
1
=1
31
=1
=1
Будем следовать терминологии, принятой в [1], [5].
Аналогом неприводимой матрицы с неотрицательными элементами в бесконечномерном случае является потенциально компактный положительный оператор A, действующий в комплексной банаховой решетке B и обладающий следующим свойством: s) не существует нетривиальных
A-инвариантных замкнутых идеалов решетки B . Как известно [6], для оператора A с перечисленными выше свойствами спектральный радиус r(A) является положительным собственным
значением; все собственные значения, лежащие на спектральной окружности f : jj = r(A)g,
простые и задаются формулой (1), где m | число различных собственных значений, совпадающих с r(A) по модулю. Далее, для сопряженного оператора A найдется такой строго положительный функционал v 2 B , что A v = r(A)v. Кроме того, существует такое u 2 B , что u > 0,
Au = r(A)u и u | квазивнутренняя точка решетки B . Известно ([1], с. 337), что свойство s)
эквивалентно1 следующему свойству: существует такой скаляр > r(A), что для всякого x > 0
вектор y = P ;k Ak x является квазивнутренней точкой решетки B .
k
Обозначим B = fx 2 B : jxj u для некоторого , 0 < 1g. Это линейное подпространство является минимальным идеалом, содержащим собственный вектор u > 0. Кроме того, B
плотно в B (т. к. u | квазивнутренняя точка) и инвариантно относительно оператора A. Согласно теореме 8 из [6] существует такой биективный ортоморфизм D банаховой решетки B , что
jDxj = jxj для всех x 2 B и имеют место представления (2) и (3) для оператора A и сопряженного оператора A, где S = (D); . Таким образом, элементы 'k = Dk; u и k = S k; v будут
единственными с точностью до постоянного множителя собственными векторами, отвечающими
соответственно k и k , операторов A и A .
Если ведущие собственные векторы u и v выбраны так, что (u; v) = 1, то ('k ; j ) = ij |
символ Кронекера.
Из равенства jDk; xj = jxj, имеющего место при всех k = 1; m и x 2 B , следует jDk; uj=u.
Кроме того, для любого y > 0, y 2 B , имеем (y; jS k; vj) = supfj(x; S k; v)j : jxj yg =
supfj(Dk; x; v)j : jxj yg supf(jxj; v) : jxj yg = (y; v). Поэтому jS k; vj v.
Аналогично конечномерному случаю можно показать, что r(A ; K ) < r(A), если в одноранговом операторе
X
X
m
m
Kx =
k Dk; u x; k S k; v ; x 2 B;
=1
0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
k=1
k=1
коэффициенты k и k связаны соотношением (4).
При фиксированном x 2 B имеем
jKxj Так как
X
m
k=1
jk
j jDk;1 uj
jxj;
m
X
k=1
j k
j jS k;1 vj
:
jDk; uj = u; jS k; vj v; jk j jk j = r(mA) ; k = 1; m;
1
1
m
m
то jKxj u(jxj; v) r mA P jk j P jk j; . В силу монотонности нормы банаховой решетки k jxj k =
k
k
kx k и
m
m
X
X
r
(
A
)
kKxk kuk kvk kxk m jk j jk j; :
( )
1
=1
=1
1
k=1
m
m
P
r
(A) P
;
1
kuk kvk m jk j jk j , где
k=1
k=1
k=1
Следовательно, kK k u, v | ведущие собственные векторы
операторов A и A, нормированные условием (u; v) = 1. Из этого неравенства при r(A) = 1 и
jk j = 1, k = 1; m, следует kK k mkuk kvk.
Эти оценки для нормы однорангового возмущения K , уменьшающего спектральный радиус
оператора A, аналогичны конечномерным неравенствам.
32
В общем случае для потенциально компактного положительного оператора A, неприводимого над замкнутым идеалом банаховой решетки B , нет правил для подсчета числа m различных
собственных значений, лежащих на спектральной окружности (для конечномерного случая такие правила были приведены выше). Однако известно ([6], c. 391; [1], c. 340), что m = 1, если
выполнено одно из следующих условий:
а) Ax | квазивнутренняя точка решетки B , если x > 0;
б) A принадлежит операторному идеалу [7] со следом и (A) 6= 0;
в) B = C (X ) | банахова решетка непрерывных функций, заданных на связном хаусдорфовом компакте X .
Ниже предполагается, что r(A) < 1. В случае, когда обычный метод последовательных приближений нахождения единственного решения уравнения x = Ax + f , где f 2 B , сходится
медленно, можно предложить cледующее ускорение метода простой итерации.m Выберем произвольную последовательность комплексных чисел ; : : : ; m и положим b = P k k , где k |
k
комплексно-сопряженное с k число. Обозначим
1
a=
m
X
k=1
.
'k mk k
m
Y
j =1;j 6=k
(k ; j ) ; c =
=1
m
X
k=1
k k =(1 ; k ):
Положим g = f + a(f; c). Следуя схеме работы [8], можно показать, что в некоторой эквивалентной норме k k пространства B итерационный процесс
x = 0; xk = Axk; ; a(xk; ; b) + g; k = 1; 2; : : : ;
сходится к решению x уравнения x = Ax + f со скоростью kxk ; xk < qk kxk , где q меньше r(A),
но больше радиуса второй спектральной окружности оператора A.
0
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
1
1
Литература
Шефер Х. Топологические векторные пространства. { М.: Мир, 1971. { 359 с.
Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. { М.: Наука, 1984. { 318 с.
Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. { М.: Наука, 1988. { 552 с.
Исламов Г.Г. Экстремальные возмущения замкнутых операторов // Изв. вузов. Математика. { 1989. { Є 1. { C. 35{41.
Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. { М.: Наука, 1977. { 742 с.
Grobler J.J. A note on the theorem of Jentzsch{Perron and Frobenius // Proc. Koninkl. Nederl.
Akad. wetensch. { 1987. { Ser. A90. { Є 4. { P. 381{391.
Пич А. Операторные идеалы. { М.: Мир, 1982. { 536 с.
Исламов Г.Г. О границе применимости итерационного метода // Межвуз. сб. науч. тр. \Матем. моделир. и информационные технологии". { Ижевск: Изд-во Удмурт. ун-та, 1991. { С. 14{
18.
Удмуртский государственный
университет
Поступила
06.05.2002
33
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
135 Кб
Теги
одноранговых, возмущений, одной, класс
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа