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Об определении «Экзотического» инварианта для односвязных замкнутых шестимерных спинорных многообразий.

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???????? ???? ???????? ?????? ??? ???
?????? 4(16). ?????????, 2013.
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
??? 515.164.2
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ «ЭКЗОТИЧЕСКОГО» ИНВАРИАНТА ДЛЯ ОДНОСВЯЗНЫХ ЗАМКНУТЫХ ШЕСТИМЕРНЫХ СПИНОРНЫХ МНОГООБРАЗИЙ
А.В. ЖУБР
Отдел математики, Коми НЦ УрО РАН, г. Сыктывкар
avzhubr@gmail.com
Предложена прямая конструкция одного из инвариантов односвязных замкнутых шестимерных спинорных многообразий, ранее определенного автором (в работе 1976 г.) непрямым способом.
Ключевые слова: многообразие, инвариант, препятствие, хирургия
A.V. ZHUBR. ON THE DEFINITION OF ?EXOTIC? INVARIANT FOR SIMPLY CONNECTED CLOSED 6-DIMENSIONAL SPIN MANIFOLDS
A direct construction is presented for one of invariants of simply connected closed
6-dimensional spin manifolds, which has been defined earlier by the author (in a
1976 year paper), in an indirect way.
Key words: manifold, invariant, obstruction, surgery
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4
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5
(5)
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6
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3
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3
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? S 2 (????? 3).
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3
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/ CP 3 ? CP 3
0
?
f0
/ S3 Ч S2
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? ????????? ??????????? ? : CP 3 ? HP 1 ????????
?(C? · (p, q)) = H? · (p, q).
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????? ????????? ? ???, ??? ??? ???????? ??????????? ?????????? ?? ????? S 2 ? ???????????
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??? ????????? S0 ? S? :
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S0 = {H? · (p, q) ? HP 1 | |p| 6 |q|},
S? = {H? · (p, q) ? HP 1 | |q| 6 |p|}.
7
???????? ???? ???????? ?????? ??? ???. ?????? 4(16). ?????????, 2013
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(??? ????? ??????????? ?????? ??????????? ?????????? ?????? ???? ? ???????????).
????????? ????? ???? ?????? ????????? ?????????????? ?????? ???? ???????? ????? ?? ????? S ? M (?, ??? ?????, ?????????? ??????????????? ?????? ?? ???). ?? ????????????? ???????????? V4,1 = S 3 ??? ??????????? ????????? ? V6,3
(???? ???????? V6,3 ? V6,2 ).
dR : T1 S 3 ? Te SO3 ,
???????????? ???????????? R3 = ?H ?? ???????
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???? «????????????» ?????????? ?????? SO3 ???????? ????????????? ??????? «?????????????????
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i , j ? k.
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? ? ????????? ?????????? ?? ????? R3 . ???????????
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(9)
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4-?????? ??????.
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??????, ???
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[S1 ], [S2 ], . . . , [Sk ] ? H3 (M ; Z2 ).
(10)
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I ? {1, 2, . . . , k}
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(6) ?????? ????????? ? ????
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8
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g : S 3 Ч D3 ? M Ч 0
(?ae3 ? xt1 ? yt2 ? zt3 , e1 , e2 , n).
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?????????? ?????? ??????????? ????????? ???? v?
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??????? ?????? ???? ?? S ? ???? ???????????? «????????????» ????? ?? ?????. ????? ???????, ???????? ??????????, ????? ?? ???? ?????????????? ???????
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H = {a + xi + yj + zk},
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S 3 = {|q| = 1} ????????????? ????????????????
????????? ??????????? ??????? (t1 , t2 , t3 ), ???????????? ? ?????? ????? q ?????????
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H 4 (W )
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/ H 4 (M? ),
4
?????????????? ???????????????? ??????????.
????????????? ???????????? W ?????????? ?? M
????????????? ?????????? 4-?????? ??????, ? ?? M?
? ????????????? ?????????? 3-?????? ??????. ??
?????????? ????? ???????, ??? ? ? ???? ?????????
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t1 = qi, t2 = qj, t3 = qk.
????? t0 ? ?????????? ????????? ??????, ???????????? ????? ???????????? ???. ????????? ????? n
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??? ???????????? ????? ?????? n ???????????????
? ???????? ? ). ???????????? ?????????? a = ?(q)
? ?????? r = |q| ??? ??????? ?? H, ?? ????? ???????? t0 = grad a ? n = grad r . ???????, ????? (e1 , e2 , e3 ) ?????????? ??????????? ????? ???????????? R3 . ??????????? ? «?????» H, ?????, ????? ???????, ????????????????? ????? ???????????? ??????????
(t1 , t2 , t3 , e1 , e2 , e3 , n),
Tors2 H 4 (M? ) = Tors2 H3 (M? ) = 0.
??????? ? = ? ? ? ?1 . ? ???????????? ? ???????????? ?????? [1] ????? ????? ?????????
??(M ) = ?
(1
4 p1 (M? )
)
(12)
(??. «???????????????? ?????» ?? ???. 842, ???????,
??????????, ? ???????????? ????? ??????????????
?
??????????? ?????????? ? ).
? ?????? ???????, ? ???? ??????????????, ????????? ?????????
(
)
o4 (M, w) = ? o4 (W, w) ,
(
)
o4 (M? , w) = ? o4 (W, w) ,
(11)
???????????? ?? ???????????? H0 = S 3 Ч D 3 , ?
???????? ???? (t0 , e1 , e2 , e3 ), ???????????? ?????
?? H .
?????? ?? ????? ???????????????? ???? ???????? ???? ? ??????????? H0 ???, ????? ?????????
??? ???????? ???????? n. ???????? ?????????, ???
?????? t0 (q) = grad ?(q) ????? ????????? ????????????? ? ?????? (11):
??????
o4 (M, w) = ?(o4 (M? , w)) = ?
(1
)
4 p1 (M? )
,
(13)
(??? ????????? ????????? ? ??? ?????? ????????????? ??????, ????? ?????????? 2-????????,
???????????(6)). ??????????? ????????? (12) ? (13),
?? ? ???????? ???????????? ???????????.
t0 (q) = an ? xt1 ? yt2 ? zt3
?
??? ???? q = a + xi + yj + zk ? S 3 (???????????????
???????????? ? ?? ??? ???? ??? ??????????? ??????? ?(q) ?? ???????? ????????). ????? ???????, ???
????? ?? ????????????? ??????? ? ??? ? 6 |q| 6 1
??? ?????????? ? < 1 (??????????? ?????????????
????????). ?????????? ??????? ? ????????? (e3 , n),
??????????? e3 ? n ? n ? ?e3 . ??????????? ????
???? ??????? ??? ??????????, ???????????? ???
??????? ????????, ??? ????????? (12) ?????? ? ?????
???? ? ?????? [1] ??? ? ??? ?????? ???????????, ? ?????? ????
??? ???? ? ??????? ?????????, ? ?? ???????????. ???? ????,
«????????????» ????????? ? [1] ???????????? ????? ???????????, ???????????? ?? ?????? ????????? ????????? ?????????? ???????????? ??????????-????????. ??? ??? ????????? ?
?????? [1] ???????, ???????, ? ??????????????? ?????????????
??????????.
9
???????? ???? ???????? ?????? ??? ???. ?????? 4(16). ?????????, 2013
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?????? ?? ?????????????? ???????????.
6. ????????? ?????????????? ?????????
??? ?????????????? ??????, ?????????? ? ????
?????? ??????????? ???????????? ????????? ? ? ?????, ???? ??? ????? ???????, «??????????» ?????, ??? ?????????????? ??????????? ? ?????? [1].
? ?????? ???????, ??????? ??? ????????, ?? ???????
? ?????? ???? ??? ??????. ????? ?????????? ? ??????? 3 ???????? ???????????? ????? ????? 3-??????
??????????? ??????? ???? ???????? ????? ? ????????? ??????????????? 4-?????? ??????????? ? ?????????????, ????? ?????????????? ??? ?????????
?????????? ???????.
1. ????? ?? ??????? ??????????????? ????????? ???? ??????? 3 ?????????????? ? ????? «??????????????» ????????? ????? ????????, ??? 3-???????? ???? ?? ???????????? M , ?????? ? ?????????????? ??????? ??????????? S 3 ? M , ??????????
????? ?????????? ????????? ?????????? ????? S 3
? M . ??? ?? ????? ????? ?????????? ??????????????? ?????????? (?????? ????? ???????????????)
? ????????? «???????????????» ??????? ?????????
?????
2. ???????????? ??????????? ????? ??????????? «?????????????» ?????????? (?. ?. ?????????????
?? ?????? ?????? ????????? ????, ???????????
????? ?????? Tors2 H3 (M )) ??????? ?? ?? ???????????? ??????????????? ??????????? ??????????
(??????? 1). ???? ?? ????? ????????? ????????
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10
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