close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об одном способе решения задачи оптимизации многослойного теплозащитного покрытия.

код для вставкиСкачать
Информационные технологии
УДК 536.2:51.380.115
А.Ю. Бушуев, В.Н. Тимофеев
ОБ ОДНОМ СПОСОБЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ
МНОГОСЛОЙНОГО ТЕПЛОЗАЩИТНОГО ПОКРЫТИЯ
Построена итерационная схема по определению толщин слоёв
многослойного теплозащитного покрытия минимальной массы при
температурных ограничениях на границах слоёв. Алгоритм основан на
сведении задачи оптимизации к последовательности решения основной
задачи проектирования и использует функции чувствительности.
Многослойное
теплозащитное
покрытие,
основная
задача
проектирования, оптимизация, градиентный спуск, функции чувствительности
A.J. Bushuev, V.N. Timofyev
ONE OF THE WAYS FOR SOLVING THE PROBLEM OF OPTIMIZATION
MULTILAYER HEAT PROTECTION COATING
The iterative scheme is developing for estimating the thickness of multilayer
heat protectioncoating of minimum mass with subject to the restrictions on the
temperature at the layer boundaries. Algorithm is based on substitution
optimization problem for sequence of solving basic designing problem with
sensitivity functions.
Multilayer heat protection coating, basic designing problem, optimization,
gradient descent, sensitivity functions
Многие энергетические установки, паровые и газовые турбины, парогенераторы, теплообменники, конструкции ракет и двигателей летательных аппаратов используют дорогостоящие теплоизоляционные и теплозащитные материалы. Возможности повышения экономичности, надёжности и ресурса работы таких установок в значительной мере зависят от совершенства применяемой теплозащиты, её оптимизации.
Задача синтеза многослойных конструкций с применением функций чувствительности решена ранее [1], в упрощённой постановке, когда определялись толщины слоёв из условия обеспечения равенства температур в контролируемых точках пакета предельно допустимым. В данной работе рассматривается задача синтеза в экстремальной постановке. Требуется подобрать толщины слоёв многослойного теплозащитного покрытия так, чтобы минимизировать массу пакета при выполнении ограничений на температуры в контролируемых точках пакета между слоями. При этом температурное поле в конструкционном пакете (КП)
находиться из решения краевой задачи вида:

∂T ∂T 
∂T 
=
 ρ k ck (T ) ⋅
 λk (T )
,
∂τ ∂y 
∂y 


 yk − 1 < y < yk , 0 < τ ≤ τ$ , k = 1, n,

y0 ≤ y ≤ yn
T ( y, 0) = T0 ,


(1)
385
Вестник СГТУ. 2012. № 1 (64). Выпуск 2
граничные условия на поверхностям w и v КП в общем случае имеют вид:
∂T ( y0 ,τ )

= qw ,
−λ 1 (T ) ⋅
∂y


λ (T ) ⋅ ∂T ( yn ,τ ) = q ,
v
 n
∂y
(2)
тепловые потоки на граничных поверхностях w и v рассчитываются по формулам:
α 
qw =   ( I e, w − I w ) − ε wσ Tw4 ,
 cp 
 w
qv = 15 ⋅ ( 323 − Tv ) + ε v ( 3334 − Tv4 ) ,
(3)
(4)
где коэффициент теплообмена (α / с p ) w и энтальпия восстановления газового потока на поверхности w I e , w − заданные функции времен ε w и ε v – степени черноты граничных поверхностей КП.
Энтальпию газового потока при температуре стенки I w моделируем зависимостью
I w = 954Tw + 0, 0862Tw 2 .
В качестве минимизируемого функционала используем :
(5)
n
f0 =
∑
ρ jh j ,
(6)
j =1
где ρ j
− плотность материала j-ого варьируемого слоя;
− толщина варьируемого слоя
j.
Для решения задачи синтеза в экстремальной постановке рассмотрим сначала так
называемую основную задачу проектирования (ОЗП), аналогичную основной задаче управления [2], состоящую в том, чтобы обеспечить условие работоспособности конструкции:
температуры на границах слоёв должны быть не больше предельно допустимых при ограничении её массы не больше заданной величины M̂ :
n
^

f
ρ
h
M
,
=
≤
∑
0
j
j

j =1
(7)

^

 f i = Ti ≤ Ti , i = 1, n,
где Tˆ − предельно допустимые значения температуры i-го контролируемого стыка; n −
hj
i
число варьируемых слоёв (число контролируемых стыков).
Решение ОЗП сводится к решению задачи безусловной минимизации вида:
n
2
F ( h) = ∑  max( g i ( h), 0)  → min ,
(8)
h
i =0
где
n
^
∑ ρi hi − M
g0 =
i =1
^
, gi =
^
M
Ti − T i
^
, i = 1, n .
Ti
С применением градиентного спуска
( k +1)
h
=h
где градиент функционала определяется в виде:
(k )
− S k gradF ,
(9)
T
 ∂F
∂F 
gradF =  ,...,
 ,
∂hn 
 ∂h1
386
(10)
Информационные технологии
^
 n

^
ρ
h
−
M


∑
i i


n
∂Ti
T
−
T
∂T
∂F
i
i =1
i


где
= 2 max 
, 0  ρi + 2∑ max
, 0 ⋅ i , j = 1, n , и значения
совпа^
^


∂h j
∂
h
∂
h


i
=
1
j
j
M
 Ti





дают со значениями функций чувствительности ψ k , j = ∂T / ∂h j , вычисленными в точках с ко-
ординатами y i , в которых контролируется температура. Способ вычисления ФЧ предложен
ранее в работе [1].
Для решения задачи синтеза ТЗП в экстремальной постановке построим итерационный процесс, на каждом шаге которого решается ОЗП при уменьшенном значении M̂ .
Пусть на k-м его шаге известно какое-то решение ОЗП, так что выполняется равенство
( )
F h
(k )
n
2
= ∑  max( gi (h), 0)  ≡ 0 .
(11)
i =0
Задаём новое значение ограничения:
^ ( k +1)
M
n
= ∑ ρi hi ( k ) ,
(12)
i =1
и ищем (k+1)-е решение ОЗП при следующем начальном приближении для искомого вектора:
( k +1)
(k )
h
= h − α ⋅ gradM ,
(13)
где α − параметр, регулирующий длину шага вдоль направления gradM .
Итерационный процесс заканчивается на той итерации, когда будет выполняться условие
Mˆ ( k +1) − Mˆ ( k ) / Mˆ ( k +1) ≤ ε ,
(14)
где ε − заданная точность решения задачи, либо когда нарушится условие (11).
В качестве методического примера с помощью разработанного алгоритма решена задача проектирования двухслойного теплозащитного покрытия конструкции. Предельно до^
^
пустимые значения температур на границах слоёв T 1 = 1073o K , T 2 = 343o K . Начальная температура КП T0 = 300o K .
Исходные данные по параметрам теплообмена во времени, определяющие граничный
тепловой поток q w приведены в табл. 1.
Постоянные теплофизические свойства материалов, приведены в табл. 2. Там же указано начальное приближение для толщин варьируемых слоёв и толщина неварьируемого
слоя элемента конструкции.
Таблица 1
Зависимость параметров теплообмена от времени
τ ,с
20
40
60
80
110
160
1120
I e, w ⋅10−5 ,
Дж
кг
3,3494
6,113
16,579
34,200
61,295
263,140
263,14
α

 cp
 кгс
 , 2
w м
3,1⋅10-1
4,1⋅10-1
1,2⋅10-1
2,3⋅10-2
9,7⋅10-4
1,6⋅10-3
1,6⋅10-3
τ ,с
1220
1300
1360
1400
1460
1560
1660
I e, w ⋅10−5 ,
Дж
кг
269,250
254,730
248,820
243,250
217,670
108,400
9,045
α

 cp
 кгс
 , 2
w м
3,6⋅10-2
4,6⋅10-2
5,0⋅10-3
1,3⋅10-2
5,8⋅10-2
1,1⋅10-1
8,0⋅10-1
387
Вестник СГТУ. 2012. № 1 (64). Выпуск 2
Таблица 2
Характеристики конструкционного пакета
Номер слоя
1
2
3
λ , Вт/м
с , Дж/кг×К
ρ , кг×м-3
h , мм
–
–
0,339
1088,6
–
799,6
1400
215
1800
20
60
3
В табл. 3 приведены теплофизические свойства материалов, зависящих от температуры.
Таблица 3
Зависимость теплофизических характеристик материалов от температур
Т, К
273
λ1 , Вт/м
λ2 , Вт/м
0,25539
с 2 , Дж/кг×К
673
1073
1473
1873
2273
0,26796 0,43960 0,83740
1,2770
1,74170
0,06280
0,07669 0,12058 0,20766
–
–
703,38
954,59
1038,33 1080,19 1214,17
1256,04
Применением данного способа решения задачи получены оптимальные толщины слоёв ТЗП 28,4 мм, 25,3 мм.
Работоспособность и эффективность алгоритма подтверждены сравнением решения
данной задачи с решением, выполненным методом штрафных функций с использованием
метода Ψ − преобразования [3].
Выводы
1. Предложена итерационная схема решения задачи оптимизации многослойного теплозащитного покрытия конструкции, подверженной воздействию высокотемпературной среды
по критерию минимума массы с учетом ограничений на температуры на границах слоев.
2. Преимущество разработанного алгоритма состоит в том, что он не требует выбора
параметров штрафа при решении последовательности задач безусловной минимизации.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бушуев А.Ю., Горский В.В. // ИФЖ. 2000 Т.73. № 1. С.155-159.
2. Сиразетдинов Т.К. Методы решения многокритериальных задач синтеза технических
систем. М.: Машиностроение, 1988. 160 с.
3. Чичинадзе В.К. Решение невыпуклых задач оптимизации. М.: Наука, 1983. 256 c.
Бушуев Александр Юрьевич −
кандидат технических наук, доцент кафедры «Вычислительная математика и математическая
физика» Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана
Тимофеев Валерий Николаевич −
кандидат технических наук, доцент кафедры «Вычислительная математика и математическая
физика» Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана
Статья поступила в редакцию 15.02.12, принята к опубликованию 12.03.12
388
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
157 Кб
Теги
многослойной, теплозащитной, решение, способы, оптимизация, одной, покрытия, задачи
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа