close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об отслеживании решения параболического уравнения.

код для вставкиСкачать
Известия вузов. Математика
2012, № 1, c. 40–48
http://www.ksu.ru/journals/izv_vuz/
Гос. номер статьи по НТЦ "Информрегистр" 0421200123 \0005
B.И. МАКСИМОВ
ОБ ОТСЛЕЖИВАНИИ РЕШЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
Аннотация. Рассматривается задача управления параболическим уравнением. Ее суть состоит
в построении алгоритма формирования управления в виде обратной связи, обеспечивающего отслеживание решением заданного уравнения решения другого уравнения, порождаемого
неизвестной правой частью. В работе предлагается два устойчивых к помехам алгоритма решения указанной задачи, основанных на известном в теории гарантированного управления
методе экстремального сдвига. При этом первый алгоритм ориентирован на случай “непрерывного” измерения фазовых состояний, а второй — дискретного.
Ключевые слова: системы с распределенными параметрами, управление.
УДК: 519.633
Abstract. We consider a control problem for a parabolic equation. It consists in constructing an
algorithm for finding a feedback control such that a solution of a given equation should track a
solution of another equation generated by an unknown right-hand side. We propose two noiseresistant solution algorithms for the indicated problem. They are based on the extremal shift
method well-known in the guaranteed control theory. The first algorithm is applicable in the case
of “continuous” measuring of phase states, whereas the second one implies discrete measuring.
Keywords: systems with distributed parameters, control.
1. Введение. Постановка задачи
Пусть V и H — действительные гильбертовы пространства. Пространство V вложено в
пространство H плотно и непрерывно: V ⊂ H = H ∗ ⊂ V ∗ . Символы | · |V и | · |H означают
соответственно нормы в V и H, а символы (·, ·) и ·, · — скалярное произведение в H и
двойственность между V и V ∗ .
Рассматривается параболическое уравнение
t ∈ T = [t0 , ϑ],
ẇ(t) + Aw(t) = Bv(t) + f (t),
w(t0 ) = w0 .
(1)
Здесь A : V → V ∗ — линейный, непрерывный и симметричный оператор, удовлетворяющий
(для некоторых c > 0 и ω ∈ R) условию коэрцитивности
Ay, y + ω|y|2H ≥ c|y|2V ∀y ∈ V,
(2)
Поступила 08.02.2011
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант 11-01-12112-офи_м, программ Президиума Уральского отделения Российской Академии
наук и государственной поддержки ведущих научных школ Россиской Федерации (проект НШ65590.2010).
40
ОБ ОТСЛЕЖИВАНИИ РЕШЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
41
f (·) ∈ L2 (T ; H) — заданная функция, v — управление, производная ẇ(·) понимается в
смысле пространства распределений ([1], с. 41), B — линейный непрерывный оператор, действующий из гильбертова пространства U с нормой | · |U и скалярным произведением (·, ·)U
(пространство управлений) в пространство H (B ∈ L(U ; H)).
Следуя ([2], с. 115; [3], с. 123), функцию w(·) ∈ W (T ; V ) = {w(·) ∈ L2 (T ; V ) : ẇ(·) ∈
L2 (T ; V ∗ )}, удовлетворяющую соотношению
(ẇ(t), z) + Aw(t), z = (Bv(t) + f (t), z) ∀z ∈ V при почти всех t ∈ T,
будем называть слабым решением уравнения (1) и обозначать символом w(·) = w(·; t0 , w0 , v(·)).
В дальнейшем полагаем
w0 ∈ D(AH ) = {w ∈ V : Aw ∈ H}.
Тогда в силу известной теоремы регулярности решения ([4], теоремы 1.13 и 4.1) при любом
v(·) ∈ L2 (T ; U ) уравнение (1) имеет единственное слабое решение со свойством
w(·) ∈ W 1,2 (T ; H) ∩ L2 (T ; V ),
где W 1,2 (T ; H) = {w(·) ∈ L2 (T ; H) : ẇ(·) ∈ L2 (T ; H)}.
Рассматриваемая в данной работе задача формулируется следующим образом.
Пусть наряду с уравнением (1) имеется еще одно уравнение того же вида
ẋ(t) + Ax(t) = Bu(t) + f (t),
t ∈ T,
(3)
с начальным состоянием x(t0 ) = x0 ∈ D(AH ). Это уравнение (назовем его в дальнейшем
эталонным) подвержено воздействию некоторого эталонного управления u(·) ∈ L2 (T ; U ).
Эталонное управление, а также отвечающее ему решение x(·) = x(·; t0 , x0 , u(·)) уравнения
(3) заранее неизвестны. В дискретные достаточно частые моменты времени
τi ∈ ∆ = {τi }m
i=0
(τ0 = t0 , τm = ϑ, τi+1 = τi + δ)
измеряются состояния w(τi ) = w(τi ; t0 , w0 , v(·)) уравнения (1), а также состояния x(τi ) =
x(τi ; t0 , x0 , u(·)) эталонного уравнения. Состояния w(τi ) измеряются с ошибкой. Результаты
измерений (элементы ξih ∈ H) удовлетворяют неравенствам
|w(τi ) − ξih |H ≤ h,
i = 1, 2, . . . , m − 1.
(4)
В силу вложения пространства W 1,2 (T ; H) в C(T ; H) ([1], с. 73) неравенства (4) имеют
смысл. Здесь величина h ∈ (0, 1) характеризует точность измерения. Требуется указать алгоритм формирования управления v = v h (·) в уравнении (1), позволяющий осуществлять
отслеживание решением w(·) уравнения (1) решение x(·) уравнения (3). Таким образом, рассматривается задача, состоящая в построении алгоритма, который по текущим измерениям
величин w(τi ) и x(τi ) в “реальном времени” формирует (по принципу обратной связи) управление v = v h (·) в правой части уравнения (1) такое, что “отклонение” w(·) = w(·; t0 , w0 , v h (·))
от x(·) = x(·; t0 , x0 , u(·)) в метрике пространства C(T ; H) ∩ L2 (T ; V ) мало при достаточной
малости измерительной погрешности h. В случае, когда как эталонное управление u, так и
v в уравнении (1) стеснены мгновенными ограничениями (u ∈ P , v ∈ P , где P ⊂ U — заданное ограниченное и замкнутое множество), сформулированная задача может быть решена
с помощью метода экстремального сдвига ([5], с. 58).
Именно, если управление v = v h (·) в правой части уравнения (1) вычислять по формуле
v h (t) = v(τi , ξih , x(τi )) = arg min{(ξih − x(τi ), Bv) : v ∈ P } при t ∈ [τi , τi+1 ),
(5)
42
B.И. МАКСИМОВ
то, как следует из результатов [6], для всякого числа ε > 0 можно указать числа h1 > 0 и
δ1 > 0 такие, что справедливо неравенство
sup |w(t; t0 , w0 , v h (·)) − x(t; t0 , x0 , u(·))|H ≤ ε,
t∈T
если h ∈ (0, h1 ), δ ∈ (0, δ1 ). Последнее неравенство справедливо для любого эталонного
управления, т. е. любой измеримой по Лебегу функции u(t) ∈ P при почти всех t ∈ T .
Здесь и всюду ниже полагаем, что w0 ∈ D ⊂ V , где D — ограниченное множество,
|w0 − x0 |H ≤ h.
(6)
Таким образом, метод экстремального сдвига позволяет решить задачу отслеживания решения эталонного уравнения при наличии мгновенных ограничений на управления
(v, u ∈ P ). В данной работе рассмотрим случай, когда подобные ограничения отсутствуют, т. е. допустимым управлением (как эталонным u(·), так и “истинным” v(·)) может быть
любая функция из пространства L2 (T ; U ). Никакой иной информации о функциях v(·), u(·)
не требуется. При этом укажем соответствующую модификацию принципа экстремального
сдвига, воспользовавшись, следуя [7], идеей его локальной регуляризации. Наряду с измерениями фазовых состояний в дискретные моменты времени (4) рассмотрим также случай,
когда измерения фазовых состояний x(t) и w(t) осуществляются “непрерывно”. Именно,
предполагается, что в каждый момент времени t ∈ T производятся измерения фазовых
состояний уравнений (1) и (3), в результате чего определяются функции x(t), а также
ξ h (t) ∈ H со свойствами
(7)
|ξ h (t) − w(t)|H ≤ h, t ∈ T.
h
Функции ξ (t), t ∈ T , являются измеримыми по Лебегу.
2. Алгоритм решения. Случай непрерывного измерения решений
Обратимся к случаю, когда измерения решений уравнений (1), (3) происходят непрерывно, т. е. выполняются неравенства (7) (считаем для простоты ξ h (t0 ) = w0 ). Итак, необходимо указать закон формирования управления v в форме обратной связи: v = v(t, ξ h (t), w(t)).
Фиксируем функцию α = α(h) : R+ → R+ = {r ∈ R : r > 0}. Управление v α,h (t) в уравнении (1) зададим следующим образом:
v = v α,h (t) = α−1 B ∗ (ξ h (t) − wα,h (t)).
(8)
Символ B ∗ означает оператор, сопряженный к оператору B.
Таким образом, в данном случае имеем систему (1), (3), т. е. пару уравнений
ẋ(t) + Ax(t) = Bu(t) + f (t),
ẇα,h (t) + Awα,h (t) = α−1 BB ∗ (ξ h (t) − wα,h (t)) + f (t)
с начальным условием
x(t0 ) = x0 , wα,h (t0 ) = w0 .
Символом wα,h (·) обозначено решение уравнения (1) с правой частью v = v α,h (·) вида (8). В
дальнейшем считаем ω > 0. Когда множество P совпадает с пространством управлений U ,
решение задачи (5) “теряет смысл”. Если же мы “подправим” минимизируемый в (5) функционал и вместо задачи минимизации функционала l(si , v), где l(s, v) = (s, Bv), si = ξih − x(τi ),
рассмотрим задачу минимизации квадратичного функционала Lα (si , v) = l(si , v) + α|v|2U
(α > 0), то последняя имеет единственное решение. Легко видеть также, что если в функционале Lα вместо si стоит величина ξ h (t) − wα,h (t), то решение последней есть не что иное
как v α,h (t).
ОБ ОТСЛЕЖИВАНИИ РЕШЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
43
Теорема 1. Пусть α = α(h) = h2/3 . Тогда справедливо неравенство
t
|x(τ ) − wα,h (τ )|2V dτ ≤ d0 h2/3 , t ∈ T,
|x(t) − wα,h (t)|2H + 2c
t0
где d0 = const > 0 не зависит от h ∈ (0, 1).
Доказательство. В силу (8) справедливо неравенство
|v α,h (t)|2U ≤ 2b2 α−2 (h2 + |µα,h (t)|2H ),
t ∈ T,
где µα,h (t) = x(t) − wα,h (t), b = |B ∗ |L(H;U ) — норма линейного оператора B ∗ ∈ L(H; U ).
В таком случае
t
t
α,h
2
2 −2
|v (τ )|U dτ ≤ 2b α
|µα,h (τ )|2H dτ + c1 h2 α−2 .
(9)
t0
t0
Легко видеть, что ввиду (7) верно неравенство
(B(u(t) − v α,h (t)), µα,h (t))H ≤ (B(u(t) − v α,h (t)), ξ h (t) − wα,h (t))H +
+ bh{|u(t)|U + |v α,h (t)|U } при почти всех t ∈ T.
Далее, умножив на µα,h (t) правую и левую части равенства
ẋ(t) − ẇα,h (t) + Ax(t) − Awα,h (t) = Bu(t) − Bv α,h (t),
в силу условия коэрцитивности (2) будем иметь
1 d|µα,h (t)|2H
+ c|µα,h (t)|2V ≤ (B(u(t) − v α,h (t)), µα,h (t))H + ω|µα,h (t)|2H ≤
2
dt
≤ (B(u(t) − v α,h (t)), ξ h (t) − wα,h (t))H + bh{|u(t)|U + |v α,h (t)|U } + ω|µα,h (t)|2H .
Следовательно,
d|µα,h (t)|2H
+ 2c|µα,h (t)|2V + α{|v α,h (t)|2U − |u(t)|2U } ≤
dt
≤ −2(v α,h (t), B ∗ (ξ h (t) − wα,h (t)))U + α|v α,h (t)|2U + 2(u(t), B ∗ (ξ h (t) − wα,h (t)))U −
− α|u(t)|2U + 2bh{|u(t)|U + |v α,h (t)|U } + 2ω|µα,h (t)|2H . (10)
Заметим, что управление v α,h (t) вида (8) таково, что
v α,h (t) = arg min{α|v|2U − 2(B ∗ (ξ h (t) − wα,h (t)), v)U : v ∈ U }.
Из (10) в силу (11) получаем
t
t
α,h
2bh{|u(τ )|U + |v (τ )|U }dτ + 2ω
|µα,h (τ )|2H dτ,
εh (t) ≤ εh (t0 ) +
t0
где
t0
εh (t) =
|µα,h (t)|2H
t
+ 2c
|µα,h (τ )|2V
t0
t
dτ + α
(|v α,h (τ )|2U − |u(τ )|2U ) dτ.
t0
Ввиду включения u(·) ∈ L2 (T ; U ) имеем
ϑ
2bh|u(τ )|U dτ ≤ c2 h.
t0
(11)
(12)
44
B.И. МАКСИМОВ
Теперь отсюда и из (12) получаем
t
t
β
2−β
α,h
2
|v (τ )|U dτ + 2ω |µα,h (τ )|2H dτ,
εh (t) ≤ εh (t0 ) + c3 h + h + h
t0
β ∈ (0, 1).
(13)
t0
В свою очередь из (13) в силу (9) и неравенства εh (·) ≤ h2 (см. (6)) выводим
t
β
4−β −2
2−β −2
α ) + c5 (h
α + 1)
|µα,h (τ )|2H dτ.
εh (t) ≤ c4 (h + h
(14)
t0
Поэтому из (14) следует оценка
|µα,h (t)|2H
4−β −2
≤ c6 (h + α + h
β
α
2−β −2
) + c5 (h
α
t
+ 1)
|µα,h (τ )|2H dτ.
t0
В силу леммы 2.2 ([8], с. 151) отсюда при t ∈ T имеем
|µα,h (t)|2H ≤ c6 (hβ + α + h4−β α−2 ) exp{c5 (t − t0 )(h2−β α−2 + 1)}.
Пусть β ∈ (0, 1) — такая постоянная, что
h2−β α−2 ≤ const.
(15)
|µα,h (t)|2H ≤ c7 (hβ + α).
(16)
εh (t) ≤ c4 (hβ + h4−β α−2 ) + c8 (h2−β α−2 + 1)(hβ + α) ≤ c9 (hβ + α).
(17)
Тогда
Из (14)–(16) выводим
Справедливость теоремы следует из (17), если β = 2/3.
3. Алгоритм решения. Случай дискретного измерения решений
Укажем алгоритм решения задачи в случае дискретного измерения фазовых состояний.
Таким образом, ниже предполагаются выполненными соотношения (4).
Пусть l(·) : W 1,2 (T ; H) ∩ L2 (T ; V ) → R+ ,
l(y(·)) = |y(·)|C(T ;H) + |ẏ(·)|L2 (T ;H) + |y(·)|L2 (T ;V ) .
Стандартным образом (например, [4]; [9], с. 204) устанавливается
Лемма. Можно указать число K = K(ω, D, c, |B|L(H;U ) ) такое, что равномерно по всем
x ∈ D, u(·) ∈ L2 (T ; U ) выполняется неравенство
l(x(·; t0 , x, u(·))) ≤ K(1 + |u(·)|L2 (T ;U ) ).
Пусть взяты семейство разбиений отрезка T :
h
∆h = {τh,i }m
i=0 ,
τh,0 = t0 ,
τh,mh = ϑ,
τh,i+1 = τh,i + δ(h),
и функция α(h) : R+ → R+ . До начала работы алгоритма фиксируется величина h, а
вместе с ней разбиение ∆h . Работа алгоритма разбивается на m − 1 (m = mh ) однотипных
шагов. В течение i-го шага, осуществляемого на промежутке времени δi = [τi , τi+1 ), τi = τh,i ,
выполняются следующие операции. Сначала в момент τi вычисляется элемент
vih = α−1 B (ξih − wh (τi )).
(18)
Затем на вход уравнения (1) подается управление
v h (t) = vih ,
t ∈ δi .
(19)
ОБ ОТСЛЕЖИВАНИИ РЕШЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
45
h ) реПод действием этого управления вместо состояния wh (τi ) = wh (τi ; τi−1 , wh (τi−1 ), vi−1
h
h
h
h
ализуется состояние w (τi+1 ) = w (τi+1 ; τi , w (τi ), vi ). Работа алгоритма заканчивается в
момент ϑ.
Пусть семейство разбиений ∆h отрезка T и функция α(h) обладают следующими свойствами:
hδ−1 (h) ≤ C1 , δ(h)α−2 (h) ≤ C2 , α(h) → 0, δ(h) → 0 при h → 0 + .
(20)
Здесь C1 , C2 > 0 — постоянные, не зависящие от h.
Теорема 2. Равномерно по всем h ∈ (0, 1) верно неравенство
t
h
2
|x(τ ) − wh (τ )|2V dτ ≤ d1 (h + α(h) + δ(h)) ∀t ∈ T,
λh (t) ≡ |x(t) − w (t)|H + 2c
(21)
t0
где d1 = const > 0 не зависит от h, α(h), δ(h).
Доказательство. Воспользовавшись условием коэрцитивности (2), почти всюду на δi будем
иметь
1 d|µh (t)|2H
+ c|µh (t)|2V − ω|µh (t)|2H ≤ (B(u(t) − v h (t)), µh (t))U ,
2
dt
где µh (t) = x(t) − wh (t). Кроме того, нетрудно видеть, что при t ∈ δi верна оценка
(B(u(t) − v h (t)), µh (t))U ≤ (B(u(t) − v h (t)), ξih − wh (τi ))U + i (t, h).
Здесь
t
h
{|ẇ (τ )|H + |ẋ(τ )|H } dτ .
i (t, h) = b(|u(t)|U + |v (t)|U ) h +
h
τi
В таком случае для почти всех t ∈ δi выполнено соотношение
1 d|µh (t)|2H
+ c|µh (t)|2V ≤ (B(u(t) − v h (t)), ξih − wh (τi ))U + ω|µh (t)|2H + i (t, h).
2
dt
Следовательно, из (22) вытекает
(22)
d|µh (t)|2H
+ 2c|µh (t)|2V + α{|v h (t)|2U − |u(t)|2U } ≤
dt
≤ −2(v h (t), B ∗ (ξih − wh (τi )))U + α|v h (t)|2U +
+ 2(u(t), B ∗ (ξih − wh (τi )))U − α|u(t)|2U + 2
i (t, h) + 2ω|µh (t)|2H ,
t ∈ δi . (23)
Поэтому, учитывая правило определения управления v h (·) (см. (18), (19)), из (23) при t ∈ δi
получаем
t
h
h
ε (t) ≤ ε (τi ) + b {|u(τ )|U + |v h (τ )|U } dτ ×
τi
× h+
t
{|ẇ (τ )|H + |ẋ(τ )|H } dτ
h
τi
≤ ε (τi ) + c1 h + c2 δ
h
t
+ 2ω
|µh (τ )|2H dτ ≤
τi
t
2
{|u(τ )|2U + |v h (τ )|2U } dτ +
τi
t
+ c3 δ
τi
{|ẇ
h
(τ )|2H
+
|ẋ(τ )|2H }dτ
t
+ 2ω
τi
|µh (τ )|2H dτ, (24)
46
B.И. МАКСИМОВ
где
ε (t) = |µ
h
h
(t)|2H
t
+ 2c
|µ
h
(τ )|2V
t
dτ + α
t0
{|v h (τ )|2U − |u(τ )|2U } dτ.
t0
Суммируя правую и левую части неравенства (24) по i, в силу леммы при t ∈ T будем иметь
t
t
h
h
2 −1
2
h
2
ε (t) ≤ ε (t0 ) + c4 h δ + c5 δ 1 +
{|u(τ )|U + |v (τ )|U }dτ + 2ω
|µh (τ )|2H dτ. (25)
t0
t0
Теперь воспользуемся включением u(·) ∈ L2 (T ; U ), а также соотношением
t
t0
|v
h
(τ )|2U
dτ =
i(t)−1 τ
j+1
j=0
|v
h
(τ )|2U
t
dτ +
|v
h
(τ )|2U
dτ ≤ δ
τi (t)
τj
i(t)
|vjh |2U .
j=1
Символ i(t) означает целую часть числа (t − t0 )δ−1 . Из (25) выводим
t
h
h
2 −1
|µh (τ )|2H dτ.
ε (t) ≤ ε (t0 ) + c4 h δ + c6 δ + c7 γh,δ (t) + 2ω
(26)
τi
Здесь
γh,δ (t) = δ
2
i(t)
|vjh |2U .
j=0
Далее, из (4) и определения vih (см. (18)) вытекает
|vih |2U ≤ 2|B|2L(U ;H) (
hi + h2 )α−2 ≤ c8 (
hi + h2 )α−2 ,
(27)
где hi = |x(τi ) − wh (τi )|2H . Заметим, что ввиду (6)
εh (t0 ) ≤ h2 .
Таким образом, из (26)–(28) получаем
λh (t) ≤ c9 (δ + h2 δ−1 + α + γh,δ (t)) + 2ω
(28)
t
λh (τ ) dτ.
t0
В силу леммы 2.2 ([8], с. 151) из последнего неравенства выводим
λh (t) ≤ c9 (δ + h2 δ−1 + α + γh,δ (t))+
t
+ 2ω
c9 (δ + h2 δ−1 + α + γh,δ (τ )) exp(2ω(t − τ )) dτ. (29)
t0
Так как функция t → γh,δ (t) неубывающая, из (29) выводим
λh (t) ≤ c10 (δ + h2 δ−1 + α + γh,δ (t)).
(30)
hi ≤ λhi ,
(31)
Кроме того,
где
λhj
= λh (τj ). При t ∈ [τi , τi+1 ] в силу (27), (31) верно неравенство
i(t)
(λhj + h2 )α−2 .
γh,δ (t) ≤ c8 δ
2
j=0
ОБ ОТСЛЕЖИВАНИИ РЕШЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
47
Значит,
γh,δ (τi ) ≤ c8 δ
2
i
(λhj + h2 )α−2 .
(32)
j=0
Из (30), (32) следуют неравенства
λhi
2 −1
≤ c10 (δ + h δ
2 −2
+ α) + c11 δh α
2 −2
+ c12 δ α
i
λhj .
(33)
j=0
В силу дискретного неравенства Гронуолла ([10], с. 311) из (33) получаем
λhi ≤ c13 (α + δ + h2 δ−1 + δh2 α−2 ) exp{c12 (ϑ − t0 )δα−2 }.
(34)
Воспользовавшись соотношениями
hδ−1 (h) ≤ C1 ,
δα−2 (h) ≤ C2
при h → 0
(см. (20)), из (34) выводим
λhi ≤ c14 (h + δ + α),
i = 0, 1, . . . , m.
Отсюда и из (32) вытекает
γh,δ (τi ) ≤ c15 (h + δ + α),
i = 0, 1, . . . , m.
(35)
В свою очередь из (30), (35) следует
λh (t) ≤ c16 (δ + h2 δ−1 + α + γh,δ (ϑ)) ≤ c17 (h + δ + α).
Оценка (21) вытекает из последнего неравенства.
Следствие. Пусть δ(h) = h, α(h) = h1/2 . Тогда верно неравенство
λh (t) ≤ d2 h1/2 ∀t ∈ T,
где d2 = const > 0 не зависит от h.
Замечание. Мы рассмотрели случай, когда ω > 0. Утверждения теорем 1 и 2 верны также
для неположительных ω. При этом доказательства указанных теорем упрощаются. Так,
например, при ω ≤ 0 в доказательстве теоремы 1 слагаемые, содержащие выражения, в
которые входит ω, в неравенствах (10), (12), (13) можно опустить.
Литература
[1] Гаевский Х., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения (Мир, М., 1978).
[2] Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач (Мир, М., 1972).
[3] Bensoussan A., Da Prato G., Delfour M., Mitter S. Representation and control of infinite dimensional systems
(Boston-Basel-Berlin, Birkhäuser, 1992).
[4] Barbu V. Optimal control of variational inequalities (Pitman Advanced Publishing Program, London, 1984).
[5] Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры (Наука, М., 1974).
[6] Вайсбурд И.Ф., Осипов Ю.С. Дифференциальная игра сближения для систем с распределенными параметрами, ПММ 39 (5), 772–779 (1975).
[7] Кряжимский А.В., Осипов Ю.С. О моделировании управления в динамической системе, Изв. АН
СССР. Технич. кибернетика, № 2, 51–68 (1983).
[8] Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости (Наука, М., 1967).
[9] Максимов В.И. Задачи динамического восстановления входов бесконечномерных систем (Екатеринбург: УрО РАН, 2000).
[10] Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем (Наука, М., 1971).
48
B.И. МАКСИМОВ
В.И. Максимов
профессор, заведующий отделом дифференциальных уравнений,
Институт математики и механики Уральского отделения РАН,
ул. С. Ковалевской, д. 16, г. Екатеринбург, 620990,
e-mail: maksimov@imm.uran.ru
V.I. Maksimov
Professor, Head of the Department of Differential Equations,
Institute of Mathematics and Mechanics,
Ural Branch of the Russian Academy of Sciences,
16 S. Kovalevskaya str., Ekaterinburg, 620990 Russia,
e-mail: maksimov@imm.uran.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
178 Кб
Теги
решение, уравнения, отслеживания, параболические
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа