close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об одном классе уравнений разрешимых в радикалах.

код для вставкиСкачать
Известия вузов. Математика
2011, № 2, c. 22–30
http://www.ksu.ru/journals/izv_vuz/
Гос. номер статьи по НТЦ "Информрегистр" 0421100123 \0012
Л.И. ГАЛИЕВА, И.Г. ГАЛЯУТДИНОВ
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ УРАВНЕНИЙ, РАЗРЕШИМЫХ В РАДИКАЛАХ
Аннотация. Выводятся рекуррентные формулы для нахождения минимальных многочленов
значений тангенсов, показывается, что группы Галуа этих многочленов коммутативны. Тем
самым получены примеры уравнений сколь угодно большой степени, разрешимых в радикалах.
Ключевые слова: функция Эйлера, системы вычетов по данному модулю, неприводимый многочлен, конечное расширение числового поля, степень расширения, круговой многочлен, группы Галуа многочлена и расширения поля.
УДК: 511.61
Abstract. We derive recurrent formulas for obtaining minimal polynomials for values of tangents
and show that Galois groups of these polynomials are commutative. Thus we give examples of
equations of arbitrarily high degrees solvable in radicals.
Keywords: Euler function, modulo residue system, irreducible polynomial, numeric field finite
extension, extension degree, circular polynomial, Galois groups of polynomials and field extensions.
Построение группы Галуа для конкретных многочленов является трудоемкой задачей.
В учебной и монографической литературе ([1], с. 201–207; [2], с. 202–209; [3], с. 232–237; [4],
с. 185–191) в качестве иллюстративного примера группа Галуа строится для круговых (циклотомических) многочленов. В данной статье предлагается методика нахождения нового
класса многочленов tn (x), для которых группы Галуа вычисляются сравнительно несложно. Эти многочлены являются минимальными для алгебраических чисел вида tg πn , где n
принимает натуральные значения, не равные двум. При нахождении многочленов tn (x)
важную роль играют рациональные функции Rn (x), обладающие свойствами
Pn (x)
, где Pn (x), Qn (x) — многочлены с целыми коэффициентами, степени
1) Rn (x) = Q
n (x)
которых не больше n;
2) Rn (tg α) = tg nα.
Многочлены Pn (x) и Qn (x) находятся из того, что
sin nα = Cn1 cosn−1 α sin α − Cn3 cosn−3 α sin3 α + · · · + (−1)k Cn2k+1 cosn−2k−1 α sin2k+1 α + · · · ,
cos nα = cosn α − Cn2 cosn−2 α sin2 α + Cn4 cosn−4 α sin4 α − · · · + (−1)k Cn2k cosn−2k α sin2k α + · · · .
Отсюда
tg nα =
Pn (tg α)
= Rn (tg α),
Qn (tg α)
Поступила 30.06.2009
22
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ УРАВНЕНИЙ, РАЗРЕШИМЫХ В РАДИКАЛАХ
23
1
3 3
k 2k+1 2k+1
где Pn (x)
= Cn x − Cn x 2+ 2· · · + (−1) Ckn 2k x2k + · · · (здесь количество слагаемых будет
n+1
l = 2 ), Qn (x) = 1−Cn x +· · ·+(−1) Cn x +· · · (количество слагаемых равно n+1−l).
Заметим, что числители и знаменатели функции Rn (x) могут быть вычислены по рекуррентным формулам Pn+1 (x) = Pn (x) + xQn (x), Qn+1 (x) = Qn (x) − xPn (x), n = 1, 2, 3, . . .,
P1 (x) = x, Q1 (x) = 1. Например,
P2 (x) = 2x, Q2 (x) = 1 − x2 , P3 (x) = 3x − x3 , Q3 (x) = 1 − 3x2 ,
P4 (x) = 4x − 4x3 , Q4 (x) = 1 − 6x2 + x4 , P5 (x) = 5x − 10x3 + x5 , Q5 (x) = 1 − 10x2 + 5x4 .
Так как tn (x) — многочлен с целыми коэффициентами, корнем которого является число
tg πn , то t1 (x) = x, t3 (x) = x2 − 3, t4 (x) = x − 1. Суперпозиция многочлена tk (x) и функции
Rn (x) позволяют найти многочлен tkn (x) с целыми коэффициентами предписанной степени,
π
. Для этого, используя уравнение tk (Rn (x)) = 0, одним
корнем которого является число tg kn
π
, необходимо перейти к равносильному уравнению
из корней которого является число tg kn
f (x) = 0, где f (x) — многочлен с целыми коэффициентами, а затем выделить из этого
многочлена множитель tkn (x) нужной степени. Алгоритм построения многочленов tn (x)
следует из теорем 1, 2, 3, приведенных ниже.
Теорема 1. Пусть n = 2k + 1, k — натуральное число, ϕ(n) — функция Эйлера. Тогда
имеется многочлен tn (x) с целыми коэффициентами степени ϕ(n), корнями которого являются числа tg sπ
n , где s пробегает приведенную систему вычетов по модулю n.
Эти многочлены находятся рекуррентно из следующих формул:
Pn (x) = (−1)k xtn (x), n = 2k + 1 — простое число,
(1)
(Qp (x))ϕ(q) tq (Rp (x)) = tq (x)tn (x), n = pq, p простое, НОД (p, q) = 1,
(2)
(Qp (x))ϕ(q) tq (Rp (x)) = tn (x), n = pq, p простое, НОД (p, q) = p.
(3)
Теорема 2. Пусть n = 4k + 2, k — натуральное число. Тогда имеется многочлен tn (x)
с целыми коэффициентами степени ϕ(n), корнями которого являются числа tg sπ
n , где s
пробегает приведенную систему вычетов по модулю n.
Многочлен tn (x) находится из равенства
(Q2 (x))ϕ(n1 ) tn1 (R2 (x)) = ±tn1 (x)tn (x), n = 4k + 2 = 2(2k + 1) = 2n1 .
(4)
Теорема 3. Пусть n = 4k, k — натуральное число. Тогда имеется многочлен tn (x) с
целыми коэффициентами степени 12 ϕ(n), корнями которого являются числа tg sπ
n , где s
пробегает приведенную систему вычетов по модулю n, для которой s ≡ 1 (mod 4). Для
s ≡ 3 (mod 4) соответствующие числа являются корнями многочлена tn (−x).
Искомые многочлены находятся из равенств
Qk (x)t4 (Rk (x)) = t4 (±x)tn (x), n = 4k, k — нечетное простое число,
(Qp (x))
1
ϕ(4q)
2
t4q (Rp (x)) = t4q (±x)tn (x), n = 4k, k — нечетное составное число,
причем k = pq, p простое, НОД (p, q) = 1,
(Qp (x))
1
ϕ(4q)
2
(6)
t4q (Rp (x)) = tn (x), n = 4k, k — нечетное составное число,
k = pq, p простое, НОД (p, q) = p,
1
(5)
(Q2 (x)) 2 ϕ(4l) t4l (R2 (x)) = ±tn (x), n = 4k, k = 2l — четное число.
(7)
(8)
Теорема 4. Многочлены, построенные в теоремах 1, 2, 3, неприводимы над полем рациональных чисел.
24
Л.И. ГАЛИЕВА, И.Г. ГАЛЯУТДИНОВ
Доказательство теоремы 1 приводится в работе [5]. Рассмотрим пример на ее применение.
Пример 1. Построить многочлен t7 (x) с корнем tg π7 .
По формуле (1) при n = 7 = 2 · 3 + 1 находим P7 (x) = −x(x6 − 21x4 + 35x2 − 7) = −xt7 (x).
Таким образом, t7 (x) = x6 − 21x4 + 35x2 − 7, deg t7 (x) = 6 = ϕ(7). Корнями этого многочлена
являются числа tg sπ
7 , s = 1, 6.
Доказательство теоремы 2 проведем индукцией по k. При k = 1 имеем n = 4k + 2 = 6 и
2x 2
− 3 = −(x2 − 3)(3x2 − 1). Отсюда t6 (x) =
формула (4) принимает вид (1 − x2 )2 1−x
2
3x2 − 1, deg t6 (x) = 2 = ϕ(6). Корнями многочлена t6 (x) являются числа tg π6 , tg 5π
6 , т. е.
при k = 1 теорема верна. Пусть при всех l < k и n = 4l + 2 имеется многочлен tn (x) с
целыми коэффициентами степени ϕ(n), корнями которого являются числа tg sπ
n , где s < n
и НОД (s, n) = 1. Нужно показать, что такой же многочлен существует при n = 4k + 2 =
2(2k + 1). По теореме 1 при n1 = 2k + 1 имеется многочлен tn1 (x) степени ϕ(n1 ) с корнями
tg nsπ1 , s < n1 и НОД (s, n1 ) = 1. Используя его, строим уравнение tn1 (R2 (x)) = 0 и переходим
к равносильному уравнению
f (x) ≡ (Q2 (x))ϕ(n1 ) tn1 (R2 (x)) = 0.
(9)
Левая часть уравнения (9) является многочленом с целыми коэффициентами, deg f (x) =
2ϕ(n1 ). Изучим его корни. Одним из корней многочлена tn1 (x) является число tg nπ1 =
1 +1
π, которое порождает два корня уравнения (9) видa tg 2nπ 1 , tg n2n
π. Таким обраtg n1n+1
1
1
зом, каждый корень многочлена tn1 (x) дает два корня уравнения (9), имеющего всего
π, где s = 0 или 1, r < n1 ,
2ϕ(n1 ) корней. Этими корнями являются числа вида tg sn2n1 +r
1
,
sn
+
r
<
2n
НОД (r, n1 ) = 1. Среди 2ϕ(n1 ) дробей вида sn2n1 +r
1
1 = n, несократимых будет
1
sn1 +r
всего ϕ(n) = ϕ(2n1 ) = ϕ(n1 ). Числа вида tg 2n1 π, соответствующие этим несократимым
дробям, являются корнями искомого многочлена tn (x). Оставшиеся ϕ(n1 ) дробей в силу
условия НОД (sn1 + r, n1 ) = НОД (r, n1 ) = 1 сокращаются на 2. Это означает, что среди
корней уравнения (9) будут ϕ(n1 ) корней вида tg nr1 π, r < n1 , НОД (r, n1 ) = 1, т. е. все
корни многочлена tn1 (x). Поэтому многочлен f (x) делится на многочлен tn1 (x) и приходим
к равенству (4).
Рассмотрим пример на применение теоремы 2.
π
.
Пример 2. Построить многочлен t14 (x) с корнем tg 14
2x
Имеем n = 14 = 4 · 3 + 2 = 2 · 7 и n1 = 7. Так как t7 (x) = x6 − 21x4 + 35x2 − 7, R2 (x) = 1−x
2,
6
4
2
2x
2x
2x
− 21 1−x
+ 35 1−x
− 7 = t7 (x)t14 (x).
то равенство (4) принимает вид (1 − x2 )6 1−x
2
2
2
Отсюда следует, что t14 (x) = 7x6 − 35x4 + 21x2 − 1 — искомый многочлен, deg t14 (x) = 6 =
ϕ(14), корнями его являются числа tg sπ
14 , s = 1, 3, 5, 9, 11, 13.
Доказательство теоремы 3. Здесь также применим индукцию по k. Теорема верна при
k = 1, так как t4 (x) = x − 1, deg t4 (x) = 1 = 12 ϕ(4). Корнем многочлена t4 (x) является
число tg π4 = 1, а корнем многочлена t4 (−x) — число tg 3π
4 = −1. При k = 2, пользуясь
2
формулой (8), находим t8 (x) = x + 2x − 1. Для этого многочлена также выполняются все
условия теоремы 3. Предположим, что при всех l < k и n = 4l имеется многочлен t4l (x) с
указанными в теореме 2 свойствами. Пусть n = 4k, k — нечетное простое число. Рассмотрим
уравнение
(10)
f (x) ≡ Qk (x)t4 (Rk (x)) = 0.
π,
α
=
Степень многочлена f (x) равна k и его корнями являются k чисел вида tg 1+4α
4k
0, 1, 2, . . . , k − 1. Так как α пробегает полную систему вычетов по модулю k, то числа вида
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ УРАВНЕНИЙ, РАЗРЕШИМЫХ В РАДИКАЛАХ
25
1 + 4α также образуют полную систему вычетов по модулю k и одно из них делится на k.
.
Пусть 1+4α0 .. k, т. е. 1+4α0 = kl. Так как НОД (1+4α0 , 4) = НОД (kl, 4) = 1, то НОД(l, 4) =
1 и l ≡ 1 (mod 4) или l ≡ 3 (mod 4). Это означает, что одно из чисел tg π4 или tg 3π
4 является
корнем уравнения (10) и поэтому многочлен f (x) делится либо на t4 (x), либо на t4 (−x).
Тогда имеем f (x) ≡ Qk (x)t4 (Rk (x)) = t4 (±x)tn (x). Так как k — простое число, то ϕ(k) =
k − 1 = deg tn (x). В то же время ϕ(n) = ϕ(4k) = ϕ(4)ϕ(k) = 2(k − 1). Значит, deg tn (x) =
1
2 ϕ(n) и tn (x) — искомый многочлен. Равенство (5) доказано.
Пусть n = 4k, k — нечетное составное число, причем p — его простой делитель. Предположим, что k = pq, q > 1, и НОД (p, q) = 1. По индуктивному предположению имеется
многочлен t4q (x), deg t4q (x) = 12 ϕ(4q) = d, и корни его имеют вид tg sπ
4q , s ≡ 1 (mod 4),
s < 4q, НОД(s, 4q) = 1. Строим уравнение
f (x) ≡ (Qp (x))d t4q (Rp (x)) = 0.
(11)
Заметим, что deg f (x) = dp = 12 ϕ(4q)p и корнями многочлена f (x) являются числа вида
1
tg s+l·n
n π, где s < n1 = 4q, s ≡ 1 (mod 4), НОД (s, 4q) = 1, l = 0, 1, . . . , p − 1. Тогда
при каждом фиксированном s = s0 числа s0 + l · n1 образуют полную систему вычетов по
α0
0
модулю p. Поэтому ровно одно из них делится на p, т. е. s0 +l0 ·n1 = pα0 и s0 +ln0 ·n1 = pα
4pq = 4q .
Число таких сократимых дробей равно числу различных значений s, т. е. d = deg tn1 (x). Так
как НОД (s0 , n1 ) = 1, то НОД (α0 , n1 ) = НОД (α0 , 4q) = 1. Далее, если s1 + l1 n1 = pα1 ,
то s0 − s1 + (l0 − l1 )n1 ≡ α0 − α1 (mod 4). Отсюда в силу s0 − s1 ≡ 0 (mod 4), n1 = 4q,
имеем α0 − α1 ≡ 0 (mod 4). Так как НОД (α0 , 4) = 1, то это означает, что α0 ≡ 1 (mod 4)
или α0 ≡ 3 (mod 4). Значит, все числа вида tg απ
4q являются корнями одного и того же
многочлена t4q (x) либо t4q (−x). Так как p — простое число, то имеем ϕ(n) = ϕ(4pq) =
ϕ(p)ϕ(4q) = (p−1)ϕ(4q) = pϕ(4q)−ϕ(4q). Поэтому ϕ(n)+ϕ(4q) = pϕ(4q). Отсюда deg f (x) =
1
1
1
d
2 ϕ(4q)p = 2 ϕ(n)+ 2 ϕ(4q) = deg tn (x)+deg t4q (x) и f (x) ≡ (Qp (x)) t4q (Rp (x)) = t4q (±x)tn (x).
Таким образом, доказано равенство (6).
Пусть n = 4k, k — нечетное число, k = pq, p простое и НОД (p, q) = p. Тогда q = pβ−1 q1 ,
β ≥ 2, k = pq = pβ q1 , НОД (p, q1 ) = 1, и ϕ(k) = (pβ − pβ−1 )ϕ(q1 ), ϕ(q)p = ϕ(pβ−1 q1 )p =
ϕ(pβ−1 )ϕ(q1 )p = p(pβ−1 − pβ−2 )ϕ(q1 ) = ϕ(k). В этом случае найдем deg f (x) = 12 ϕ(4q)p =
ϕ(k) = ϕ(pq) = 12 ϕ(4pq) = 12 ϕ(n). Отсюда следует, что многочлен f (x) из уравнения (11) об1
ладает всеми свойствами многочлена tn (x). Поэтому имеем (Qp (x)) 2 ϕ(4q) t4q (Rp (x)) = tn (x),
т. е. доказано равенство (7).
Рассмотрим случай n = 4k, k = 2l, т. е. k — четное число. По индуктивному предположению имеется многочлен t4l (x), deg t4l (x) = 12 ϕ(4l) с корнями tg 4s−3
4l π, 4s − 3 < 4l,
НОД (4s − 3, 4l) = 1. Cтроим уравнение f (x) ≡ (Q2 (x))d t4l (R2 (x)) = 0, d = 12 ϕ(4l) и находим deg f (x) = 12 ϕ(4l) · 2 = ϕ(4l) = 12 ϕ(2 · 4l) = 12 ϕ(n). Таким образом, степень многочлена f (x) совпадает со степенью искомого многочлена tn (x), причем эти многочлены
1
имеют одинаковые корни. Значит, (Q2 (x)) 2 ϕ(4l) t4l (R2 (x)) = ±tn (x), т. е. получили равенство (8).
Рассмотрим пример к этой теореме.
π
.
Пример 3. Построить многочлен t28 (x) с корнем tg 28
Из формулы (5) при k = 7 находим Q7 (x)t4 (R7 (x)) = Q7 (x) P7 (x)/Q7 (x) − 1 = P7 (x) −
Q7 (x) = 7x − 35x2 + 21x5 − x7 − (1 − 21x2 + 35x4 − 7x6 ) = −(x + 1)t28 (x). Отсюда искомым
многочленом будет t28 (x) = x6 − 8x5 − 13x4 + 48x3 − 13x2 − 8x + 1. Его корнями являются
числа tg sπ
28 , s = 1, 5, 9, 13, 17, 25.
26
Л.И. ГАЛИЕВА, И.Г. ГАЛЯУТДИНОВ
Доказательство теоремы 4 основано на нескольких вспомогательных утверждениях.
Лемма 1. Для любого натурального n число cos 2π
n является алгебраическим степени
1
2 ϕ(n).
Доказательство. Как известно ([2], с. 202), круговой многочлен Φn (x) неприводим над по2π
−1 — аллем рациональных чисел и deg Φn (x) = ϕ(n). Поэтому u = cos 2π
n + i sin n , u
гебраические числа степени ϕ(n). Рассмотрим расширения Q ⊂ Q(ν) ⊂ Q(u), где ν =
−1 получаем, что u
u + u−1 = 2 cos 2π
n . Здесь [Q(u) : Q] = ϕ(n). Из равенства ν = u + u
2
— корень многочлена f (x) = x − νx + 1 с коэффициентами из поля Q(ν), deg f (x) = 2.
Значит, [Q(u) : Q(ν)] ≤ 2. Так как поле Q(u) содержит комплексные числа, а в поле
Q(ν) комплексных чисел нет, то Q(u) = Q(ν). Отсюда следует [Q(u) : Q(ν)] = 2. Поэтому [Q(u) : Q] = ϕ(n) = 2[Q(ν) : Q]. Тогда [Q(ν) : Q] = 12 ϕ(n). Таким образом, получили
2π
1
ν = 2 cos 2π
n , а значит, и cos n — алгебраические числа степени 2 ϕ(n).
Заметим, что эта лемма совпадает с содержанием задачи 1 ([2], c. 205).
Лемма 2. Любой корень многочлена tn (x)рационально выражается через любой другой
его корень.
Доказательство. Покажем, что Q tg s1nπ = Q tg s2nπ , если только
НОД (s1 , n) = НОД (s2 , n) = 1.
(12)
Из (12) следует, что существует единственное натуральное
k < n, удовлетворяющее
s1число
π
s1 kπ
s2 π
условию
n), НОД (k, n) = 1. Тогда Rk tg n = tg n = tg n . Значит,
s2 π s1 k ≡ s2 s1(mod
π
Q tg n ⊂ Q tg n . Совершенно аналогично показывается обратное включение.
Лемма 3. Если n ≡ 0 (mod 4), то tg πn рационально выражается через tg2 πn .
Доказательство. Покажем, что tg πn ∈ Q tg2 nπ . В силу теоремы 3 при n = 4k имеется многочлен tn (x) ∈ Z[x], deg tn (x) = 12 ϕ(n), корни которого имеют вид tg sπ
n , где НОД (s, n) = 1,
s ≡ 1 (mod 4). Покажем, что многочлен tn (x) не является четной функцией, а содержит
π
— корень многочлена tn (x), но чисx и в нечетных степенях. Действительно, число tg 4k
π
4k−1
ло − tg 4k = tg 4k π не является его корнем, так как 4k − 1 ≡ 3 (mod 4). Поэтому
2
причем
b(y) —
многочлен tn (x) имеет вид tn (x) = a(x2) + xb(x
), где2 a(y),
b(y) π∈ Z[y],
π
π
2 π
b
tg
tg
=
a
tg
+
tg
=
0.
Значит,
ненулевой многочлен.
Таким
образом,
t
n
4k
4k
4k
4k
π
2 π
a tg2 4k
π
tg 4k = − 2 π ∈ Q tg 4k .
b tg
4k
Лемма 4. Если n ≡ 0 (mod 4), то многочлен tn (x) неприводим над полем рациональных
чисел и tg πn — алгебраическое число степени 12 ϕ(n).
2
α
2α
2
, tg2 α = 1−cos
Доказательство. Так как cos 2α = 1−tg
1+cos 2α , то Q(cos 2α) = Q(tg α). Отсюда
1+tg2 α
1
2 π
При
с учетом леммы 1 следует, что cos 2π
n , tg n — алгебраические
2 ϕ(n).
степени
числа
π
π
2
=
Q
tg
,
причем
n
≡
0
(mod
4),
т.
е.
n
=
4k,
учитывая
лемму
3,
получаем
Q
tg
4k
4k
π
π
— корень многочлена t4k (x) степени 12 ϕ(4k). Значит,
: Q = 12 ϕ(4k). Но tg 4k
Q tg 4k
многочлен t4k (x) неприводим.
Лемма 5. Если n = 2k + 1 — нечетное число, то многочлены tn (x), t2n (x) связаны соотношением
1
ϕ(n)
(13)
tn −
t2n (x) = ±x
x
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ УРАВНЕНИЙ, РАЗРЕШИМЫХ В РАДИКАЛАХ
27
и их корни порождают одно и то же расширение, т. е.
π
π
= Q tg
.
(14)
Q tg
n
2n
Доказательство. Если n — нечетное число, то ϕ(2n) = ϕ(n) и поэтому deg t2n (x) = deg tn (x).
Значит, многочлены tn (x), t2n (x) имеют одно и то же число корней. Корни многочлена tn (x)
имеют вид tg sπ
n , где s пробегает приведенную систему вычетов по модулю n, причем
sπ π −1
sπ
.
(15)
= − ctg
+
=
tg
n
n
2
tg 2s+n
2n π
Если n — нечетное число, то из условия НОД (s, n) = 1 следует
НОД (2s + n, 2n) = НОД (2s + n, n) = НОД (2s, n) = НОД (s, n) = 1.
sπ
Это значит, что tg 2s+n
2n π — корни многочлена t2n (x). Таким образом, корню tg n многочлена tn (x) соответствует корень tg 2s+n
2n многочлена t2n (x). Так как s1 ≡ s2 (mod n) тогда и
только тогда, когда 2s1 + n ≡ 2s2 + n (mod 2n), то разным корням многочлена tn (x) соответствуют разные корни многочлена t2n (x). Тогда если s пробегает приведенную систему
вычетов по модулю n, то 2s + n пробегает приведенную систему вычетов по модулю 2n.
Отсюда,
к равенству
учитывая
(15), приходим
(13). Кроме этого, в силу леммы 2 имеем
2s+n
π
π
=
Q
tg
=
Q
tg
Q tg πn = Q tg sπ
n
2n
2n , т. е. выполняется равенство (14).
Лемма 6. Если n = 2k + 1 — нечетное число, то
π
π
= Q tg
.
(16)
Q tg
2n
4n
sπ
,
Доказательство. Корнями многочлена t2n (x), deg t2n (x) = ϕ(2n), являются числа tg 2n
где s пробегает приведенную систему вычетов по модулю 2n. Для многочлена t4n (x) имеем
lπ
являются
числа tg 4n
, где НОД (l, 4n) = 1
deg t4n (x) = 12 ϕ(4n) = ϕ(2n), а его корнями
sπ
π.
Так
как
НОД (s, 2n) = 1, то
и l ≡ 1 (mod 4). Рассмотрим число tg 2n + π4 = tg 2s+n
4n
НОД (s, n) = 1 и НОД (2s + n, 4n) = НОД (2s + n, n) = НОД (2s, n) = НОД (s, n)
sπ= 1.πЭто
2s+n
2s+n
означает, что tg 4n π — корень многочлена t4n (x) или t4n (−x). Но tg 4n π = tg 2n + 4 =
sπ
sπ 2s+n 1+tg 2n
2s+n
π
π
sπ . Отсюда следует, что tg
1−tg 2n
4n π ∈ Q tg 2n = Q tg 2n , т. е. Q tg 4n π = Q tg 4n ⊂
π
π
π
π
π
= R2 tg 4n
. Так как tg 2n
, то Q tg 2n
⊂ Q tg 4n
. Таким образом, получено
Q tg 2n
равенство (16).
Теперь можем завершить доказательство теоремы 4.
π
π
=
Q
tg
Действительно,
если
n
—
нечетное
число,
то
в
силу
лемм
5
и
6
Q
tg
n
2n =
π
π
1
ϕ(4n)
=
ϕ(n)
=
ϕ(2n).
Значит,
если
n—
. Из леммы 4следует
Q
tg
:
Q
=
Q tg 4n
4n
2
π
π
нечетное число, то Q tg n : Q = ϕ(n), т. е. корень tg n многочлена tn (x), построенного в
теореме 1, является алгебраическим числом степени ϕ(n) = deg tn (x). Поэтому многочлен
2 при n = 4k + 2 =
tn (x) является неприводимым над полем Q. Перейдем к случаю
теоремы
2(2k + 1) = 2n1 , где n1 — нечетное число. Так как Q tg 2nπ1 : Q = ϕ(2n1 ), то корень
tg 2nπ1 многочлена t2n1 (x) является алгебраическим числом степени ϕ(2n1 ) = deg t2n1 (x).
Отсюда следует неприводимость над полем Q многочлена t2n1 (x) = tn (x), построенного
в теореме 2. Неприводимость многочлена tn (x) из теоремы 3 доказана в лемме 4. Таким
образом, теорема 4 доказана полностью.
Перечислим теперь некоторые свойства многочленов tn (x), построенных в теоремах 1–3.
1. Многочлены tn (x) имеют целые коэффициенты и примитивны. Это вытекает из рекуррентных формул (1)–(8) и из того, что t1 (x) = x, t3 (x) = x2 − 3, t4 (x) = x − 1.
28
Л.И. ГАЛИЕВА, И.Г. ГАЛЯУТДИНОВ
2. Если n не делится на 4, то deg tn (x) = ϕ(n). При n, делящимся на 4, deg tn (x) = 12 ϕ(n).
Это свойство доказано в теоремах 1, 2, 3.
3. Многочлены tn (x) неприводимы в Z[x]. Это есть теорема 4.
4. Если n — нечетное число, то многочлены tn (x), t2n (x) связаны соотношением (13). Это
есть одно из утверждений леммы 5.
5. Если n не делится на 4, то многочлен tn (x) содержит только четные степени переменной x.
Действительно, если n нечетно и α = tg sπ
n — корень многочлена tn (x), то НОД (s, n)=1.
sπ
n−s
Тогда −α = − tg n = tg n π, НОД (n − s, n) = НОД (s, n) = 1. Это означает, что если
tn (α) = 0, то tn (−α) = 0, т. е. многочлен tn (x) содержит переменную x только в четных степенях. При этом многочлены tn (x), t2n (x) связаны соотношением (13). Поэтому в многочлен
t2n (x) переменная x также входит только в четных степенях.
6. Если n = 4k и k — нечетное число, то tn (x) — возвратный многочлен. Нужно убедиться
в том, что если α — корень многочлена, то α1 также является его корнем. Действительно,
многочлена tn (x) = t4k (x). Значит, НОД (s, 4k) = 1 и s ≡ 1 (mod 4k).
пусть tg sπ
4k — корень
π
sπ
2k−s
1
Тогда tg 4k = ctg 2 − sπ
4k = ctg 4k π = tg 2k−s π и НОД (2k − s, 4k) = НОД (2k − s, k) =
4k
1
также является корнем многочлена
НОД (s, k) = НОД (s, 4k) = 1. Отсюда tg 2k−s
4k π = tg sπ
4k
tn (x), что и следовало показать.
7. Если n = 4k и k = 2k1 — четное число, то tn (x) — косовозвратный многочлен. Покажем,
что если α — корень многочлена tn (x), то − α1 — тоже его корень. Действительно, так
π
sπ
1
= − tg 2k+s
и tg sπ
= − ctg 2k+s
как tg sπ
4k = − ctg 2 + 4k
4k
4k — корень многочлена t4k (x),
4k
то НОД (2k + s, 4k) = НОД (s, 4k) = 1, 2k + s = 4k1 + s ≡ s ≡ 1 (mod 4). Это означает, что
1
является корнем многочлена t4k (x), что и требовалось показать.
tg 2k+s
4k = − tg sπ
4k
8. Расширение Ln = Q(u1 ), где u1 = tg πn — корень многочлена tn (x), является нормальным расширением над полем Q.
Это следует из того, что в силу леммы 2 в поле Ln содержатся все корни многочлена
tn (x).
9. Для любого нечетного
n многочлены
tnπ(x),
t2n (x), t4n (x) порождают одно и то же
π
= Q tg
расширение, т. е. Q tg πn = Q tg 2n
4nπ .
π
, а по лемме 6
Действительно, в силу равенства (14) Q tg n = Q tg 2n
π
π
= Q tg
.
Q tg
2n
4n
Построим теперь группу Галуа G(tn ) многочленов tn (x) или, что то же самое, группу
автоморфизмов G(Ln /Q) поля Ln относительно Q, используя схему, предложенную для
построения группы Галуа кругового многочлена Φn (x) ([2], с. 204).
Cначала рассмотрим случай, когда n не делится на 4. Так как Ln — нормальное расширение над полем Q, то порядок группы G(Ln /Q) совпадает с [Ln : Q] = deg tn (x) = ϕ(n),
т. е. |G(Ln /Q)| = ϕ(n). Любой автоморфизм σ группы G(Ln /Q) переводит корень u1 многочлена tn (x) в корень этого же многочлена. Таким образом, для некоторого k, взаимно простого с n, имеем σ(u1 ) = uk = tg kπ
n = Rk (u1 ). Так как для фиксированного автоморфизма σ соответствующий ему корень uk определяется однозначно, то равенства
lπ
σ(u1 ) = uk , σ(u1 ) = ul возможны тогда и только тогда, когда uk = tg kπ
n = tg n = ul , т. е.
k ≡ l (mod n). В такой ситуации автоморфизму σ присвоим индекс k. Значит, σk (u1 ) = uk ,
причем σk = σl тогда и только тогда, когда k ≡ l (mod n). Учитывая, что автоморфизм σk оставляет на месте рациональные числа и сохраняет арифметические операции,
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ УРАВНЕНИЙ, РАЗРЕШИМЫХ В РАДИКАЛАХ
29
найдем теперь σk (us ), где us = tg sπ
n — произвольный корень многочлена tn (x). Имеем
σk (us ) = σk (Rs (u1 )) = Rs (σk (u1 )) = Rs (uk ) = usk = Rk (us ). Таким образом, автоморфизм
σk на корень us действует как рациональная функция Rk (x), т. е. σk (us ) = uks . Далее,
если σl — другой автоморфизм из G(Ln /Q), то σk σl (u1 ) = σk (ul ) = ukl = σkl (u1 ), т. е.
σk σl = σkl = σl σk . Отсюда следует, что отображение σk → k ∈ Z/(n) определяет изоморфизм из группы G(Ln /Q) на мультипликативную группу U (Zn ) обратимых элементов
кольца Zn = Z/(n) классов вычетов по модулю n.
В том случае, когда n ≡ 0 (mod 4), |G(Ln /Q)| = [Ln : Q] = deg tn (x) = 12 ϕ(n) и в группу
G(Ln /Q) входят только те автоморфизмы σk , для которых k ≡ 1 (mod 4). Поэтому группа
G(Ln /Q) изоморфна подгруппе индекса 2 группы U (Zn ).
Таким образом, доказана
Теорема 5. Группа Галуа G(tn ) многочлена tn (x) при n, не делящимся на 4, изоморфна
мультипликативной группе U (Zn ) обратимых элементов кольца Z/(n) классов вычетов
по модулю n. При n ≡ 0 (mod 4) группа G(tn ) изоморфна подгруппе индекса 2 группы
U (Zn ), состоящей из классов k ∈ U (Zn ) при k ≡ 1 (mod 4).
Из этой теоремы следует, что для любого натурального n, не равного 2, группа G(Ln /Q)
и, значит, группа Галуа G(tn ) многочлена tn (x) коммутативны. Поэтому уравнение tn (x) = 0
разрешимо в радикалах.
Пример 4. Найти подгруппы
группы Галуа G(t28 ) многочлена t28 (x) и соответствующие
π
.
им подполя поля Q tg 28
являются числа tg sπ
Многочлен t28 (x) построен в примере 3, deg t28 (x) = 6 и его
28 ,
корнями
π
s = 1, 5, 9, 13, 17, 25. Группа автоморфизмов поля Q28 = Q tg 28 состоит из автоморфизмов
σ1 , σ5 , σ9 , σ13 , σ17 , σ25 , причем автоморфизм σk действует на корень us = tg sπ
28 по формуле
σk (us ) = uks , а умножение автоморфизмов сводится к умножению их индексов по модулю
28. Группа G(t28 ) = {σ1 , σ5 , σ9 , σ13 , σ17 , σ25 } имеет нетривиальные подгруппы H1 = {σ1 , σ13 },
H2 = {σ1 , σ9 , σ25 }. Для нахождения поля L1 , Q ⊂ L1 ⊂ Q28 , соответствующего подгруппе
H1 , выпишем смежные классы H1 = {σ1 , σ13 }, σ5 H1 = {σ5 , σ9 }, σ17 H1 = {σ17 , σ25 } по этой
подгруппе и образуем многочлены g1 (x) = (x − u1 )(x − u13 ), g2 (x) = (x − u5 )(x − u9 ),
g3 (x) = (x − u17 )(x − u25 ), где us = tg sπ
28 . Автоморфизмы подгруппы H1 оставляют на месте
коэффициенты многочленов g1 (x), g2 (x), g3 (x). Так как многочлен t28 (x) неприводим над
/ Q[x], gi (x) ∈ L1 [x], i = 1, 2, 3. В нашем
полем Q, но t28 (x) = g1 (x) · g2 (x) · g3 (x), то gi (x) ∈
случае имеем u1 u13 = u5 u9 = u17 u25 = 1. Поэтому u1 +u13 = u1 + u11 = y1 , u5 +u9 = u5 + u15 =
y2 , u17 + u25 = u17 + u117 = y3 являются корнями уравнения g(y) = y 3 − 8y 2 − 16y + 64 = 0,
получающегося из уравнения x13 t28 (x) = 0 после замены x + x1 = y. Таким образом, имеем
t28 (x) = (x2 − y1 x + 1)(x2 − y2 x + 1)(x2 − y3 x + 1), где y1 , y2 , y3 — корни уравнения g(y) = 0,
L1 = Q(y1 , y2 , y3 ). Поэтому для нахождения корня u1 уравнения t28 (x) = 0 нужно решить
уравнения g(y) = y 3 − 8y 2 − 16y + 64 = 0, x2 − y1 x + 1 = 0. Остальные его корни u5 , u9 , u13 ,
u17 , u25 находятся по формуле uk = σk (u1 ) = Rk (u1 ), где k = 5, 9, 13, 17, 25.
Для нахождения поля L2 , Q ⊂ L2 ⊂ Q28 , соответствующего подгруппе H2 = {σ1 , σ9 , σ25 },
строим смежные классы H2 = {σ1 , σ9 , σ25 }, σ5 H2 = {σ5 , σ13 , σ17 } и многочлены h1 (x) =
(x − u1 )(x − u9 )(x − u25 ), h2 (x) = (x − u5 )(x − u13 )(x − u17 ). В силу того, что автоморфизмы
подгруппы H2 оставляют коэффициенты многочленов h1 (x), h2 (x) на месте, эти коэффициенты порождают поле L2 . Если h1 (x) = x3 − a1 x2 + b1 x − c1 , h2 (x) =√x3 − a2 x2 + b√2 x − c2 , то
т. е. a1 = 4 − 7, √
a2 = 4 + 7. Таким
из уравнения t28 (x) = 0 находим a1 + a2 = 8, a1 · a2 = 9,√
√
же образом можно найти коэффициенты b1 = −11 + 4 7, b2 = −11 − 4 7, c1 = −8 + 3 7,
30
Л.И. ГАЛИЕВА, И.Г. ГАЛЯУТДИНОВ
√
5
4
3
2
c2 = −8 −√
3 7. Поэтому t28√(x) = x6 − 8x
(x) =
√ − 313x + 48x
√ −2 13x − 8x +√1 = h1 (x)h2√
3
2
7)x + (−11 − 4 7)x + 8 + 3 7), а
(x − (4 − 7)x + (−11 + 4 7)x + 8 − 3 7)(x − (4 + √
подгруппе H2 соответствует поле L2 = Q(a1 , b1 , c1 ) = Q( 7).
В силу
5 и 6 многочлены
πt7(x), t14 (x), t28 (x) порождают одно и то же расширение,
лемм
π
= Q tg 28
. Отсюда, в частности, следует, что многочлены t7 (x),
т. е. Q tg π7 = Q tg 14
√
над
полем
Q(
t14 (x), как и многочлен t28 (x), должны разлагаться на√два множителя
√
√
√7).
4 +35x2 −7 = (x3 + 7x2 −7x+ 7)(x3 − 7x2 −7x− 7),
Действительно, имеем t7 (x) = x6 −21x
√
√
√
√
t14 (x) = 7x6 − 35x4 + 21x2 − 1 = ( 7x3 − 7x2 + 7x + 1)( 7x3 + 7x2 + 7x − 1).
Литература
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч. 3. Основные структуры (Физматлит, М., 2001).
Ван дер Варден Б.Л. Алгебра (Наука, М., 1979).
Ленг С. Алгебра (Мир, М., 1968).
Бурбаки Н. Алгебра. Т. 2. Многочлены и поля (Наука, М., 1965).
Галиева Л.И., Галяутдинов И.Г. Класс многочленов со свойствами круговых многочленов, Вестн. Татарск. гос. гум.-пед. ун-та 15 (4), 32–35 (2008).
Л.И. Галиева
профессор, кафедра алгебры
Татарский государственный гуманитарно-педагогический университет,
ул. Татарстан, д. 2 г. Казань, 420021,
И.Г. Галяутдинов
профессор, кафедра алгебры
Татарский государственный гуманитарно-педагогический университет,
ул. Татарстан, д. 2 г. Казань, 420021,
L.I. Galieva
Professor, Chair of Algebra,
Tatar State University of Humanities and Education,
2 Tatarstan str., Kazan, 420021 Russia
I.G. Galyautdinov
Professor, Chair of Algebra,
Tatar State University of Humanities and Education,
2 Tatarstan str., Kazan, 420021 Russia
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
198 Кб
Теги
уравнения, одной, радикалами, разрешимых, класс
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа