close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об одном обобщении сингулярного уравнения сверток.

код для вставкиСкачать
2007
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 8 (543)
УДК 517.982
Л.Г. САЛЕХОВ
ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ СИНГУЛЯРНОГО УРАВНЕНИЯ СВЕРТОК
В пространстве обобщенных функций, допускающих аналитические представления (представления Коши), рассматривается уравнение, которое позволяет исследовать аналог классического сингулярного интегродифференциального уравнения. Оно содержит как уравнения сверток,
так и обыкновенные линейные дифференциальные уравнения не выше второго порядка класса
Фукса ([1], с. 202), а также линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами любого порядка в указанном пространстве обобщенных функций. При этом автоморфизм
преобразования Фурье в пространстве обобщенных функций умеренного роста позволяет найти
решения уравнений, являющихся образами Фурье исходных уравнений.
Пусть O (R) | пространство функций, бесконечно дифференцируемых на R и удовлетворяющих условию
'(k) (t) = O(jtj); jtj ! 1;
при всех k = 0; 1; 2; : : : ; | фиксированное действительное число.
Последовательность (' ) 2N сходится в O (R), если она сходится в топологии пространства
E (R) бесконечно дифференциируемых функций на R и для любого k существует такая постоянная Ck , не зависящая от , что
j'(k) j Ck jtj:
Если 2 O0 , где O0 { пространство, дуальное O , причем ;1, то преобразование,
определяемое формулой
b z ) = 1 < ; 1 >; Im z 6= 0;
(
2i
t;z
(1)
называют аналитическим представлением или представлением Коши, исчезающим на бесконечности, обобщенной функции ([2], с. 84).
b z ) дает аналитическое представление обобщенной функции в следующем смыФункция (
сле:
Z
b+
b;
h; 'i = "lim
(2)
!+0 f (t + i") ; (t ; i")g'(t)dt 8'(t) 2 O ;
R
что символически записывают как = b + ; b ; .
Известно [3], что подпространство A из O;0 1 обобщенных функций, имеющих асимптотическую грань jtj;1 , снабженное операцией свертки, является алгеброй сверточных операторов на
O;0 1.
0
Постановка задачи. Ищется обобщенная функция 2 O , ;1, удовлетворяющая в
смысле O0 на оси R уравнению
a(t)P (t; D)f+ g + b(t)Q(t; D)f; g = T;
(3)
где a(t); b(t) 2 M(R) | пространство мультипликаторов для пространства O;0 1 , т. е. пространство вещественно-аналитических функций на R, аналитические продолжения которых суть рациональные функции на комплексной плоскости; P (t; D) и Q(t; D) | обыкновенные линейные
дифференциальные операторы типа Фукса порядка не выше второго, имеющие одну или две
60
регулярные особые точки однозначного характера, или же они могут быть любыми дифференциальными полиномами с постоянными коэффициентами; | обобщенные функции, определяемые по Н.Н. Боголюбову: = 21 21i v: p: 1t , где | мера Дирака, v: p: 1t | главное
значение по Коши от 1t , T | заданная обобщенная функция из O0 , D dtd в смысле обобщенных
функций; операции , в силу того, что 2 A, определены формулами
h ; 'i := h; 'i 8' 2 O;1 ; 8 2 O;0 1 :
Поскольку операторы f g обладают свойствами
2 = ; + ; = 0; + + ; = ;
т. е. являются дополнительными проекторами, то уравнение (3) обобщает сингулярные интегральные уравнения с двумя ядрами ([4], с. 117).
Следует отметить, что уравнение (3) содержит как обычные, так и сингулярные уравнения
сверток в пространстве O;0 1 (напр., когда P (t; D) Q(t; D) являются дифференциальными
полиномами с постоянными коэффициентами, a(t) b(t) или a(t) 6= b(t)), а также обыкновенные
линейные дифференциальные уравнения второго порядка типа Фукса (при P (t; D) Q(t; D),
a(t) b(t) 1) и, конечно, простые алгебраические уравнения в O;0 1 (при P (t; D) Q(t; D) I
| единичный оператор; a(t) b(t)).
В [3] показано, что + = b + и ; = ;b ; в смысле O;0 1 , поэтому уравнение (3) можно
рассматривать как граничное условие в смысле O;0 1 :
a(t)P (t; D)b + ; b(t)Q(t; D)b ; = T
(4)
для отыскания кусочно-голоморфной функции b (z ), исчезающей на бесконечности.
Задача (4) эквивалентна задаче (3). Действительно, если b (z ) есть решение задачи (4), то
обобщенная функция , определяемая формулой (2), является решением уравнения (3) и обратно, если есть решение уравнения (3), то формула (1) дает решение задачи (4). Отметим также,
если b (z ) обладает поведением jb (z )j j ImCzjp , p 2 N , в окрестности особых точек на оси R,
то обобщенная функция принадлежит пространству O0 (;p1+1) , т. е. пространству обобщенных
функций из O;0 1 порядка не выше (p + 1) ([5], с. 83{86).
Зная решение уравнения (3), через преобразование Фурье в пространстве обобщенных функций медленного роста, основанное на формуле
Z
'e() = (F ')() := exp(;2ix)'(x)dx
R
8 2 R, 8'(x) 2 S | пространства Л. Шварца, можно найти решения уравнения, являющегося
образом Фурье уравнения (3).
В зависимости от структур мультипликаторов a(t) и b(t) образ Фурье уравнения (3) содержит
различные интегродифференциальные уравнения с двумя ядрами ([6], с. 49{53).
Ввиду большого многообразия возможных случаев остановимся, вкратце, на алгоритме отыскания решений уравнения (3), а затем проиллюстрируем его на конкретных примерах.
Используя формулу (1), а также различные технические приемы в зависимости от структур мультипликаторов a(t) и b(t), находим аналитическое представление для уравнения (3),
которое, как известно ([2], c. 76), определяется с точностью до произвольного полинома, ибо
отыскиваются решения, исчезающие на бесконечности. Далее, в полуплоскостях fIm z > 0g,
fIm z < 0g решаем обыкновенные линейные дифференциальные уравнения, но не методом вариации постоянных, а путем построения элементарных (фундаментальных) решений в точке
для полученных дифференциальных уравнений. Это позволяет, во-первых, избежать решения
соответствующей системы уравнений Лагранжа, а, во-вторых, метод элементарных решений в
точке позволяет сразу записать общее решение с явно выделенными особенностями. Требования голоморфности решений и их исчезновение на бесконечности влекут условия на степень
61
полинома, а также возможные условия разрешимости, налагаемые на \верхнюю" и \нижнюю"
функции представления Коши правой части уравнения (3). Тогда найденные решения с указанными условиями дают решение краевой задачи (4), исчезающее на бесконечности, а решение
уравнения (3) получается по формуле (2).
Исходя из автоморфизма преобразования Фурье в пространстве обобщенных функций медленного роста, а также свойства перестановки пространств мультипликаторов и свертывателей, можно получить некоторые формулы мультипликативных произведений
1 : n = (n;1)!(21 i)n;1 Dn;1 8n 2 N ,
2 : ;n+1 ; +n+1 = n!(21i)n Dn i1 v:p: 1t 8n 2 N ,
3 : (Dp + )+ = 2i(1p+1) Dp+1 + , p = 0; 1; 2; : : : ,
o
+1 (;)q
;1)pp! n ; + pP
q + 8p 2 N , 8 2 R n f0g, где | оператор
D
4 : (Dp + )( + ) = 2(i
+
p+1
q=0 q!
сдвига в точку ,
5 : ( + )( + ) = 2i(1 ;) f + ; + g, ; 2 R j 6= ,
6 : ( + )2 = 21i D( + ) 8 2 R.
Заметим, что эти формулы можно получить и через представления Коши. Например, поскольку
1 ; Im z > 0;
b+ (z ) = ; 2iz
то
n
n;1 1
1
d
1
n
b
f+ (z)g = ; 2iz = (n ; 1)!(2i)n;1 dzn;1 ; 2iz ; Im z > 0;
+n = (2i)n;11(n ; 1)! Dn;1 + 8n 2 N :
Поскольку сверточные алгебры A изоморфны мультипликативным алгебрам Ab аналитических функций соответственно в Im z > 0 и Im z < 0, то можно, например, для + определять
1 2 Ab+ , то f ( )
не только степени, но и аналитические функции от + . Так как b+ (z ) = ; 2iz
+
определяется с помощью функции f [b+ (z )], где условие на f состоит в том, что f [b+ (z )] 2 Ab+.
Перейдем к примерам. Рассмотрим в O;0 1 уравнение
1)
P0 (t; D)(+ u) + P2 (t; D)(; u) = + + ; ;
(5)
где ; 2 R; Pk (t; D) | обыкновенные линейные дифференциальные операторы второго порядка
класса Фукса с двумя регулярными несовпадающими особыми точками однозначного характера
(0; 1) и (2; 3):
Pk (t; D) (t ; k)2 (t ; k ; 1)2 D2 + (2t ; 2k ; 1)(t ; k)(t ; k ; 1)D ; 1; k = 0; 2:
Аналитическое представление для уравнения (5) имеет вид
d
+ P (z); Im z > 0;
P0 z; dz ub+(z) = ; 2iz
+ P (z); Im z < 0;
P2 z; dzd ub;(z) = ; 2iz
где P (z ) | произвольный полином.
Полученное аналитическое представление состоит из двух регулярных обыкновенных линейных дифференциальных уравнений:
+ P (z);
L0 z; dzd ub+ (z ) = z 2(z 1; 1)2 ; 2iz
Im z > 0;
62
1
d
;
b
u
(
z
)
=
;
;
+
P
(
z
)
; Im z < 0;
L2 z; dz
(z ; 2)2 (z ; 3)2
2iz
где Lk (z; dzd ) dzd22 + (z;2kz;)(2zk;;k1;1) dzd ; (z;k)2 (1z;k;1)2 , k = 0; 2.
Элементарные решения в точке z = имеют вид
z
;
k
;
1
z
;
k
1
2
2
ek (z; ) =
2 z ; k ( ; k) ; z ; k ; 1 ( ; k ; 1) ;
где Im z > 0, Im > 0, если k = 0, и Im z < 0, Im < 0, если k = 2.
А тогда решениями дифференциальных уравнений будут
e0 (z; )
Im z > 0;
2 ( ; 1)2 ; 2i + P () d;
1
Z z
1
;
ub (z) = e2(z; ) ( ; 2)2 ( ; 3)2 ; 2i + P () d; Im z < 0:
1
Отсюда при условиях zlim
!1 ub (z ) = 0 имеем P (z ) = C | const. Поэтому
ub+(z ) =
Z
z
1
ub+(z) = 4i 1 ; 1z ln 1 ; 1z ; 2(z 1; 1) + 23z + C z ;1 1 ; z1 ; Im z > 0;
1
1
2
1
1
3
;
ub (z) = 4i ; 4 1 + z ; 3 ln 1 ; z + 9 1 ; z ; 2 ln 1 ; z ; 2(z 1; 3) +
+ 3(z 1; 2) + C z ;1 3 ; z ;1 2 ; Im z < 0;
где ln(1 ; kz ), k = 1; 2; 3, | вещественные ветви с разрезом по R+ = [0; +1[. Поэтому
1 + ln(1 + 2i ) + 1 ; 3 + C ( ; ) +
+
+
1 +
2i +
2 1+ 2 +
1
1
1
1
+ 2 ; 4 2i ; 3 ; ln(1 + 4i; ) + 9 2i + 2 ; ln(1 + 6i; ) +
1
1
+ 2 3 ; ; 3 2 ; + C (2 ; ; 3 ; ) : (7)
Формулы (6) дают решение краевой задачи, соответствующей уравнению (5) с поведением
jub(z)j j ImA zj в окрестноности точек z = 0; 1; 2; 3, а тогда формула (7) есть решение уравнения
(5) из пространства O0 (2)
;1 .
Аналогично решается уравнение
2) tPa (t; D)(+ u) + Pb (t; D)(; u) = + + ; , где | комплексный параметр, Pa (t; D) [t(t ; a)]2 D + (2t ; a)t(t ; a) ; a2 , Im a > 0, а Pb (t; D) | оператор той же конструкции, что и
Pa(t; D) с заменой a на b, где Im b < 0.
В процессе решения соответствующей краевой задачи приходится убирать простые полюсы
у ub (z ) соответственно в точках z = a и z = b, что позволяет определить как произвольную
константу, так и параметр = 34 ab . Тогда решением краевой задачи будет
u = 2
(6)
2 ; 1 + 2 1 ; a ln 1 ; a ; Im z > 0;
6ia2 az z 2 a2
z
z
1
1
b
b
1
Im z < 0;
ub;(z ) = 3iab z + b 1 ; z ln 1 ; z ;
ub+(z ) =
1
63
;
;
где ln 1 ; az и ln 1 ; zb | вещественные ветви с разрезом по R+ . Решение уравнения определяется по формуле (2), и оно принадлежит пространству O0 (3)
;1 , т. к. решение краевой задачи в
окрестности точки z = 0 имеет поведение jub (z )j j ImAzj2 .
Теперь приведем пример уравнения (3), когда операторы P (t; D) и Q(t; D) есть дифференциальные полиномы с постоянными коэффициентами.
3) tm (D + )(2) (+ u) + tn (D2 ; !2 )(2) (; u) = Dk (a+ + b; ), где m; n 2 N , 2 C j Re > 0,
! > 0, k 2 N , a и b | const.
Исходя из аналитического представления этого уравнения, имеем следующие обыкновенные
дифференциальные уравнения:
d + (2) ub+(z) = 1 a dk ; 1 + P (z); Im z > 0;
dz
zm dz k 2iz
2
d ; !2 (2) ub;(z) = 1 b dk ; 1 + P (z); Im z < 0;
dz 2
zn dz k 2iz
где P (z ) | произвольный полином степени не выше (l ; 1), а l = min(m; n). Далее можно
действовать как в предыдущих примерах, но поскольку операторы этих дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами, то переходя к пределу при j Im z j ! 0 в смысле
O0;(r1+k+2) , где r = max(m; n), имеем
l;1 2i(;1)m;j
(;1)m Dm;1 (aDk ) + X
(D + )(2) (+ u) = 2(i
Cj (m ; j ; 1)! Dm;j;1 +;
+
+
m ; 1)!
j =0
l
;
n
(;1) Dn;1 (bDk ) ; X1 C 2i(;1)n;j Dn;j;1 ;
(D2 ; !2 )(2) (; u) = 2(i
;
;
j
;
n ; 1)!
j =0 (n ; j ; 1)!
где Cj | произвольные константы. Это уравнения сверток соответственно в сверточных подалгебрах (A + ) и (A ; ). Заметим, что переход в комплексную плоскость и обратно на ось R
был необходим для операций деления на tm и tn соответственно.
Элементарное решение E+ первого уравнения имеет
вид E+ = + Y (t)te;t , а элементарное
;1
1
;
!
j
t
j
решение E; второго уравнения E; = ; 4!2 e
! + jtj . Поскольку E+ и E; принадлежат
соответственно сверточным подалгебрам (A+ ) и (A; ), то существуют и притом единственные
решения этих уравнений
+ u = E+ M+ ; ; u = E; N; ;
где M+ и N; | правые части уравнений. Тогда решение уравнения, принадлежащее пространству O0 (;r1+k+2) , имеет вид
u = E+ M+ + E; N;:
Решение соответствующей краевой задачи определяется по формуле (1).
В качестве уравнения (3) приведем уравнение сверток в O;0 1 вида
4) f(D2 ; !2 )(2) f(;n)(t) + + (D + )m f(+k) (t) ; g u = W ,
где W | заданная обобщенная функция из O;0 1 , ! > 0, 0 < < 1, 0 < < 1, ; 2 C j Re > 0,
Re > 0; а ff( ) (t)g | сверточные -операторы Римана{Лиувилля [7]:
(
Y (t)t ;1 e;t ;
> 0; 2 C j Re > 0; Y (t) { функция Хевисайда;
( )
f (t) = ;( ) m (+m)
(D + ) f (t); 0; m ; min N j ( + m) > 0:
Оно имеет в O;0 1 единственное решение
u = ; 21! e;!jtj f(n;)(t) + + (mY ;(t)1)! tm;1e;t f;(+k)(t) ; W:
64
Наконец, приведем случай обыкновенных линейных дифференциальных операторов Эйлера.
5) (t2 D2 + tD ; n2 )(+ u) + (tD + p)(; u) = Dk (+ + ; ),
где n; p 2 N , k 2 N jk > max(n; p) + 1, ; 2 R.
Соответствующая краевая задача имеет решение
k+1
ub+(z) = (;21)i k! (k + 1)12 ; n2 zk1+1 + Czn1 ; Im z > 0;
(k+1)
ub;(z) = ; (;1)2i k! k + 11 ; p zk1+1 + Czp2 ; Im z < 0;
где C1 и C2 | произвольные константы с поведением jub (z )j j Im Azjk+1 в окрестности z = 0, а
решением уравнения будет
u = (k + 1)2 ; n2 Dk + ; (k + 1 ; p) Dk ; + A1 Dn;1 + + A2Dp;1 ; ;
где A1 , A2 | произвольные константы, и оно принадлежит пространству O0 k;+2
1 .
Отметим, что образом Фурье этого уравнения в F (O;0 1 ) является уравнение
D2[Y ( ) 2 ue( )] ; D[Y ()ue( )] ; k2Y ( )ue( ) + D[y(; )ue()] ; pY (; )ue( ) =
= ;(2i )k [Y ( ) + Y (; )] 8 2 R; где ue( ) = F u:
Это дифференциальное уравнение можно интерпретировать по аналогии с парными интегральными уравнениями как парное дифференциальное уравнение на оси R. Его решение в пространстве F (O;00 1 ) имеет вид
ue( ) = (2i)k
n;1
p;1
(k + 1)2 ; n2 Y ( ) ; k + 1 ; p Y (; ) + A1 ( ) Y ( ) + A2 ( ) Y (; ):
Литература
1. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. { М.{Л.:
ГИТТЛ, 1950. { 436 с.
2. Бремерман Г. Распределения, комплексные переменные и преобразования Фурье. { М.: Мир,
1968. { 276 с.
3. 3. Салехов Л.Г., Салехова Л.Л. К решению одного класса уравнений сверток в сверточном
модуле. Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы //
Тр. международн. научн. конф. 24{28 июня 2003 г. { Стерлитамак, 2003. { С. 199{206.
4. Пресдорф З. Некоторые классы сингулярных уравнений. { М.: Мир, 1979. { 493 с.
5. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными.
Т. I. Теория распределений и анализ Фурье. { М.: Мир, 1986. { 462 с.
6. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. { М.: Наука, 1978. { 295 с.
7. Салехов Л.Г., Салехова Л.Л. О некоторых классах уравнений в сверточной алгебре D+0 //
Изв. вузов. Математика { 2004. { Є 7. { С. 75{77.
Казанский государственный
Поступила
23.05.2006
университет
65
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
154 Кб
Теги
уравнения, сверток, обобщение, сингулярного, одной
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа