close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об условии s-регулярности Н. П. Купцова

код для вставкиСкачать
Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2013. Т. 13. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 1, ч. 2
УДК 517.983.2
ОБ УСЛОВИИ s-РЕГУЛЯРНОСТИ
Н. П. КУПЦОВА
В. П. Скляров
Саратовский государственный университет
E-mail: sklyarovvp@sgu.ru
The Condition of N. P. Kuptsov s-regularity
Исследуется условие s-регулярности для оператора Qy =
= −y ′′ (x) + x2 y(x) в пространствах Lp (−∞, ∞).
Ключевые слова: многочлены и функции Эрмита, s-регулярность.
V. P. Sklyarov
We investigate the condition of s-regularity for the operator
Qy = −y ′′ (x) + x2 y(x) in the spaces Lp (−∞, ∞).
Key words: polynomials and Hermite functions, s-regularity.
Предполагается, что линейный оператор Q действует из банахова пространства X в X,
¡ ¢ ¡
¢−1
Rλ Q = Q − λE
. Следующее понятие было введено Н. П. Купцовым [1, с. 137] в 1968 г.
Определение. Оператор Q будем называть s-регулярным, если при некотором натуральном s
существует действительное число θ такое, что
° ³
´°
C
°
°
,
°Rλ eiθ Qs °≤
|Imλ|
где C не зависит от λ.
Пусть Qy = −y ′′ (x) + x2 y(x), а в роли пространства X выступает Lp (−∞, ∞) с нормой
 ∞
1/p
Z

kf kLp (−∞,∞) =
|f (x)|p dx
,
p ≥ 1.


−∞
В 1976 г. Н. П. Купцовым был поставлен вопрос о s-регулярности оператора Q в пространстве
C0 (−∞, ∞). Ответ оказался отрицательным [2]. Ниже исследуется s-регулярность оператора Q в
пространствах Lp (−∞, ∞).
Известно [3, c. 114], что ортонормированную систему функций этого оператора образуют функции
Эрмита, определяемые равенством
ρ(x)Hν (x)
ϕν (x) = p
√ .
2ν ν! π
Здесь Hν (x) — полином Эрмита:
2
dν ³ −x2 ´
,
ρ(x) = e−x /2 .
e
dxν
Собственные числа оператора задает последовательность λν = 2ν + 1, ν = 0, 1, 2, . . . , следовательно,
Qϕν = λν ϕν .
∞
R∞
P
aν
f (x) ϕν (x) dx. Все
ϕν (x), где aν =
Нетрудно заметить, что при p = 2 имеем Rλ f =
ν=0 λν − λ
−∞
собственные значения λν вещественные, поэтому легко получаем оценку
2
Hν (x) = (−1)ν ex
2
kRλ f k =
∞
X
a2ν
2
ν=0 |λν − λ|
≤
1
2
2
| Im λ|
kf k .
Таким образом, в пространстве L2(−∞,∞) рассматриваемый оператор 1-регулярен.
n
P
aν ϕν (x), известно [1, с. 151, следствие 2.1.1], что в этом случае наличие s-регуПусть Sn f =
ν=0
лярности влечет порядковое равенство kSn k = O(ln(n + 1)), а в [4, p. 189, theorem 2] было доказано:
существует натуральная подпоследовательность nk такая, что

2
1
3p − 2

, 1 ≤ p ≤ 4/3,
(nk )
p
kSnk kL(−∞,∞) ≥ C1 1,
4/3 ≤ p ≤ 4,

2
1

(nk ) 6 − 3p , 4 < p ≤ ∞.
c Скляров В. П., 2013
°
В. П. Скляров. Об условии s-регулярности Н. П. Купцова
Отсюда заключаем, если p ∈
/ [4/3, 4], то оператор Q не может быть s-регулярным при любом s.
Одновременно с этим справедливо утверждение.
Теорема. Если p ∈ (4/3, 4), то при любом натуральном s оператор Qy = −y ′′ + x2 y будет
s-регулярным в пространстве Lp (−∞, ∞).
n
P
aν (f ) ϕν (x)
Доказательство. В [5] было доказано, что в этом случае нормы операторов Sn f =
ν=0
ограничены числом, не зависящим от n. Поскольку область определения DQ всюду плотна в Lp(−∞,∞) ,
то на DQ резольвента оператора Qs будет задаваться равенством
Rλ (Qs )f = (Qs − λE)−1 f =
∞
X
aν
ϕ (x).
s −λ ν
λ
ν=0 ν
Применив преобразование Абеля в правой части, получим
Rλ (Qs )f =
∞
X
λsν+1 − λsν
Sν f.
(λsν+1 − λ)(λsν − λ)
ν=0
Последнее представление резольвенты влечет оценку
kRλ (Qs )f k ≤ C2 kf k
∞
X
ν=0
λsν+1 − λsν
¯.
¢
s
¯
ν+1 − λ (λν − λ)
¯¡
¯ λs
Пусть Re λ = α, Im λ = β 6= 0 и α ∈ [λsνα , λsνα +1 ), тогда
∞
X
ν=0
νX
∞
α −1
X
λsνα +1 − λsνα
λsν+1 − λsν
¯=
¯¡
¢
¢
¡
¢¯
+
:= I1 + I2 + I3 .
+
s
¯
¯ λs
λsνα − λ ¯ ν=ν +1
ν+1 − λ (λν − λ)
να +1 − λ
ν=0
¯¡
¯ λs
α
[λsνα , λsνα +1 )
Независимо от того в левой или правой половине промежутка
неравенство I2 ≤ 2/|β|, а для каждой из сумм имеем:
I1 ≤
νX
α −1
ν=0
λsν+1 − λsν
¯ ,
¯
¯λ s − λ ¯2
ν+1
I3 ≤
∞
X
ν=να +1
оказывается α, справедливо
λsν+1 − λsν
2
|λsν − λ|
.
Поскольку λν = 2ν + 1, то теорема Лагранжа дает равенства λsν+1 − λsν = 2s(ξν )(s−1) , где
ξν ∈ (λν+1 , λν ), поэтому
λsν+1 − λsν
≥ 1.
λsν − λsν−1
С другой стороны, λν+1 = λν + 2, следовательно,
´s
³
¸s
·
·
¸s 1 + 2
−1
λsν+1 − λsν
λν
1
λν
³
´s
≤ 3s .
≤ 1+
=
1
λsν − λsν−1
λν−1
2
ν
−
2
1+
−1
λν−1
Отсюда приходим к двухсторонней оценке:
1≤
λsν+1 − λsν
≤ 3s .
λsν − λsν−1
Возвращаясь к величинам I1 , I3 , заключаем
I1 ≤
I3 ≤
Математика
νX
α −1
ν=0
∞
X
λsν+2 − λsν+1
λsν+1 − λsν
·
¯ ≤
¯
λsν+2 − λsν+1 ¯λs − λ¯2
ν+1
λsν+1
λs −
ν=να +1 ν
λsν
λsν
λsν−1
2
−
−
·
s
s
λν−1 |λν − λ|
≤ 3s
λνα
Z
0
dx
,
(x − α)2 + β 2
Z∞
dx
.
(x − α)2 + β 2
λνα
85
Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2013. Т. 13. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 1, ч. 2
Таким образом,
s
I1 + I3 ≤ 2 · 3
Z∞
0
dx
. ≤ 2 · 3s
(x − α)2 + β 2
Z∞
−∞
4π · 3s
dx
=
.
x2 + β 2
|β|
Теорема доказана.
¤
Следствие.Оператор Qy = −y ′′ + x2 y будет s-регулярным при любом натуральном s в пространстве Lp(−∞,∞) тогда и только тогда, когда p ∈ (4/3, 4).
Доказательство. Выше уже отмечалось, что при p 6∈ [4/3, 4] оператор Q не может быть s-регулярным, поэтому для доказательства следствия достаточно убедиться в отсутствии s-регулярности
при p = 4/3, 4.
Предположив противное, с помощью [1, с. 140, лемма 2.4] заключаем, что нормы операторов
res Rλ должны быть ограничены величиной, не зависящей от номера собственного значения. Легко
λ=λν
заметить, что при любом f ∈ Lp (−∞, ∞) имеет место оценка
°
°
°
°
° res Rλ °
°λ=λn °
Lp
→Lp
(−∞,∞)
(−∞,∞)
≥
¯
¯
¯
¯ R∞
¯
¯
kϕn kLp(−∞,∞) ¯
f (s)ϕn (s) ds¯
¯
¯−∞
kf kLp(−∞,∞)
.
(1)
Естественно, величина правой части в неравенстве (1) существенно зависит от выбора элемента f .
Воспользуемся асимптотическим соотношением для Lp -нормы функции Эрмита из [4, p. 190, (2.6)]
 1 −1
2p
4,
1 ≤ p < 4,

n
1
1
−
kϕn kLp(−∞,∞) ∼ n 8 (ln(n)) 4 , p = 4,

1
1
 − 6p
− 12
,
4 < p ≤ ∞.
n
Знак f (n) ∼ g(n) здесь означает наличие двусторонней оценки Ag(n) ≤ f (n) ≤ Bg(n), в которой
величины A, B не зависят от n. Очевидно, одновременно с этим справедливо
 1 p
−
1 ≤ p < 4,

Z∞
n 2 4 ,
1
p
|ϕn (s)| ds ∼ n− 2 ln(n), p = 4,

p
 − 61 − 12
−∞
,
4 < p ≤ ∞.
n
Вернемся к (1), положив p = 4/3 и f (x) = ϕ3n (x), это влечет цепочку неравенств:
°
°
°
°
° res Rλ °
°λ=λn °
1
4
4
3
3
→L(−∞,∞)
L(−∞,∞)
1
1
1
1
n 8 · n− 2 · ln(n)
n 8 · n− 2 · ln(n)
≥ C3 "
i 34 = C4 · ln 4 (n).
# 43 ≥ C4 h 1
R∞
n− 2 · ln(n)
|ϕn (s)|4 ds
(2)
−∞
1
При p = 4 полагаем f (x) = ϕn3 (x) и получаем
°
°
°
°
° res Rλ °
°λ=λn °
L4(−∞,∞) →L4(−∞,∞)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
n− 8 · [· ln(n)] 4 · n 2 − 3
n− 8 · [· ln(n)] 4 · n 2 − 3
= C6 · ln 4 (n). (3)
≥ C5 "
# 14 ≥ C6
h 1 1 i 14
R∞
4
n2−3
|ϕn (s)| 3 ds
−∞
Отсюда следует, что нормы операторов res Rλ не могут быть ограничены величиной, не зависящей
λ=λν
от номера собственного значения. Полученное противоречие доказывает следствие.
¤
Библиографический список
1. Купцов Н. П. Прямые и обратные теоремы теории приближений и полугруппы операторов // УМН.
1968. Т. 23, № 4(142). С. 117—178. [Kuptsov N. P.
86
Direct and converse theorems of approximation theory
and semigroups of operators // Russ. Math. Surv. 1968.
Vol. 23, № 4. P. 115–177.]
Научный отдел
А. П. Старовойтов. Эрмитовская аппроксимация двух экспонент
2. Скляров В. П. Еще раз о равномерных приближениях функциями Эрмита // Дифференциальные уравнения и теория функций : науч. сб. Саратов : Изд-во
Сарат. ун-та, 1980. Вып. 3. С. 105—113. [Sklyarov V. P.
Again on uniform approximation of Hermite functions //
Differencial’nie uravneniya i teoriya funkcii : nauch. sb.
Saratov, 1980. Iss. 3. P. 105–113.]
3. Сегё Г. Ортогональные многочлены. М. : ГИФМЛ,
1962. 500 с. [Szegö, Gábor, Orthogonal polynomials.
American Mathematical Society (AMS). Colloquium
Publ. 23. New York : AMS, 1959. Vol. VIII. 421 p.]
4. Markett C. Norm estimates for (C, δ) means of
Hermite expansions and bounds for δef f // Acta Math.
Hung. 1984. Vol. 43. P. 187–198.
5. Askey R., Wainger S. Mean convergence of expansions
in Laguerre and Hermite series // Amer. J. Math. 1965.
Vol. 87. P. 695–708.
УДК 517.538.52+517.538.53
ЭРМИТОВСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ
ДВУХ ЭКСПОНЕНТ
А. П. Старовойтов
Гомельский государственный университет
E-mail: svoitov@gsu.by
Hermitian Approximation of Two Exponents
Для системы, состоящей из функций {eλ1 z , eλ2 z }, изучаются асимптотические свойства её аппроксимаций Эрмита–
j
λj ξ 2
Паде {πn,
)}j=1 . В частности, для любого z
m (z; e
при n → ∞ найдена асимптотика поведения разностей
λj ξ
j
), j = 1, 2. Полученные результаты доeλj z − πn,
m (z; e
полняют аналогичные исследования Эрмита, Паде, Перрона,
Д. Браесса, А. И. Аптекарева и других авторов.
Ключевые слова: совершенная система функций, совместные
аппроксимации Паде, аппроксимации Эрмита–Паде, асимптотические равенства, интегралы Эрмита.
A. P. Starovoitov
We study the asymptotic properties of Hermite–Pade approximants
j
λj ξ 2
{πn,
)}j=1 for a system consisting of functions
m (z; e
λ1 z
λ2 z
{e , e }. In particular, we determine asymptotic behavior of
λj ξ
j
) for j = 1, 2 and n → ∞ for
differences eλj z − πn,
m (z; e
any complex number z. The obtained results supplement research of
Pade, Perron, D. Braess and A. I. Aptekarev dealing with study of the
convergence of joinnt Pade approximants for systems of exponents.
Key words: perffect system of functions, joint Pade approximant,
Hermite–Pade approximants, asymptotic equality, Hermite integrals.
ВВЕДЕНИЕ
Рассмотрим набор
fj (z) =
∞
X
fkj z k ,
j = 1, 2, . . . , r
(1)
k=0
голоморфных в нуле функций, или формальных степенных рядов. Зафиксируем произвольные целые
r
P
неотрицатетельные числа n, m1 , m2 , . . . , mr . Обозначим
mj = m, nj = n + m − mj , j = 1, 2, . . . , r.
j=1
Известно [1], что при j = 1, 2, . . . , r существуют такие многочлены Qm (z), Pnjj , deg Qm 6 m,
deg Pnjj 6 nj , для которых
j
j
n+m+1
Rn,
+ ...
m (z) = Qm (z)fj (z) − Pnj (z) = Aj z
(2)
Если r = 1, то согласно теореме Паде [2, теорема 1.1.1] многочлены Qm (z), Pn1 (z) определяются
с точностью до однородной константы, а их отношение задает единственную рациональную функцию πn, m (z, f1 ) = Pn1 (z)/Qm (z), которую называют аппроксимацией Паде для f1 (z). При r > 2
j
j
j
дроби πn,
m (z) = πnj , m (z, fj ) = Pnj (z)/Qm (z), j = 1, 2, . . . , r условиями (2) определяются, вообr
j
ще говоря, не однозначно. В случае единственности множества {πn,
m }j=1 его элементы называют
совместными аппроксимациями Паде (аппроксимациями Эрмита–Паде) для системы функций (1).
Единственность, в частности, имеет место для совершенных систем функций (определение и примеры совершенных систем см. в [1, 3–7]). Совершенной, в частности, является система экспонент
fj (z) = eλj z , j = 1, 2, . . . , r, где {λj }rj=1 — различные комплексные числа [1, теорема 2.1]. Без формального определения этот факт был установлен Ш. Эрмитом (C. Hermite) [8].
Для одной экспоненты ez , т. е. при r = 1, явные выражения для числителя и знаменателя
πn, m (z; eξ ) получил Паде (H. Pade) [9]. Опираясь на полученные представления, он доказал, что
при n/m → γ, 0 6 γ 6 +∞, на компактах C дроби πn, m (z; eξ ) равномерно сходятся к ez . О. Перон
c Старовойтов А. П., 2013
°
87
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
148 Кб
Теги
условия, купцова, регулярность
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа