close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об отсутствии решений эллиптических дифференциальных неравенств в окрестности конической точки границы.

код для вставкиСкачать
2002
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 9 (484)
УДК 517.9
Г.Г. ЛАПТЕВ
ОБ ОТСУТСТВИИ РЕШЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ В ОКРЕСТНОСТИ
КОНИЧЕСКОЙ ТОЧКИ ГРАНИЦЫ
Введение
Данная статья посвящена нахождению условий отсутствия нетривиальных решений полулинейных дифференциальных неравенств и систем неравенств эллиптического типа в окрестности
конической точки границы. Приводится также результат для соответствующей параболической
задачи. Отсутствие решения является следствием наличия в рассматриваемых неравенствах
сингулярности вида 1=jxj , > 2.
Теория линейных краевых задач в конических областях ведет свой отсчет с классической
работы В.А. Кондратьева [1]. Современное состояние исследований можно найти в [2] (см. также
литературу там). Изучение полулинейных и нелинейных уравнений проводится преимущественно на основе известных утверждений для соответствующих линейных задач. При этом получают
достаточно тонкие оценки на рост решений [3], [4]. Следствием этих оценок является, в частности, отсутствие нетривиального решения при некоторых дополнительных условиях.
В данной работе для доказательства отсутствия решения применяется метод пробных функций [5]{[8] без использования каких-либо сведений из линейной теории. Аналогичные результаты для ограниченной области (без конической точки) другим методом доказаны в [9], методом
пробных функций в [10], [11] (рассмотрены также эволюционные задачи). Отсутствие решений
в неограниченных конических областях методом пробных функций изучалось в [12].
Пусть K! | область на единичной сфере S N ;1 RN , N 3, с достаточно гладкой границей
@K! . Конусом K называется множество
K = fx = x(r; ! ) : 0 < r < +1; ! 2 K! g;
где (r; !) | сферические координаты точки x в RN . Боковую поверхность конуса обозначим @K .
Для простоты будем считать, что коническая точка совпадает с x = 0. Под окрестностью
KR конической точки понимается область fx 2 K : jxj < Rg с полной границей @KR .
Пусть | ограниченная область в RN с кусочно-гладкой границей. Далее используются
пространства С.Л. Соболева Wq1 (
), Wq2 (
), а также локальное пространство Lq;loc(
), элементы которого принадлежат Lq (
0 ) для любого компактного подмножества 0 : 0 . Через
C (
) обозначается пространство непрерывных функций, через C m (
) | пространство гладких
функций. При изучении параболической задачи используются анизотропные варианты соответствующих пространств. Символ обозначает оператор Лапласа. Для двух дифференцируемых
N @u @'
R @u
P
функций u(x) и '(x) полагаем rur' = @x
. Выражение
@n dx означает интеграл от
i @xi
i=1
@KR
Работа выполнена при финансовой поддержке INTAS (проект 971-30551), программы \Ведущие научные школы" (проект 00-15-96047) и Российского фонда фундаментальных исследований (проект 01-0100884).
50
производной функции u по направлению внешней нормали n к границе области @KR . Через c с
индексами будем обозначать постоянные.
Напомним, что оператор Лапласа в сферических координатах (r; !) имеет вид
2
1
@
@
N
;
1
=
r
+ 1 = @ + N ;1 @ + 1 ;
r N ;1 @r
@r
!
r2
@r 2
r2
S N ;1 R N .
r
@r
!
где ! | оператор Бельтрами{Лапласа на единичной сфере
В дальнейшем постоянно используются наименьшее (первое) собственное значение ! 1 (K! ) > 0 и соответствующая собственная функция (! ) оператора ! , являющиеся решением
задачи
! + = 0 в K! ;
j@K! = 0:
Хорошо известно, что (!) > 0 для ! 2 K! . Предполагается, что (!) 1.
1. Эллиптическое неравенство
Пусть R | фиксированное число. Рассмотрим проблему отсутствия слабых решений задачи
;u uq =jxj в KR ; q > 1; > 2;
(1)
u 0; u 6 0:
Далее слабое решение будет пониматься в следующем смысле.
Определение 1. Пусть u(x) 2 C (KR nf0g). Неотрицательная функция u(x) называется слабым решением задачи (1), если для любой неотрицательной пробной функции '(x) 2 W12 (KR )
такой, что 'j@KR = 0 и '(x) 0 в некоторой окрестности точки x = 0, выполнено интегральное
неравенство
Z
Z
Z
uq
@'
dx ;
u' dx ' dx:
u
KR
KR jxj
@KR @n
(2)
Благодаря наложенным условиям все входящие в неравенство (2) интегралы имеют смысл.
Условие u(x) 2 C (KR nf0g) предполагает, что функция u(x) имеет непрерывный след на поверхности области KR за исключением точки x = 0. Это обеспечивает, в частности, существование
первого интеграла в левой части (2). Но ничего не предполагаем о поведении решения в вершине конуса. Можно записать, например, что u(x) 2 C (KR n Kr ) для всех r < R. Именно в таком
смысле нужно понимать проводимые далее выкладки.
Заметим, что определение обобщенного решения может быть расширено, в частности, рассмотрением вместо пространства непрерывных функций пространства локально суммируемых
функций Lq;loc(KR n f0g).
Приведем пример решения задачи (1) для случая так называемой суперкритической сингулярности, когда степень > 2.
Рассмотрим функцию
u(r; ! ) = "r s (! );
где (x) | введенная выше собственная функция оператора Бельтрами{Лапласа, " > 0.
Используя выражения для оператора Лапласа в сферических координатах и учитывая, что
;! = ! , получим
rs
N ; 1 s;1
s
;
2
r (! ) + = ;"r s;2 fs2 + s(N ; 2) ; g:
;u = ;" s(s ; 1)r (!) + s
r2
r
51
!
!
Корнями выражения в фигурных скобках являются
;2 ;
s = ;
2
N
s
N
; 2 2 + ;2
! < 0; s = ; 2 +
2
поэтому оно меньше нуля, если
Выберем параметр s так,
N
s
N
; 2 2 + 2
s < s < s :
чтобы s2 + s(N ; 2) ; ! = ; < 0, s ; 2 = sq ; s )q
;"rs;2(;) = "rsq; = ("r
jxj :
! > 0;
(3)
и " = 1=(q;1) . Тогда
Поскольку предполагаем 1, то q , и последнее выражение оценивается в виде
s q
s q
q
;u = ("r ) ("r ) = u :
jxj
jxj
jxj
Заметим, что последнее неравенство получено при двух условиях:
(
s < s < s ;
s ; 2 = sq ; ;
)
(
;2 < s;
s < q;
1
;2 :
s = q;
1
Поскольку для изучаемого здесь случая > 2 и q > 1, то в силу s < 0 всегда выполнено
неравенство s < q;;12 . Остается только условие
;2
;2
< s ) q > 1 + = q :
q;1
s
Итак, при > 2, q > q введенная функция u(x) является решением задачи (1).
Приведем один из основных результатов работы.
Теорема 1. При > 2 и
1 < q q = 1 + s; 2
задача (1) не имеет нетривиального решения.
Перед доказательством теоремы приведем некоторые вспомогательные построения. Как отмечалось выше, в используемом методе главным является подходящий выбор пробных функций.
Введем функцию
s Rs ;2 2 s ; 2 s
s
(x) (r; ! ) = r ;
2 r + 2 R (!);
где s < 0 определено формулой (3). Очевидно, (R; !) = 0, @=@r(R; !) = 0 и всюду, кроме
x = 0, в KR выполняется соотношение
N s ! s 1
1
!
@ 2 N ; 1 @ ! s
;
2
; R2 ; 2 r2 ; R2 + r2 (!) > 0;
= @r2 + r @r ; r2 = R
т. к. s < 0 и r R.
Пробную функцию будем брать в виде произведения
' (x) = (x) (x):
(4)
Здесь (x) (jxj) = (r) 2 C 2 [0; 1) | срезающая (в нуле) функция такая, что (r) = 0 для
0 r , (r) 1 для r > 2 и при достаточно малых p
p
p
= c ; jd =drj c ; j j c ;
p;1
p;1
p
p;1
2p
где c не зависит от . Возможность построения такой функции известна из работ [7], [8].
52
Очевидны также неравенства (при достаточно малых и x 2 K2 n K )
c0 (! )s
(r; !) c1 (!)s ;
@
@r
(r; !) c1 (!)s ;1 ; j j c1 (!)s ;2 ;
где c0 , c1 зависят от R, но не зависят от и r.
В дальнейшем понадобится оценка интеграла
Z
j' jp jxj(p;1) dx
K2 nK 'p;1
при p > 1, зависящая от . Для ее получения воспользуемся приведенными выше неравенствами
и известной формулой
@ + :
' = ( ) = + 2(r ; r ) + = + 2 d
dr @r
Тогда в области < jxj < 2 имеем
j' jp = j( )jp c jjp
'p;1
p;1 p;1
jd =drjp j@=@rjp
p
+
c
p
p
;
1
p;1
p;1
p;1
p
cp c ccp;11 (!)s;2p :
0
p
Oтсюда для искомого интеграла получаем
Z
j' jp jxj(p;1) dx c c cp1
+ cp jp;j1 jp; j1 p
p
Z 2
Z
s ;2p
(p;1) r N ;1 dr
r
(!) d!
p p;1
c0
K!
cNp p(;2)+s+N ; ;
K2 nK 'p;1
(5)
где постоянная cNp не зависит от .
Доказательство теоремы 1. От противного. Пусть u(x) | решение задачи (1) с > 2 и
1 < q q . Наша цель | показать, что тогда u 0. Согласно определению 1 с пробной функцией
'(x) = ' (x) (где взято p = q 0 > 1) это означает
Z
Z
Z
uq
@'
'
dx
u
dx
;
u' dx =
KR jxj
@KR @n
KR
Z
Z
Z
Z
@'
@'
=
u
dx +
u
dx ;
u' dx ;
u' dx:
fjxj=Rg\@KR @r
fjxj<Rg\@KR @n
K2 nK
KR nK2
(6)
Рассмотрим интегралы в правой части. По построению при jxj = R имеем @'@r = @
@r = 0, поэтому первый интеграл равен нулю. Из предположения u 0 в KR в силу неравенства 0
заключаем, что последний интеграл меньше нуля. Наконец, на боковой поверхности конуса KR
имеем
@'
@ (! )
=
(
r)
0;
@n
@n
!
где (r) | не зависящая от ! неотрицательная функция, n! | внешняя нормаль к границе
области K! . Вывод о неотрицательности производной @ (!)=@n! сделан на том основании, что
(w) 0 в K! и (!)j@K! = 0 по построению. Таким образом, и второй интеграл в правой части
неравенства (6) неположителен. В совокупности из приведенных рассуждений следует, что
Z
uq
' dx uj' j dx:
KR jxj
K2 nK
Z
53
Для оценки правой части этого неравенства применим неравенство Гельдера. Получим
Z
Z
uq
uq
uq
'
dx
=
'
dx
+
dx KR jxj
K2 nK jxj
KR nK2 jxj
Z
Z
K2 nK
!1=q
uq
' dx
K2 nK jxj
Z
uj' j dx !1=q0
j' jq0 jxj(q0 ;1) dx
Z
K2 nK 'q ;1
0
;
(7)
откуда с учетом оценки (5) для второго интеграла справа будем иметь
0
Z
j
' jq
uq
(q0 ;1) dx c q0 (;2)+s +N ; :
dx 0 ;1 jxj
0
q
j
x
j
K2 nK '
KR nK2
Z
(8)
Так как подинтегральное выражение в левой части не зависит от , можем
перейти к пределу
R
по ! 0. В случае q0 ( ; 2) + s + N ; 0 это приводит к соотношению jxujq dx c0 . Тогда
KR
в силу равностепенной непрерывности интеграла по мере и ввиду оценки ' Z
uq
uq
'
dx
dx = "() ! 0
K2 nK jxj
K2 nK jxj
Z
при
! 0:
Возвращаясь к неравенству (7), получим
0
uq
dx "1=q ()c10=q
KR nK2 jxj
Z
при ! 0, т. е. в пределе
!0
uq
dx = 0;
KR jxj
откуда в силу положительности в KR следует u 0, что противоречит нашему предположению
о существовании нетривиального решения (техника исследования критического случая q0 ( ;
2) + s + N ; = 0 заимствована из [7], [8]).
Z
Элементарными преобразованиями из неравенства
q 0 ( ; 2) + s + N ; 0
получаем условие отсутствия нетривиального решения: 1 < q q .
В отличие от известного случая аналогичной задачи с сингулярностью в области, содержащей малый шар с центром в нуле [9]{[11], когда при 2 решения нет при любых q > 1, для
конуса определен критический показатель q > 1. Поэтому мы не рассматриваем \критический"
для вырождения случай = 2, а ограничиваемся случаем > 2.
2. Система неравенств
Докажем аналогичный предыдущему результат для системы неравенств
;u vq =jxj в KR ; q1 > 1; 1 > 2;
; v uq =jxj в KR ; q2 > 1; 2 > 2;
(9)
u 0; v 0; u 6 0; v 6 0:
Определение 2. Пусть u(x); v (x) 2 C (KR n f0g). Пара неотрицательных функций u(x), v (x)
1
2
1
2
называется слабым решением задачи (9), если для любой неотрицательной пробной функции
54
2 (KR ) такой, что 'j@KR
'(x) 2 W1
интегральные неравенства
Z
= 0 и '(x) 0 в некоторой окрестности точки x = 0, выполнены
Z
Z
@'
dx ;
u' dx @KR @n
KR
KR
Z
Z
Z
@'
dx ;
v ' dx v
KR
KR
@KR @n
u
v q1
jxj1 ' dx;
uq2
jxj2 ' dx:
При 1 > 2, 2 > 2, q1 > 1, q2 > 1 и maxf1 ; 2 g 0, где 1 = q1 (2 ; 2) + 1 ; 2 ;
= q2 (1 ; 2)+ 2 ; 2 ; s (q1 q2 ; 1), задача (9) не имеет (нетривиального) решения.
Теорема 2.
s (q1 q2 ; 1), 2
Из определения слабого решения, действуя аналогично доказательству
Доказательство.
теоремы 1, получаем
v q1
' dx KR jxj1
uq2
' dx
K2 nK jxj2
Z
Z
!1=q2
!1=q20
j' jq0 jxj (q0 ;1) dx
Z
0
K2 nK 'q2 ;1
2
2
Z
2
!1=q2
uq2
' dx
K2 nK jxj2
1=q20 ; (10)
J2
и также
Z
uq2
' dx KR jxj2
Z
!1=q1
v q1
' dx
K2 nK jxj1
1=q10 ;
(11)
J1
где для определенных очевидным образом интегралов J1 и J2 из (5), с p = q10 и p = q20 соответственно имеем оценки
0
Ji cqi (i ;2)+s +N ;i ; i = 1; 2:
Подставляя неравенство (11) в (10), приходим к оценке
v q1
' dx KR jxj1
Z
1=q1
Z
v q1
' dx
K2 nK jxj1
1=q0
J1 1
!1=q2
1=q20 ;
J2
т. е.
Z
; 1=(q0 q ) 1=q0 q1 q2 =(q1 q2 ;1)
v q1
' dx J1 1 2 J2 2
1
KR jxj
;
= J1q1 ;1 J2q1 (q2 ;1) 1=(q1 q2 ;1) c1 =(q1 q2 ;1) :
Отсюда при 1 0 следует отсутствие нетривиального решения v(x). Аналогично, подставляя (10) в (11), получим
Z
uq2
' dx c2 =(q1 q2 ;1) ;
KR jxj2
что дает отсутствие нетривиального решения u(x) при 2 0.
Заметим, что если u 0, то в силу неравенства (10) получаем v 0, и наоборот (по неравенству (11)). Объединяя полученные условия отсутствия нетривиального решения для u(x) и
v (x), приходим к утверждению теоремы.
55
3. Эволюционная задача
Введем фиксированное число R0 и коническую область K0 Рассмотрим эволюционное (параболическое) неравенство
@u
@t
; u uq =jxj в
K0 R + ;
u(x; 0) = u0 (x) 0:
u 0;
= fx 2
KR0
K
: jxj
< R0 g.
u 6 0;
(12)
Определение 3. Неотрицательная функция u(x; t) 2 C (K0 n f0g R + ) называется слабым
решением задачи (12), если для любого конуса KR , R R0 , чисел t1 > t0 0 и неотрицательной
функции '(x; t) 2 W12 (KR R) такой, что '(x; t)j@KR = 0 и '(x; t) 0 в некоторой окрестности
точки x = 0 для всех t 0, выполнено интегральное неравенство
Z
t1 Z
t1
uq
@'
'
dx
dt
;
u
@t
KR jxj
t0 KR
t0
Z
+
Z
Z
KR
+ '
dx dt +
u(x; t1 )'(x; t1 ) dx ;
Z
KR
u(x; t0 )'(x; t0 ) dx +
Z
t1 Z
t0
@KR
u
@'
dx dt:
@n
(13)
Убедимся, что введенный ранее критический показатель q для эллиптического неравенства
не меняется и в случае эволюционной задачи (12).
Пусть u(x; t) | решение задачи (12). Зафиксируем некоторые t0 и t1 , t1 ; t0 = и выберем
пробную функцию
'; (x; t) = T (t)' (x);
где ' (x) определено формулой (4), T | стандартная срезающая функция, T (t) 2 C 2 [t0 ; t1 ] и
T (t) = 1 при t0 t t0 + =2, T (t1 ) = T0 (t1 ) = 0, 0 T (t) 1,
Z
t1
jT0 jq0 dt c
0
t0 +=2 Tq ;1
T
1;q0 ;
где cT не зависит от . Как известно, такой выбор возможен [6], [7].
Тогда по определению решения для некоторого R < R0
Z
t1 Z
t0
uq
'; dx dt ;
u(x; t0 )' dx ;
uT 0 ' dx dt ;
KR jxj
KR
supp jT0 j KR Z t1 Z
Z t1 Z
@'
;
uT ' dx dt +
u
T dx dt:
t0 ' <0
t0 @KR @n
Z
Z
Z
При указанном выборе функции ' последний интеграл является неположительным, поэтому
можно записать такое неравенство
Z
KR
u(x; t0 )' dx +
Z
t1
t1
uq
0
u'
dx
dt
+
T
uj' j dx dt:
j
T
j
'
dx
dt
;
KR jxj
KR
t0
K2 nK
t0 +=2
t1 Z
t0
Z
Z
56
Z
Z
Применяя для оценки правой части неравенство Гельдера
t0 +=2 Z
uq
' dx dt +
K2 nK
KR nK2
t0
K2 nK jxj
Z t1
Z
Z t1
Z
Z t0 +=2 Z
uq
uq
uq
dx
dt
+
'
dx
dt
+
T dx dt +
;
t0
KR nK2 jxj
t0 +=2 K2 nK jxj
t0 +=2 KR nK2 jxj
!1=q Z
!1=q0
0 Z
Z t1
Z
t1
0
uq
j
T0 jq
' T dx dt
' jxj(q ;1) dx
+
0 dt
t0 +=2 KR jxj
t0 +=2 Tq ;1
KR
!1=q0
!1=q Z
0
Z t1 Z
Z
t1
uq
j
' jq (q0 ;1)
+
' T dx dt
T dt
jxj
dx
; (14)
0
t0 K2 nK jxj
t0
K2 nK 'q ;1
Z
u(x; t0 )' dx +
Z
u(x; t0 ) dx +
Z
получим
Z
KR nK2
t0 +=2 Z
uq
dx dt t0
KR nK2 jxj
0
0 Z
Z t1
Z
Z t1
0 ;1)
j
' jq
j
T0 jq
(
q
(q0 ;1) dx:
' jxj
dx +
T dt
0 ;1 dt
0 ;1 jxj
q
q
KR
t0
K2 nK '
t0 +=2 T
u(x; t0 ) dx +
Z
(15)
Второй интеграл справа оценим аналогично эллиптическому случаю (8):
Z
t1
t0
T dt
j' jq0 jxj(q0 ;1) dx c q0 (;2)+s +N ; :
Z
0
K2 nK 'q ;1
0
Для первого интеграла в правой части (15) будем иметь
Z
jT0 jq0 dt Z
t1
0
t0 +=2 Tq ;1
KR
0
0
0
' jxj(q ;1) dx cT c1 1;q R(q ;1)+s +N ;
где постоянная c1 возникает при интегрировании функции ' и, как можно убедиться, не зависит
от R.
Тогда из (15) следует оценка
Z
KR nK2
u(x; t0 ) dx +
Z
t0 +=2 Z
uq
dx dt KR nK2 jxj
t0
cT c1 1;q0 R(q0 ;1)+s+N + c0 q0 (;2)+s+N ; :
Переходя к пределу по ! 0 при фиксированных t0 и , в случае
q 0 ( ; 2) + s + N ; 0
получим
Z
KR
u(x; t0 ) dx +
Z
t0 +=2 Z
0
0
uq
dx dt cT c1 1;q R(q ;1)+s +N
KR jxj
t0
+ c0 :
(16)
Аналогично эллиптическому случаю из равностепенной непрерывности интеграла вытекает соотношение (в силу произвольности здесь можно взять в качестве верхнего предела интегрирования t1 )
Z
uq
dx dt ! 0;
K2 nK jxj
t1 Z
t0
57
! 0:
Тогда, вспоминая неравенство (14) и замечая, что последний интеграл в нем стремится к нулю
при ! 0, повторяя последующие выкладки, приходим к выводу, что при q0 ( ; 2)+ s + N ; 0
вместо оценки (16) имеем
Z
KR
u(x; t0 ) dx +
Z
t0 +=2 Z
t0
0
0
uq
dx dt cT c1 1;q R(q ;1)+s +N :
KR jxj
(17)
Поскольку в неравенстве (17) все слагаемые слева положительны, а справа имеем фиксированное R и q01;1 ! 0 при ! 1, то отсюда сразу следует
;2 задача (12) не имеет решения.
Теорема 3. При q > 1, > 2 и 1 < q q = 1 +
s
Полученное утверждение указывает на то, что решение не существует в ограниченной по x
области KR (т. е. имеет место так называемое \полное" разрушение решения). В то же время по
t доказано отсутствие глобального решения. На самом деле (см. [9] в случае окрестности нуля)
в данном случае не существует даже локального по t решения, т. е. разрушение носит \полный"
и \мгновенный" характер.
Определение 4. Функция u(x; t) называется локальным слабым решением задачи
@u
@t
; u uq =jxj ;
u 0;
u(x; 0) = u0 (x) 0
в
u 6 0;
K0 ;
(18)
если существует такое число T0 > 0, что u(x; t) 2 C (K0 nf0g [0; T0 )) и для любых 0 t0 < t1 < T0
выполнены предположения о функции '(x; t) из определения 3 и интегральное неравенство (13)
(заметим, что в данном случае вместо R+ берем интервал (0; T0 )).
Теорема 4. Задача (18) не имеет локального решения при q > 1, > 2 и 1 < q q .
Доказательство. Пусть существуют T0 > 0 и локальное решение u(x; t). Тогда из (17) при
t0 < T0 и t0 + < T0 имеем
Z
KR
0
0
u(x; t0 ) dx cT c1 1;q R(q ;1)+s +N :
(19)
Далее используем свойство бесконечной скорости распространения возмущений для параболических уравнений и неравенств (доказываемое, исходя из положительности фундаментального
решения), которое означает, что если @u
@t ; u 0 и u0 0 (u0 6 0), то для любого момента
времени t0 > 0 существует такое " > 0, что u(x; t0 ) " > 0 для всех x 2 K0 (аналогичные
аргументы используются в работе [9]).
Тогда из (19) получим
0
0
cT c1 1;q R(q ;1)+s +N
Z
KR
u(x; t0 ) dx "c Rs +N ;
где c | константа, возникающая при интегрировании функции и не зависящая от R. Отсюда
c "
cT c1 1;q0
R(q0 ;1):
Левая часть строго больше нуля и не зависит от R, тогда как правая часть стремится к нулю при
R ! 0. Получено противоречие, из которого вытекает отсутствие даже локального по времени
решения задачи (12).
В заключение автор выражает благодарность С.И. Похожаеву за постановку задачи и В.В. Курте за полезное обсуждение результатов.
58
Литература
1. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими
и угловыми точками // Тр. Моск. матем. о-ва. { 1967. { Т. 16. { С. 209{292.
2. Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей. { М.: Наука. { 1991. { 336 с.
3. Кондратьев В.А. О решениях слабонелинейных эллиптических уравнений в окрестности
конической точки границы // Дифференц. уравнения. { 1993. { Т. 29. { Є 2. { С. 298{305.
4. Коньков А.А. О неотрицательных решениях квазилинейных эллиптических неравенств //
Изв. РАН. Сер. матем. { 1999. { Т. 63. { Є 2. { С. 41{127.
5. Курта В.В. Об отсутствии положительных решений у полулинейных эллиптических уравнений // Тр. МИАН. { 1999. { Т. 227. { С. 162{169.
6. Курта В.В. Некоторые вопросы качественной теории нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. Дис. : : : докт. физ.-матем. наук. { М.: { 1994. { 323 с.
7. Митидиери Э., Похожаев С.И. Отсутствие глобальных положительных решений квазилинейных эллиптических неравенств // Докл. РАН. { 1998. { Т. 359. { Є 4. { С. 456{460.
8. Митидиери Э., Похожаев С.И. Отсутствие положительных решений для квазилинейных
эллиптических задач в RN // Тр. МИАН. { 1999. { Т. 227. { С. 192{222.
9. Brezis H., Cabre X. Some simple nonlinear PDE's without solutions // Boll. Unione Mat. Ital.
Ser. B. { 1998. { V. 8. { P. 223{262.
10. Митидиери Э., Похожаев С.И. Априорные оценки и отсутствие решений дифференциальных неравенств в частных производных // Тр. МИАН. { 2001. { Т. 234. { 384 c.
11. Лаптев Г.Г. Об отсутствии решений одного класса сингулярных полулинейных дифференциальных неравенств // Тр. МИАН. { 2001. { Т. 232. { С. 223{235.
12. Лаптев Г.Г. Отсутствие глобальных положительных решений систем полулинейных эллиптических неравенств в конусах // Изв. РАН. Сер. матем. { 2000. { Т. 64. { Є 6. { С. 108{124.
Тульский государственный
университет
Поступила
14.03.2001
59
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа