close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об уровнях оператора Шредингера с возмущенным нелокальным потенциалом.

код для вставкиСкачать
Известия Института математики и информатики. Иевск. 2006. Є1(35)
УДК 517.958 : 530.145.6
М.С. Сметанина
huburinotf.pti.udm.ru
ОБ УРОВНЯХ О?ЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА
С ВОЗМУЩЕННЫМ НЕЛОКАЛЬНЫМ
?ОТЕНЦИАЛОМ
Ключевые слова
: уравнение Шредингера, нелокальный потенциал,
собственное значение, резонанс, асимптотика.
Abstrat
. We investigate the one-dimensional Shr
odinger operator with
a potential that is a sum of a loal potential and a two-rank operator. We
prove that this Shr
odinger operator has the unique level in the neighborhood of zero. The asimptoti behaviour of this level is investigated.
1.
Введение
Рассматривается одномерное уравнение Шредингера
? ddx? + V ? = E?
(1.1)
с нелокальным потенциалом
V = ? W (x) + ?1 (╖, ?1 ) ?1 + ?2 (╖, ?2 ) ?2 ,
(1.2)
где ?, ?1 , ?2 | вещественные параметры, W (x) | вещественная функция, удовлетворяющая оценке вида | W (x) |6 Ce??|x| ,
где ? > 0 | некоторая константа. ?редполагаем, что ?1 (x) и
?2 (x) линейно независимы и для них выполнены аналогичные
неравенства |?j (x)| 6 Ce?a |x| , aj > 0 . В дальнейшем функции,
удовлетворяющие неравенству такого вида, мы будем называть
экспоненциально убывающими. ?отенциалы вида (1.2) возникают, например, в теории псевдопотенциала [1?.
2
2
j
98
Введем обозначения H0 = ?d2 /dx2 , Hs = H0 + Vs , H = H0+
+? W (x)+ Vs , где Vs = ?1(╖, ?1 ) ?1 + ?2(╖, ?2 ) ?2 . Обозначим через
R0 (E ) = (H0 ? E )?1 и Rs (E ) = (Hs ? E )?1 резольвенты операторов H0 и Hs . Ядро резольвенты R0(E )?, как известно, имеет
вид G0 (x, y, k) = ?(2ik)?1 eik |x?y| , где k = E (разрез выбираем
вдоль полуоси [0, ?) ). Через ?(A) [через ?ess(A)? обозначается спектр [существенный спектр? оператора A . В дальнейшем
ядра резольвент R0(k) и Rs(k) , вообще говоря, продолаем по
параметру k в комплексную окрестность нуля, сохраняя для соответствующих интегральных операторов те е обозначения. Зафиксируем
?0 ? (0, min { ?2 , a1 , a2 }).
(1.3)
Уровнем оператора будем называть его собственное значение или
резонанс; при этом под резонансом k ? C будем понимать такие
k с Im k ? [??0 , 0) (или соответствующие E = k2 ) , для которых
в классе функций ?(x) таких, что |?(x)| R6 Ce ? |x| , существует ненулевое решение уравнения ?(x) = ? G0 (x, y, k) V ?(y) dy .
R
Заметим, что резонансы отвечают второму (нефизическому)
ли?
сту римановой поверхности для функции k = E . Условие
(1.3) обеспечивает существование рассматриваемых интегралов.
время
(Условие малости ?0 физически допустимо, поскольку
?1
изни состояний микрочастиц, пропорциональное ?0 , долно
быть достаточно велико.)
Случай одного слагаемого в выраении для Vs (то есть случай сепарабельного потенциала) исследован в работе [2?. Случай
n слагаемых для ? = 0 рассматривался в недавней работе [3?. В
настоящей работе исследуется асимптотика уровней при малом
? и фиксированных ?1 и ?2 .
0
2.
Исследование уровней оператора Шредингера
В дальнейшем пишем R0 вместо R0(E ) . Ние приведено утвердение, сформулированное, но не доказанное в [4?.
99
Л е м м а 2.1.
= 1 + ?1 (R0(E )?1 , ?1 ) 1 + ?2 (R0 (E )?2 , ?2 ) ?
??1 ?2 R0 (E )?1 , ?2 R0 (E )?2 , ?1 6= 0.
Rs (E )
? (x) = Rs (E ) ?(x) = R0 (x)?
?редполоим, что
Тогда для резольвенты
справедлива формула
(R0 ?,?1 ) (1+?2 (R0 ?2 ,?2 ))+?2 (R0 ?,?2 ) (R0 ?2 ,?1 )
(1+?1 (R0 ?1 ,?1 )) (1+?2 (R0 ?2 ,?2 ))??1 ?2 (R0 ?1 ,?2 ) (R0 ?2 ,?1 ) R0 ?1 ?
(R0 ?,?2 ) (1+?1 (R0 ?1 ,?1 ))+?1 (R0 ?,?1 ) (R0 ?1 ,?2 )
??2 (1+? (R ? ,? )) (1+? (R ? ,? ))?? ? (R ? ,? ) (R ? ,? ) R0 ?2 . (2.1)
1 0 1 1
2 0 2 2
1 2 0 1 2
0 2 1
??1
Д о к а з а т е л ь с т в о. Уравнение (Hs ? E ) ? = ?
представимо в виде
(H0 ?E ) ? = ? ? ?1(?, ?1 ) ?1 ? ?2(?, ?2 ) ?2 .
(2.2)
?рименяя к уравнению (2.2) оператор R0(E ) там, где он существует (то есть при E ?/ [0, ?) ), получаем эквивалентное интегральное уравнение
? (x) = R0 (E ) ? ? ?1 (?, ?1 )R0 (E ) ?1 ? ?2 (?, ?2 ) R0 (E ) ?2 . (2.3)
Заметим, что в (2.3)
? (x) = ?
e(x) ? C1 ?
e1 (x) ? C2 ?
e2 (x),
(2.4)
где Ci = (?, ?i ) , ?~i = ?i R0(E ) ?i , ?~ = R0 (E ) ? . Найдем неизвестные C1 и C2 . ?одставляя выраение (2.4) для ?(x) в (2.3),
получаем линейную систему
C1 = (~
?, ?1 ) ? C1 (?~1 , ?1 ) ? C2 (?~2 , ?1 )
,
(2.5)
C2 = (~
?, ?2 ) ? C1 (?~1 , ?2 ) ? C2 (?~2 , ?2 )
следовательно, Ci = (?) , где
1 + ?1 (R0 (E )?1 , ?1 )
?2 (R0 (E )?2 , ?1 ) = ?1 (R0 (E )?1 , ?2 ) 1 + ?2 (R0 (E )?2 , ?2 ) ,
i
100
)
(
(
)
(
)
1 (?) = ( ) 1 + ( ( )
) ,
(
(
)
(
)
1
+
)
2 (?) =
( ( )
) ( ) .
Лемма доказана.
?
Введем обозначения bj = (?j , W ) , j = 1, 2 ,
R
d1 = 21i W (x)dx,
?, ?1
?2 R0 E ?2 , ?1
?, ?2
?2 R0 E ?2 , ?2
?1 R0 E ?1 , ?1
?, ?1
?1 R0 E ?1 , ?2
?, ?2
R
a11
2
R2
R2
R
+R
?
?
?2 ?1 dxdy
R2
?
R
R2
R ?
R2
W ??1 dxdy
1
R2
R
R2
R2
R
?
?1 ?2 dxdy
R ?
R2
W ??2 dxdy
R2
W ??1 dxdy
?
= ? ?2i R
1
R
R
+
|x ? y| ?2 ?2 dxdy?
|x ? y| ?2 ?1 dxdy
?
W ??2 dxdy
+
R
?
R
?1 dx2 |x ? y| W ??2 dxdy
R2
?
R2
R2
?
R2
R
= 21i ? R
+R
R
+
?
|x ? y| W ??2 dxdy?
R
W ??2 dxdy
a12
+ ?2
?
W ??1 dxdy
R
?
R
?2 dx2 |x ? y| W ??1 dxdy
+ ?2
c1
= 21i ? R
(2.6)
R
R2
(2.7)
,
+
|x ? y| ?1 ?1 dxdy?
?
|x ? y| W ??1 dxdy?
R
R2
|x ? y| ?1 ?2 dxdy
2
W ?1 dx ?
101
?2
i
2
2
R ?
W ?2 dx R
(2.8)
,
+
+ ? 4?i
R
1 2
+ ? 4?i
R2
R
1 2
? ?14?i 2
? ?14?i 2
R
R2
R
R2
R2
R ?
2
?
?
W ?2 dx |x ? y| ?1 W ?1 W dxdy R
R ?
2
?
?
|x ? y| ?2 W ?2 W dxdy W ?1 dx ?
R
?
?
?
?
R
|x ? y| ?2 W ?1 W dxdy
?1 W ?2 W dxdy?
R2
|x ? y| ?1
?
?
?
?
R
W ?2 W dxdy
?2 W ?1 W dxdy.
R2
Т е о р е м а 2.1.
?
малых
+
6= 0
?усть
(2.9)
. Для всех достаточно
существует единственный уровень оператора
H
в
окрестности нуля, для которого справедлива формула
= ? d1 + ? a b2ic+? a b + O(?2 ).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Cуществование уровня оператора H эквивалентно существованию ненулевого решения интегрального уравнения:
? (x) = ?? R0 W (x)? (x)+
? ((R W ?,? )(1+? (R ? ,? ))?? (R W ?,? )(R ? ,? ))R ?
+ ? (1+
+
? (R ? ,? ))(1+? (R ? ,? ))?? ? (R ? ,? )(R ? ,? )
1 11 1
k
1
1
0
1
2 12 2
1
0 1
2
1
0 2
2
2
2
0 2
2
1
1
0
2
1 2
0 2
0 1
2
1
0 1
0 2
1
? ((R W ?,? )(1+? (R ? ,? ))?? (R W ?,? )(R ? ,? ))R ?
. (2.10)
+ ? (1+
? (R ? ,? ))(1+? (R ? ,? ))?? ? (R ? ,? )(R ? ,? )
p
W (x) и перейдем к функциям ?(x) =
Умноим
(2.10)
на
p
p
= W (x)?(x) и ?i (x) = W (x)?i (x) , тогда уравнение (2.10)
примет вид
p
p
?(x) = ?? W (x)R0 (E ) W (y )?(y )+
p
p
+?1? (?) W (x)R0(E ) W (y)?1 (y)+
p
p
(2.11)
+?2? (?) W (x)R0(E ) W (y)?2 (y).
2
0
1
2
0 1
1
1
0 1
2
0 2
2
1
2
102
0
1 2
1
0 1
0 1
2
2
0 2
0 2
1
Справедливы равенства
?
p
p
?
W
W (x)R0 (E ) W (y )?(y ) = ? 2ik
(?, W ) + K (k)?,
?
p
p
?
W
W (x)R0 (E ) W (y )?(y ) = ? 2ik
(?, W ) + K1 (k)?, (2.12)
где K (k) и K1 (k) | операторы, аналитически зависящие от k
в окрестности нуля (подробное доказательство см. в [1?).
Выраение (2.11) с учетом (2.12) примет вид
?
?
?(x) = ?2ikW (?, W ) ? ?K (k)? +
?
?
+?1? (?) ? 2ikW (?1 , W ) + K1 (k)?1 +
?
?
(2.13)
+?2? (?) ? 2ikW (?2 , W ) + K1 (k)?2 .
Операторнозначная функция
L(k) = ?1 (╖) K1 (k)?1 + ?2 (╖) K1 (k)?2 ? K (k)
(2.14)
является аналитической после умноения числителя и знаменателя на k2 . Введем новую неизвестную функцию (x) =
= (1??L(k))?(x) . ?ри условии | ? | < 1/kL(k)k существует обратный оператор (1 ? ?L(k))?1 . Используя (2.14), запишем уравнение (2.13) в виде
1
2
1
2
(x)= ?2ikW ((1??L(k))?1 ,
?
?
?
1 ((1??L(k))?1 ?
1?
W ? ?2ik
W
?
,
W ?
1
)
(
?
2 ((1??L(k))?1 ?
W
(
?
,
W ).
2
)
(2.15)
p
Из этого уравнения видно, что (x) = C W (x) , где C | некоторая константа, не зависящая от k . ?одставив в (2.15) выраение для (x) , получим после сокращения
?
? k = 2?i (1 ? ?L(k))?1 W , W ?
2?
? ?2ik
? ?21i?
?1
?
?
1 ((1??L(k))?1 ?2 ? 2 ((1??L(k )) (
(
?
,
W
)
?
?
,
W ).
1
2
2
i
103
Разлоив оператор (1 ? ?L(k))?1 по степеням ? , получим
?
?
?
?
k = 2?i ( W , W ) ? ?2i? ( W ) (?1 , W )?
?
?
(2.16)
? ?2i? ( W ) (?2 , W ) + O(?2 ),
0
Для раскрытия неопределенностей вида 0 в правой части (2.16)
представим функцию G0 (x, y, k) в виде
1
G0 (x, y, k) = ? 21ik eik|x?y| = ? |x?y|
2 ? 2ik + O(k).
В дальнейшем используем обозначения (2.6){(2.9). Имеем k2 =
= kc1 + O(k2 ) , k2 1(?) = ka11 + O(k2 ) , k22 (?) = ka12 + O(k2 ) .
В итоге уравнение (2.16) принимает вид
? ?(a +O (k ))b
? ?(a +O (k ))b
2
k = ?d1 +
2i(c +O(k)) + 2i(c +O(k)) + O(? ).
1
1
2
2
1
11
1
1
2
12
2
1
+
?олоим A = d1 +
, тогда k = A? + O(?) + ?O(k) .
2ic
Таким образом, если F (k) = A + O(?) , то k = A? + O(?2 ) = ?F (k).
Существование и единственность решения этого уравнения в
окрестности нуля вытекает из принципа симающих отобраений, так как в силу малости ? отобраение ?F (k) переводит
круг S = {| k |6 ?} в себя, а вследствие аналитичности F (k) в
круге S имеем | ?F ? (k) |6 q < 1 . Таким образом, к отобраению
F (k) применим принцип симающих отобраений.
?1 a11 b1 ?2 a12 b2
1
Список литературы
1. Хейне В., Коэн М., Уэйр Д. Теория псевдопотенциала. М.: Мир,
1973. 560 с.
2. Сметанина М. С. Об уравнении Шредингера с нелокальным потенциалом // Известия Ин-та матем. и информ. УдГУ. Иевск, 2002.
Вып. 3 (26). С. 99{114.
3. Сметанина М. С. Асимптотика уровней одномерного оператора
Шредингера с нелокальным потенциалом // Известия Ин-та матем. и информ. УдГУ. Иевск, 2005. Вып. 1 (31). С. 99{106.
4. Альбеверио С., Гестези Ф., Хеэг-Крон Р., Хольден Х. Решаемые
модели в квантовой механике. М.: Мир, 1991. 568 с.
104
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
165 Кб
Теги
уровня, шредингер, оператора, возмущенных, потенциал, нелокальные
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа