close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об осциллируемости решений одного класса систем дифференциальных уравнений высшего порядка.

код для вставкиСкачать
ВЕСТН. САМАР. ГОС. ТЕХН. УН-ТА. СЕР. ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ. 2000. № 9
Краткие сообщения
Дифференциальные уравнения
УДК 517.917
А.И. Матакаев
ОБ ОСЦИЛЛИРУЕМОСТИ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА СИСТЕМ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА
Исследована задача осциллируемости решений одного класса систем дифференциальных уравнений высшего порядка.
Вопросу осцилляции решений систем дифференциальных уравнений посвящен ряд работ
(см., например, [1] и библиографию, указанную там же). Однако в отличие от предлагаемой
заметки, в этих работах рассматривались только системы не выше второго порядка.
Определения [2]
1. Скалярную функцию j ( t ){D(j ) = [t 0 ,+¥ )} называют неосциллирующей, если $ t1 ³ t 0
такое, что для " t ³ t1 либо j ( t ) > 0 , либо j ( t ) < 0 . В противном случае ее называют осциллирующей.
2. Векторную функцию называют:
осциллирующей (неосциллирующей), если все ее координаты осциллируют (не осциллируют);
слабо неосциллирующей, если среди ее координат имеются как осциллирующие, так и неосциллирующие.
В системе
m
ì (n)
ï x (t ) = å a k (t ) f k [ y ( hk ( t ))];
(1)
í
k =1
ï y ¢(t ) = x (t )
î
в дальнейшем всюду предполагается:
а) a k (t ) k = 1, m - непрерывные неотрицательные функции на [t 0 ,+¥ ) ;
б)
f k (z ) , hk (t )
k = 1, m - непрерывные неотрицательные функции для " z Î R \ {0} и
" t Î [t 0 ,+¥ ) , " z ¹ 0 zf k ( z ) > 0 , t £ hk (t ) ® +¥ при t ® +¥ .
Т е о р е м а. Пусть
h( t )
¥
m
üï
ïì
1) ò h ¢(t ) í ò [h (t ) - s ]n -1 å a k ( s)ds ýdt = +¥ ,
ïî t
ïþ
k =1
+¥
2)
ò
+e
dz
< +¥ ,
f (z )
-¥
ò
-e
dz
< +¥ ,
f (z )
e = const > 0 ,
где f ( z ) = min f k ( z ) , h (t ) = min h k (t ) .
1£ k £ m
1£ k £ m
Тогда все решения с ограниченной первой компонентой системы (1) осциллируют.
Доказательство. Допустим, что система имеет слабо осциллирующее решение (x (t ), y (t ) ) .
Тогда одна из координат решения не осциллирует, другая координата осциллирует. Предположим, что x(t ) не осциллирует, y (t ) осциллирует. Тогда $ t1 ³ t 0 такое, что для " t ³ t1 либо
184
x (t ) > 0 , либо x (t ) < 0 . Рассмотрим случай x (t ) > 0 " t ³ t1 . Из второго уравнения системы
следует, что y (t ) - возрастающая функция " t ³ t1 , что противоречит осциллируемости функции y (t ) . В случае x (t ) < 0 " t ³ t1 , аналогично рассуждая, приходим к противоречию. Допустим, что координата y (t ) не осциллирует, x ( t ) - осциллирует. Тогда $ t 2 ³ t1 такое, что для
" t ³ t 2 либо y (t ) > 0 , либо y (t ) < 0 . Предположим, что " t ³ t 2 y (t ) > 0 . Так как h k (t ) ® +¥
при
t ® +¥ , то
$ t3 ³ t2
такое, что
" t ³ t3
y[hk ( t ) ] > 0 ,
k = 1, m . Тогда
" t ³ t3
f k ( y [h k (t )]) > 0 , k = 1, m . С учетом этого неравенства из первого равенства системы вытекает,
что " t ³ t 3 x ( n ) (t ) ³ 0 . Следовательно, в виду ограниченности x (t ) $ t 4 ³ t 3 такое, что
" t ³ t 4 x ( j ) (t ) ³ 0 , j = 1,2,..., n .
Применив формулу Тейлора
n -1
x(s) = å
j =0
s
1
x j (t )
(s - t) j +
( s - u ) n -1 x ( n ) (u )du
( n - 1)! òt
j!
к системе, получим " s > t ³ t 4
s
m
1
n -1
x( s) ³
s
u
a k (u ) f k [ y (h k ( u ) )]du ,
(
)
å
( n - 1)! ò1
k =1
или, в силу предположения б) и второго уравнения системыs
m
f [ y (hk (u ) )]
n -1
s
u
y ¢( s ) ³ k
(
)
å ak (u)du .
( n - 1)! òt
k =1
Заменив в этом неравенстве s на h( t ) , получим
h( t)
m
y ¢( h( t ))
1
³
( h( t ) - u ) n -1 å a k ( u )du .
ò
f k [ y (hk (u ) )] ( n - 1)! t
k =1
¢
Умножив, получим неравенство на h (t ) ³ 0 и проинтегрируем его от t 4 до t . Тогда получим неравенство
t
t
m
æ h( s)
ö
1
dz
ç [h( s ) - u ]n -1 å a k ( u) du ÷ds ,
¢
(
)
³
h
s
ò f ( z) (n - 1)! ò ç ò
÷
k =1
t4
t4
è s
ø
из которого при t ® +¥ получим условие, противоречащее теореме. В случае y (t ) < 0 " t ³ t 2
теорема доказывается аналогично.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Шевель В.Н., Варех Н.В., Грицай А.Г. Об осцилляторных свойствах решений систем дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом / Институт матем. АН Укр. ССР. Препринт. № 82.2. 1982. С.48.
2.Быков Я.В. Об одном классе систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1965.
Т.1. № 11. С. 1449-1475.
185
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
151 Кб
Теги
решение, уравнения, дифференциальной, высшего, система, одного, класс, порядке, осциллируемости
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа