close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об отсутствии глобальных решений уравнения Гаусса и решений во внешних областях.

код для вставкиСкачать
Известия вузов. Математика
2014, № 1, c. 55–60
http://old.kpfu.ru/journals/izv_vuz/
e-mail: izvuz.matem@kpfu.ru
А.В. НЕКЛЮДОВ
ОБ ОТСУТСТВИИ ГЛОБАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГАУССА
И РЕШЕНИЙ ВО ВНЕШНИХ ОБЛАСТЯХ
Аннотация. Рассматривается вопрос об отсутствии решений уравнения Гаусса, определенных
во всем пространстве или во внешних по отношению к шару областях. Установлены условия,
при которых отсутствуют решения во внешних областях в случае числа независимых переменных больше двух. В двумерном случае получены условия отсутствия глобальных решений
для эллиптического уравнения второго порядка с переменными коэффициентами в линейной
части уравнения.
Ключевые слова: уравнение Гаусса, отсутствие глобальных решений, отсутствие решений во
внешних областях.
УДК: 517.956
Уравнением Гаусса называется уравнение
∆u = k(x)eu ,
(1)
где ∆ — n-мерный оператор Лапласа, k(x) ≥ 0 — непрерывная функция, не равная тождественно нулю. Будем рассматривать решения класса C 2 уравнения (1) во всем пространстве
или внешности шара.
Решения уравнения Гаусса и его обобщений в неограниченных областях рассматривались
в [1]–[7]. В частности, вопрос об отсутствии решений уравнения Гаусса во всем пространстве,
возникающий при изучении поверхностей отрицательной гауссовой кривизны, изучался в
[1], [2]. В [1] было показано, что если n = 2 и выполнено условие k(x) ≥ k0 = const > 0, то
не существует решения уравнения (1), определенного на всей плоскости. В [2] отсутствие
глобальных решений было доказано для любого n ≥ 2 при условии
k(x) ≥
θ(|x|)
, θ(t) → +∞, t → +∞.
|x|2
Как показано в данной работе, при n ≥ 3 имеет место отсутствие не только глобальных решений, но и решений во внешних по отношению к шару областях. Причем оценку
снизу для коэффициента при нелинейном члене удалось ослабить по сравнению с [2]. Доказательство основано на методе усреднения и изучении обыкновенного дифференциального
неравенства, которому удовлетворяет среднее значение решения по сфере.
В двумерном случае утверждение об отсутствии решений во внешних областях не имеет
места, но справедлив результат об отсутствии глобальных решений также при более слабом
условии на коэффициент при нелинейности, чем в [2]. Этот результат получен с помощью
техники энергетических оценок для уравнения второго порядка с равномерно эллиптическим оператором с переменными коэффициентами в дивергентной форме.
Поступила 06.08.2012
55
56
А.В. НЕКЛЮДОВ
Как в многомерном, так и в плоском случаях приведены примеры, показывающие, что
обеспечивающие отсутствие решений оценки коэффициента в нелинейной части уравнения
являются в известном смысле неулучшаемыми.
Для полноты рассмотрен также случай соответствующего обыкновенного дифференциального уравнения.
В дальнейшем будем пользоваться следующими обозначениями:
QR = {x : |x| < R}, SR = {x : |x| = R}, где x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn .
1. Отсутствие решений уравнения Гаусса во внешних областях в многомерном
случае. Результат об отсутствии решений (1) во внешних областях основан на следующем
утверждении о несуществовании решений обыкновенного дифференциального неравенства
на полупрямой.
Лемма. Не существует функции v(t) ∈ C 2 (t0 , ∞), удовлетворяющей для всех t > t0 > 0
неравенству
bev(t)
, a, b = const > 0.
v (t) + av (t) ≥
t
Доказательство. Пусть такая функция существует. Тогда при t > t0 имеем (v eat ) > 0. Отat
сюда легко следует, что v(t) ограничена снизу. Тогда при t > t0 имеем (v eat ) ≥ c0 et (здесь
и в дальнейшем через ck и tk будем обозначать положительные постоянные, не зависящие
от t). Интегрируя от t1 = t0 + 1 до t, при t ≥ t2 получим
t aτ
e
eat
at
at1
dτ ≥ c1 , v(t) ≥ c2 ln t.
v (t)e ≥ v (t1 )e + c0
t
t1 τ
Без ограничения общности можно считать, что c2 < 1. Тогда, интегрируя неравенство
at
≥ tbe
1−c2 , при t ≥ t3 получим
t aτ
e
eat
at
at2
dτ
≥
c
,
v (t)e ≥ v (t2 )e + b
3
1−c2
t1−c2
t2 τ
(v eat )
откуда при t ≥ t4 имеем
v(t) ≥ c4 tc2 ,
v (t)eat
b exp{c4 tc2 + at}
,
(v (t)eat ) ≥
t
t
c5 exp{c4 tc2 + at}
exp{c4 τ c2 + aτ }
dτ ≥
,
≥ v (t3 )eat3 + b
τ
t
t3
v(t) ≥ t2 .
Тогда при t ≥ t5
v (t)eat
(v (t)eat ) ≥ ev(t) ,
t
1 t v(τ )
≥ v (t4 )eat4 +
ev(τ ) dτ ≥
e dτ,
2 t4
t4
t
1/2
1
v(τ )
e dτ
.
v (t) ≥
2
t4
ОБ ОТСУТСТВИИ ГЛОБАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГАУССА
Пусть z(t) =
z (t)
z (t)
t
57
ev(τ ) dτ . Тогда v(t) = ln z (t), последнее неравенство можно записать в виде
t5
z 1/2 (t)
2 , откуда
≥
при t ≥ t6 получаем z (t) ≥ z 3 − c6 ≥ z 4 . Из последнего неравенства
очевидно, что z(t) → +∞ при t → T − 0 для некоторого T = const > t6 . Таким образом,
функция v(t) не может быть определена при всех t > t0 .
3/2
3/2
Теорема 1. Пусть n ≥ 3. Если при |x| > R0 > 1 выполнено условие
c0
, c0 = const > 0,
k(x) ≥
2
|x| ln |x|
то не существует решения (1), определенного в области |x| > R0 > 1.
Доказательство. Пусть такое решение существует и
1
u(R) =
u dS
ωn Rn−1 SR
— среднее значение u(x) по сфере SR , ωn — площадь единичной сферы в Rn . Используя
перестановочность оператора усреднения функции по SR и оператора Лапласа [3], оценку
для k(x) и интегральное неравенство Иенсена, получим
n−1 1
c0
c0 eu(R)
u
u
.
u (R) +
u (R) =
k(x)e
dS
≥
e
dS
≥
R
ωn Rn−1 SR
ωn Rn+1 ln R SR
R2 ln R
Для функции v(t) = u(et ) при t > ln R0 имеем v (t) + (n − 2)v (t) ≥
речит лемме.
c0 ev(t)
,
t
что противо
Заметим, что условие на коэффициент k(x) в условиях теоремы 1 нельзя заменить на
0
, ε > 0, а также условие k(x) ≥ |x|2 ln |x|c0ln2 ln |x| . Дейболее слабое условие k(x) ≥ |x|2 lnc1+ε
|x|
ствительно, при n ≥ 3 и
k(x) =
n−2
|x|2 ln |x| ln2 ln |x|
−
1
|x|2 ln2 |x| ln3 ln |x|
−
1
|x|2 ln2 |x| ln2 ln |x|
уравнение (1) имеет решение u(x) = ln ln ln |x| в области вида |x| > R0 .
Более того, при выполнении последней оценки на k(x) могут существовать решения
не только во внешней области, но и во всем пространстве. Например, функция u(x) =
ln ln ln(|x|2 + A), A = const 1, является решением уравнения (1) в Rn , n ≥ 3, при k(x),
удовлетворяющем условию
k(x) > 0, k(x) ∼
2n − 4
|x|2 ln |x| ln2 ln |x|
, |x| → +∞.
2. Отсутствие глобальных решений эллиптического уравнения второго порядка с экспоненциальной нелинейностью в двумерном случае.
В двумерном случае теорема об отсутствии решений во внешних областях не имеет места
даже при k(x) ≥ k0 = const > 0. Примером такого решения для уравнения (1) при k(x) ≡ 1
является функция u(x) = −2 ln |x| − 2 ln ln |x| + ln 2 в области |x| > 1. Отметим также, что
теорема об отсутствии решений во внешних областях не имеет места даже при условии
k(x) ≥ c0 |x|α , α > 0. При k(x) = |x|α таким решением является
u(x) = −(α + 2) ln |x| − 2 ln ln |x| + ln 2.
58
А.В. НЕКЛЮДОВ
В двумерном случае справедливо утверждение об отсутствии решений на всей плоскости,
более сильное, чем доказанные ранее утверждения [1], [2]. Докажем этот результат для обобщенных решений равномерно эллиптического уравнения второго порядка с переменными
измеримыми коэффициентами
2
∂u
∂
(2)
aij (x)
= k(x)eu ,
Lu ≡
∂xj
∂xi
i,j=1
где для почти всех (п. в.) x ∈ R2 и всех ξ = (ξ1 , ξ2 ) ∈ R2
λ0 |ξ|2 ≤
2
aij (x)ξi ξj ≤ λ1 |ξ|2 , λ0 , λ1 = const > 0;
i,j=1
k(x) ≥ 0 — локально ограниченная измеримая функция. Под решениями (2) будем понимать
обобщенные решения, т. е. функции, принадлежащие W21 (QR ) ∩ L∞ (QR ) для всех R > 0 и
удовлетворяющие интегральному тождеству
2
∂u ∂v
aij
dx = −
k(x)eu v dx
(3)
∂x
∂x
i
j
QR
QR
i,j=1
для всех функций v ∈ W21 (QR ) таких, что v|SR = 0.
Теорема 2. Пусть n = 2. Если k(x) ≥ 0 и при |x| > R0 = const > 1 выполнено условие
c0
, c0 , κ = const > 0,
(4)
k(x) ≥
2
|x| lnκ |x|
то не существует решения (2), определенного на всей плоскости.
Доказательство. Пусть такое решение существует. Из (3) легко следует, что для п. в.
R > R0
2
∂u
∂u ∂V
dS −
aij
dx =
V
k(x)eu V dx
(5)
∂x
∂x
∂ν
i
j
QR
SR
QR
i,j=1
для всех пробных функций V ∈ W21 (QR ). Здесь ∂/∂ν =
2
aij ∂/∂xi νj , ν = (ν1 , ν2 ) —
i,j=1
единичная внешняя нормаль к окружности SR . Действительно, возьмем в интегральном
тождестве (3) пробную функцию v = V ΦR,h , где ΦR,h = ΦR,h (|x|) — непрерывная срезающая
функция такая, что ΦR,h (|x|) = 1 при |x| ≤ R, ΦR,h (|x|) = 0 при |x| ≥ R + h, ΦR,h (|x|) —
линейная по |x| функция при R ≤ |x| ≤ R + h (h = const > 0):
2
2
1
∂u ∂V
∂u xj
dx −
aij
ΦR,h dx =
V
aij
k(x)eu V ΦR,h dx.
∂xi ∂xj
h QR+h \QR
∂xi |x|
QR+h
QR+h
i,j=1
i,j=1
Устремляя h к 0 для п. в. R > R0 получим равенство (5).
κβ
≤ 1. Полагая в (5) V = eβu , получим
Возьмем β > 0 такое, что 2β+1
βu ∂u
I(R) ≡
e
SR
∂ν
dS = β
2
QR i,j=1
∂u ∂u βu
aij
e dx +
∂xi ∂xj
k(x)e(β+1)u dx > 0.
QR
ОБ ОТСУТСТВИИ ГЛОБАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГАУССА
59
Очевидно, что для п. в. R > R0
2
∂u ∂u βu
I (R) = β
aij
e dx +
k(x)e(β+1)u dx.
∂xi ∂xj
SR
SR
i,j=1
Оценим I(R), используя неравенства Коши–Буняковского и Гёльдера:
1/2 1/2
eβu |∇u|2 dS
eβu dS
≤
I(R) ≤ c1
SR
SR
≤ c2 R
1
2(β+1)
1/2 2
(β+1)u
e
SR
С учетом оценки (4) для k(x) имеем
κβ
2β+1
I(R) ≤ c3 (ln R) 2(β+1) R 2(β+1)
e |∇u| dS
βu
.
SR
1/2 e |∇u| dS
βu
dS
β
2(β+1)
2
(β+1)u
dS
k(x)e
SR
β
2(β+1)
.
SR
Наконец, применяя неравенство Юнга, получим
I(R) ≤ c3 (ln R)
≤ c4 (ln R)
κβ
2(β+1)
κβ
2(β+1)
R
β+1 2β+1
e |∇u| dS
βu
2
(β+1)u
k(x)e
SR
R
dS
2β+1
2(β+1)
≤
SR
e |∇u| + k(x)e
βu
β
2β+1
2
(β+1)u
2β+1
2(β+1)
dS
κβ 2β+1
≤ c5 (ln R) 2(β+1) RI (R) 2(β+1) .
SR
Отсюда
I (R) ≥
2(β+1)
c6 I(R) 2β+1
κβ
.
R(ln R) 2β+1
κβ
≤ 1, легко следует I(R) → +∞, R →
Из последнего неравенства с учетом того, что 2β+1
R1 = const > R0 . Это означает, что решение u(x) не может быть определено в круге QR
радиуса больше R1 .
Заметим, что в условиях теоремы 2 оценка снизу (4) для k(x) не может быть заменена
0
, δ > 0.
на более слабую оценку k(x) ≥ |x|c2+δ
Действительно, определенная на всей плоскости функция u(x) =
решением уравнения (2) при L = ∆ и k(x) =
2δ|x|2
(|x|2 +1)2+δ/2
∼
δ
2
ln(|x|2 + 1) является
2δ
.
|x|2+δ
3. Отсутствие глобальных решений для обыкновенного дифференциального
уравнения. Рассмотрим уравнение
(p(x)u ) = k(x)eu ,
(6)
где p0 ≤ p(x) ≤ p1 для всех x ∈ R, p0 , p1 = const > 0, k(x) ≥ 0 — непрерывная на R
функция. Рассмотрим решения (6) класса C 2 .
Теорема 3. Пусть k(x) ≥ 0 и при |x| ≥ R0 > 1 справедлива оценка
c0
, c0 , α = const > 0.
k(x) ≥
|x|α
Тогда не существует решения (6), определенного на всей прямой.
60
А.В. НЕКЛЮДОВ
Доказательство. Пусть такое решение u(x) существует. Умножим обе части уравнения
(6) на eβu и проинтегрируем от −R до R, R > R0 . Проводя рассуждения, аналогичные
рассуждениям доказательства теоремы 2, для положительной функции I(R) получим
R
βu(x) R
2 βu(x)
(β+1)u(x)
=
+ k(x)e
βp(x)(u (x)) e
dx,
I(R) ≡ p(x)u (x)e
−R
−R
I (R) ≥
2(β+1)
c1 I(R) 2β+1
.
αβ
R 2β+1
αβ
Выберем β > 0 такое, что 2β+1
≤ 1. Тогда из последнего неравенства легко следует, что
I(R) → +∞ при R → R1 > R0 . Таким образом, решение u(x) не может быть определено на
всей прямой.
Литература
[1] Векуа И.Н. О некоторых свойствах решений уравнения Гаусса, Тр. матем. ин-та им. В.А. Стеклова 64,
5–8 (1961).
[2] Олейник О.А. Об уравнении ∆u + k(x)eu = 0, УМН 33 (2), 204–205 (1978).
[3] Каметака И., Олейник О.А. Об асимптотических свойствах и необходимых условиях существования
решений нелинейных эллиптических уравнений второго порядка, Матем. сб. 107 (4), 572–600 (1978).
[4] Flavin J.N., Knops R.J., Payne L.E. Asymptotic behavior of solutions to semi-linear elliptic equations on the
half-cylinder, Z. Angew. Math. Phys. 43 (3), 405–421 (1992).
[5] Oleinik О.А. Some asymptotic problems of the theory of partial differential equations (Lezioni Lincei,
Accademia Naz. dei Lincei. Cambridge University Press, 1996).
[6] Насруллаев А.И. Об асимптотике решений задачи Неймана для уравнения ∆u − eu = 0 в полубесконечном цилиндре, УМН 50 (3), 161–163 (1995).
[7] Неклюдов А.В. Поведение решений полулинейного эллиптического уравнения второго порядка вида
Lu = eu в бесконечном цилиндре, Матем. заметки 85 (3), 408–420 (2009).
А.В. Неклюдов
доцент, кафедра высшей математики,
Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана,
Рубцовская наб., д. 2/18, г. Москва, 105005, Россия,
e-mail: nekl5@yandex.ru
A.V. Neklyudov
On the absence of global solutions of the Gauss equation and solutions in external areas
Abstract. We consider conditions under which the Gauss equation has no solutions defined in the
whole space or in areas external with respect to a ball. The absence of solutions in external areas
is established in the case when the number of independent variables is more than two. In the twodimensional case we obtain conditions ensuring the absence of global solutions of the second-order
elliptic equation with variable coefficients in its linear part.
Keywords: Gauss equation, absence of global solutions, absence of solutions in exterior domains.
A.V. Neklyudov
Associate Professor, Chair of Higher Mathematics,
Bauman Moscow State Technical University,
2/18 Rubtsovskaya embankment, Moscow, 105005 Russia,
e-mail: nekl5@yandex.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
7
Размер файла
187 Кб
Теги
областям, решение, внешний, уравнения, отсутствии, гаусса, глобальные
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа